离散数学 命题逻辑15节
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
数理逻辑部分第1章命题逻辑命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧w)∨(v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么?4.蕴涵式与蕴涵联结词“”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并规定，p q为假当且仅当p 为真q 为假.p q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p q. 称作等价联结词.并规定p q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),, , , ,同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：, , , , ，组成一个联结词集合{, , , , }，联结词的优先顺序为：, , , , ; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.命题常项命题变项命题公式及分类命题变项与合式公式命题常项：简单命题命题变项：真值不确定的陈述句定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1是合式公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B), (A B)也是合式公式(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B是n层公式；(b) A=B C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层p 1层p q 2层(p q)r 3层((p q) r)(r s) 4层公式的赋值定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定一组真值称为对A的一个赋值或解释成真赋值: 使公式为真的赋值成假赋值: 使公式为假的赋值说明：赋值=12…n之间不加标点符号，i=0或1.A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值12…n是指p1=1, p2=2, …, p n=nA中仅出现p,q, r, …, 给A赋值123…是指p=1,q=2 , r= 3 …含n个变项的公式有2n个赋值.真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q p) q p的真值表例 B = (p q) q的真值表例C= (p q) r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q p)q p，B =(p q)q，C= (p q)r等值演算等值式定义若等价式A B是重言式，则称A与B等值，记作A B，并称A B是等值式说明：定义中，A,B,均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p q) ((p q) (r r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p(q r) (p q) rp(q r) (p q) r基本等值式双重否定律 : A A等幂律：A A A, A A A交换律: A B B A, A B B A结合律: (A B)C A(B C)(A B)C A(B C)分配律: A(B C)(A B)(A C)A(B C) (A B)(A C)德·摩根律: (A B)A B(A B)A B吸收律: A(A B)A, A(A B)A零律: A11, A00同一律: A0A, A1A排中律: A A1矛盾律: A A0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A B, 则(B)(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p(q r) (p q)r证p(q r)p(q r) （蕴涵等值式，置换规则）(p q)r（结合律，置换规则）(p q)r（德摩根律，置换规则）(p q) r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p(q r) (p q) r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q(p q)解q(p q)q(p q) （蕴涵等值式）q(p q) （德摩根律）p(q q) （交换律，结合律）p0 （矛盾律）0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p q)(q p)解 (p q)(q p)(p q)(q p) （蕴涵等值式）(p q)(p q) （交换律）1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1？(3) ((p q)(p q))r)解 ((p q)(p q))r)(p(q q))r（分配律）p1r（排中律）p r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A0A为重言式当且仅当A1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) A(p1,p2,…,p n) A* (p1, p2,…, p n) (2) A(p1, p2,…, p n) A* (p1,p2,…,p n) 定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A B，则A* B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, q, p q, p q r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, q, p q, p q r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单合取式合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A 1A2Ar, 其中A1,A2,,A r是简单析取式范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p q r, p q r既是析取范式，又是合取范式(为什么?)