考研讲义数三经济部分
考研数学(三)真题解析经济应用考点
2xx5年考研数学（三）真题解析：经济应用考点来源：文都教育考研数学三主要是针对经济和管理类的考生，对这类考生而言，数学在经济中的应用是一个常考点，尤其是微分学在经济中的应用考题，在近些年频频出现在试卷中，有时还以一个大题的形式出现，占xx 分之多，在刚刚结束的2xx5年考研数学（三）的考题中就有这么一道解答题（第xx 题）。
下面文都老师对今年的经济应用考题做些分析，供已经考过和准备2xx6年考数学（三）的同学参考。
在分析之前，我们先简单回顾一下微分学在经济应用中的主要知识点。
边际函数：边际函数是指一个经济变量对另一个经济变量的变化率。
若Q 代表某产品的需求量，P 代表商品的价格，C 代表生产成本，R 代表收入，L 代表利润，则边际需求dQ MQ dP=，边际成本dC MC dQ =、边际收入dR MR dQ =，边际利润dL ML MR MC dQ ==-. 弹性函数：弹性函数是指一个经济变量对另一个经济变量的相对变化率。
变量y 对变量x 的弹性为//Ey dy y x dy Ex dx x y dx ==⋅，如收益对需求的弹性ER Q dR EQ R dQ=⋅，而R QP =，故有1()1ER dP Q dP P Q EQ P dQ P dQ=+=+⋅；需求对价格的弹性EQ P dQ EP Q dP =⋅，通常在表示上弹性取正值，而Q 一般是P 的单调减函数，0dQ dP<，所以一般表示EQ P dQ EP Q dP =-⋅. 2xx5年考研数学（三）第（xx ）题：（本题满分xx 分）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η>0）.（Ⅰ）证明定价模型为11MC p η=-； （Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600,C Q Q =+需求函数为40,Q p =-试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格。
2024数学三考研大纲
2024数学三考研大纲第一部分：基本概念和基本规则1.数论基本概念（1）整数、自然数、有理数和无理数的概念和性质；（2）素数、合数、互质数的定义和性质；（3）数论中的基本定理：费马小定理、中国剩余定理等。
2.代数基本概念（1）集合、集合的运算和集合的性质；（2）函数的概念、函数的性质和函数的运算；（3）多项式的概念、多项式的系数与次数、多项式的运算和多项式的因式分解；（4）方程和不等式的基本性质；（5）向量的概念、向量的线性运算和向量的数量积与向量积。
3.几何基本概念（1）点、线、面的性质；（2）平面几何和立体几何的基本概念和性质；（3）圆的基本性质和相关定理；（4）三角形、四边形、多边形的基本性质和相关定理；（5）坐标系和坐标变换的基本概念。
4.微积分基本概念（1）极限的概念和性质；（2）导数的定义、性质和运算法则；（3）不定积分的概念、性质和运算法则；（4）定积分的概念、性质和运算法则；（5）微分方程的基本概念和解法。
第二部分：数理方法和数学应用1.数论方法和应用（1）递推关系与生成函数；（2）整数的分解和数论函数的应用；（3）同余方程和同余定理的应用；（4）素数分布和素数定理。
2.代数方法和应用（1）行列式的性质和应用；（2）矩阵的基本性质和运算法则；（3）线性方程组的解法和相关定理；（4）群、环、域的概念和基本性质；（5）多项式方程的根与系数的关系。
3.几何方法和应用（1）几何图形的对称性和相似性；（2）几何证明的方法和技巧；（3）三角函数和相关三角恒等式的证明和应用；（4）几何体的体积和表面积的计算方法。
4.微积分方法和应用（1）函数的极值和最值的求解；（2）曲线的长度、曲率和弧长的计算方法；（3）定积分在几何、物理、经济等领域的应用。
第三部分：数学理论和数学研究1.数论的理论和研究（1）数论中的经典问题和研究方向；（2）数论在密码学和信息安全中的应用；（3）数论在算法设计和计算复杂性理论中的应用。
考研数学(数学三)必备资料
考研数学（数学三）必备资料高等数学：同济五版线性代数：同济六版概率论与数理统计：浙大三版推荐资料：1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类)2、李永乐《经典400题》3、《李永乐考研数学历年试题解析（数学三）真题》方案2《基础过关660》李永乐。
(做过三遍)这本书很好，别看有基础二字你就觉得简单，所谓基础是说里面的题都是填空选择，他基本上穷尽了填空选择所有能见到的题型，做好了考研时填空选择不会出什么问题的。
这本书我做了三遍，不过当然不是每一遍都是从头到尾做，一会我会告诉你怎么做。
