成都市高三一诊性模拟数学(理科)试题
四川省成都市2020届高考一诊试卷数学(理科)(含答案)
四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
成都市一诊考试数学试题及答案理科
理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U =R ，集合{}2=≤-A x x {}1,,=≥-B x x 则()=U A BA.[]21,- B.21(,)-- C.(][)21,,-∞--+∞ D.21(,)-2.复数21iz =+在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误．．的是 A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与日期成负相关4.已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,,A B C 则“sin >sin A B ”是“tan >tan A B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. “更相减损术”是我国古代数学名着《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k 的值分别为4，6，1，则输出的k 的值为6.若关于x 的不等式2210x ax ++≥在[)0+∞，上恒成立，则实数a 的取值范围为A.0+∞(,)B.[)1-+∞, C.[]11-, D.[)0+∞,[)[)[][)26210001110.,()(,)(),(),(),x a A B C D ++≥+∞+∞ -+∞ - +∞若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为x ax7．如图，已知双曲线2222100x y E a b a b-=:(,)>>，长方形ABCD 的顶点A ，B分别为双曲线E 的左，右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上．若6AB =，52BC =，则此双曲线的离心率为A.2B.32 C.52D.522228100562.:(,),,,,,,,ABCD A B E C D E AB BC -===如图已知双曲线长方形的顶点分别为双曲线的左、右焦点且点在双曲线上若则双曲线的离心率为x y E a b a b>>8.已知3sin 0652ααππ-=∈(),(,)，则cos α的值为 A.43310- B.43310+ C.43310- D.33410- 9．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，1202BAC PA AB AC ︒∠====,.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.103πB.18πC.20πD.93π10.已知定义在R 上的奇函数f x ()满足20f x f x ++=()()，且当[]01x ∈,时，2log 1f x x =+()().则下列不等式正确的是A. ()()()2log 756f f f <-<B. ()()()2log 765f f f <<-C. ()()()25log 76f f f -<<D. ()()()256log 7f f f -<< 11.设函数sin 23f x x π=+()()，若12x x 0,<且120f x f x +=()()，则21x x -的取值范围为 A.6π∞(,+)B.3π∞(,+) C.23π+∞(,)D.43π+∞(,)12.已知关于x 的方程e 0e exx x++-x m =x 有三个不相等的实数根123x x x ,,,且1230x x <x <<，其中m ∈R ，e 271828=⋅⋅⋅.为自然对数的底数.则1232312111e e e x x x ---()()()x x x 的值为 A.e B. 1 C. 1m + D. 1m -第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13.52()y x+的展开式中的第三项系数为.14.若实数x y ,满足线性约束条件124+≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩x y y x x y ，则2+x y 的最大值为.15.如图，在直角梯形ABDE 中，已知90ABD EDB ︒∠=∠=,C 是BD 上一点，315,AB ACB ︒=-∠=60,ECD ︒∠=45EAC ︒∠=，则线段DE 的长度为.16.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D的中点，12AD AA =,，点Q 是正方形ABCD 所在平面内．．．的一个动点，且=QC ，则线段BQ 的长度的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn，24316a S ==,,*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =,求数列{}n b 的前n 项和nT.18. （本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位:吨）. 若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率； （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图①，在边长为5的菱形ABCD 中，6AC =.现沿对角线AC 把ADC ∆翻折到APC ∆的位置得到四面体P ABC -，如图②所示.已知PB =（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）若Q 是线段AP 上的点，且13AQ =AP ，求二面角Q BC A --的余弦值.图① 图②20.