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的, （若存在）(2) 否定联结词的内移或消去(3) 使用分配律对分配（析取范式）对分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去）p q r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p q)r解 (p q)r(p q)r（消去第一个）(p q)r（消去第二个）(p q)r（否定号内移——德摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p q)r(p r)(q r) （对分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1i n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M i 表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: m i M i , M i m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(p q r)(p q r) m1m3是主析取范式(p q r)(p q r) M1M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p q)r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p q)r(p q)r , （析取范式）①(p q)(p q)(r r)(p q r)(p q r)m 6m7,r(p p)(q q)r(p q r)(p q r)(p q r)(p q r)m 1m3m5m7③②, ③代入①并排序，得(p q)r m1m3m5m6m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p q)r(p r)(q r) , （合取范式）①p rp(q q)r(p q r)(p q r)M 0M2,②q r(p p)q r(p q r)(p q r)M 0M4③②, ③代入①并排序，得(p q)r M0M2M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p q)r m1m3m5m6m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式A的主析取范式含2n个极小项A的主合取范式为1.A为矛盾式A的主析取范式为0A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p q)(2) (s u)(3) ((q r)(q r))(4) ((r s)(r s))(5) (u(p q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p q)(s u)((q r)(q r))((r s)(r s))(u(p q))④ A (p q r s u)(p q r s u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A (p q)((q r)(q r))(s u)(u(p q)) ((r s)(r s)) （交换律) B1= (p q)((q r)(q r))((p q r)(p q r)(q r)) （分配律）B2= (s u)(u(p q))((s u)(p q s)(p q u)) （分配律）B 1B2(p q r s u)(p q r s u) (q r s u)(p q r s)(p q r u)再令B3 = ((r s)(r s))得A B1B2B3(p q r s u)(p q r s u)注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p r, r s结论：s q证明① s附加前提引入②p r前提引入③r s前提引入④p s②③假言三段论⑤p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
离散数学第一章命题逻辑知识点总结
离散数学第一章命题逻辑知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数理逻辑部分第1章命题逻辑1.1 命题符号化及联结词命题: 判断结果惟一的陈述句命题的真值: 判断的结果真值的取值: 真与假真命题: 真值为真的命题假命题: 真值为假的命题注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。
简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题简单命题符号化用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示简单命题用“1”表示真，用“0”表示假例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1联结词与复合命题1.否定式与否定联结词“⌝”定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称为p的否定式，记作⌝p. 符号⌝称作否定联结词，并规定⌝p为真当且仅当p为假.2.合取式与合取联结词“∧”定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p与q同时为真注意：描述合取式的灵活性与多样性分清简单命题与复合命题例将下列命题符号化.(1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓不仅聪明，而且用功.