《考研数学焦点概念与性质》徐兵(做过两遍)这本书大家可能听的比较少，这本书是我在看过之后觉得确实不错才买的(我一般很少买这种大家没有公认的书)，我觉得可能是因为大部分人不是很在意基础，所以这本书才没有想其他书一样流行，它的高数部分相当的好，会把高数里面大家容易弄错的概念性质以判断的形式给出，后面给出详细的解释，并且举一反三，如果你想打下坚实的基础，强烈建议你看看，里面最精华的属高数部分，如果没时间线代和概率部分就别看了。
《复习全书》李永乐(做过三遍)关于复习全书和复习指南那本好的争论一直就没有停过，不过我觉得如果是数三，全书要胜过指南一筹，而且很多第一年用复习指南没考上，第二年换复习全书的人都会这么说，全书整体上要好一点。
至于数一数二用哪本，我没经历过，也不敢妄下结论。
关于陈文灯的《复习指南》我在后期的时候简单选读过，这本书里面有两部分大家一定要看：分部积分的表格法和微分方程的算子法，太牛了，以至于我用过之后就爱不释手，哈哈!《概率论与数理统计讲义》(基础篇) 姚孟臣(做过两遍)关于概率论的试题用书大家推荐过几本，我在图书大厦都翻阅过，强烈建议大家用这本，你用过后就知道了，它穷尽了你能见到的所有概率题型，相信做完后你的概率会有质的飞跃!这本书有个提高篇，千万别买哈，里面的东西考研都不考，基础篇才是真正的考研用书，呵呵!考研数学规划：课本＋复习指导书＋习题集＋模拟题＋真题＝KO复习资料来说：李永乐的不错，注重基础；陈文灯的要难一些。
《数三考研大纲》课件
02
03
练习真题
通过练习历年真题，了解 考试形式和难度，同时提 高解题能力。
总结错题
对于做错的题目，要认真 总结原因，并加强相关内 容的复习。
举一反三
对于经典题目，尝试从不 同角度思考解题方法，培 养灵活运用知识的能力。
关注考试动态，调整备考策略
关注考试大纲变化
及时关注考试大纲的变化，调整复习重点和方 向。
THANKS
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特点
考研数学三注重对基本概念、基本理论和基本方法的掌握，同时要求考生能够 灵活运用所学知识解决实际问题。此外，考研数学三还注重考查考生的逻辑思 维能力和数学表达能力。
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CATALOGUE
考研数学三的考点分析
高等数学部分
函数、极限、连续
掌握函数的性质、极限的定义及性质、无穷 小量与阶的比较等。
一元函数微分学
特征值与特征向量
理解矩阵的特征值与特征向量的概念及求法。
线性变换与矩阵
理解线性变换的概念，掌握相似矩阵的求法。
概率论与数理统计部分
随机事件与概率
理解随机事件、概率的定义及性质，掌握概 率的计算方法。
随机变量及其分布
理解随机变量的概念，掌握常见随机变量的 分布及计算方法。
多维随机变量及其分布
理解多维随机变量的概念及联合概率分布。
理解导数的定义及几何意义，掌握求导法则 及一元函数微分学的应用。
一元函数积分学
理解积分的定义及几何意义，掌握积分的基 本性质及计算方法。
常微分方程
理解微分方程的基本概念，掌握一阶常微分 方程的解法。
线性代数部分
行列式与矩阵
理解行列式的性质及计算方法，掌握矩阵的运算及逆矩阵的求法。
考研讲义数三经济部分
第十三章微积分在经济学中的经济应用（数三）《考试要求》1.掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。
2.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
3.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
4.会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。
一、.极限及级数在经济学中的应用（一復利：设某银行年利率为r,初始存款为A o元，t （1）一年支付一次利息（称为年复利），则t年后在银行的存款余额为A t A o 1 r（2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为A A o（1 -）ntt nn（3）由于lim [（1 -）r ]rt，所以当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到的存款n n余额为A t Ae"称为t年后按连续复利计算得到的存款余额。
（二）将来值与现值：上述结论中，称A t是A o的将来值，而A o是A t的现值。
