确定函数表达式
确定二次的函数的表达式
确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值； 步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。
(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。
例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。
例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（ ）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。
如何求解三角函数中的面积最值问题
如何求解三角函数中的面积最值问题
三角函数中的面积最值问题是数学中的一个经典问题，可以通过求解函数的导数来找到最值点。
以下是一个简单的步骤来解决这个问题：
1. 确定函数表达式：首先确定你要研究的三角函数，比如正弦函数、余弦函数或者其他函数。
2. 求导：对函数进行求导，得到函数的导数。
3. 解方程：将导数等于零，然后解方程来找到导数的零点或者驻点。
4. 求最值：对于找到的驻点，将其带入原函数，计算得到对应的面积值。
5. 比较结果：比较所有驻点对应的面积值，找到最大值或最小值。
举个例子，假设我们要求解正弦函数sin(x)在区间[0, π]上的面积最大值。
按照上述步骤进行：
1. 函数表达式：该问题中，函数表达式为sin(x)。
2. 求导：对sin(x)求导得到cos(x)，即函数的导数。
3. 解方程：将cos(x)等于零，得到x=π/2，在区间[0, π]上找到导数为零的点。
4. 求最值：将x=π/2带入原函数sin(x)，计算得到面积值为1。
5. 比较结果：该区间上面积最大值为1，没有更大的值。
通过以上步骤，我们可以求解三角函数中的面积最值问题。
需要注意的是，这个方法只适用于简单的三角函数，对于复杂的函数或更复杂的问题，可能需要使用更高级的数学工具和技巧来求解。
确定二次函数的表达式(第1课时)课件
表达式 （第1课时）
学习目标
1.掌握由两点确定二次函数的表达式。
2.掌握用顶点法确定二次函数表达式。
3.掌握用交点法确定二次函数表达式。
复习回顾
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
图象特征
二次函数
y=a(x-h)2+k
开口方向
a>0
a<0
向上
向下
对称轴
顶点
直线x=h
(h,k)
1
4
1
，
4
∴这条抛物线的表达式为：y= (x-4)2-1.
归纳总结
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
自主合作，探究新知
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的
交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得 a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
1 2 x
反比例函数解题技巧
反比例函数解题技巧
反比例函数是一种特殊的函数形式，也是解题中常见的一种形式。
掌握好反比例函数的解题技巧，可以帮助我们更加高效地解题。
1. 确定函数表达式
首先，我们需要确定反比例函数的函数表达式。
反比例函数通常具有以下形式：
y = k / x
其中，k 是一个常数，x 和 y 分别表示函数的自变量和因变量。
2. 确定变量之间的关系
反比例函数中，自变量 x 和因变量 y 是互相影响的。
我们通常通过分析题目中给定的条件来确定它们之间的关系。
例如，如果题目中给定了 x 和 y 的比例关系，那么反比例函数就可以表示为：
y = k / x = (k / a) * (a / x)
其中，k / a 表示比例系数，a / x 表示比例关系。
3. 利用已知条件求解未知数
通过确定函数表达式和变量之间的关系，我们就可以利用已知条件求解未知数。
例如，如果已知函数关系式为 y = 2 / x，同时知道x = 4，则可以通过代入求解得到 y = 0.5。
另外，如果已知两个点的坐标，我们也可以通过反比例函数求解其中的未知数。
例如，如果已知反比例函数 y = 3 / x，同时知道其中两个点的坐标为 (2, 1) 和 (x, 2)，则可以通过代入求解得到 x =
6。
以上就是反比例函数解题的基本技巧，希望对大家有所帮助。
求函数表达式的六种常用方法
求函数表达式的六种常用方法本文介绍了求解函数表达式的六种常用方法，包括：
1. 代数法：通过代数运算和方程求解，确定函数的表达式。
2. 图形法：绘制函数的图像，通过观察图像的特征确定函数的
表达式。
3. 函数变换法：通过对已知函数进行平移、缩放、反转等变换，得到目标函数的表达式。
4. 插值法：通过已知点的函数值，利用插值方法找出函数的近
似表达式。
5. 微分法：通过对函数进行微分运算，得到函数的导函数表达式，进而推导出原函数的表达式。
6. 梯度下降法：通过迭代计算的方式，根据目标函数与变量的
梯度方向找到函数的最小值或最大值。
这些方法各有特点，根据实际情况选择合适的方法。
在使用这
些方法时，需要注意避免法律复杂问题，确保决策独立且不依赖外
部辅助。
同时，不要引用无法确认内容的引用资料。
以上是对求函数表达式的六种常用方法的简要介绍。
希望本文能够帮助您在求解函数表达式时找到合适的方法。
注意：本文所提供的信息仅供参考，具体使用方法请根据实际需求及相关法律规定进行决策和操作。
