2013年天津市高考数学试卷(文科)及解析

2013年天津市高考数学试卷（文科）及解析第Ⅰ卷一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}|2A x R x =∈≤，{}|1B x R x =∈≤，则AB =（A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]-2．设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数2z y x =-的最小值为（A ）7- （B ）4- （C ） （D ）2 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5(D) 44．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件5．已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =(A) 12-(B) 1 (C) 2 (D)126．函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1-(B)(C) (D) 0 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是(A) [1,2](B) 10,2⎛⎤⎥⎝⎦(C) 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D) (0,2]8．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 (A) ()0()g a f b << (B) ()0()f b g a <<(C) 0()()g a f b << (D) ()()0f b g a <<二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i 是虚数单位. 复数(3 + i )(1－2i ) = .10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92π, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .12．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE =4, 则弦BD 的长为 .EDCB A14．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级．若4S ≤，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表（II ）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，（i ）用产品编号列出所有可能的结果；（ii ）设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率． 16．(本小题满分13分)在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =.(Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17． (本小题满分13分) 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，11A C 的中点．（I ）证明：//EF 平面1ACD ； （II ）证明：平面1ACD ⊥平面11A ABB ； （III ）求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值． C 1B 1A 1ABC DEF18．(本小题满分13分)设椭圆22221x y a b +=(0)ab >>的左焦点为F ，，过点F 且与x 轴垂． （I ）求椭圆的方程；（II ）设A ，B 分别为椭圆的左、右定点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若8AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值．19． (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N .20．(本小题满分14分)设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;(Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠ 证明12313x x x ++>.参考答案一、选择题1．D 解：因为{22}A xx =-≤≤,所以{21}B A x x =-≤≤，选D.2．A 解：由2z y x =-得 。

作出可行域如图平移直线2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z 最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得53x y ==⎧⎨⎩，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A.3．D 解：第一次循环，1,2S n =-=；第二次循环，21(1)21,3S n =-+-⨯==；第三次循环，31(1)32,4S n =+-⨯=-=；第四次循环，42(1)42S =-+-⨯=，满足条件输出4n =，选D.4．A 解：若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。

若0a b =<时2()0a b a -=，所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件，选A.5．C 解：设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)到直线的，解得12k =-。

因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =,选C. 6．B 解：当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，02x π≤≤，32444x πππ-≤-≤，所以当244x ππ-=-时，函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值为sin()4y π=-=，选B. 7．C解：因为函数()f x 是定义在R上的偶函数，且122log log a a =-，所以222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤，即2(log )(1)f a f ≤，因为函数在区间[0,)+∞单调递增，所以2(log )(1)f a f ≤，即2log 1a ≤，所以21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤，即a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选C.8．A解：由220,()ln (30)x x g x x e x f x +-==+=-=得22,ln 3x x x e x =-+=-+，分别令122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+。

在坐标系中分别作出函数122(),()x f x e f x x =-+=，221()ln ,()3g x x g x x ==-+的图象，由图象知01,12a b <<<<。

此时21()()g a g a <，所以()0g a <又。

12()()f b f b >，所以()0f b >，即()0()g a f b <<，选A.法三： ()f x 在R 上为单调增函数，，01)1(>-=e f ， ∴()f x 的零点(0,1)a ∈．在(0,)+∞上为单调增函数，02)1(<-=g ，012ln )2(>+=g (2)0g >，∴()g x 的零点(1,2)b ∈． 所以 b a <<<10，则)()1(0)1()(b f f g a g <<<<.法四： 在同一直角坐标系下画出1x y e =，22y x =-+，3ln y x =，243y x =-+的图象，易得1y 与2y 的交点A ，及3y 与4y 的交点B ，显然A B a x b x =<=．()f x 在R 上为单调增函数，∴0()()f a f b =<．又()g x 在(0,)+∞上为单调增函数，∴()()0g a g b <=．∴()0()g a g b <<．9．55i - 解：(3 + i )(1－2i )232655i i i i =-+-=-。

10解：设正方体的棱长为a2r =，即球半径r =。

若球的体积为92π，即349)32ππ=，解得a = 11．2213y x -= 解：抛物线的准线方程为2x =-，因为双曲线的一个焦点在准线2x =-上，所以2c -=-，即2c =，且双曲线的焦点在x 轴上。

又双曲线的离心率为2，即22c e a a===，解得1a =，所以222413b c a =-=-=，所以双曲线的方程为2213y x -=。

12．12解：因为E 为CD 的中点，所以1122BE BC CE AD DC AD AB =+=-=-. AD AC AB =+因为·1AC BE =，所以22111·()()1222AC BE AD AB AD AB AD AB AB AD =-⋅+=-+⋅=，即2111cos60122AB AB -+=，所以211024AB AB -+=，解得12AB =。

解法2 设AB x =.AC AD AB =+，1122BE AE AB AD AB AB AD AB =-=+-=-， 221122AC BE AD AB AD AB ⋅=-+⋅2111124x x =-+=，211,0,22x x x x ∴=≠∴=.解法3： 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建系如图则1(2D ，设(,0)B x则111((222E x C x ++， ABC111((222AC BE x x ⋅=+⋅-2111314424x x =+-+=， 211,022x x x x ∴=≠∴=. 13．152解：连结AC,则EAB ACB ADB ABD DCA ∠=∠=∠=∠=∠，所以梯形ABCD 为等腰梯形， EDCB A所以5BC AD ==，所以24936AE BE CE =⋅=⨯=，所以6AE =,所以2222226543cos 22654AE AB BE EAB AE AB ++-===⋅⨯⨯.又2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅,即222355254BD BD =+-⨯⋅⨯，整理得21502BD BD -=，解得152BD =。