(3) 王晓虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则(1) p∧q(2) p∧q(3) p∧⌝q.令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生(4) r∧s.(5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .说明:(1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性.(5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是一个简单命题.3.析取式与析取联结词“∨”定义设p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例将下列命题符号化(1) 2或4是素数.(2) 2或3是素数.(3) 4或6是素数.(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.(5) 王晓红生于1975年或1976年.解令p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6是素数,则 (1), (2), (3) 均为相容或.分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s,它们的真值分别为 1, 1, 0.而 (4), (5) 为排斥或.令t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿一个梨，则 (4) 符号化为 (t∧⌝u) ∨(⌝t∧u).令v :王晓红生于1975年,w:王晓红生于1976年,则 (5) 既可符号化为 (v∧⌝w)∨(⌝v∧w), 又可符号化为v∨w , 为什么4.蕴涵式与蕴涵联结词“→”定义设p,q为二命题，复合命题“如果p,则q” 称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件. →称作蕴涵联结词，并规定，p→q为假当且仅当p 为真q 为假.p→q 的逻辑关系：q 为p 的必要条件“如果p，则q ” 的不同表述法很多：若p，就q只要p，就qp 仅当q只有q 才p除非q, 才p 或除非q, 否则非p.当p 为假时，p→q 为真常出现的错误：不分充分与必要条件5.等价式与等价联结词“↔”定义设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p↔q. ↔称作等价联结词.并规定p↔q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.说明:(1) p↔q 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件(2) p↔q为真当且仅当p与q同真或同假联结词优先级:( ),⌝, ∧, ∨, →, ↔同级按从左到右的顺序进行以上给出了5个联结词：⌝, ∧, ∨, →, ↔，组成一个联结词集合{⌝, ∧, ∨, →, ↔}，联结词的优先顺序为：⌝, ∧, ∨, →, ↔; 如果出现的联结词同级，又无括号时，则按从左到右的顺序运算; 若遇有括号时，应该先进行括号中的运算.注意: 本书中使用的括号全为园括号.⏹命题常项⏹命题变项1.2 命题公式及分类▪命题变项与合式公式▪命题常项：简单命题▪命题变项：真值不确定的陈述句▪定义合式公式 (命题公式, 公式) 递归定义如下：▪(1) 单个命题常项或变项p,q,r,…,p i ,q i ,r i ,…,0,1▪是合式公式▪(2) 若A是合式公式，则 (⌝A)也是合式公式▪(3) 若A, B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是合式公式▪(4) 只有有限次地应用(1)~(3)形成的符号串才是合式公式▪说明: 元语言与对象语言, 外层括号可以省去合式公式的层次定义(1) 若公式A是单个的命题变项, 则称A为0层公式.(2) 称A是n+1(n≥0)层公式是指下面情况之一：(a) A=⌝B, B是n层公式；(b) A=B∧C, 其中B,C分别为i层和j层公式，且n=max(i, j)；(c) A=B∨C, 其中B,C的层次及n同(b)；(d) A=B→C, 其中B,C的层次及n同(b)；(e) A=B↔C, 其中B,C的层次及n同(b).例如公式p 0层⌝p 1层⌝p→q 2层⌝(p→q)↔r 3层((⌝p∧q) →r)↔(⌝r∨s) 4层▪公式的赋值▪定义给公式A中的命题变项p1, p2, … , p n指定▪一组真值称为对A的一个赋值或解释▪成真赋值: 使公式为真的赋值▪成假赋值: 使公式为假的赋值▪说明：▪赋值α=α1α2…αn之间不加标点符号，αi=0或1.▪A中仅出现p1, p2, …, p n，给A赋值α1α2…αn是▪指p1=α1, p2=α2, …, p n=αn▪A中仅出现p,q, r, …, 给A赋值α1α2α3…是指▪p=α1,q=α2 , r=α3 …▪含n个变项的公式有2n个赋值.▪真值表真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表例给出公式的真值表A= (q→p) ∧q→p的真值表例 B = ⌝ (⌝p∨q) ∧q的真值表例C= (p∨q) →⌝r的真值表命题的分类重言式矛盾式可满足式定义设A为一个命题公式(1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式)(2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式)(3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式注意：重言式是可满足式，但反之不真.上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式A= (q→p)∧q→p，B =⌝(⌝p∨q)∧q，C= (p∨q)→⌝r1.3 等值演算⏹等值式定义若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式说明：定义中，A,B,⇔均为元语言符号, A或B中可能有哑元出现.例如，在 (p→q) ⇔ ((⌝p∨q)∨ (⌝r∧r))中，r为左边公式的哑元.