考研数学(二)题库(高等数学)-第五章 多元函数微分学【圣才出品】
考研数学复习教程答案详解高数部分
第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。
3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。
12.13.提示：由1 未定式结果可得。
14.提示：分子有理化，再同除以n即可。
15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。
16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。
18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。
20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。
三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。
(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。
(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。
22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。
24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。
25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。
数二考多元函数微分学的几何应用
数二考多元函数微分学的几何应用微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
而多元函数微分学则是微分学的一个延伸，研究的是多个变量的函数的变化规律。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用，尤其在几何学中，可以帮助我们揭示图形的性质和变化规律。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面上的曲线，我们想要研究它的切线方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲线上任意一点的切线方程。
具体的方法是，首先求出曲线的导数，然后将导数代入切线方程的一般式中，即可得到切线方程。
这样，我们就可以通过切线方程来描述曲线的变化情况了。
接下来，我们来看一个更复杂的例子。
假设有一个三维空间中的曲面，我们想要研究它的切平面方程。
通过多元函数微分学，我们可以求出曲面上任意一点的切平面方程。
具体的方法是，首先求出曲面的偏导数，然后将偏导数代入切平面方程的一般式中，即可得到切平面方程。
这样，我们就可以通过切平面方程来描述曲面的变化情况了。
除了切线方程和切平面方程，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲线的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲率可以通过求曲线的二阶导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲线的一阶导数和二阶导数，然后将导数代入曲率公式中，即可得到曲线的曲率。
通过研究曲线的曲率，我们可以揭示曲线的弯曲情况和变化规律。
同样地，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲面的曲率。
曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的一个重要指标，可以帮助我们了解曲面的形状和性质。
在多元函数微分学中，曲面的曲率可以通过求曲面的二阶偏导数来计算。
具体的方法是，首先求出曲面的一阶偏导数和二阶偏导数，然后将偏导数代入曲率公式中，即可得到曲面的曲率。
通过研究曲面的曲率，我们可以揭示曲面的弯曲情况和变化规律。
除了切线方程、切平面方程和曲率，多元函数微分学还可以帮助我们研究曲线和曲面的极值。
极值是描述函数在某个区间内取得最大值或最小值的点，可以帮助我们了解函数的最优解。
高数红宝书——第五章 多元函数微分学
如 ②全 导（只有多空间曲线才存在全导）
而 归结为一元函数求导，符合下列叠加原理： ， 称为全导。
陈氏第8技 关于显隐式求偏导和等效表达式的结论。
● 如果（表达式，表达式，表达式），如 ，则用符号1， 2，3 分别代表对第1、第2、第3项求偏导，如。注意而。
● 一般情况下。因为为隐式求偏导，表示把复合函数中的当成不变 量，对的偏导，而为显式求偏导表示把复合函数中的和都当成不变量， 对的偏导。例如：
【例30】 求函数 在条件下的极值 解： 先计算在条件的极值即可使用拉氏乘数法则
或 当λ=1时不适题意，故λ≠1 代入方程组可得 及 又
故分别为的极小值点的极小值点为： 【例31】 求二元函数在直线，轴和轴所围成的闭域D上的最大值与最小 值。
解：① 在D内只有驻点(2，1)
②求在D的边界上的最值 在边界和上 在边界 上，代入
驻点有三类： 第一类： 第二类： 第三类：边界上的最值 综合上述结果，可得
评 注 由于积分是个区域， 故需要讨论被积函数的无条件极值和有条 件极值；如果题中所给积分曲线或曲面积分，则只需讨论有条件极值。 【例34】求证：， 其中：。 证明：等效于求函数的最大值与最小值。 先求开区域 上的极值，再求边界上的极值，一起比较得出最大值与最 小值。 【例35】求坐标原点到曲线的最短距离。
正定
负定
不定时
形象记忆法： 无根取极值，负负得正。 ④条件极值：对自变量有附加条件（一般以方程的形式给出）的极 值。 利用拉格朗日乘数法求解 一般根据实际问题来判断求得的点是否为极值点以及是极大值还是极 小值。 ⑤最值求法：比较区域内驻点的极值和边界曲线上的最大值与最小
值，其中最大的就是 最大值，最小的就是最小值。
[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分)历年真题试卷汇编4.doc
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7 (15年)设函数f(u，v)满足 依次是
8 (15年)设D是第一象限中由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x， 围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续．则 f(x，y)dxdy=