现值与将来值的关系为：A t A o（1 r）t A o A t（1 r）t或A A o（1 r）t A o A t（1 r）t例1现购买一栋别墅价值300万元，若首付50万元，以后分期付款,每年付款数目相同,1o年付清，年利率为6%,按连续复利计算，问每年应付款多少？例2（08）设银行存款的年利率为r 0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元, 并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？经济学中的常用函数需求函数：Q Q(P),通常Q Q(P)是P的减函数；供给函Q Q(P),通常Q Q(P)是P的增函数；数：成本函数：C(Q) C o C i(Q),其中C o C(0)为固定成本，C i(Q)为可变成本;收益函数：R PQ;利润函数：L(Q) R(Q) C(Q).例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1 和p2 , 销售量分别为q1 和q2 , 需求函数分别为q1 24 02p1 , q2 10 0.05p2 , 总成本函数为C 35 40(q1 q2) , 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？例2( 99)设生产某种产品必须投入两种要素,x1和x2分别为两种要素的投入量,Q为产出量；若生产函数为Q 2%| x2,其中，为正常数，且格分别为P i和P2试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?12的条件下，求总费用P i X i P2X2的最小值，为此作拉格朗日函数F(X1，X2，) P1X1P2X2(122X1 X2 ).FP12X1X20， (1)片F P22X1X20， (2)由(1)和(2)，得X2F122X1 X20.⑶(■Pj) ，X2 6(卫」)时，投入总费用最小P1 P2 1，假设两种要素的价解需要在产出量2x1 x2X2 6(匚)，X1P2因驻点唯一，且实际问题存在最小值，故当P1X1.利用导数求解经济应用问题(一)、边际量:当某经济量y y(x)的自变量X 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的 边际量，如边际成本、边际收益、边际利润等,由于y(x 1) y(x) y (x),且对于大数而言,一个单位可以 看成是微小的，习惯上将y (x)视为y y(x)的边际量.1、 定义：设y f x 或y f x,t ,则称®或一y 为y 关于x 的边际函数。
考研数学三知识点总结
考研数学三知识点总结数学是考研数学教材的一种。
该教材的撰写者都是各大高校的著名数学教师，他们根据多年的教学经验，结合考研数学的特点和难点，编写了这套优秀的教材。
本教材的主要特点是明确、详尽、系统、准确。
接下来我将针对数学三的重点知识点进行总结。
一、导数与微分1.导数的定义及其性质导数的定义：设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，若极限lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)存在，则称该极限为函数f(x)在点x0处的导数。
记作f'(x0)或dy/dx|_(x=x0) 或df(x)/dx|_(x=x0)，称导数的值为函数在该点处的导数值。
导数的性质：(1)可导性与连续性的关系：若函数f(x)在点x0处可导，则在x0处连续；(2)和的导数等于导数的和: (u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x)(3)积的导数等于导数的积： (u(x)v(x))' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)(4)商的导数等于导数的商： (u(x)/v(x))' = [u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v^2(x)(5)复合函数的导数：(u(v))' = u'(v)v'(x)(6)反函数的导数：(y(x))'=1/(x(y))'2.微分与微分公式微分的定义：设函数f(x)在点x0处有导数，那么函数在这一点的微分为df(x) = f'(x0)dx微分公式：(1)常数微分公式：d(u) = 0(2)幂函数微分公式：d(x^n)=nx^(n-1)dx(3)指数函数微分公式：d(e^x) = e^xdx(4)对数函数微分公式：d(log_a(x)) = (1/ln(a))*1/x dx(5)三角函数微分公式：d(sin(x)) = cos(x)dx, d(cos(x)) = -sin(x)dx, d(tan(x)) = sec^2(x)dx(6)反三角函数微分公式：d(arcsin(x)) = dx/sqrt(1-x^2),d(arccos(x)) = -dx/sqrt(1-x^2), d(arctan(x)) = dx/(1+x^2)(7)反函数的微分：若y=f(x)是可导函数，x=g(y)是其反函数，且在x0处可导，则有dx/dy = 1/dy/dx二、积分与不定积分1.