用真值表可验证两个公式是否等值请验证：p→(q→r) ⇔ (p∧q) →rp→(q→r) (p→q) →r⏹基本等值式双重否定律 : ⌝⌝A⇔A等幂律：A∨A⇔A, A∧A⇔A交换律: A∨B⇔B∨A, A∧B⇔B∧A结合律: (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)分配律: A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)⇔ (A∧B)∨(A∧C) 德·摩根律: ⌝(A∨B)⇔⌝A∧⌝B⌝(A∧B)⇔⌝A∨⌝B吸收律: A∨(A∧B)⇔A, A∧(A∨B)⇔A零律: A∨1⇔1, A∧0⇔0同一律: A∨0⇔A, A∧1⇔A排中律: A∨⌝A⇔1矛盾律: A∧⌝A⇔0等值演算:由已知的等值式推演出新的等值式的过程置换规则：若A⇔B, 则Φ(B)⇔Φ(A)等值演算的基础：(1) 等值关系的性质：自反、对称、传递(2) 基本的等值式(3) 置换规则应用举例——证明两个公式等值例1 证明p→(q→r) ⇔ (p∧q)→r证p→(q→r)⇔⌝p∨(⌝q∨r) （蕴涵等值式，置换规则）⇔(⌝p∨⌝q)∨r（结合律，置换规则）⇔⌝(p∧q)∨r（德⋅摩根律，置换规则）⇔(p∧q) →r（蕴涵等值式，置换规则）说明:也可以从右边开始演算（请做一遍）因为每一步都用置换规则，故可不写出熟练后，基本等值式也可以不写出应用举例——证明两个公式不等值例2 证明: p→(q→r) (p→q) →r用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真,另一个成假.方法一真值表法（自己证）方法二观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的的成真赋值，是右边的成假赋值.方法三用等值演算先化简两个公式，再观察.应用举例——判断公式类型例3 用等值演算法判断下列公式的类型(1) q∧⌝(p→q)解q∧⌝(p→q)⇔q∧⌝(⌝p∨q) （蕴涵等值式）⇔q∧(p∧⌝q) （德⋅摩根律）⇔p∧(q∧⌝q) （交换律，结合律）⇔p∧0 （矛盾律）⇔ 0 （零律）由最后一步可知，该式为矛盾式.(2) (p→q)↔(⌝q→⌝p)解 (p→q)↔(⌝q→⌝p)⇔ (⌝p∨q)↔(q∨⌝p) （蕴涵等值式）⇔ (⌝p∨q)↔(⌝p∨q) （交换律）⇔ 1由最后一步可知，该式为重言式.问：最后一步为什么等值于1(3) ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)解 ((p∧q)∨(p∧⌝q))∧r)⇔ (p∧(q∨⌝q))∧r（分配律）⇔p∧1∧r（排中律）⇔p∧r（同一律）这不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.总结：A为矛盾式当且仅当A⇔0A为重言式当且仅当A⇔1说明：演算步骤不惟一,应尽量使演算短些1.5 对偶与范式对偶式与对偶原理定义在仅含有联结词⌝, ∧,∨的命题公式A中，将∨换成∧, ∧换成∨，若A中含有0或1，就将0换成1，1换成0，所得命题公式称为A的对偶式，记为A*.从定义不难看出，(A*)* 还原成A定理设A和A*互为对偶式，p1,p2,…,p n是出现在A和A*中的全部命题变项，将A和A*写成n元函数形式，则 (1) ⌝A(p1,p2,…,p n) ⇔A* (⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n)(2) A(⌝p1, ⌝p2,…, ⌝p n) ⇔⌝A* (p1,p2,…,p n)定理（对偶原理）设A，B为两个命题公式，若A ⇔ B，则A*⇔ B*.析取范式与合取范式文字:命题变项及其否定的总称简单析取式:有限个文字构成的析取式如p, ⌝q, p∨⌝q, p∨q∨r, …简单合取式:有限个文字构成的合取式如p, ⌝q, p∧⌝q, p∧q∧r, …析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式A∨A2∨⋯∨A r, 其中A1,A2,⋯,A r是简单合取式1合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式A∧A2∧⋯∧A r , 其中A1,A2,⋯,A r是简单析取式1范式:析取范式与合取范式的总称公式A的析取范式: 与A等值的析取范式公式A的合取范式: 与A等值的合取范式说明：单个文字既是简单析取式，又是简单合取式p∧⌝q∧r, ⌝p∨q∨⌝r既是析取范式，又是合取范式(为什么)命题公式的范式定理任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式.求公式A的范式的步骤：(1) 消去A中的→, ↔（若存在）(2) 否定联结词⌝的内移或消去(3) 使用分配律∧对∨分配（析取范式）∨对∧分配（合取范式）公式的范式存在，但不惟一求公式的范式举例例求下列公式的析取范式与合取范式(1) A=(p→⌝q)∨⌝r解 (p→⌝q)∨⌝r⇔ (⌝p∨⌝q)∨⌝r（消去→）⇔⌝p∨⌝q∨⌝r（结合律）这既是A的析取范式（由3个简单合取式组成的析取式），又是A的合取范式（由一个简单析取式组成的合取式）(2) B=(p→⌝q)→r解 (p→⌝q)→r⇔ (⌝p∨⌝q)→r（消去第一个→）⇔⌝(⌝p∨⌝q)∨r（消去第二个→）⇔ (p∧q)∨r（否定号内移——德⋅摩根律）这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）继续： (p∧q)∨r⇔ (p∨r)∧(q∨r) （∨对∧分配律）这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）极小项与极大项定义在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现一次，而且第i（1≤i≤n）个文字出现在左起第i位上，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.说明：n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项2n个极小项（极大项）均互不等值用m i表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进制表示. 