9 (16年)已知函数f(x，）I1＞0．
（B）I2＞0．
（C）I3＞0．
（D）I4＞0．
6 (14年)设函数u(x，y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足
（A）u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得．
（B）u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得．
（C）u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值都在D的边界上取得．
二、填空题
12 (12年)设 其中函数f(u)可微，则
13 (14年)设z=z(x,y)是由方程e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则
14 (15年)若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz|(0,0)=______．
15 (17年)设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且df(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_____．
[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (11年)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是
（B）fx'+fy'=0．
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（ ）。
A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 〖答案〗B〖解析〗1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩〖答案〗D〖解析〗当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（ ）。
考研数学二(多元函数微分学、重积分)历年真题试卷汇编1(题后含
考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2012年试题，一)设函数f(x，y)为可微函数，且对任意的x，y都有则使不等式f(x1，y1)>f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )．A．x1＞x2，y1＜y2B．x1＞x2，y1＞y2C．x1如果f(x1，y1)>f(x2，y1)，则x1＞x2，又，如果有f(x2，y1)>f(x2，y2)，则y1＜y2．所以f(x1，y1)>f(x2，y1)>f(x1，y2)时，就有x1＞x2，y1＜y2．因此选A．知识模块：多元函数微分学2．(2007年试题，一)二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A相当于已知f(x，y)在点(0，0)处连续．选项B相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)存在，因此A,B均不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．选项D相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)fy’(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数fx’(x，y)fy’(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．对于选项C，若则即fx’(0，0)=0．同理有fy’(0，0)=0．从而有根据可微的定义，知函数f(x，y)在(0，0)处可微．故应选C．知识模块：多元函数微分学3．(2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设可得因为所以选B．知识模块：多元函数微分学4．(2010年试题，5)设函数z=z(x，y)，由方程确定．其中，为可微函数，且F2’≠0，则：A．xB．zC．一xD．一z正确答案：B解析：根据题意可得故而有，即正确答案为B．知识模块：多元函数微分学5．(2011年试题，一)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0，g(0)0 B．f’’(0)0，g’’(0)>0D．f’’(0)>0，g’’(0)在(0，0)点，A=f’’(0)g(0)，B=f’(0)g’(0)=0，C=f(0)g’’(0)若z=f(x)g(y)在(0，0)有极小值．则AC—B2＞0且A>0→f’’(0)0，故选A．知识模块：多元函数微分学6．(2009年试题，一)设函数z=f(x，y)的全微分为出=xdx+ydy，则点(0，0)( )．A．不是f(x，y)的连续点B．不是f(x，y)的极值点C．是f(x，y)的极大值点D．是f(x，y)的极小值点正确答案：D解析：由全微分dz=xdx+ydy可得令在(0，0)处又因为在此处A=1>0且AC 一B2=1>0，故可知点(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点．故正确答案为D．知识模块：多元函数微分学7．(2006年试题，二)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0C．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0正确答案：D解析：用拉格朗日乘数法判断．令F(戈，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，则(x0，y0)满足若fx’(x0，y0)=0，由(1)式→λ或φx(x0，y0)=0，而当λ=0时，由(2)式得fy’(x0;y0)=0；当λ≠0时，由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0．所以排除A，B．若fx’(x0，y0)≠0，则由(1)式λ→0，再由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0，即fx’(x0，y0)≠0时，fy’(x0，y0)≠0．