（本小题满分12分）已知椭圆222210x y C a b a b+=:()>>的右焦点0F )，长半轴与短半轴之比等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点01(,)B 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M N ,.若线段MN 的中点H 满足2MN =BH ，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标.21.（本小题满分12分）已知函数e xf x =()，其中e 271828=⋅⋅⋅.为自然对数的底数.（1）若曲线()=y f x 在点00e xP x (,)处的切线方程为y kx b =+，求k b -的最小值；AA（2）当常数()2,+m ∈∞时，已知函数212g x x f x mx =--+()()()在0(,)+∞上有两个零点()1212x x x x ,<.证明：214ln e<-<x x m .请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12222x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(为参数）.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4sin ρθθρ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点M 的直角坐标为22(,).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,，求MA MB ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数21f x x k x k =-++∈(),R .（1）当1k=时，若不等式4f x ()<的解集为{}12x x x x |<<，求12x x +的值；（2）若关于x 的不等式f x k ≥()当x ∈R 时恒成立，求k 的最大值.数学（理科）参考答案及评分意见第I 卷（选择题，共60分）一．选择题：(每小题5分，共60分)；；；；；；；；；；；.第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：(每小题5分，共20分)；；；.三．解答题：(共70分)17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d .24316a S ==,，1134616a d a d ∴+=+=,.解得121d a ==,. ………4分21n a n ∴=-. ………6分（2）由题意，212n n b n =-⨯().1211232232212n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯()().21212232212n n n T n n +=⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯()().由-，可得1231122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⋅⋅⋅+--⨯()().………9分311122212126232n n n n T n n -++∴-=+---⨯=-+-+⨯()()().………11分16232n n T n +∴=+-⨯(). ………12分18.解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为 事件A .则123488331212C C C 16842C C 22055P A =+==(). ………4分 （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为13.随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数，∴X 的取值分别为：0123,,,. 易知3311230123333k k k XB P X kC k -===(,),()()(),,,,.则84210123279927P X P X P X P X ========()(),(),().， ………8分 ∴随机变量X 的分布列为………10分数学期望1313E X =⨯=(). ………12分19.解：（1）取AC 的中点O ,连接,PO BO 得到∆PBO .ABCD 是菱形，∴=PA PC ，PO AC ⊥.5634DC AC OC PO OB ==∴===,,，,42PB =， 222PO OB PB ∴+=.PO OB ∴⊥.BOAC O =，∴⊥PO 平面ABC .⊂PO 平面PAC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC . ………4分（2）AB BC BO AC =∴⊥.，易知,,OB OC OP 两两相互垂直.以O 为坐标原点，OB OC OP ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.则400030004030B C P A -(,,),(,,),(,,),(,,). 设点(,,)Q x y z . 由13AQ AP =， 得4023Q -(,,).………6分 4430423BC BQ ∴=-=--(,,),(,,).设1111x y z =(,,)n 为平面BCQ 的一个法向量.X 01 2 3P827 49 29 127由111111143044203x yBCx y zBQ-+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+⋅=⎪⎪⎩⎩.=nn解得111134415x yy z⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩.=取115z=，则13415 =(,,).n………8分取平面ABC的一个法向量2001 =(,,)n.121212cos,⋅===n nn nn n………11分∴二面角--Q BC A………12分20.解：（1）22232ac a b cb===+,，，∴21,==a b.∴椭圆的标准方程为2214xy+=.………4分（2）易知当直线l的斜率不存在时，不合题意.