三法确定一次函数表达式
三法确定一次函数表达式确定一次函数表达式的方法有三种，分别是点斜式、截距式和一般式。
一、点斜式：点斜式是通过已知直线上一点的坐标和该直线的斜率来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上一点的坐标为(x1,y1)，斜率为m，则该直线的点斜式表达式为：y-y1=m(x-x1)其中，m为直线的斜率，定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
例如，已知直线上一点的坐标为(2,3)，斜率为2，则直线的点斜式为：y-3=2(x-2)二、截距式：截距式是通过已知直线在坐标轴上的截距来确定一次函数表达式的方法。
已知直线与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，则该直线的截距式表达式为：x/a+y/b=1其中，a为直线与x轴的截距，b为直线与y轴的截距。
例如，已知直线与x轴的截距为3，与y轴的截距为4，则直线的截距式为：x/3+y/4=1三、一般式：一般式是通过已知直线上两点的坐标来确定一次函数表达式的方法。
已知直线上两点的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则该直线的一般式表达式为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)为直线上的两个点的坐标。
例如，已知直线上两点的坐标分别为(2,3)和(4,7)，则直线的一般式为：(y-3)/(x-2)=(7-3)/(4-2)以上三种方法都可以用来确定一次函数表达式，选择使用哪种方法取决于已知的条件。
点斜式适用于已知斜率和一点的情况，截距式适用于已知与坐标轴的截距的情况，一般式适用于已知两点的情况。
根据实际情况选择合适的方法，可以快速准确地确定一次函数表达式。
确定函数表达式
热身练习
①已知一次函数的图象经过（2，4）， y=3x-2 。 （0，-2）两点，则表达式为__________ ②已知点A（-4，n），B（2，-4）是一次函
m 数 y kx b 和反比例函数 y 图象的 x
交点坐标，求两个函数表达式。
k 4 例4：如图直线 y 3 x 与双曲线 y x ( x 0) 4 9 交于点A，将直线 y x 向右平移 个单位后，与双 3 2 k 曲线 y ( x 0) 交于点B，与x轴交于点C，若 x y AO 2 , BC 求k的值。
M
Nxຫໍສະໝຸດ （3）中考链接： （2010年北京中考）
4 例2：如图，直线 y x 8 与x轴、y轴分别交 3 于
A、B两点.M是OB上一点，若将△ABM沿AM折 叠，点B恰好落在x轴上的点B1处,试求直线AM的 表达式.
新课讲解
3 x2 3 ， 例3：已知直线l的表达式为：y 2 （1）把l绕原点逆时针旋转90°，求所得函数表达式
y=-x-2
8 y x
15年中考要求
B. 能根据已知条件确定一次函数、反 比例函数的表达式； C. 运用轴对称、旋转等有关内容解决有 关问题；
C.运用坐标与图形运动的有关内容解决 有关问题.
新课讲解
1 y x2 例1：已知直线l的表达式为： 2 ①把l沿x轴翻折后，求所得函数表达式；
1 y x2 2 B1
(1) 试确定此反比例函数的解析式； (2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30 得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图象上， 并说明理由； (3) 已知点P(m， 3m6)也在此反比例函数的图象上( 其中m<0)，过P点作x轴的垂线，交x轴于点M。若线 段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是 1 ，设Q点 2 的纵坐标为n，求n22 3 n9的值。
五种常见确定函数表达式的方法(最新课件)
(4)若直线y＝kx＋b与第(2)问中的函数图象平行且位于B， D两点之间(包含B，D两点)，求b的范围．
解：由题意知，直线y＝kx＋b与y＝2x－4平行， 则k＝2，所以y＝2x＋b. 若直线y＝2x＋b过点B(5，2)，则2×5＋b＝2，解得b＝－8； 若直线y＝2x＋b过点D(1，6)，则2×1＋b＝6，解得b＝4， 所以－8≤b≤4.
北师版 八年级上
第四章 一次函数
五种常见确定函数表达式的方法
习题链接
提示：点击 进入习题
答案显示
1 y＝10x
5 (1)10；18
2 m＝－3； y＝－6x－9.
(2) y＝54xx， ＋02，≤xx≤＞2，2.
3 y＝－2x－6.
(3) 7 kg.
(1)(5，6)；(1，6) (2)y＝2x－4. 4 (3) 画图略．S△OCE＝2×6×12＝6.
6
(1) y＝－21x＋2. (2) (1，1.5)
(4)－8≤b≤4.
或(－1，2.5)．
1．已知函数y＝(k＋5)xk2－24是关于x的正比例函数，则表 达式为___y_＝__1_0_x____．
2．当m为何值时，函数y＝(m－3)xm2－8＋3m是关于x的一 次函数？并求其函数表达式．
解：由题意得mm2－－38≠＝0，1，所以 m＝－3. 所以函数表达式为 y＝－6x－9.
3．一个一次函数的图象平行于直线y＝－2x，且过点A(－4， 2)，求这个函数的表达式．
解：设这个函数的表达式为y＝kx＋b，由函数图象 平行于直线y＝－2x得k＝－2， 因为图象经过点A(－4，2)． 所以2＝－2×(－4)＋b，解得b＝－6. 所以这个函数的表达式为y＝－2x－6.