故选D．知识模块：多元函数微分学8．(2010年试题，6)=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：因故根据积分的几何定义可知．即正确答案为D．知识模块：重积分9．(2008年试题，一)设函数f(x)连续，．其中区域Duv为图1-5-1，阴影部分，则( )．A．vf(u2)B．C．vf(u)D．正确答案：A解析：在极坐标系下，则故应选A．知识模块：重积分10．(2004年试题，二)设函数f(u)连续，区域D=｜(x，y)｜x2+y2≤2y｜，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设，从而A不成立；由于仅知f(u)连续，题设并未指出f(xy)是否具有关于坐标轴的对称性，因此B不一定成立；将原积分化为极坐标下二次积分，有所以选择D[评注]由极坐标下面积元dz=rdrdθ可排除(c)，由D的边界曲线x2+(y一1)2=1可排除A，由f(x，y)为抽象函数知B不对，故应选D．知识模块：重积分11．(2012年试题，一)设区域D由曲线围成，则( )．A．πB．2C．-2正确答案：D解析：其中，sinx为奇函数，在对称区间上积为零，应选D 知识模块：重积分12．(2005年试题，二)设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x>0，y≥0}f(x)为D 上的正值连续函数，a，b为常数,则A．abπB．C．(a+b)πD．正确答案：D解析：由题意可知，D关于直线Y=X对称，于是从而可得所以选D 知识模块：重积分13．(2009年试题，一)设函数f(x,y)连续，则A．B．C．D．正确答案：C解析：[*]的积分区域有两部分：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}，D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}这两个积分区域可合成一个积分区域D={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}，所以题干中的二重积分等于[*]y)dx．故正确答案为C．知识模块：重积分14．(2007年试题，一)设函数f(x，y)连续，则二次积分等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由二次积分的积分上、下限可知积分区域为的反函数为x=π—arcsiny，则上述区域等价于，所以积分变换为故应选B．[评注]关键在于先确定x和y的范围，再交换积分次序，确定y的范围时应注意，当时，y=sinx=sin(π一x)于是π一x=arcsiny，从而x=π—arc-siny 知识模块：重积分15．(2006年试题，二)设f(x，y)为连续函数，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：用排除法．若选择先y后x的积分顺序，则要分块积分．由于选项并未分块积分，故A,B错误．又其中D如图1一5—4所求，其极坐标表示为0≤r≤1，0≤θ≤现转换为先x后y的积分顺序：因为y=x与x2+y2=1在第一象限的交点为所以从而故选C．知识模块：重积分填空题16．(2012年试题，二)设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则__________.正确答案：将x=0代入方程x2+y+1=ey，得y=0，在方程x2一y+1=ey两端对x求一阶导，得2x—y’=y’ey，将x=0，y=0代入得y’(0)=0再在2x—y’=y’ey 两端对x求一阶导，得2一y’’=y’’ey+(y’)2ey，将x=0，y=0，y’(0)=0代入得y’’(0)=1，即涉及知识点：多元函数微分学17．(2004年试题，一)设函数z=z(x，y)由方程x=e2x-3x+2y确定，则_________.正确答案：由方程z=e2x-3x+2y两边分别对x，y求偏导得于是所以解析：在函数f(x，y，z)中x,y，z都是相互独立的自变量，求隐函数偏导数有三种方法：按复合函数求导；代公式；利用全微分的形式不变性．知识模块：多元函数微分学18．(2006年试题，三(20))设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数．且z=f 满足等式(I)验证(Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．正确答案：(I)用复合函数求导法验证．令，则式(1)+式(2)，得(Ⅱ)因为(已证)，所以uf’’(u)+f’(u)=0，即[uf’(u)]’=0积分得uf’(u)=C1由f’(1)=1→C1=1，于是再积分得f(u)=In｜u｜+C2由f(1)=0→C2=0，所以f(u)=In｜u｜．涉及知识点：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(多元函数微分学)-试卷5
考研数学二（多元函数微分学）-试卷5(总分：74.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.0解析：解析：当取y=kx k有关，故极限不存在．3.设u=arcsin= ( )（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将x视为常数，属基本计算．4.（分数：2.00）A.等于0B.不存在√C.D.存在且不等于0解析：解析：取y=x5.设u=f(r)，而r==( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在． 若用“P→Q”表示可由性质P 退出性质Q ，则有 ( ) （分数：2.00） A.②→③→① √ B.③→②→① C.③→④→① D.③→①→④解析：解析：本题考查如图1．4—17.设函数u=u(x ，y)满足 及u(x ，2x)=x ，u" 1(x ，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则u 11 (x ，2x)=（分数：2.00）A. B. √ C. D.解析：解析：等式u(x ，2x)=x 两边对x 求导得u" 1 +2u" 2 =1，两边再对x 求导得 u" 11 +2u" 12 +2u" 21 +4u"22=0， ① 等式u" 1 (x ，2x)=x 2两边对x 求导得 u" 11 +2u" 12 =2x ， ② 将②式及u" 12 =u" 21 ，u" 11 =u" 22代入①式中得u" 11 (x ，2x)=一x ．