不定积分的概念与性质不定积分的定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有原函数f(x)，则F(x)是f(x)在区间[a,b]上的不定积分，记作F(x) = ∫ f(x)dx不定积分的性质：(1)线性性质：∫(k*f(x)+g(x))dx = k*∫f(x)dx+∫g(x)dx(2)积分与导数的关系：若f(x)在[a,b]上连续，则∫f(x)dx在[a,b]上可导，且其导函数为f(x)(3)换元积分法：设F'(x) = f(u(x))u'(x)，则∫f(u(x))u'(x)dx =∫F'(x)dx = F(x)+C(4)分部积分法：∫(u(x)v'(x))dx = u(x)v(x)-∫(u'(x)v(x))dx2.定积分与其性质定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，将区间[a,b]平分成n个小区间，每个小区间长度为Δx = (b-a)/n，设ξ_i为第i个小区间中任意一点，则定积分的极限值为∫_[a]^[b] f(x)dx = lim(n→∞) ∑_[i=1]^n f(ξ_i)Δx定积分的性质：(1)定积分的线性性质：∫_[a]^[b] (k*f(x)+g(x))dx = k*∫_[a]^[b] f(x)dx + ∫_[a]^[b] g(x)dx(2)定积分的保号性：若f(x)在[a,b]上非负，则∫_[a]^[b] f(x)dx ≥ 0(3)定积分的区间可加性：∫_[a]^[b] f(x)dx + ∫_[b]^[c] f(x)dx =∫_[a]^[c] f(x)dx(4)换元积分法：∫_[a]^[b] f(u(x))u'(x)dx = ∫_[u(a)]^[u(b)] f(u)du(5)分部积分法：∫_[a]^[b] u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_[a]^[b] -∫_[a]^[b] u'(x)v(x)dx三、级数1.数项级数与部分和数项级数的定义：将给定的数列的各项按一定顺序加起来，得到的和S_n=∑_[n=1]^∞ a_n 称为数项级数的部分和。
中山大学世界经济专业303数学三考研资料考研真题考研大纲参考书教材
中山大学世界经济专业-303数学三-考研资料-考研真题-考研大纲-参考书教材报考中山大学世界经济专业考研专业课资料的重要性根据华文教育的统计，%以上报考中山大学世界经济专业考研成功的考生，尤其是那些跨学校的考研人，他们大多都在第一时间获取了中山大学世界经济专业考研专业课指定的教材和非指定的中山大学世界经济专业内部权威复习资料，精准确定专业课考核范围和考点重点，才确保了自己的专业课高分，进而才才最后考研成功的。
如果咱们仔细的研究下问题的本质，不难发现因为非统考专业课的真题均是由中山大学世界经济专业自主命题和阅卷，对于跨校考研同学而言，初试和复试命题的重点、考点、范围、趋势、规律和阅卷的方式等关键信息都是很难获取的。
所以第一时间获取了中山大学世界经济专业考研专业课指定的教材和非指定的中山大学世界经济专业内部权威复习资料的考生，就占得了专业课复习的先机。
专业课得高分便不难理解。
那么怎么样才能顺利的考入中山大学世界经济专业呢？为了有把握的的取得专业课的高分，确保考研专业课真正意义上的成功，考研专业课复习的首要工作便是全面搜集中山大学世界经济专业的内部权威专业课资料和考研信息，建议大家做到以下两点：1、快速消除跨学校考研的信息方面的劣势。
这要求大家查询好考研的招生信息，给大家推荐一个考研网，有详细的考研招生信息。
、确定最合适的考研专业课复习资料，明确专业课的复习方法策略，并且制定详细的复习计划，并且将复习计划较好的贯彻执行。
中山大学303数学三从基础到强化考研复习全书包括两部分。
第一部分：中山大学303数学三考研复习重点讲义。
由华文教育请中山大学世界经济专业的多名研究生参与编写（均为华文教育的考研高分学员），重点参考了中山大学世界经济专业303数学三历年真题，并找中山大学世界经济专业最权威的导师咨询考点范围。
本讲义内容详细，重要内容进行重点分析讲解，全面涵盖中山大学世界经济专业研的重点难点考点，知识体系清晰，知识点讲解分析到位，可以确保包含80%的考试范围。
考研数学三大纲解析之导数的经济应用
考研数学三大纲解析之导数的经济意义
来源：文都教育
考研数三考试大纲对导数的经济意义的要求是了解，但是经济应用中边际与弹性以及最大利润等仍是考研数三常考的内容。
边际与弹性经常以客观题的形式来考查，最大利润经常以应用题的形式考查，这两个知识点出题的难度不大。
但是由于大学时很多同学没学过，学过的也学的比较浅很多都忘记了，所以在复习时存在抵触情绪，考试的得分率并不高。
下面文都考研数学辅导老师对这部分内容帮助大家总结一下。
一、边际函数与弹性函数
1边际函数
设()f x 可导，经济学上称()f x '为边际函数，并称()0f x '为()f x 在0x x =处的边际值.
