3.2.2 函数模型的应用实例
课件9：3.2.2 函数模型的应用实例
似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于
1
15 + , (0 ≤ ≤ 10)
2
f(t)＝൞
(元)．
1
25 − , (10 < ≤ 20)
2
典型例题
类型3 分段函数模型的应用
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表
10−6
代入得Y＝10lg −12
10
＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．
(2)当Y＝0时，即为10lg
10−12
＝0，所以
I＝10－12 W/m2，
则能听到的最低声强为10－12 W/m2.
10−12
＝1，
典型例题
−7
5×10
(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg −12
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元
或150元．
名师指导
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实
际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别
式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，
从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
跟踪训练
1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池
即 S＝
2
－10x
＋1 200x－15 000，30<x≤75.
跟踪训练
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15 000为增函数，
所以x＝30时，Smax＝12 000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1 200x－15 000
3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2 函数模型的应用实例(A)200只 (B)300只 (C)400只 (D)500只解析:由题意,繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),这种动物第2年有100只,所以100=alog3(2+1),所以a=100,所以y=100log3(x+1),所以当x=8时,y=100log3(8+1)=100×2=200.4.(2019·海淀区高一月考)2019年12月,某人的工资纳税额是245元,若不考虑其他因素,则他该月工资收入为( A )级数全月应纳税所得额税率(%)1 不超过1 500元 32 1 500～4 500元10注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去3 500元(起征点)后的余额.(A)7 000元 (B)7 500元 (C)6 600元 (D)5 950元解析:设此人该月工资收入为x元.1 500×3%=45元.(x-3 500-1 500)×10%=245-45,得x=7 000元.5.某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以是奖励券或两者合计),就送20元奖励券;满200元,就送40元奖励券;满300元,就送60元奖励券;…当日花钱最多的一位顾客共花出现金70 040元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( C )(A)17 000元 (B)17 540元(C)17 500元 (D)17 580元解析:这位顾客花的70 000元可得奖励券700×20=14 000(元),只有这位顾客继续把奖励券消费掉,也才能得到最多优惠,但当他把14 000元奖励券消费掉可得140×20=2 800(元)奖励券,再消费又可得到28×20=560(元)奖励券,560元消费再加上先前70 040中的40元共消费600元应得奖励券6×20=120元.120元奖励券消费时又得20元奖励券.所以他总共会得到14 000+2 800+560+120+20=17 500(元)优惠.故选C.6.(2019·泉州高一月考)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( B )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 (A)y=2x-2 (B)y=(x2-1)(C)y=log2x (D)y=lo x解析:由题意可得表中数据y随x的变化趋势.函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大越来越快.因为A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数,所以排除A,C,D;所以B中函数y=(x2-1)符合题意.7.(2019·湖北宜昌一中月考)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,t min后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t求得.把温度是100 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t min后,物体的温度是40 ℃,那么t的值约等于.(保留三位有效数字,参考数据:ln 3取 1.099,ln 2取0.693)解析:依题意将θ1=100,θ0=10,θ=40代入公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t 可得,e-0.24t=,即-0.24t=ln ,解得t=≈4.58.答案:4.588.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y= x2+1,乙:y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用作为拟合模型较好.解析:对于甲:x=3时,y=32+1=10,对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.答案:甲9.为了发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解:(1)由题中图象可设y1=k1x+29,y2=k2x,把点B(30,35),C(30,15)分别代入y1,y2的解析式,得k1=,k2=.所以y1=x+29(x≥0),y2=x(x≥0).(2)令y1=y2,即x+29=x,则x=96.当x=96时,y1=y2,两种卡收费一致;当x<96时,y1>y2,使用“便民卡”便宜;当x>96时,y1<y2,使用“如意卡”便宜.10.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解:(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,未租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益为f(x)=(100-)(x-150)-×50,整理得f(x)=-+162x-21 000=-(x-4 050)2+307 050.所以当x=4 050时,f(x)最大,最大值为f(4 050)=307 050,即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307 050元.。
3.2.2 函数模型的应用实例
m≠0
a≠0，n≠1
首页
上一页
下一页
末页
[小试身手]
结束
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．
(√ )
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调
性．
(√ )
首页
上一页
下一页
末页
结束
2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费
首页
上一页
下一页
末页
结束
分段函数模型
[例2] 某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水 量不超过4吨时，每吨1.80元；当每户每月用水量超过4吨 时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已 知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．
(1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙 两户该月的用水量和水费．
为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普
通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数
关系式为
()
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
的函数关系式，可得 0＝5log210，解得 Q ＝10，即燕子静止 时的耗氧量是 10 个单位． (2)将 Q ＝80 代入题中给出的函数关系式，得 v＝5log28100＝ 5log28＝15，即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的 飞行速度为 15 m/s.