8.利用变量替换u=x ，v==z 化成新方程（分数：2.00） A. √ B. C. D.9.若函数，y)u ，则函数G(x ，y)= ( )（分数：2.00） A.x+y B.x —y √C.x 2一y 2(13)(x+y) 210.已知du(x ，y)=[axy 3+cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2+bcos(x+2y)]dy ，则 ( )（分数：2.00） A.a=2，b=一2 B.a=3，b=2 C.a=2，b=2 √ D.a=一2，b=2解析：解析：由du(x ，y)=[axy 3 +cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy 可知， 3axy 2一2sin(x+2y)=6xy2一bsin(x+2y)． 故得a=2，b=2．11.设u(x ，y)在平面有界闭区域D u(x ，y)的 ( )（分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在D 的边界上 √C.最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上D.最小值点在D 的内部，最大值点在D 的边界上解析：解析：令 B 2一AC ＞0，函数u(x ，y)不存在无条件极值，所以，D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D 的内部出现．但是u(x ，y)连续，所以，在平面有界闭区域D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D 的边界上． 12.设函数z=(1+e y)cos x —ye y，则函数z=f(x ，y) ( ) （分数：2.00） A.无极值点 B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点 √D.有无穷多个极小值点解析：解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷． 由得驻点为(k π，cosk π一1)，k=0，±1，±2，…， 又z" xx =一(1+e y)cos x ，z" xy =一esin x ，z" yy =e y(cosx —2一y)． (1)当k=0，±2，±4，…时，驻点为(k π，0)，从而 A=z" xx (k π，0)=一2，B=z" xy (k π，0)=0，C=z" yy (k π，0)=一1， 于是B 2一AC=一2＜0，而A=一2＜0，即驻点(k π，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当k=±1，±3，…时，驻点为(k π，一2)，此时 A=z"xx(k π，一2)=1+e 一2 ，B=z" xy (k π，一2)=0，C=z" yy (k π，一2)=一e 一2 ， 于是B 2 一AC=(1+e 一2)．e 一2＞0，即驻点(k π，一2)为非极值点． 综上所述，故选(C)．二、 填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f 可微，则由方程f(cx 一az ，cy 一bz)=0确定的函数z=z(x ，y)满足az" x +bz" y = 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C ）解析：解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题． 方程两边求全微分，得f" 1 ．(cdx —adx)+f" 2．(cdy —bdz)=0，即14.设函数z=z(x ，y)由方程sin x+2y —z=e z所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：方程两端对x 求偏导数cos x+015.函数f(x ，y ，z)=一2x 2在x 2一y 2一2z 2=2条件下的极大值是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一4） 解析：解析：由拉格朗日乘数法可得．16.函数的定义域 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ z ｜，且z≠0）解析：解析：由一可得．17.设z=esin xy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：esinxycosxy(ydx+xdy)）解析：解析：z" x =e sinxy cos xy．y，z" y =e sinxy os xy．x，则dz=e sinxy cos xy(ydx+xdy)．三、解答题(总题数：20，分数：40.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2014年考研数学二----多元函数微积分
极坐标下一定要注意角度 的变化范围
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
(2) y
r ( )
D
o
(2)
D
x
o x 答: (1) 0 ;
2
2
例. 计算
其中D : x 2 y 2 a 2 .
三、利用极坐标计算二重积分
极坐标下的几种常见类型与问题： （1）这里面含有很多种圆域的形式，不局 限于常见的形式 （2）计算圆域形式的二重积分时有时“坐 标平移法”在考场上会让你胜出一筹（2009 年19题------经典题型） （3）求解“两圆或者圆与其他图形”公共 部分上的二重积分（重要考点）
二重积分的计算
一、利用二重积分的定理与 性质计算与比较、估值 二、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
一、利用二重积分的定理与 性质计算与比较、估值
补充：比较和估计定积分
针对定积分： （1）比较同一函数在不同区间的大小 （2）比较不同函数在同一区间的大小 （3）比较不同函数在不同区间的大小 方法： A 针对（2）类，一般用作差法 B 针对（1）类，一般用分解区间法，把一个区间 划分为含有已知的小区间，然后通过变量代换 eg:
(x y ) d x d y d
2 2
3
2
2 2 ( x y ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 y 2 2 y, 2. 计算 D