2 弹性函数
设()f x 可导，称()()()
0/lim /x y y x x f x f x x x y f x η→''===为()f x 的弹性函数，其主要反映x 变化所致()f x 变化的强弱程度或者叫灵敏度.
二、五个研究对象
1需求函数：设需求量为Q ，价格为P ，称()Q Q P =为需求函数，且一般为单减函数.
2供给函数：设供给量为q,价格为p ，称()q q p =为供给函数，且一般为单增函数.
3成本函数-总成本=固定成本+可变成本，即()()01C x C C x =+,边际成本为()C x '.
4收益函数()R x ，边际收益为()R x '.
5 利润函数()()()L x R x C x =-，边际利润为()L x '.。
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考研讲义数三经济部分第十三章 微积分在经济学中的经济应用 (数三）《考试要求》1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。
2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。
4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。
一、.极限及级数在经济学中的应用(一)复利：设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t1tA A r =+;（2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)r nt A A t n =+;（3）由于lim [(1)]n rrt rtr e n n +=→∞，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0rttA A e =，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。
(二)将来值与现值：上述结论中，称tA 是0A 的将来值，而0A 是tA的现值。
现值与将来值的关系为： 0(1)ttA A r =+ ⇔0(1)tt A A r -=+ 或0(1)tt A A r =+⇔0(1)tt A A r -=+例 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,年利率 为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？例2（08）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？、二. 经济学中的常用函数需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数； 供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；成本函数：1()()C Q C C Q =+, 其中0(0)CC =为固定成本, 1()C Q 为可变成本；收益函数：R PQ =; 利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.例 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q ,需求函数分别为112402qp =-, 22100.05qp =-, 总成本函数为123540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？例 2（99）设生产某种产品必须投入两种要素, 1x和2x分别为两种要素的投入量, Q为产出量；若生产函数为12=, 其中,αβ为正常数,Q x xαβ2且1αβ+=, 假设两种要素的价格分别为1p和2p试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？解需要在产出量12x xαβ=的条件下, 求总费212用1122p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβλλ=++-.11121121221220,(1)20,(2)1220.(3)F p x x x F p x x x F x x αβαβαβλαλβλ--∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩由(1)和(2), 得1221216(),()p p x x p p αββααβ==；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当211212(),6()p p x x p p βααββα==时, 投入总费用最小.三. 利用导数求解经济应用问题（一）、边际量：当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯上将()y x '视为()y y x =的边际量. 1、 定义 ： 设()y f x =或(),y f x t =，则称dydx或y x∂∂为y 关于x 的边际函数。
2、经济学含义：dy dx表示自变量x 增加一个单位时经济量()y x 的改变量。
(二）、弹性函数：1、定义：设某经济量()y y x =，称η=dyEyx dy y dx Ex y dxx==为 ()y y x =的弹性函数。
2、经济学含义：当自变量x 增加1%时, 经济量()y y x =增加（η>0时）或减小（0η<时）%η。
