五种常见确定函数解析式的方法
五种类型一次函数解析式的确定
五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式是研究一次函数的重要内容。
下面对确定一次函数的解析式的题型进行归纳，供同学们参考。
一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式。
例如，若函数y=3x+b经过点（2，-6），则可以将点的坐标代入解析式中，解出b的值，从而确定函数的解析式为y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式。
例如，对于直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），可以将点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，建立一个关于k的一元一次方程，解出k的值，再代入解析式中求出b的值，从而确定函数的解析式为y=-3x+13.三、根据函数的图像，确定函数的解析式。
例如，对于表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系的图形，因为图像是直线，可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数。
设一次函数的表达式为y=kx+b，代入图像经过的两个点的坐标，解出k和b的值，从而确定函数的解析式为y=-5x+40.同时，自变量x的取值范围为x≥0且x≤8.所以，A点的坐标为（m，-3m+7）。
对称点的坐标为（-m，-3m+7）。
因为对称点在直线y=kx+b上，所以有：-3m+7=-km+b。
又因为对称点关于y轴对称，所以有：-3m+7=3m+b。
解得：k=3，b=7.综上所述，直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称时，k=3，b=7.将文章中的格式错误删除，改写每段话：解法1：由于直线y=kx+b与直线y=-3x+7关于x轴对称，因此它们上面的点关于x轴对称。
设点P(x,y)在直线y=kx+b上，则其对称点P’(x,-y)在直线y=-3x+7上。
因此有y=-y-6x+7，即y= -3x+7/2.将其与y=kx+b比较，得到k=-3，b=7/2.解法2：将n=b，m=-a代入y=3n-m+7中，得到b=3a+7，即y=3x+7.这条直线与y=kx+b相同，因此k=3，b=7.解法3：由于y=kx+b，因此x=(y-b)/k。
求函数解析式的五种方法及其例子
求函数解析式的五种方法及其例子在数学领域中，求解函数解析式是一项重要的任务。
本文将介绍五种常用的方法来求解函数解析式，并通过例子来展示其应用。
1. 数列法：该方法适用于已知函数的输出序列，并希望找到一个函数解析式来描述它。
通过观察函数输出值之间的规律，可以尝试找到相应的数学模式。
例如，若某函数的输出序列为1，4，9，16，25，...，我们可以观察到这是个平方数序列，因此函数解析式为f(x) = x^2。
2. 经验法：该方法适用于已知函数的输入和输出值，但不清楚具体的数学关系。
通过绘制出函数的散点图，可以尝试通过经验找到适合的函数类型。
例如，若某函数的输入和输出值如下表所示：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|| y | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |我们可以观察到y值递增2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x + 1。
3. 代数法：该方法适用于通过已知函数的性质和结构来推导函数解析式。
例如，若需要求解一个线性函数，已知它通过点(1, 3)和(2, 5)，可以使用直线的斜率公式来得到函数解析式。
根据两点之间的斜率公式，我们可以得到函数解析式f(x) = 2x + 1。
4. 差分法：该方法适用于已知函数的差分序列，即函数输出值之间的差异。
通过观察差分序列之间的规律，可以尝试找到函数的解析式。
例如，若某函数的输出值差分序列为1, 3, 5, 7，我们可以观察到差分序列的差值为2，因此猜测函数解析式为f(x) = 2x。
5. 推理法：该方法适用于已知函数的一些特殊性质或限制条件。
通过寻找函数性质和限制条件的推理，可以得到函数解析式。
例如，若某函数是一个偶函数且通过原点(0, 0)，我们知道偶函数具有对称性，并且f(0) = 0。
因此，猜测函数解析式为f(x) = ax^2。
通过以上五种方法中的一种或多种方法，我们可以在求解函数解析式时获得准确的结果。
高中数学-求函数解析式的六种常用方法
求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解： 设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ， 有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。
求函数解析式的基本方法
求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。
本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。
例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。
解：因为)1x (1x )x (f ,11x ,1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以二、换元法已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。
例2. 同例1。
解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则，所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=，所以)1x (1x )x (f 2≥-=。
评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。
三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。
解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ①1x )x (f 2)x (f +-=-+∴② ②①-⨯2得1x 3)x (f 3+=， 所以31x )x (f +=。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。
解：令x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得，所以0)0(f =，所以)R x (x x )x (f 2∈+=五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
确定一次函数解析式的五种方法
五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。
下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。
一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。
函数的解析式就确定出来了。
解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。
分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。
解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。
三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。
解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。
2021年新高考数学解题技巧：第05招 函数解析式的求法
第 1 页 共 6 页 2021年新高考数学解题技巧：第05招 函数解析式的求法
【知识要点】
一、求函数的解析式的主要方法有以下五种：
1、待定系数法：如果已知函数解析式的类型（函数是二次函数、指数函数和对数函数等）时，可以用待定系数法.