用M表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值的十进制表示, m i(M i)称i为极小项(极大项)的名称.m与M i的关系: ⌝m i ⇔M i , ⌝M i ⇔m ii主析取范式与主合取范式主析取范式: 由极小项构成的析取范式主合取范式: 由极大项构成的合取范式例如，n=3, 命题变项为p, q, r时，(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r) ⇔m1∨m3是主析取范式(p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨⌝r) ⇔M1∧M5 是主合取范式A的主析取范式: 与A等值的主析取范式A的主合取范式: 与A等值的主合取范式.定理任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的.用等值演算法求公式的主范式的步骤：(1) 先求析取范式（合取范式）(2) 将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成与之等值的若干个极小项的析取（极大项的合取），需要利用同一律（零律）、排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等.(3) 极小项（极大项）用名称m i（M i）表示，并按角标从小到大顺序排序.求公式的主范式例求公式A=(p→⌝q)→r的主析取范式与主合取范式.(1) 求主析取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∧q)∨r , （析取范式）①(p∧q)⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)⇔m6∨m7 ,r⇔(⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）(2) 求A的主合取范式(p→⌝q)→r⇔ (p∨r)∧(q∨r) , （合取范式）①p∨r⇔p∨(q∧⌝q)∨r⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔M0∧M2,②q∨r⇔ (p∧⌝p)∨q∨r⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)⇔M0∧M4 ③②, ③代入①并排序，得(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4 （主合取范式）主范式的用途——与真值表相同(1) 求公式的成真赋值和成假赋值例如 (p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7，其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111，其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值.类似地，由主合取范式也可立即求出成假赋值和成真赋值.(2) 判断公式的类型设A含n个命题变项，则A为重言式⇔A的主析取范式含2n个极小项⇔A的主合取范式为1.A为矛盾式⇔A的主析取范式为0⇔A的主合取范式含2n个极大项A为非重言式的可满足式⇔A的主析取范式中至少含一个且不含全部极小项⇔A的主合取范式中至少含一个且不含全部极大项例某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件：(1)若赵去，钱也去；(2)李、周两人中至少有一人去；(3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人；(4)孙、李两人同去或同不去；(5)若周去，则赵、钱也去.试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出国？解此类问题的步骤为：①将简单命题符号化②写出各复合命题③写出由②中复合命题组成的合取式④求③中所得公式的主析取范式解①设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去，s：派李去，u：派周去.② (1) (p→q)(2) (s∨u)(3) ((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))(4) ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))(5) (u→(p∧q))③ (1) ~ (5)构成的合取式为A=(p→q)∧(s∨u)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))∧(u→(p∧q))④ A ⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u)结论：由④可知，A的成真赋值为00110与11001，因而派孙、李去（赵、钱、周不去）或派赵、钱、周去（孙、李不去）.A的演算过程如下:A⇔ (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))∧(s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))∧((r∧s)∨(⌝r∧⌝s)) （交换律) B= (⌝p∨q)∧((q∧⌝r)∨(⌝q∧r))1⇔ ((⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(q∧⌝r)) （分配律）B= (s∨u)∧(⌝u∨(p∧q))2⇔ ((s∧⌝u)∨(p∧q∧s)∨(p∧q∧u)) （分配律）B∧B2 ⇔ (⌝p∧q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)1∨(q∧⌝r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧s)∨(p∧q∧⌝r∧u) 再令B3 = ((r∧s)∨(⌝r∧⌝s))得A⇔B1∧B2∧B3⇔ (⌝p∧⌝q∧r∧s∧⌝u)∨(p∧q∧⌝r∧⌝s∧u) 注意：在以上演算中多次用矛盾律要求：自己演算一遍1.6 推理理论推理的形式结构推理的形式结构—问题的引入推理举例:(1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界.