人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
课件5：3.2.2 函数模型的应用实例
图 3－2－8
【解】 OB 所在的直线方程为 y＝ 3x.当 x∈(0,1]时，由 x ＝t，求得 y＝ 3t，所以 f(t)＝ 23t2；
当 t∈(1,2]时，f(t)＝ 3－ 23(2－t)2； 当 t∈(2，＋∞)时，f(t)＝ 3，
23t2，t∈0，1]，
∴f(t)＝
3－ 232－t2，t∈1，2]，
3，t∈2，＋∞.
指数(对数)型函数建模问题
例 3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的 游速为 v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中发现 v 与 log31Q00成正比，且当 Q＝900 时，v＝1.
24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.40； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40， 得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
【自主解答】 (1)设 y＝kx＋b(k≠0)， ∵x＝8 时，y＝400；x＝10 时，y＝320. ∴430200＝ ＝810k＋k＋b， b， 解之得kb＝＝－72400，， ∴y 关于 x 的函数关系式为 y＝－40x＋720(x>0)． (2)该班学生买饮料每年总费用为 51×120＝6 120(元)． 当 y＝380 时，380＝－40x＋720，得 x＝8.5， 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380×8.5＋ 228＝3 458(元)， 所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．
3.2.2函数模型应用实例
60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口 的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
3.2.2 函数模型的应用实例训练
3.2.2函数模型的应用实例一、基础达标1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为()答案 C解析由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．2．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是() A．5.00元B．6.00元C．7.00元D．8.00元答案 C解析由题意可知，当x＝1 200时，y＝7.00元．3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为() A．30 B．40C．50 D．60答案 C解析 设安排生产x 台，则获得利润 f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x ＜A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是 ( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16. 5．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋1102，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有 ( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30答案 A解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，则y ＝xQ －P ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋xb －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x ＞0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.∴⎩⎨⎧－a －52⎝⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝－30.6．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好． 答案 甲解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．7．武汉市的一家报摊主从报社买进《武汉晚报》的价格是每份0.40元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 解 设报摊主每天买进报纸x 份，每月利润为y 元(x 为正整数)． 当x ≤250时，y ＝0.1×30×x ＝3x . 当250≤x ≤400时，y ＝0.1×20×x ＋0.1×10×250－(x －250)×0.32×10 ＝2x ＋250－3.2x ＋800 ＝1 050－1.2x . 当x ≥400时，y ＝0.1×20×400＋0.1×10×250－(x －400)×0.32×20－(x －250)×0.32×10 ＝800＋250－6.4x ＋2 560－3.2x ＋800 ＝－9.6x ＋4 410.当x ≤250时，取x ＝250，y max ＝3×250＝750(元)． 当250≤x ≤400时，取x ＝250，y max ＝750(元)． 当x ≥400时，取x ＝400，y max ＝570(元)．故他应该每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．二、能力提升8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50答案 C解析 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1， ∴827＝(e －k)t 1＝⎝⎛⎭⎪⎫49t 150， ∴t 150＝32，t 1＝75. 9．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)． 答案 36.72解析 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59144(lg 5－2lg 3)＝36.72.10．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系y ＝a t ，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．答案①②解析由图象知，t＝2时，y＝4，∴a2＝4，故a＝2，①正确．当t＝5时，y＝25＝32＞30，②正确，当y＝4时，由4＝2t1知t1＝2，当y＝12时，由12＝2t2知t2＝log212＝2＋log23.t2－t1＝log23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．11．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．根据甲提供的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如下图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额．(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L ，则由题设得： L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000.①由销量图易得：Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20＜P ≤26，代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600，14≤P ≤20，(－32P ＋40)(P －14)×100－5 600，20＜P ≤26，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450(元)， 此时P ＝19.5(元)；当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503(元)，此时P ＝613(元)．故当P ＝19.5(元)时，月利润余额最大，为450元． (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫． 三、探究与创新12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12th ，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多少时间？ 解 由题意知40－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ， 即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h . 解之，得h ＝10.