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方 形，且顶点A，B的坐标 分别为(1，2)，(5，2)． (1)点C的坐标为__(_5_，__6_)_， 点D的坐标为__(_1_，__6_) _； (2)若一次函数y＝ax－4(a≠0)的图象经过点C 5 元/kg， 所以 y＝5x； 当 x＞2 时，其中有 2 kg 的种子按 5 元/kg 付款， 其余的(x－2)kg 种子按 4 元/kg(即八折)付款． 所以 y＝5×2＋4(x－2)＝4x＋2. 所以 y 关于 x 的函数表达式为 y＝54xx， ＋02，≤xx≤＞2，2.
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《确定二次函数的表达式(第1课时）》教学设计说明江西省东乡区黎圩中学李智武一、学生知识状况分析学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识.以前学生已经学习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式，因此本节课学生用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难，因此，课堂教学时应鼓励学生敢于探究与实践，通过小组合作交流等形式，充分调动学生自主学习积极性和培养学生主动发展的习惯和能力.在学生自主学习时，要注意引导学生灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.二、教学任务分析本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时. 本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课的教学目标知识与技能：能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.过程与方法：经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.情感、态度与价值观：能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.学习重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.学习难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节 复习引入1.二次函数表达式的一般形式是什么?y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0) 2.二次函数表达式的顶点式是什么?k h x a y +-=2)( (a ≠0).3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0).复习引入初步探究深入探究反馈练习 与知识拓展课时小结作业布置4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xky =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件.如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)第二环节 初步探究引例 如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)的图象，你能求出其表达式吗？分析：要求y 与x 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．此题设二次函数的顶点坐标式进行求解较为简便，学生较易接受；如学生通过找（10，0）在抛物线上的对称点（-2，0），用交点式)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0)求解或用其他方法求解均可.解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为3)4(2+-=x a y ,又∵图象过点（10，0）, ∴03)410(2=+-a , 解得 121-=a , ∴图象的表达式为3)4(1212+--=x y . 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？小结：确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3 个条件; 当知道顶点坐标（h,k ）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式k h x a y +-=2)(可以确定二次函数的关系式.例1 已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.分析：二次函数y=ax 2+c 中只需确定a,c 两个系数，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点代入即可.解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得⎩⎨⎧+=-+=,3,43c a c a 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.5,2c a ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5.第三环节 深入探究例 已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.目的：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数需要三个条件．但由于这个二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c =1，因此可设y=ax ²+bx+1把已知的二点代入关系式求出a,b 的值即可.教学注意事项：学生可能会根据条件，设二次函数的解析式y=ax ²+bx+c ，把点（0，1），（2，5），（-2，13）代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决.解法 1 解：因为抛物线与y 轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为12++=bx ax y ，∵图象经过点(2,5)和(-2,13)∴⎩⎨⎧=+-=++,13124,5124b a b a 解得：a=2,b=-2.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y .解法2 解：设抛物线关系式为 y=ax ²+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,1324,524,1c b a c b a c 解方程组得：a =2,b =-2，c =1.∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y 想一想在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ 小结：1.用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式. 2. 用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.如果系数a,b,c 中三个都是未知的，这个我们将在下节课中进行研究.第四环节：反馈练习与知识拓展1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.2. 已知二次函数y=x ²+bx+c 的图象经过点（1，1）与（2，3）两点.求这个二次函数的表达式.答案：1.用顶点式1)1(2++-=x y ；2.12+-=x x y ； 目的：四个练习旨在对学生求二次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求二次函数的方法．对于练习题3，设抛物线的三种表达式都可以求解，应给学生有充分的交流时间，让学生体会到这题用交点式求解更为简便.可以形对于练习题４，教师可引导学生分析，并教学生要学会建立适当的直角坐标系，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．第五环节课时小结内容：总结本课知识与方法1．本节课主要学习了怎样确定二次函数的表达式，在确定二次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出二次函数的解析式，再根据题目条件（根据图象或已知点）列出方程（组），解方程组求出待确定的系数，最后答(把求出的系数代回关系式中写出关系式).在解题时应灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.因此，用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）方程思想数形结合2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．3.学习了在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？（1）用顶点式k=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k）坐-ahxy+标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.（2）用一般式y=ax²+bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.第六环节作业布置课本习题 2.6 第1，2，3题四、教学设计反思1.设计理念本节课的重点是要学生了解用待定系数法求二次函数的表达式需要两个条件的情况，掌握用待定系数法确定二次函数表达式的步骤和方法，并能根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．2．突出重点、突破难点策略探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到二次函数就在我们身边．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求二次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，开展小组合作交流，充分调动学生自主学习的积极性和创造性，使每个学生都学有所获．3.分层教学根据本班学生及教学情况可在教学过程中还可选用拓展资源中《确定二次函数关系式的常见题型及解法》或补充练习题进行相应的补充或拓展．附：板书设计学生演算板书引例用待定系数法确定二次函数的表达式的步骤例1（设-列-解-答）。