(2) 若推理: 从前提出发推出结论的思维过程上面(1)是正确的推理，而(2)是错误的推理.证明: 描述推理正确的过程.判断推理是否正确的方法•真值表法•等值演算法判断推理是否正确•主析取范式法•构造证明法证明推理正确说明：当命题变项比较少时，用前3个方法比较方便, 此时采用形式结构“” . 而在构造证明时，采用“前提: , 结论: B”.推理定律与推理规则推理定律——重言蕴涵式构造证明——直接证明法例构造下面推理的证明：若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，今天必备课. 我今天下午没备课. 所以，明天不是星期一和星期三.解设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我有课，s：我备课推理的形式结构为例构造下面推理的证明:2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数.若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.用附加前提证明法构造证明解设p：2是素数，q：2是合数，r：是无理数，s：4是素数推理的形式结构前提：p∨q, p→r, r→⌝s结论：s→q证明① s附加前提引入②p→r前提引入③r→⌝s前提引入④p→⌝s②③假言三段论⑤⌝p①④拒取式⑥p∨q前提引入⑦q⑤⑥析取三段论请用直接证明法证明之。
离散数学的谓词逻辑详解
全称量词:
1.全称量词 ： （任意，所有） x: “对一切x”，“对所有的x”， “对任一x”
如： x P(x) ┐ x P(x) x ┐ P(x)
“对一切x，P(x)是真” “并非对一切x，P(x)是真” “对一切x， ┐ P(x) 是真”
如: “ 所有人都是要死的”
于是令 M（x）：x是人。 （1） x（M(x)→D(x)) （2） x (M（x）∧ ┐G（x））
命题符号化(翻译)：
将汉语(或其他自然语言)语句翻译成逻辑表 达式，这在数学、逻辑编程、人工智能、软 件工程以及许多其他学科中都是一项重要的 任务。翻译的目的是生成简单而有用的逻辑 表达式。
命题符号化：
1.谓词与个体词
将简单命题分解成个体与谓词这样两个组成部分。谓词，通 常是用来描述个体的性质或特征，或者个体之间的关系。谓 词逻辑，是命题逻辑的扩充与发展 。
例1：下面两个命题 1. 张华是学生 2. 李明是学生
a: 张华 b:李明 H：是学生 ，则 H（x）:x是学生
1，2可分别表示成 H(a) ，H(b). 这样表示就揭示了两命题间有相同的谓语这一特征。
变元的约束
例1 ： 令 P（x， y）：“ x<y ”， Q（x）：x是有理数； F（x）：x可以表示为分数。
判断下列式子那些是命题函数，那些是命题？
P(x， y)
P(x， y)∧Q(x)
Q(x) → F(x) x（Q(x)→ F(x)) x Q(x)→ F(x)
自由变元与约束变元
[定义] 紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖 域．(量词的辖域是紧接其后的公式，除非辖域是个 原子公式，否则应在公式的两侧插入圆括号。)
离散数学命题逻辑推理理论
构造性二难
(A®B)Ù(ØA®B) Þ B
构造性二难(特殊形式)
(A®B)Ù(C®D)Ù( ØBÚØD) Þ (ØAÚØC) 破坏性二难
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成:
1、 字母表
命题变项符号: p,q,r,…,
pi,qi,ri,…
联结词:
,
,
,
,
括号与逗号: ( ), , 2、 合式
明天就是5号、 解 设 p: 今天就是1号, q: 明天就是5号 推理得形式结构为 (p®q)Ùp®q 证明 用等值演算法
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ((pÙØq)ÚØp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
实例( 续 )
(2) 若今天天冷,小王就穿羽绒服。小王就穿羽绒服。 所以, 今天天冷。
r:我有课,
s:我备课
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
实例( 续 )
前提: (pÚq)®r, r®s, Øs
结论: ØpÙØq
证明 ① r®s ② Øs ③ Ør ④ (pÚq)®r
前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
Ø(pÚq)
③④拒取式
⑥ ØpÙØq
置换
结论有效, 即明天不就是星期一与星期三
公式
3. 推理规则
前提引入规则
结论引入规则
置换规则
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 A®B A
\B (5) 附加规则
A \AÚB (6) 化简规则
AÙB \A
(7) 拒取式规则 A®B ØB
\ØA (8) 假言三段论规则
A®B B®C
离散数学答案命题逻辑
第二章 命题逻辑习题．解 ⑴不是陈述句，所以不是命题。
⑵x 取值不确定，所以不是命题。
⑶问句，不是陈述句，所以不是命题。
⑷惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。
⑸是命题，真值由具体情况确定。
⑹是命题，真值由具体情况确定。
⑺是真命题。
⑻是悖论，所以不是命题。
⑼是假命题。
2．解 ⑴是复合命题。
设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。
命题符号化为q p ∨。
⑵是疑问句，所以不是命题。
⑶是悖论，所以不是命题。
⑷是原子命题。
⑸是复合命题。
设p ：王海在学习；q ：李春在学习。
命题符号化为pq 。
⑹是复合命题。
设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。
p q 。
⑺不是命题。
⑻不是命题⑼。
是复合命题。
设p ：王海是女孩子。
命题符号化为：p 。
3．解 ⑴如果李春迟到了，那么他错过考试。