2、代入法：如果已知原函数)(x f 的解析式，求复合函数)]([x g f 的解析式时，可以用代入法.
3、换元法：如果已知复合函数)]([x g f 的解析式，求原函数)(x f 的解析式时，可以用换元法.换元时，注意新“元”的范围.
4、解方程组法：如果已知抽象函数满足的关系式中有互为相反的自变量或互为倒数的自变量时，可以用解方程组的方法.
5、实际问题法：在实际问题中，根据函数的意义求出函数的解析式.
【方法讲评】
【例1】已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x .
【点评】（1）本题由于已知函数的类型是一次函数，所以可以利用待定系数法求函数的解析式.（2）由于3(1)2(1)217f x f x x +--=+对于定义域内的任意一个值都成立，所以最后的 5217ax b a x ++=+实际上是一个恒等式，所以可以比较等式两边的系数分别相等列方程组.
【例2】已知函数)sin(ϕ+ω=x A y （0,||)2π
ϖφ><的图形的一个最高点为（2，2）
，由这个最高点到相邻的最低点时曲线经过（6，0），求这个函数的解析式.
【点评】(1)对于三角函数，待定系数法同样适用，关键是通过已知条件找到关于待定系数的方程 （组）.(2)对于三角函数)sin(ϕ+ω=x A y 来说，一般利用最小正周期得到ω的方程，利用最值得到A 的方程，利用最值点得到ϕ的方程.。
八年级数学下册知识梳理：五种类型一次函数解析式的确定
五种类型一次函数解析式的确定确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。
下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。
一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b的值。
函数的解析式就确定出来了。
解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b，解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12.二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式例2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求函数的表达式。
分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k的代数式分别表示b，因为b是同一个，这样建立起一个关于k的一元一次方程，这样就可以把k的值求出来，然后，就转化成例1的问题了。
解：因为，直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k，所以，4-3k=7-2k，解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b，把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。
三、根据函数的图像，确定函数的解析式例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系．求油箱里所剩油y（升）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x的取值范围。
分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。
解：因为，函数的图像是直线，所以，油箱里所剩油y（升）是行驶时间x（小时）的一次函数，设：一次函数的表达式为：y=kx+b，因为，图像经过点A（0，40），B（8，0），所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中，得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40，所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。
函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题：1、凑配法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。
（注意定义域）例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2).（2） 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3.（2） 2)1()1(2-+=+x x x x f Θ， 21≥+x x2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
（注意所换元的定义域的变化）例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f(2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x Q x x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x(2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t tt f t x t x t ）（代入已知得则 3、待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法。
应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x,则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a四、构造方程组法：已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
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阶段核心方法练
(2)设购买种子质量为 x kg，付款金额为 y 元，求 y 关于 x 的函数 解析式；
解：根据题意知，当 0≤x≤2 时，种子的价格为 5 元/kg，所以 y＝5x； 当 x＞2 时，其中有 2 kg 的种子按 5 元/kg 付款， 其余的(x－2)kg 种子按 4 元/kg(即八折)付款． 所以 y＝5×2＋4(x－2)＝4x＋2. 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y＝54xx，＋02≤，xx≤＞22，.
