高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件
【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习：专题一高考解答题专讲(一) 导数的综合应用-含解析
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
高考解答题专讲(一) 导数的综合应用
一、导数与函数的单调性、极值与最值问题
1．讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论．
2．对含参数的函数解析式求最值时，常常分类讨论，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，从而根据单调性求出最值．
[思维流程] (1)求f′x→讨论f′x符号→得fx单调区间
(2)条件转化为∃x使a>gx成立→研究gx的最小值→求得a的最小值
[解] (1)f′(x)＝－x2－x－ax＋12，x>－1.
当a≥14时，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
当0
专题4.4 导数的综合应用 (讲)解析版
1 / 27 专题4.4 导数的综合应用
【考纲解读与核心素养】
1. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；
（2）适度关注生活中的优化问题.
4.备考重点：
（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
（2）熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.
【知识清单】
1．利用导数研究函数的图象与性质
函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项.
2．与函数零点有关的参数范围问题
（1）方程()0fx有实根函数()yfx的图象与x轴有交点函数()yfx有零点．
（2）求极值的步骤：
①先求'()0fx的根0x（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；
②分析0x两侧导数'()fx的符号：若左侧导数负右侧导数正，则0x为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则0x为极大值点.
（3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.
2 / 27 （4）函数()yfx的零点就是()0fx的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
2021版新高考数学一轮复习高考大题专项(一)导数的综合应用新人教A版
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1高考大题专项(一)导数的综合应用
突破1导数与函数的单调性
1.
已知函数f
(x
)=1
3x3
-a
(x2
+x+
1).
(1)若a=
3,求f
(x
)的单调区间;
(2)略.
2.
已知函数f
(x
)=
ex
-ax2
.........................优质文档..........................
2(1)若a=
1,证明:当x
≥0时,f
(x
)≥1;
(2)略.
3.
已知函数f
(x
)=
(x-k
)ex
.
(1)求f
(x
)的单调区间;
(2)略.........................优质文档..........................
34.
(2019山东潍坊三模,21)已知函数f
(x
)=x2
+a
lnx-
2x
(a
∈R).
(1)求f
(x
)的单调递增区间;
(2)略.........................优质文档..........................
45.
设函数f
(x
)=
(x-
1)ex
-k
2x2
(其中k
∈R).
(1)求函数f
(x
)的单调区间;
(2)略.........................优质文档..........................
56.
(2019河北衡水同卷联考,21)已知函数f
(x
)=x2
eax
-
1.
(1)讨论函数f
(x
)的单调性;
(2)略.
突破2利用导数研究函数的极值、最值
1.
已知函数f
(x
)=
lnx-ax
(a
∈R).
(1)当a=1
2时,求f
(x
)的极值;
(2)略.........................优质文档..........................
62.
(2019河北衡水深州中学测试)讨论函数f
(x
)=
lnx-ax
(a
∈R)在定义域内的极值点的个数.........................优质文档..........................
高中数学 导数及其应用 专题3.4 导数的综合应用(讲+练)(原卷版+解析版)
专题3.4 导数的综合应用
1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；
2.会利用导数解决某些简单的实际问题。
考点一 利用导数证明不等式
【典例1】 【2019年高考天津】设函数()ecos,()xfxxgx为fx的导函数．
（Ⅰ）求fx的单调区间；
（Ⅱ）当,42x时，证明()()02fxgxx；
（Ⅲ）设nx为函数()()1uxfx在区间2,242nn内的零点，其中nN，证明20022sincseonnnxxx．
【变式1】(2019·山东师大附属中学模拟)已知函数f(x)＝1－ln xx，g(x)＝aeex＋1x－bx(e为自然对数的底数)，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.
考点二 不等式恒成立 【典例2】【2019年高考浙江】已知实数0a，设函数()=ln1,0.fxaxxx
（1）当34a时，求函数()fx的单调区间；
（2）对任意21[,)ex均有(),2xfxa 求a的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
【方法技巧】
1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围。
2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围。
【变式2】（2019·湖北黄冈中学模拟）已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R).
高考数学第一部分专题四导数的综合应用(第一课时)“导数与不等式”考法面面观理(重点生,含解析)
专题四 导数的综合应用
卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ
2018 利用导数的单调性证明不等式·T21(2) 根据函数的极值求参数、不等式的证明·T21 导数在不等式的证明、由函数的极值点求参数·T21
2017 利用导数研究函数的零点问题·T21(2) 函数的单调性、极值、零点问题、不等式的证明·T21 由不等式恒成立求参数、不等式放缩·T21
2016 函数的零点、不等式的证明·T21 函数单调性的判断、不等式的证明及值域问题·T21 函数的最值、不等式的证明·T21
纵向
把握
趋势 导数的综合问题是每年的必考内容且难度大．主要涉及函数的单调性、极值、零点、不等式的证明．预计2019年会考查用分类讨论研究函数的单调性以及函数的零点问题 导数的综合问题是每年的必考内容，涉及函数的极值、最值、单调性、零点问题及不等式的证明，且近3年均考查了不等式的证明．预计2019年仍会考查不等式的证明，同时要重点关注会讨论函数的单调性及零点问题 导数的综合问题是每年的必考内容，涉及函数的最值、零点、不等式的恒成立及不等式的证明问题，其中不等式的证明连续3年均有考查，应引起关注．预计2019年仍会考查不等式的证明，同时考查函数的最值或零点问题
横向
把握
重点 导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．
解答题的热点题型有：
(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；
(3)利用导数求解参数的范围或值.
第一课时 “导数与不等式”考法面面观
[考法一 不等式的证明问题]
题型·策略(一)| 构造函数，利用单调性证明单变量不等式
[例1] 设a为实数，函数f (x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f (x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
高考大题专项(一) 导数的综合应用
1
高考大题专项(一) 导数的综合应用
突破1 利用导数研究与不等式有关的问题
1.(2020全国1,理21)已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥12x3+1,求a的取值范围.