故T －24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10. 当T ＝35时，代入上式，得 35－24＝(88－24)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10， 即⎝⎛⎭⎪⎫12t 10＝1164.两边取对数，用计算器求得t ≈25. 因此，约需要25 min ，可降温到35℃.13．(2014·成都高一期末)今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：小时)间的关系为P (t )＝P 0e －kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物． (1)求常数k 的值；(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11.) 解 (1)由已知，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝90%P 0. 于是有90%P 0＝P 0e －5t .解得k ＝－15ln 0.9(或0.022)．(2)由(1)得，知P ＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎫15ln 0.9t . 当P ＝40%P 0时，有0.4P 0＝P 0e ⎝ ⎛⎭⎪⎫15t . 解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×(－0.11)＝4.600.11≈41.82.故污染物减少到40%至少需要42小时．。
3.2.2_函数模型的应用举例(1)
当 100<x≤500 时，P＝60－0.02(x－100)， 所以 P＝f(x)＝62－5x0， 100<x≤500， (x∈N*)．
(6 分)
(2)设销售商一次订购量为 x 件时，工厂获得的利润为 L 元则，
返回
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不 知投资A、B两种商品各多少才最合算．请你帮助制定一个 资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的 方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两 个有效数字)
[思路点拨] 先画出投资额与获利的图像，再选择函数 模型．
返回
[精解详析] 设投资额为x万元时， 获得的利润为y万元．在直角坐标系中 画出散点图并依次连接各点，如图所示， 观察散点图可知图像接近直线和抛物线， 因此可考虑用二次函数描述投资A种商品的利润y万元 与投资额x万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B种商品的利润y万元与投资额x万元之间的函数关系．
解析：(1)由图象可知，当 t≤3 时，电话费都是 3.6 元． (2)由图象可知，当 t＝5 时，y＝6，需付电话费 6 元． (3)当 t≥3 时，y 关于 x 的图象是一条直线，且经过(3,3.6) 和(5,6)两点，故设函数关系式为 y＝kt＋b， 则35kk＋＋bb＝＝36.，6， 解得kb＝＝10..2， 故 y 关于 t 的函数关系式为 y＝1.2t(t≥3)
1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电 话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分 钟)之间的函数关系图象，根据图象填空： (1)通话2分钟，需要付电话费__________元； (2)通话5分钟，需要付电话费________元； (3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函 数关系式为____________．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2.2 函数模型的应用实例
三维教学目标
知识与能力：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。
过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。
情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。
教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。
教学难点：将实际问题转变为数学模型。
学习过程
一、复习提问
我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？
二、新课
例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th 的函数解析式，并作出檅应的图像。
解：(1)阴影部分面积为：
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36
阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为
360km 。
（2）根据图有：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s
画出它的函数图像。
在解决实际问题过程中，函数图像
能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力。
本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。
例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可 以为有效控制人口增长依据。
早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状 态下的人口增长模型：y ＝rt e y 0，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数， r 表示人口的年平均增长率。
表3－8是1950――1959年我国的人口数据资料
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001） 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型 与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表3－8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
分析：分别求出1950到1959年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从 口增长模型y=55196e 0.0221t ，作出原数据的散点图，作出模型的函数图像，可以看出 这个模型与数据是否吻合，用Excel 电子表格作出图像展示给学生看。
第二问中，13 亿是130000万人，将y ＝130000代入所求出的函数模型，即可用计算器算出大约要在 39年后达到13亿人口。
例5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进 价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/ 元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的 基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，在此情况下的日均销售量为：
480－40（x －1）＝520－40x （桶）
由于x ＞0，所且520－40x ＞0，即0＜x ＜13
y ＝（520－40x ）x －200＝－40x 2＋520x －200， 0＜x ＜13
由二次函数的性质，易知，当x ＝6.5时，y 有最大值。
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重ykg 与身高xcm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么 这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在我校男生的体重是否正常？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可 考虑用y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 关系的函数模型。
不妨取其中的两组数据（70，7.90），（160,47.25）代入y ＝a ·b x 得：
⎪⎩⎪⎨⎧∙=∙=1607025.479.7b
a b a ，用计算器解得：⎩⎨⎧≈≈02.12b a 这样，我们就得到一函数模型：x y 02.12⨯=
将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数的图像，可以发现，这个函数模型 与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高 的关系。
（2）将x ＝175代入x
y 02.12⨯=，得： 17502.12⨯=y ≈63.98
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖。
课后作业：。