求函数fx的解析式
二次函数图像与性质
课堂互动讲练
例3 解题示范本题满分12分 已知二次函数fx＝ax2＋bxa;b为常
数;且a≠0满足条件：f－x＋5＝fx－3; 且方程fx＝x有等根．
1求fx的解析式； 2是否存在实数m;nm＜n;使fx的 定义域和值域分别为m;n和3m;3n？如 果存在;求出m;n的值；如果不存在;说 明理由．
课堂互动讲练
t2－2t－7，t<1，
பைடு நூலகம்
从而 g(t)＝－8，1≤t≤2， t2－4t－4，t>2.
2gt的图象如图所示． gt的最小值为－8.
课堂互动讲练
规律小结 二次函数区间最值主 要有三种类型：轴定区间定;轴定区间 动和轴动区间定．
一般来说;讨论二次函数在闭区间 上的最值;主要是看区间是落在二次函 数的哪一个单调区间上;从而应用单调 性求最值．
第4课时 二次函数
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
1一般式：fx＝ ax2＋bx＋ca≠；0 2顶点式：fx＝ax－h2＋ka≠0;h;k是顶 点； 3标根式或因式分解式：fx＝ax－x1x －x2a≠0；其中x1;x2分别是fx＝0的两实 根．
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
规律方法总结
1．二次函数fx＝ax2＋bx＋ca＞0 在区间m;n上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
规律方法总结
当 m≤－2ba≤n 时，最小值为 f(－2ba)＝ 4ac4－a b2，最大值为 f(m)或 f(n)(m，n 与－2ba 较远的一个为最大)．
课堂互动讲练
考点三 二次函数的综合问题
二次函数常和二次方程、二次 不等式结合在一起．
fx的解析式公式
fx是一个函数的符号，表示它是一个具体的函数。
其解析式公式取决于具体的函数是什么。
如果您有具体的函数，我可以告诉您它的解析式公式。
如果您有一个特定的函数，例如f(x) = x^2 + 3x + 1，那么它的解析式公式是f(x) = x^2 + 3x + 1。
这是一个二次函数，可以用来描述二次函数的形式。
其他函数也有自己的解析式公式，如指数函数f(x) = 2^x 或三角函数f(x) = sin(x)。
请注意，每种函数都有其自己的特殊解析式公式，并且在不同的场景中使用。
另外，在许多情况下，函数f(x) 没有解析式公式，因为它可能不能被数学公式表示。
在这种情况下，我们可以使用数值方法来近似函数值。
例如，在机器学习中，我们可以使用深度学习网络来拟合复杂的函数，而无需知道其解析式。
总之，fx的解析式公式取决于具体的函数，如果给定函数没有解析式，可能需要使用数值方法来近似函数的值。
另外,对于复合函数f(g(x)) 也可以使用解析式公式来表示, 其中g(x)是一个具体的函数.
如f(g(x))=sin(g(x)), g(x)=x^2+3x+1, 那么f(g(x))=sin(x^2+3x+1) 就是这个复合函数的解析式公式.
总结：fx的解析式公式是一种用数学公式表示函数的方
法，对于每种函数都有其自己的特殊解析式公式，但是并不是所有函数都有解析式公式，在这种情况下可能需要使用数值方法来近似函数的值。
求函数fx的解析式
例二：已知
f
(x
1) x
x2
1 x2
(x
0)
，求f(x)的解析式
解： f (x 1) (x 1)2 2
x
x
，
x
1 x
2
f (x) x2 2 (x 2)
练习：
1、已知f (x 1) x2 4x,解方程f (x 1) 0.
2、已知f (x 1) x2 1,求f (x)的解析式 3、设f (x) 2x2 3x 1, g(x 1) f (x),求gቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)及f [g(2)]
________. 解析：设反比例函数
f(x)＝kx(k≠0)，
则 f(3)＝k3＝－6，解得 k＝－18.
∴f(x)＝－1x8. 答案：－1x8
练习：
1、已知函数f (x)是一次函数，且满足关系3 f (x 1) 2 f (x 1) 2x 17, 求f (x)的解析式
2、求一个一次函数f (x),使得f { f [ f (x)]} 8x 7，
且f (0) 1， 求 f (x).
解： 令x y得
f (0) f (x) 2x2 x2 x
f (x) x2 x 1
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来； (3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来．
解：令 t x 1，则 t 1 x (t 1)2
f ( x 1) x 2 x ， f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1, f (x) x 2 1 (x 1)
求函数f(x)的解析式
解：令
t x 1, 则x t 1
2
f t f x 1 t 1 2 t 1 2 t 1
2
f x x 1 2 2 y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
2
练习：
x x
2
x
1 2 x
f ( x) x 2 ( x 2)
练习：
1、已知f ( x 1) x 2 4x, 解方程f ( x 1) 0.