设直线l的方程为1)y kx m m=+≠(，点1122M x y N x y(,),(,).联立2244y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，消去y可得222418440k x kmx m+++-=().2212221224108414441k mkmx xkmx xk⎧⎪∆=+->⎪-⎪∴+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.由2MN=BH，可知点B在以MN 为直径的圆上.BM BN∴⊥.0BM BN∴⋅=.………7分112211(,)(,)⋅=+-⋅+-BM BN x kx m x kx m2212121110k x x k m x x m=++-++-=()()()()，2222244811104141m kmk k m mk k--∴++-+-=++()()().整理，得25230m m --=. 解得35=-m 或1=m （舍去）. ∴直线l 的方程为35y kx =-. 故直线l 经过定点，且该定点的坐标为305-(,).………12分21.解：（1）曲线在点00e xP x (,)处的切线为0000e e e x x x y x x =-+.0000e e e x x x k b x ∴==-+,. 00e x k b x ∴-=.………3分设e x H x x =().由1e 0x H x x '=+=()()，解得1x =-.当x >-1时，0H x '()>，∴H x ()单调递增; 当x <-1时, 0H x '<()，∴H x ()单调递减.H x ∴()的极小值（也是最小值）为11eH -=-().∴-k b 的最小值为1e -.………5分（2）当0>x 时，由e 20x g x x m '=-=()()，解得ln 2.x m = 当ln 2x m >时，()0g x '>，∴()g x 在(ln 2,)+∞m 上单调递增； 当0ln 2x m <<时，()0g x '<，∴()g x 在(0,ln 2)m 上单调递减.∴()g x 的极小值为(ln 2).g m ………7分∵(1)20g m =-<,ln 2ln 41x m =>>，(ln 2)0.g m ∴< 又010120(),(),=>=-<g g m ∴101(,),∃∈x 使得10g x =(). 2ln 2ln 4,x m >>214ln 41ln .e x x ∴->-=………9分当x m =时，31e 22m g m m m m =--+()(),.>2e 3e 3m m g m m m m m '∴=-=-()().设e 32m G m m m =-(),.>e 30m G m '=-(),>()∴G m 在2(,)+∞上单调递增. 22e 60G m G ∴=-()().>>0()g m '∴>恒成立.22e 60g m g ∴=-()().>>2(ln 2,),x m m ∴∃∈使得20g x =(). 2m x ∴.>21m x x ∴-.>故214lne<-<x x m 成立. ………12分 22.解：（1）由12222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去参数t可得22y x =-+). ∴直线l20y -+-=. ………2分2222sin 4sin sin 4sin .ρθθρρθρθρ+=∴+=， 222sin ,y x y ρθρ==+，故曲线C 的直角坐标方程为24x y =. ………4分（2）将1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入抛物线方程24x y =，可得2124222t +=+()().即28160t t +--=(. ………8分 设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则12120,+8,16,∆>==-t t t t∴1216MA MB t t ==.………10分23.解：（1）由题意，得214x x -++<.i ()当2x >时，原不等式即25x <.∴522x <<； ii ()当x <-1时,原不等式即23x -<.∴312-<<-x ；iii ()当2x -1≤≤时，原不等式即3<4.∴12x -≤≤.综上，原不等式的解集为3522x |x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，即123522x x =-=,. 121x x ∴+=.………5分（2）由题意，得21x k x k -++≥. 当2=x 时,即不等式k k ≥3成立.0.k ∴≥ i ()当2-≤x 或0≥x 时,11x +≥，∴不等式k x k x ≥++-|1||2|恒成立.ii ()当12-≤<-x 时,原不等式可化为2---≥x kx k k .可得241.22x k x x -≤=-+++ 3.k ∴≤iii ()当01<<-x 时,原不等式可化为2.x kx k k -++≥可得21.k x ≤- 3.k ∴≤综上，可得03k ≤≤，即k 的最大值为3. ………10分。
四川省成都七中高三数学一诊模拟考试 理
数学（理）试题时间:120分钟 满分:150分一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． （1）已知集合2={1,},={2,1},{4},A a B a AB -=若则实数a 等于（A ）4 （B ）0或4 （C ）0或2 （D ）2 （2）若复数z 满足,21i iz=+ 则在复平面上复数z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为12(2,1),(3,2)=--=-f f ，3(4,3),=-f 为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力4,f 若54,f f 则5f 可为（A ）()2,4-- （B ）()2,4- （C ）()4,2-- （D ）()4,2- （4）函数2()x y xR 的反函数的大致图象为（5）已知αβ、为锐角，且αcos ＝71,)cos(βα+＝－1411,则β＝ （A ）3π （B ）4π（C ）512π （D ）以上答案都不对（6）已知命题:0p a b >>，命题:q a b