2.(2020山东潍坊二模,20)已知函数f(x)=1𝑥+aln x,g(x)=e𝑥𝑥.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:当a=1时,f(x)+g(x)-(1+e𝑥2)ln x>e.
2
3.已知函数f(x)=ln x+𝑎𝑥(a∈R)的图象在点1e,f(1e)处的切线斜率为-e,其中e为自然对数的底数.
(1)求实数a的值,并求f(x)的单调区间;
(2)证明:xf(x)>𝑥e𝑥.
4.(2020广东湛江一模,文21)已知函数f(x)=ln ax-bx+1,g(x)=ax-ln x,a>1.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)直线y=2x+1为函数f(x)图象的一条切线,若对任意的x1∈(0,1),x2∈[1,2]都有g(x1)>f'(x2)成立,求实数a的取值范围.
3
5.(2020山东济宁5月模拟,21)已知两个函数f(x)=e𝑥𝑥,g(x)=ln𝑥𝑥+1𝑥-1.
(1)当t>0时,求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值;
(2)求证:对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)>g(x)都成立.
6.(2020湖北武汉二月调考,理21)已知函数f(x)=(x-1)ex-kx2+2.
(1)略;
(2)若∀x∈[0,+∞),都有f(x)≥1成立,求实数k的取值范围.
4
7.(2020山东济南一模,22)已知函数f(x)=𝑎(e𝑥-𝑥-1)𝑥2,且曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率为1.
(1)求实数a的值;
(2)证明:当x>0时,f(x)>1;
(3)若数列{xn}满足e𝑥𝑛+1=f(xn),且x1=13,证明:2n|e𝑥𝑛-1|<1.
高考(理科)导数的定义,极限,几何意义应用以及导数的综合应用(以2011年高考题为例题讲解经典)
戴氏教育蜀汉路校区 老师：周老师 学生：
1 导数及其应用（理）
（一）导数
导数的基本知识点：
（一）．极限的基础知识:
1.特殊数列的极限
（1）0||1lim11||11nnqqqqq不存在或.
（2）1101100()lim()()kkkktttnttkktananaaktbnbnbbkt不存在 .
（3）111lim11nnaqaSqq（S无穷等比数列11naq (||1q)的和）.
2. 函数的极限定理
0lim()xxfxa00lim()lim()xxxxfxfxa.
3.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：
（1）()()()gxfxhx;（2）00lim(),lim()xxxxgxahxa（常数）,
则0lim()xxfxa.本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.
4.几个常用极限
（1）1lim0nn，lim0nna（||1a）；（2）00limxxxx，0011limxxxx.
5.两个重要的极限
（1）0sinlim1xxx； （2）1lim1xxex(e=2.718281845…).
6.函数极限的四则运算法则
若0lim()xxfxa，0lim()xxgxb，则
(1)0limxxfxgxab； (2)0limxxfxgxab; (3)0lim0xxfxabgxb.
7.数列极限的四则运算法则
若lim,limnnnnaabb，则
2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(知识点讲解)解析版
专题4.4 导数的综合应用（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1. 考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.考查利用导数不等式的证明、方程等，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）函数零点
1．方程()0fx有实根函数()yfx的图象与x轴有交点函数()yfx有零点．
2．函数()yfx的零点就是()0fx的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
（二）导数解决函数的零点问题
1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路
(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0.
2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤
第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号.
3.已知函数有零点求参数范围常用的方法 (1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；
(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
（三）导数证明不等式
(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x)＜g(a)转化为f (x)max＜g(a).
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
1函数性质的八大题型综合应用
题型梳理
【题型1 函数的单调性的综合应用】
【题型2 函数的最值问题】
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】
【题型4 函数的对称性的应用】
【题型5 对称性与周期性的综合应用】
【题型6 类周期函数】
【题型7 抽象函数的性质】
【题型8 函数性质的综合应用】
命题规律
从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是
高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，
解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等
函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；
对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.
知识梳理
【知识点1 函数的单调性与最值的求解方法】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增
异减”的原则.
(3)函数单调性的几条常用结论：
①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；
②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；
2③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)
为增函数，1
f(x)为减函数；
④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1
f(x)为增函数．
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
高中数学导数及其应用典型例题专题练习40题(详解版)
试卷第1页，总44页 高中数学导数及其应用典型例题专题练习40题（详解版)
一、单选题
1．函数3xfxxe 的单调递增区间是（ ）
A．,2 B．2, C．(1,4) D．(0,3)
【答案】B
【解析】
【分析】
求出函数yfx的导数，在解出不等式0fx可得出所求函数的单调递增区间.
【详解】
3xfxxe，2xfxxe，解不等式0fx，解得2x，
因此，函数3xfxxe的单调递增区间是2,，故选B.
【点睛】
本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.
2．若函数()lnmfxxx在[1,3]上为增函数，则m的取值范围为（ ）
A．[1,) B．[3,) C．(,1] D．(,3]
【答案】C
【解析】
【分析】
转化为2()0xmfxx，即mx对[1,3]x恒成立，继而得解.
【详解】
由题意函数()lnmfxxx在[1,3]上为增函数,
可知2()0xmfxx，
即mx对[1,3]x恒成立，
所以1m．
故选：C
试卷第2页，总44页 【点睛】
本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
3．设fx、gx是R上的可导函数，fx、gx分别为fx、gx的导函数，且满足0fxgxfxgx，则当axb时，有（ ）
A．fxgxfbgb B．fxgafagx
C．fxgbfbgx D．fxgxfaga
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数hxfxgx，利用导数判断出函数yhx的单调性，结合axb可得出结论.