2、已知 f ( x 1) x 2 1, 求f ( x)的解析式 3、设 f ( x) 2 x 2 3 x 1, g ( x 1) f ( x), 求g ( x)及f [ g (2)]
f[f(－3)]＝f(0)＝1，
f{f[f(－3)]}＝f(1)＝12＝1.
7． 设函数 A．15
2 x ， f(x)＝ x－1，
x<1， 则 f[f(－4)]的值为( x≥1， B．16 D．－15
)
C．－5
解析：∵－4<1，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝ 15.
答案：A
解：设f(x)=ax+b (a≠0),则
2 a x+ab+b f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=
a 2 4 ab b 3
a 2 a 2 或 b 1 b -3
f ( x) 2x 1 或 f ( x) 2x - 3
1 消去fx ，得
六.赋值法
例１： 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 2 f ( x y) f ( x) 2 xy y y 实数x,y满足：
求函数解析式的四种方法
ʏ王 江函数的解析式是表示函数的一种方法,对于不是y =f (x )的形式,可根据题目的条件转化为该形式㊂求函数解析式的常用方法有:配凑法,换元法,待定系数法,解方程组法㊂一㊁配凑法例1 已知f 1+xx()=1+x 2x 2+1x ,则函数f (x )=㊂解:因为f 1+xx()=1+x 2+2x -2x x 2+1x =1+xx()2-1+x -x x =1+xx()2-1+xx+1,所以f (x )=x 2-x +1㊂又1+x x =1x+1ʂ1,所以函数f (x )=x 2-x +1(x ʂ1)㊂评析:由已知条件f [g (x )]=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),可得f (x )的表达式㊂二㊁换元法例2 若f (2x +1)=4x 2+4x ,则f (x )的解析式为㊂解:令2x +1=t ,t ɪR ,则x =t -12,所以f (t )=4ˑt -12()2+4ˑt -12=t 2-1,t ɪR ㊂故函数f (x )=x 2-1㊂评析:已知复合函数f [g (x )]的解析式求f (x )的解析式,可用换元法㊂例3 若f 2x 2+1()=2020x 2+1,则f (x )的解析式为㊂解:由f 2x 2+1()=2020x 2+1,可令t =2x 2+1(t ʂ0),则x 2=2-tt ,所以f (t )=4040-2020t t +1=4040-2019tt (t ʂ0)㊂故函数f (x )=4040-2019xx(x ʂ0)㊂评析:由于x ɪR ,可知2x 2+1ʂ0,所以本题换元后t ʂ0㊂三㊁待定系数法例4 已知二次函数f (x )满足f (0)=f (4),且f (x )=0的两根平方和为10,图像过点(0,3),求函数f (x )的解析式㊂解:设函数f (x )=a x 2+b x +c (a ʂ0)㊂由f (0)=f (4),可得4a +b =0㊂由图像过点(0,3),可得c =3㊂设f (x )=0的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=-b a ,x 1㊃x 2=c a,所以x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=-b a()2-2㊃c a=10,即b 2-2a c =10a2㊂由上容易解得a =1,b =-4,c =3㊂故函数f (x )=x 2-4x +3㊂评析:已知函数的类型(如一次函数㊁二次函数)求函数的解析式,可用待定系数法㊂四㊁解方程组法例5 已知函数y =f (x )满足f (x )=2f1x ()+x ,则f (x )的解析式为㊂解:由f (x )=2f 1x()+x ,将x 换成1x ,可得f 1x()=2f (x )+1x (x ʂ0)㊂由上消去f 1x(),可得f (x )=-23x -x 3㊂故函数f (x )=-x 2+23x(x ʂ0)㊂评析:已知关于f (x )与f1x()或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,然后通过解方程组求出函数f (x )的解析式㊂作者单位:安徽省宣城市工业学校(责任编辑 郭正华)5数学部分㊃知识结构与拓展高一使用 2020年9月。
求函数解析式的常用方法
求函数解析式的常用方法作者：李敏瑜李小平来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第20期若已知一个函数f（x）适合某种性质或某种关系，现在要把f（x）的解析式具体找出来，本文想就这个问题介绍一些常用解法一、换元法、配凑法这种方法适用于已知复合函数f（g（x））的解析式，求f（x）。
（此时要注意自变量的取值范围）例1.已知fx+=x2+，求f（x）.方法一（换元法）解：设x+=t，（t≥2或t≤—-2））则x+2=t2∴x2+=t2-2 ∴ f（t）=t2-2∴f（x）=x2-2（x≥2或x≤-2））方法二（配凑法）解：∵fx+=x2+=x+）2-2∴f（x）=x2-2（x≥2或x≤-2））二、解方程法这种方法就是将f（x）看作是适合某一个方程或方程组的未知元，然后把它从方程（组）中解出来。
例2.设a≠0，b≠0，a≠b.又对于一切非零的x恒满足等式：af（x）+bf=cx，试求f（x）.解：如果把af（x）+bf=cx，看作一个方程，那么在这个方程中不仅含有未知元f（x），而且也含有未知元f，所以这实际上是含有两个未知元的一个方程，因此为了求出f（x），必须另立一个方程。