3、需求弹性：由于一般情况下需求函数()Q Q P =是P 的减函数, 因此定义需求对价格的弹性 =p EQ P dQE EP Q dP=--（恒正，表示价格增加1%时需求减小%pE ）例 1 设某产品的成本函数为21()40032C x x x =++, 而需求函数为P=, 其中x 为产量(假定等于需求量), P 为价格, 试求(1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润；（4）收益的价格弹性 ；例2设某商品的需求函数为p P f Q 2112)(-== （1）求需求弹性函数及P=6时的需求弹性，并给出经济解释。
（2）当P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多例3（15）为了实现利润最大化，厂商需要对某种商品确定其定价模型。
设Q 为需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（正数），（1）证明定价模型=11MCP η-(2)若成本函2()1600,40,1C Q Q Q P =+=-需求函数试由（）中的定价模型确定此商品的价格。
例4(04)某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)； (II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.例5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和y (件)，且固定两种产品的边际成本分别为202x +(万元/件)与6y +(万元/件).(I)求生产甲乙两种产品的总成本函数..(万元).(II)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.(III)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意 义。
例6（09） 设某产品的需求量函数为()Q Q P =, 其对价格P 的弹性0.2Pε=, 则当需求量为 10000件时, 价格增加1元, 会使产品收益增加元.例 7 已知某商品的需求量x对价格p的弹性3η=, 而市场对该产品的最大需求量为 1 (万3p件), 求需求量函数.例8 设生产某产品的固定成本为10, 当产量为x时的边际成本为232040=--, 边际收益为MC x x=+. 试求1032MR x(1) 总利润函数；(2) 使总利润最大的产量.例9 设产品的需求函数为()Q Q p =，收益函数R pQ=，其中p 为产品价格，Q 为需求量（产品的产量），()Q p 是单调减少函数。
如果当价格为0p 对应产量为0Q 时，边际收益0dR a Q QdQ=>=，收益对价格的边际效应 0dRc p p dp=<=。
需求对价格的弹性为1E b p=>，求,00p Q 。
四、差分方程及其在经济学中的应用（一）、差分与差分方程的概念及性质定义：若记()y y t =为ty ，则称差1t tyy +-为函数ty 的一阶差分，记为1tt ty y y +∆=-；含有1,t t y y + 或ty ∆的 等式叫一阶差分方程。
定理：线性差分方程的性质： 1、若()Y Y t =为线性齐次差分方程()1t t yp t y ++=的解，则通解()y cY t =；2、若y *为线性非齐次差分方程()()1t t yp t y f t ++=的一个特解，()y cY t =为对应的 线性齐次差分方程()10t t y p t y ++=的通解，则y cY y *=+为()()1t t yp t y f t ++=的通解。
3、若1y *为()()11t t y p t y f t ++=的特解，2y *为()()12t t y p t y f t ++=的特解， 则 12y y **+为()()()112t t yp t y f t f t ++=+的特解。
4、若12,y y 均为()()1t t yp t y f t ++=的解，则12y y -为()10t t y p t y ++=的解；121()2y y +仍为()()1t t y p t y f t ++=的解。
（二）一阶线性常系数差分方程的解法1、一阶线性常系数齐次差分方程 1t t y ay +-=的解法：特征方程：r a -=, 特征值:r a=, 通解:tty Ca =.2、 一阶线性常系数非齐次差分方程1()t t y ay f t +-=的解法:方程的通解为*t t t y Ca y =+，其中*t y 为原非齐次方程的特解。
当()()tmf t P t d =时，设特解形式为*()kttmyt Q t d=, 其中0,1,d ak d a≠⎧=⎨=⎩.，*ty 可用待定系数法求之：（三）、典型例题例1 (01,I) 某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以tW 表示第t 年的工资总额(单位：百万元), 则tW 满足的差分方程是 .例 2 (98)差分方程121050t t y y t ++-=的通解为 。
例3 差分方程123tt ty y +-=的通解为 .例 4 （97）差分方程 122tt t yy t +-= 的通解为 。
例5 求1232t tt ty y t +-=+的通解。
例 6 已知12()2,()23t t Y t Y t t ==-为1()()t t y p t y f t ++=.(),()p t f t 的解，求 。
例7 设某养鱼池一开始有某种鱼A条，鱼的平均年净繁殖率为R，每年捕捞x条，要使n年后鱼池仍有鱼可捞，应满足什么条件？。