小专题 由两直线的位置关系求一次函数的解析式

小专题 由两直线的位置关系求一次函数的解析
式
——教材P91例2、P92例3引发的思考与探究
思考1 直线的平移
(1)将直线y ＝kx ＋b 向不同方向平移m 个单位长度： ①直线y ＝kx ＋b ――→向上平移m （m ＞0）个单位长度
直线y
＝ ；
②直线y ＝kx ＋b ――→向下平移m （m ＞0）个单位长度直线y
＝ ；
③直线y ＝kx ＋b ――→向左平移m （m ＞0）个单位长度直线y
＝ ；
④直线y ＝kx ＋b ――→向右平移m （m ＞0）个单位长度直线y
＝ ．
(2)简记为“上加下减，左加右减”，上下平移给整体加减，左右平移只给x 加减．
(3)直线y ＝k 1x ＋b 1和直线y ＝k 2x ＋b 2平行⇔k 1 k 2，且b 1 b 2.
1．(1)将直线y ＝2x －1沿y 轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为 ；
(2)将直线y ＝－x －1沿x 轴向右平移1个单位长度，则平移后的直线解析式为 ；
(3)将直线y ＝3x ＋2向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到直线y ＝kx ＋b ，则直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标是 ．
2．(1)若直线y ＝2x ＋3向下平移后经过点(5，1)，则平移后的直线解析式为 ；
(2)若直线y ＝kx ＋3(k ≠0)向左平移4个单位长度后经过原点，则k ＝ ．
思考2 直线关于x 轴或y 轴对称
3．(1)求直线y ＝－2x ＋4关于x 轴对称的直线解析式，关于y 轴对称的直线解析式．
(2)试猜想直线y ＝kx ＋b 关于x 轴对称和关于y 轴对称的直线的解析式．
思考3 两直线互相垂直 教材P92例3的图象如图所示．
4．(1)猜想：这两条直线有何位置关系？并证明．
(2)归纳：已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝ ．
(3)应用：
①已知直线y ＝4x ＋1与直线y ＝kx －1垂直，求k 的值．
②若直线l 经过点A(－2，－5)，且与直线y ＝－
1
3x ＋3垂直，求直线l 的解析式．
答案
思考1 直线的平移 1．(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝－x ； (3)(0，4)． 2．(1)y ＝2x －9； (2)－34
．
思考2 直线关于x 轴或y 轴对称 3．
解：(1)直线y ＝－2x ＋4与x 轴的交点坐标为(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，4)．
设关于x 轴对称的直线解析式为y ＝mx ＋n ，则该直线经过点(2，0)，(0，－4)，
∴直线解析式为y ＝2x －4.
设关于y 轴对称的直线解析式为y ＝sx ＋t ，则该直线经过点(－2，0)，(0，4)，
∴直线解析式为y ＝2x ＋4.
(2)直线y ＝kx ＋b 关于x 轴对称的直线解析式为y ＝－kx －b ，关于y 轴对称的直线解析式为y ＝－kx ＋b.
思考3 两直线互相垂直 4．(1)
解：两条直线互相垂直．
证明：∵直线y ＝－0.5x ＋1与y ＝2x －1相交于点C ，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧y ＝－0.5x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4
5，y ＝35. ∴C(45，3
5
)．
过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.
∴AD ＝1－35＝25，BD ＝1＋35＝85，CD ＝4
5
.
∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝45，BC 2＝BD 2＋CD 2＝165，AB 2
＝4.
∵AC 2
＋BC 2
＝AB 2
， ∴∠ACB ＝90°，AC ⊥BC ， 即两条直线互相垂直．
(2)归纳：已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1．
(3)应用：
①已知直线y ＝4x ＋1与直线y ＝kx －1垂直，求k 的值．
②若直线l 经过点A(－2，－5)，且与直线y ＝－
1
3x ＋3垂直，求直线l 的解析式．
解：①∵直线y ＝4x ＋1与直线y ＝kx －1垂直， ∴4k ＝－1.∴k ＝－1
4
.
②∵直线l 与直线y ＝－1
3x ＋3垂直，
∴设直线l 的解析式为y ＝3x ＋b. 将A(－2，－5)代入，得 －5＝3×(－2)＋b ，解得b ＝1， ∴直线l 的解析式为y ＝3x ＋1.。