这只需在上述方程中把x换成，于是得到一个新方程af+bf（x）=c，视f （x）与f为未知元而解方程组af（x）+bf？摇=cxaf？摇+bf（x）=c，即得f（x）=.三、赋值法这种方法常用于多个变量的情形，若令其中一个变量为另一个变量的函数，即可把变量的个数减少，从而达到所要求的目的。
例3.试求定义在正整数集上的函数f（x），使得f（x+y）=f（x）+f（y）+xy.f（1）=1.解：令y=1，则得f（x+1）=f（x）+x+1.在这个式子中，依次令x=1，2，3…n-1，就有f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，…f（n）=f（n-1）+n.相加这些等式，即得f（n）=f（1）+2+3+…+n=1+2+3+…+n=.这就是定义在正整数集上的函数f（x）的具体解析式。
关于y=a对称 fx的解析式
关于y=a对称 fx的解析式一、概述在数学中，对称是一个重要的概念，它在几何、代数等不同领域都有广泛的应用。
而在函数的研究中，对称函数也是一个重要的研究对象。
在此，我们将关注于y=a对称的函数fx的解析式的推导和性质研究。
二、y=a对称的函数 fx的概念和性质1. 定义：y=a对称的函数fx是指对于任意x，当有fx=y时，也有fx=(-y+a)。
即在图像上关于直线y=a对称。
2. 性质： y=a对称的函数fx具有以下一些性质：（1）对称轴：直线y=a是y=a对称函数fx的对称轴，即如果有点（x,y）属于函数fx的图像，那么点（x,2a-y）也属于函数fx的图像。
（2）奇偶性：y=a对称的函数fx的奇偶性与a无关，因为对称轴不变。
即如果fx是偶函数，则当x属于定义域时，也有(-x,fx)属于fx的图像；如果fx是奇函数，则当x属于定义域时，也有(-x,a-fx)属于fx的图像。
（3）图像性质：如果函数fx的图像关于y=a对称，那么函数fx的图像也关于y=-a对称。
三、y=a对称的函数 fx的解析式推导1. 对称函数的一般形式：假设函数fx是关于直线y=a对称的函数，则可以设函数fx的解析式为y=f(x)。
那么由对称函数的性质可知，对于任意x，有f(x)=f(2a-x)。
2. 推导：通过上述函数的一般形式，可以得到y=a对称的函数fx的解析式推导公式为f(x)=f(2a-x)。
3. 实例：对于函数f(x)=x^2-2x+3，我们可以验证其是否对称于直线y=1。
我们有f(x)=x^2-2x+3，而f(2*1-x)=f(2-x)=(-x+1)^2-2*(-x+1)+3=x^2-2x+3。
f(x)的图像关于y=1对称。
四、y=a对称的函数 fx的实例分析以下通过实例对y=a对称的函数fx的解析式进行分析。
1. 实例一：函数f(x)=x^3-3x+2由上述推导公式f(x)=f(2a-x)，我们有f(x)=x^3-3x+2，则f(2-a-x)=(2-a-x)^3-3*(2-a-x)+2=8-a^3-6x+3a^2+6x-3a+x-2=8-a^3-2+3a^2-x。
求函数fx的解析式
解：令 t x 1，则 t 1 x(t 1)2
Q f( x1)x2 x ， f(t) (t 1 )2 2 (t 1 ) t2 1 , f(x)x21 (x 1)
f(x 1 ) (x 1 )2 1 x 2 2 x(x 0)
b
6
例二：f(x1)x22x2，求f(x)及
解：令 tx1,则 xf( x+t3)1
且f (0)1，求 f ( x).
解： 令xy得
f(0)f(x)2x2x2x
f(x)x2x1
b
17
b
18
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来； (3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来．
3
ff((3fxx(x11)))f((xtf)(t1)4)2 t(3t1113)2 1
4( x 1)
f (x)
3
3b
8
三、【配凑法（整体代换法）】
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
例二：已知
f(x1)x2 x
ft fx 1 t 1 2 2 t 1 2 t2 1
f xx21 y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
b
7
练习：
1、若 f(3x1)4x3,求f(x)的解析式 2、已f(知 x1)x21,求f(x)的解析式
12、、解：令令t t x3x 1,1则 , 则xx tt11
b
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解：设f(x)=ax+b (a≠0),则
f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b= a2 x+ab+bLeabharlann a2 4 ab b 3
a b
12或ba
2 -3
f (x) 2x 1 或 f (x) 2x - 3
例二：已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，则函数f(x)＝
解：令 t x 1，则 t 1 x (t 1)2
f ( x 1) x 2 x ， f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1, f (x) x 2 1 (x 1)
f (x 1) (x 1)2 1 x2 2x (x 0)
例二：f (x 1) x2 2x 2，求f(x)及
1、解2：、f (解x 1：) f(x(x1)2 1)2x1(x(x 11))22 22(xx1) 3
f f
( (
xx)1()xx2 ( x21x)12)
3
2
22((xx
1)
1)3
02
解得，x1f(2x,)x2 x22 2x 2
四、【待定系数法】
已知函数模型（如：一次函数，二次函数,反比例函数等） 求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系 数。
故f(x)的解析式为f(x)＝a－b 1x.