⑵要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。
⑶李春错过考试当且仅当他迟到了。
⑷如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。
4．解 ⑴p (q r )。
⑵p q 。
⑶q p 。
⑷q p 。
习题1．解 ⑴是1层公式。
⑵不是公式。
⑶一层： pq ，p二层：p q所以，)()(q p q p ↔⌝→∨是3层公式。
⑷不是公式。
⑸(pq )(q ( q r ))是5层公式，这是因为一层：p q ，q ，r二层：q r 三层：q ( qr )四层：(q ( q r ))2．解 ⑴A =(p q )q 是2层公式。
真值表如表2-1所示：pqq p ∨A0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1111⑵p q p q A →→∧=)(是3层公式。
真值表如表2-2所示：pqq p →)(q p q →∧A0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 11111⑶)()(q p r q p A ∨→∧∧=是3层公式。
真值表如表2-3所示：pqrq p ∧r q p ∧∧q p ∨A0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 111111⑷)()()(r q r p q p A ∨∧∨⌝∧∨=是4层公式。
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
23
离散数学笔记总结
离散数学笔记总结一、命题逻辑。
1. 基本概念。
- 命题：能够判断真假的陈述句。
例如“2 + 3 = 5”是真命题，“1 > 2”是假命题。
- 命题变元：用字母表示命题，如p,q,r等。
2. 逻辑联结词。
- 否定¬：¬ p表示对命题p的否定，若p为真，则¬ p为假，反之亦然。
- 合取wedge：pwedge q表示p并且q，只有当p和q都为真时，pwedge q才为真。
- 析取vee：pvee q表示p或者q，当p和q至少有一个为真时，pvee q为真。
- 蕴含to：pto q表示若p则q，只有当p为真且q为假时，pto q为假。
- 等价↔：p↔ q表示p当且仅当q，当p和q同真同假时，p↔ q为真。
3. 命题公式。
- 定义：由命题变元、逻辑联结词和括号按照一定规则组成的符号串。
- 赋值：给命题变元赋予真假值，从而确定命题公式的真值。
- 分类：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
4. 逻辑等价与范式。
- 逻辑等价：若A↔ B是重言式，则称A与B逻辑等价，记作A≡ B。
例如¬(pwedge q)≡¬ pvee¬ q（德摩根律）。
- 范式：- 析取范式：由有限个简单合取式的析取组成的命题公式。
- 合取范式：由有限个简单析取式的合取组成的命题公式。
- 主析取范式：每个简单合取式都是极小项（包含所有命题变元的合取式，每个变元只出现一次）的析取范式。
- 主合取范式：每个简单析取式都是极大项（包含所有命题变元的析取式，每个变元只出现一次）的合取范式。
二、谓词逻辑。
1. 基本概念。
- 个体：可以独立存在的事物，如人、数等。
- 谓词：用来刻画个体性质或个体之间关系的词。
例如P(x)表示x具有性质P，R(x,y)表示x和y具有关系R。
- 量词：- 全称量词∀：∀ xP(x)表示对于所有的x，P(x)成立。
- 存在量词∃：∃ xP(x)表示存在某个x，使得P(x)成立。
离散数学命题逻辑
1-7 对偶与范式
7.1 对偶式
在前面介绍的命题定律中，多数是成对出现的， 这些成对出现的定律就是对偶性质的反映。
定义1-7.1 在给定的仅使用联结词、∧和∨的命
题公式A中，若把∧和∨互换，F和T互换而得到 一个命题公式A*，则称A*为A的对偶式。
显然，A也是A*的对偶式。可见A与A*互为对偶式.
如 P 、P 、P∨Q、P∨Q∨R 注:∵ P∨PP P∧PP ∴P是合(析)取式.
2.析取范式 公式A如果写成如下形式： A1∨A2∨...∨An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n) 是合取式，称之为A的析取范式。
3.合取范式 公式A如果写成如下形式： A1∧A2∧...∧An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n) 是析取式，称之为A的合取范式。
TT F
6.3 与非“ ”
定义：Ｐ，Ｑ是命题公式，复合命题 P Q 为Ｐ,Ｑ
的“与非”。
P Q 的真值为:
P Q P Q FF T
P Q的真值为F当且仅当
FT T
P，Q均为T.其余为T.
TF T
显然：P Q (P Q)
1)P P (P P) P T T F
2)(P Q) (P Q) (P Q) P Q
偶式；2)表明，命题变元否定的公式等价于对偶 式之否定。
此定理可以反复地使用德-摩根定律得以证明。
定理1-7.2 设A和B为两个命题公式，若AB，则 A*B*。
证明：因为 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 故 A(P1,P2,…,Pn)B(P1,P2,…,Pn) 而 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) B(P1,P2,…,Pn)B*(P1,P2,…,Pn) 故 A*(P1,P2,…,Pn) B*(P1,P2,…,Pn)
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(3) 如何由一些前提推 导出一些结论?
1-8 命题推理理论
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第一章 命题逻辑 学习要求
重点掌握
一般掌握
了解
1
1、五种基本联 结词（第1-3节） 2、24个基本的 等价公式（第4、5
节）
3、求命题范式 的方法（第7节） 4、推理方法（第8
节）
2
公式的代入规 则和替换规则
（第4节中的部 分内容）
10
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请看下面给出的两个陈述句：
（1）2是个素数。 （2）雪是黑色的。 这两个陈述句都表示对事件性质的判断。