2
2
o
2
D
6
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C．fx′（0，0）存在，fy′（0，0）不存在
D．fx′（0，0），fy′（0，0）都不存在
【答案】B
【解析】由 f x, y e 得 x2 y4
f
x
0,
0
lim
x0
f
x,0
x
f
0, 0
lim
x0
ex 1 x
ex 1
ex 1
ex 1
ex 1
又 lim
lim
1 ，lim
lim
1 ，故 fx′（0，0）不存在。
x3 y
2．设函数
f
x,
y
x6
y2
x, y 0,0
，则它在点（0，0）处是（
）。
0
x, y 0,0
A．连续的
B． lim f x, y f 0,0 x, y0,0
C．二重极限不存在
D． lim f x, y 存在，但 f（0，0）不存在 x, y0,0
【答案】C
【 解 析 】 由 lim f x0 y x3
yx
lim f x, y 不存在，即函数 z＝f（x，y）在点（0，0）处Hale Waihona Puke 连续。x0 y0而
f
x
0,
0
lim x0
f
x,0
x
f
0, 0
lim 0 0 x0 x
0
，
f
y
0,
0
lim
y0
f
0,
y
y
f
0, 0
lim
y0
00 y
0 ，即函数的偏导数存在。
10．二元函数 z＝f（x，y）在点（x0，y0）处存在一阶连续偏导数是它在此点处可微 的（ ）。
8．若有（
），则 lim f x, y 必存在。 x, y x0 , y0
A． lim lim f x, y lim lim f x, y
xx0 y y0
y y0 xx0
B． lim f xx0
x, k x x0 A ，A 为常数，k 为任意实数
C．函数 f（x，y）在点（x0，y0）连续
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第五章 多元函数微分学
一、选择题 1．若 f（x－y，lnx）＝[1－（y/x）]ex/[eyln（xx）]，则 f（x，y）＝（ ）。 A．1/（yex） B．xex/y C．xex D．xex/（ye2y） 【答案】D 【解析】令 u＝x－y，v＝lnx，故 f（x－y，lnx）＝[（x－y）/x]·ex－y/[xln（x）]＝ueu/（ve2v）＝f（u，v）。将变量 u， v 变为 x，y，，得 f（x，y）＝xex－2y/y。
A．连续，偏导数存在
B．连续，偏导数不存在
C．不连续，偏导数存在
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D．不连续，偏导数不存在
【答案】C
【解析】由二元函数式可求得
lim
x0
f
x,
y
0
，
lim
x0
f
x,
y
lim
x0
x2 2x2
1 2
，则
y0
A．x B．y C．z D．yf（x2－y2） 【答案】A 【解析】由 x＋z＝yf（x2－z2），可得∂z/∂x＝－（1－y·2xf′）/（1＋2yzf′），∂z/∂y ＝－（－f）/（1＋2yzf′），故有（z∂z/∂x）＋（y∂z/∂y）＝（x－yf＋2xyzf′＋yf）/（1＋ 2yzf′）＝x。
6．已知函数 z＝ex＋3y，x＝cost，y＝t2，则 dz/dt 等于（
e A． 3t2 cost 6t sin t
）。
B．ex＋3y（3t2＋cost）
C．ex＋3yt2cost
D．ex＋3y（6t＋sint）
【答案】A
【
解
析
】
由
题
得
dz z dx z dy ex3y sin t 3ex3y 2t e3t2cost 6t sin t 。
，则 fx′（0，1）＝（
）。
0, 当xy 0
A．0
B．1
C．2
D．不存在
【答案】B
【解析】由题知，
f
x
0,1
lim
x0
1 sin x2 x
x
0
lim
x0
sin x2 x2
1。
4．已知 f x, y e x2 y4 ，则（ ）。
A．fx′（0，0），fy′（0，0）都存在
B．fx′（0，0）不存在，fy′（0，0）存在
x,
y
f
0, 0
0
f x,0 f 0,0
f 0, y f 0,0
B． lim
0 ，且 lim
0
x0
x
y0
y
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dt x dt y dt
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7．设 f 有二阶偏导数，z＝f（xy），则∂2z/∂x∂y 等于（ ）。 A．yf″＋f′ B．xy2f″ C．xyf′f″ D．f′＋xyf″ 【答案】D 【解析】∂z/∂x＝yf′，∂2z/∂x∂y＝f′＋yf″·x＝f′＋xyf″。
x x0
x x0
x x0
x x0
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又
f
y
0,
0
lim
y0
f
0, y
y
f
0, 0
ey2 1
lim
lim
y0 y
y0
y2 y
0 ，故 fy′（0，0）存在。
5．设方程 x＋z＝yf（x2－z2）（其中 f 可微）确定了 z＝z（x，y），则 z∂z/∂x＋y∂z/∂y ＝（ ）。
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．以上都不是 【答案】A 【解析】一阶偏导数在（x0，y0）点连续，则函数在（x0，y0）处可微；而函数在（x0， y0）处可微，其一阶偏导数不一定连续。
11．二元函数 f（x，y）在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ）。
A． lim
x, y0,0
f
D．当点 P（x，y）沿无穷多条路径趋向定点 P0（x0，y0）时，有 f（x，y）趋于 A
【答案】C
【解析】f（x，y）在点（x0，y0）连续是 lim f x, y 存在的充分条件。 x x0 y y0
xy
9．二元函数
f
x,
y
x2
y2
x, y 0,0
在点（0，0）处（
）。
0 x, y 0,0
x, y
x3 x3 lim
x0 x6 x3
2
1 2
，
lim f
y0 x0
x, y
lim
y0
0 06
y y
2
0
知
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lim f x, y 不存在。
x0 y0
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3．设
f
x,
y
1 xy
sin
x2 y,
当xy 0