(2)在原式中用1x替换x，得f1x－2f(x)＝3x＋2，
于是有ff1xx－－22ff1xx＝＝33x＋x＋22，. f(x)＝－x－2x－2.
消去f1x，得
六.赋值法
例１： 已知定义在R上的函数f(x)，对任意 实数x,y满足：f (x y) f (x) 2xy y2 y
求f (x)的解析式。
1、解：2设、f (解x)： a设x f
b((xa)0a),x则f
b(a
(x 1)
0),则
a(x 1)
b,
f
(
x
1)
a(
x
1)
b,
3 f (x f1{) f [2ff ((xx)]}1) 3f[{a(fx[a1x) bb]]}2[af(x{a1()axb] b) b}
ax 5a ab[a(2axx1b7) b] b a3x a2b ab b 8x 7
且f (0) 1， 求 f (x).
解： 令x y得
f (0) f (x) 2x2 x2 x
f (x) x2 x 1
作函数图象的三个步骤： (1)列表，先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与 这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来； (2)描点，把表中一系列的点(x，f(x))在坐标平面上描出来； (3)连线，用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来．
例二：已知
f
(x
1) x
x2
1 x2
(x
0)
，求f(x)的解析式
解： f (x 1) (x 1)2 2
x
x
，
x
1 x
2
f (x) x2 2 (x 2)
练习：
1、已知f (x 1) x2 4x,解方程f (x 1) 0.
2、已知f (x 1) x2 1,求f (x)的解析式 3、设f (x) 2x2 3x 1, g(x 1) f (x),求g(x)及f [g(2)]
a b 故f (
x)
72 2xaa327b8ab
b
7则ba
2 1
故f (x) 2x 1
五.方程组法
已知的式子中含有f(x)，f（1x）或f(x)， f(－x)形式的函数，求f(x)的解析式．
解决此类问题1x的方法为“方程组 法”，即用－x替换x1 x，或用替换x，组 成方程组进行求解．
例 1 (1)已知 af(x)＋f(－x)＝bx，其中 a≠±1，求 f(x)； (2)已知 f(x)－2f1x＝3x＋2，求 f(x)． 解析：(1)在原式中以－x替换x，得 af(－x)＋f(x)＝－bx， 于是得aaffx－＋xf＋－fxx＝＝－bx，bx. 消去f(－x)，得f(x)＝a－bx1.
解：令 t x 1,则xf(x+3t)1
f t f x 1 t 12 2t 1 2 t2 1
f x x2 1 y f x 3 (x 3)2 1 x2 6x 10
练习：
1、若f (3x 1) 4x 3,求f (x)的解析式。 2、已知f (x 1) x2 1,求f (x)的解析式。
12、、解令：t令t x3x1,1则 ,则xx tt11
3
ff ((3fxx(x11)))f((xtf)(t1)4)2 t(3t1113)2 1
f (x) 4(x 1) 3 3
三、【配凑法（整体代换法）】
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含 有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
求函数解析式的题型有：
一、已知f(x)求f[g(x)]：代入法
二、已知f[g(x)]求f(x) ：换元法、配凑法； 三、换元法与代入法的综合 四、已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 五、解方程组法 六、赋值法
二、【换元法】
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式， 一般的可用换元法，具体为：令 t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解 析式。换元后要确定新元t的取值 范围。
例一：已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式． 解：设x＋1＝t，则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
三、【换元法与代入法的综合】
例一： 已 f ( x 1) x 2 x ，求 f (x 1) 知
[例 1] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝x2＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [ 思 路 点 拨 ] 列表 → 描点 → 用平滑的线连成图象 → 观察图象求值域
________. 解析：设反比例函数
f(x)＝kx(k≠0)，
则 f(3)＝k3＝－6，解得 k＝－18.
∴f(x)＝－1x8. 答案：－1x8
练习：
1、已知函数f (x)是一次函数，且满足关系3 f (x 1) 2 f (x 1) 2x 17, 求f (x)的解析式
2、求一个一次函数f (x),使得f { f [ f (x)]} 8x 7，