阶段核心方法练
3．一个一次函数的图象平行于直线 y＝－2x，且过点 A(－4，2)， 求这个函数的解析式． 解：设这个函数的解析式为 y＝kx＋b，由函数图象平行 于直线 y＝－2x 得 k＝－2， 因为图象经过点 A(－4，2)． 所以 2＝－2×(－4)＋b，解得 b＝－6. 所以这个函数的解析式为 y＝－2x－6.
人教版 八年级下
第十九章 一次函数
阶段核心方法专训 五种常见确定函数解析式的方法
阶段核心方法练
1．已知函数 y＝(k＋5)xk2－24 是关于 x 的正比例函数，则解析式 为___y_＝__1_0_x____．
阶段核心方法练
2．当 m 为何值时，函数 y＝(m－3)xm2－8＋3m 是关于 x 的一次函 数？并求其函数解析式． 解：由题意得mm2－－38≠＝0，1，所以 m＝－3. 所以函数解析式为 y＝－6x－9.
阶段核心方法练
(3)若小张一次购买该种子花费了 30 元，求他购买种子的质量． 解：因为 30＞10，所以他一次购买种子的质量超过 2 kg. 令 30＝4x＋2，解得 x＝7. 答：他购买种子的质量是 7 kg.
阶段核心方法练
6．如图，直线 AB 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，点 A 的 纵坐标、点 B 的横坐标如图所示．
阶段核心方法练
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是正方形， 且顶点 A，B 的坐标分别为(1，2)，(5，2)．
(1)点 C 的坐标为_(_5_，__6_) ，点 D 的坐标为_(1_，__6_)_；
(2)若一次函数 y＝ax－4(a≠0)的图象经过点 C，求函数解析式； 解：一次函数 y＝ax－4(a≠0)的图象经过点 C， 将点 C(5，6)的坐标代入 y＝ax－4，得 6＝5a－4. 所以 a＝2. 所以 y＝2x－4.
(1)求直线 AB 对应的函数解析式； 解：根据题意得 A(0，2)，B(4，0)，设直线 AB 对应的函数解析 式为 y＝kx＋b，把点 A(0，2)，B(4，0)的坐标分别代入 y＝kx＋ b 得 b＝2，0＝4×k＋2，解得 k＝－12.所以直线 AB 对应Leabharlann 函数解 析式为 y＝－12x＋2.
阶段核心方法练
(3)若第(2)问中函数的图象与 x 轴交于 E 点，画出图象，并求 △OCE 的面积； 解：在 y＝2x－4 中，令 y＝0，得 x＝2，所以 E(2，0)．
画图略．S△OCE＝2×6×12＝6.
阶段核心方法练
(4)若直线 y＝kx＋b 与第(2)问中的函数图象平行且位于 B，D 两 点之间(包含 B，D 两点)，求 b 的范围．
解：由题意知，直线 y＝kx＋b 与 y＝2x－4 平行， 则 k＝2，所以 y＝2x＋b. 若直线 y＝2x＋b 过点 B(5，2)，则 2×5＋b＝2，解得 b＝－8； 若直线 y＝2x＋b 过点 D(1，6)，则 2×1＋b＝6，解得 b＝4， 所以－8≤b≤4.
阶段核心方法练
5．“黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/kg.如果一次购买 2 kg 以 上的种子，超过 2 kg 部分的种子的价格打八折．
阶段核心方法练
(2)点 P 在直线 AB 上，是否存在点 P，使得△AOP 的面积为 1， 如果存在，求出所有满足条件的点 P 的坐标．
解：存在点 P 使得△AOP 的面积为 1. 设点 P 的横坐标为 a，根据题意得 S△AOP＝12OA·|a|＝|a|＝1， 解得 a＝1 或 a＝－1，则点 P 的坐标为(1，1.5)或(－1，2.5)．