a b +<+，则命题p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，若()f x 为奇函数，则1()sin 390g ︒的值是 （A ）4 （B ）4- （C ）14（D ）14- （8）已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则231a a a += （A ）2 （B ）6 （C ）8 （D ）10（9）如图，单位正方体1111ABCD A B C D-中，下列说法错误的是（A）11BD B C⊥（B）若111,33DP DD DE DC==，则PE1A B（C）若点1B A D C、、、在球心为O的球面上，则点A C、在该球面上的球面距离为1arccos23（D）若111,33DP DD DE DC==，则1A P BE AD、、三线共点（10）在ABC∆中，若222sin sin5sinA B C+=，则cos C的最小值等于（A）45（B）45-（C）25（D）25-（11）假设编拟某种信号程序时准备使用,,,,,A B C a b c（大小写有区别），把这六个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为（A）432个（B）288个（C）96个（D）48个（12）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b≤+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”．已知函数2()h x x=，()2ln(m x e x e=为自然对数的底数)，()2x xϕ=-，()1d x=-．有下列命题：①()()()f x h x m x=-在(x∈递减；②()h x和()d x存在唯一的“隔离直线”；③()h x和()xϕ存在“隔离直线”y kx b=+，且b的最大值为14-；④函数()h x和()m x存在唯一的隔离直线y e=-．其中真命题的个数（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．（13）5)1(xx-的二项展开式中第二项的系数是（用数字作答）.1ACAA（14）2241lim ()42x x x→--=-+ . （15）如图，90BAC ∠=︒的等腰直角三角形ABC 与 正三角形BCD 所在平面互相垂直，E 是线段BD 的中点， 则AE 与CD 所成角的大小为 .（16）已知数列{}n a 的前n 项和为14,1,8,nn n S a a S b q c ===+(0,1,0,q q bc ≠≠±≠0)b c +=，现把数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形形状．记(,)A m n 为第m 行从左起第n 个数()m n *∈、N ．有下列命题： ①{}n a 为等比数列且其公比2q =±； ②当2(3)n m m =>时,(,)A m n 不存在；③10028(6,9),(11,1)2a A A ==；④假设m 为大于5的常数，且1(,1)m A m a =2(,2),,(,)k m m A m a A m k a ==，其中k m a 为(,)A m n 的最大值，从所有123,,m m m ，,k m 中任取一个数，若取得的数恰好为奇数的概率为121m m --，则m 必然为偶数．其中你认为正确的所有命题的序号是___________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知函数2()4cos sin ()42xf x x π=+2x 2cos x -. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求()f x 的单调区间及值域. （18）（本小题满分12分）梯形ACPD 中，,,AD CP PD AD CB AD ⊥⊥，4DAC π∠=，PC =AC 2=，如图①；现将其沿BC 折成如图②的几何体，使得AD =（Ⅰ）求直线BP 与平面PAC 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角C PA B --的余弦值.ADPCB图①PCBAD（19）（本小题满分12分）为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ 用户推出了多款QQ 应用，如“QQ 农场”、“QQ 音乐”、“QQ 读书”等.某校研究性学习小组准备举行一次“QQ 使用情况”调查，从高二年级的一、二、三、四班中抽取10名学生代表参加,抽取不同班级的学生人数如下表所示:(I)(Ⅱ) 假设在某时段，三名学生代表甲、乙、丙准备分别从QQ 农场、QQ 音乐、QQ 读书中任意选择一项，他们选择QQ 农场的概率都为16；选择QQ 音乐的概率都为13；选择QQ 读书的概率都为12；他们的选择相互独立.设在该时段这三名学生中选择QQ 读书的总人数为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（20）（本小题满分12分）已知函数2()(1)4f x x m x =-++.（Ⅰ）当(0,1]x ∈时，若0m >，求函数()()()1F x f x m x =--的最小值； （Ⅱ）若函数()()2f x G x =的图象与直线1y =恰有两个不同的交点12(,1),(,1)A x B x12(03)x x ≤<≤，求实数m 的取值范围.（21）（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，前n 项和为n S ；{}n b 为等比数列,11b =，且226,b S = 3324b S =，n *∈N ．(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令21n n n n n C b a a +=+•，123n n T C C C C =++++；①求n T ；②当3n ≥时，证明：4(2)15(1)n n T n +>+.