第一句话表示的判断是正确的， 第二句话表示的判断是错误的。
像(1),(2)这样能够唯一确定所表达的判断是正
确的还是错误的陈述句称为命题。
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(2) x+y>10。 4、悖论不是命题。语句既为真，同时又包含假的不是命题，
一、命题的概念
命题是一个能判断是真的或是假的陈述句。 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。
真值：一个命题的值叫真值。 一个命题的真值有两个：“真”或“假” 真值为真:一个命题所作的判断与客观一致,则称 该命题的真值为真,记作T (True)，真命题。 真值为假:一个命题所作的判断与客观不一致,则 称该命题的真值为假,记作F (False)，假命题。
判断语句是否为命题要注意的问题：
1、目前无法确定真值，但从本质而言，真值存在的语句是命 题。
例： (1) 别的星球上有生物。 (2) 2046年世界杯在中国举行。
2、真值因时因地而异的判断性陈述句是命题。 例：(1) 2011年的元旦是晴天。 (2) 今天下雨。
3、含有未确定内容的代词，不能判断真假的语句不是命题。 例： (1) 1+101=110。 当1和101是二进制数，语句为真，为十进制数，语 句为假。
3
联结词的完 备集的理解 和学习（第6
节）
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1-1. 命题与命题的真值
本节主要讨论四个问题：
命题的概念 命题的真值 原子命题与复合命题 命题的表示
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一、 命题的概念
陈述句：陈述一个事实或一个说话人的看法，句末 用句号。 祈使句：要求或者希望别人做什么事或者不做什么 事时用的句子，句末用句号或感叹号。 疑问句：提出问题的句子，句末用问号。 感叹句：带有浓厚感情的句子，句末用感叹号。
它与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、 语言学等学科均有密切联系。
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数理逻辑的主要内容
数理逻辑内容丰富，但其主要包括“两个演算” 加“四论 ”，即：
逻辑演算。包括命题演算和谓词演算
证明论。主要研究数学理论系统的相容性（即不矛盾、 协调性）的证明。
现 递归论（能行性理论）。自从电子计算机发明后，迫切
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1、“甲在河南工业大学上学” 2、“甲在郑州上大学” 3、“如果甲在河南工业大学上学，则甲在郑州上大学”是成立的
如果“甲在河南工业大学上 学”真的，则显然“甲在郑 州上大学”也是真的。
推理形式
“如果甲在河南工业大学上学，则 甲在郑州上大学”；
甲在河南工业大学上学；
符号化为：
则可推出甲在郑州上大学。
P表示“甲在河南工业大学 推理形式可以表示为
上学”；
P Q为真；
Q表示“甲在郑州上大学”； P为真；
P Q表示“如果甲在河南 则可推出Q为真。
工业大学上学，则 甲在郑 可以抽象地写成
州上大学”。
(P Q)∧P Q
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例：
请根据下面事实，找出凶手： 1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5.午夜时屋里灯灭了。 问：谁是凶手？
数理逻辑是用数学的方法研究逻辑。
所谓“数学方法”：就是引进一套符号体系的方法。 用数学理论、手段和技巧找出研究对象内在联系的数学 表达式及其规范的方法，包括使用符号和公式，已有的 数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
数理逻辑即引进一套符号体系的方法来研究概念、判断和 推理，即对符号进行判断和推理。所以数理逻辑也称为 “符号逻辑”。数理逻辑属于形式逻辑。
代 数 理 逻
需要在理论上弄清计算机能计算哪些函数。递归论研究 能行可计算的理论，它为能行可计算的函数找出各种理 论上精确化的严密类比物。
辑 模型论。主要是对各种数学理论系统建立模型，并研究
各模型之间的关系以及模型与系统之间的关系。
公理集合论。主要研究在消除已知集合论悖论的情况下 ，用公理方法把有关集合的理论充分发展下去。
命题是具有唯一真值 的陈述句。
命题可以是真的，或者是假的，但不能同时为 真又为假。
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例子
例1-1.1
(1)中华人民共和国的首都是北京。 真命题
(2)大于4的偶数均可分解为两个质数的和
(哥德巴赫猜想)。
真命题
(3)所有质数都是奇数。 假命题
(4)雪是黑色的。
假命题
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第一篇 数理逻辑
什么是逻辑（学）？ 研究人类思维的科学。研究思维形式及思维过程。 公元前四世纪亚里斯多德《工具论》奠定了逻辑 学的理论基础。中国最早的一部逻辑专著－－《 墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体业大学离散数学课程组
什么是数理逻辑？
秘书谋害了经理。
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第一篇 数理逻辑
主要 研究内容
第一章
命题逻辑
命题的基本概念 命题联结词 命题公式 命题的范式
第二章 谓词逻辑
谓词的基本概念 谓词公式 公式的标准型
第一、二章 推理与证明技术
命题逻辑推理理论 谓词逻辑推理理论 数学归纳法 按定义证明法
河第南一工业章大学离散命数学题课程逻组辑
研究的内容
命题逻辑也称为命题演算 研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的
可推导关系。
1-1 命题与命题的真值 1-2 联结词 1-3 命题公式及翻译
(1) 什么是命题？ (2) 如何表示命题？
1-4 真值表与等价公式
1-5 重言式与蕴含式 1-6 其它联结词() 1-7 对偶与范式