（22）(本小题满分14分)设函数221()log (1)log x f x x x x-=--(1)x >. （I ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若,m t +∈R ，且111m t+=，求证：22log log t m m t mt +≤； （Ⅲ）若1232,,,...,a a a a +∈R n ，且12321111...1a a a a ++++=n， 求证：221222321232log log log log ...a a a a n a a a a ++++≤n n.成都七中高2012级高三一诊模拟考试 数学（理）参考答案及评分意见二、填空题： （13）5-；（14）14；（15）4π；（16三、解答题：（17）解:(Ⅰ)＝2cos (1x +22T ππ==(Ⅱ) 0,2x π⎛∈ ⎪⎝⎭，2333x <+<， 由2033212x x ππππ<+≤⇒<≤,42233122x x πππππ≤+<⇒≤< ()f x 的单调递增区间为0,12x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,122x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭由2sin(2)23x π+≤，域值为(⎤⎦（18）解：（Ⅰ）由题意，PC=AC=2,AB ∴=BD 在ABD ∆中，∵222AB DB AD +=，∴BD BA ⊥∴BD BA BC 、、两两垂直，分别以BC BA BD 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B xyz -（如图）.(0,0,0),A B C P 设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，(CA =-，(0,0,2)CP =，0000CA x y z CP ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩n n ，取(1,1,0)=n 设直线BP 与平面PAC 成的角为θ，则2sin 2BP BP θ===⨯nn直线BP 与平面PAC 成的角为(2,2,2),(2,0,0).AP BC =-=（Ⅱ）设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =m ，(0,2,0),(2,AB AP =-=0,0,0,.0.20.y AB x AP z ⎧⎧=⎧⋅==⎪⎪⎪∴∴∴⎨⎨=⎪⋅=-+=⎪⎩⎩m m令1,z =-∴=-m 由（Ⅰ）知平面PAC 的法向量为令(1,1,0)=n .cos ,⋅∴<>===m n m n m n 由图知二面角C PA B --为锐角， ∴二面角C PA B --大小的余弦值为3（19）解：(I)记这两名学生都来自第i 班为事件(1,2,3,4)i A i =则()221210145C P A C ==；()232210345C P A C ==；()243210645C P A C ==；()40P A =∴()()()()1234102459P P A P A P A P A =+++==（Ⅱ）ξ的取值为0,1,2,3．311(0)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；31313(1)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；32313(2)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；33311(3)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ξ的分布列为：012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=或32E np ξ==．（20）解：（Ⅰ）()2()()124F xf x m x x mx=--=-+，(0,1]x ∈对称轴x m =()0m >①当01m <≤时，2min ()()4F x F m m ==-②当1m >时，min ()(1)52F x F m ==-∴min 252(1)()4(01)m m F x m m ->⎧=⎨-<≤⎩（Ⅱ）2()(1)4()22f x xm x G x -++==与直线012y ==恰有两个不同的交点12(,1),(,1)A x B x12(03)x x ≤<≤⇔关于x 的方程2(1)40x m x -++=在[]0,3上有两个不等的实数根 2()(1)4f x x m x =-++则2(1)1601032(0)40(3)93(1)40m m f f m ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=-++≥⎪⎩解得1033m <≤, ∴103,3m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（21）解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为(0),d d >{}n b 的公比为q ；11(1),n n n a n d b q -=+-=，依题意有233221(33)242(2)6d S b d q q S b d q =⎧=+=⎧⇒⎨⎨==+=⎩⎩或124d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩(舍去解得1,2d q =⎧⎨=⎩故n an =；12n n b -=()n *∈N （II ）由（I ）知11211111()2(2)222n n n n n n n n n C b a a n n n n --+=+=+=+-++, ①111111()222nnn i i i i T i i -===+-+∑∑ 112ni i i -=∑是一个典型的错位相减法模型，1112422ni n i i n --=+=-∑1111()22ni i i =-+∑是一个典型的裂项求和法模型， 111111111111()(1)222324352ni i i n n =-=-+-+-++-++∑ 11113(1)22124n n =+--=++ 112323192234242(1)(2)422(1)(2)n n n n n n n T n n n n --++++=-+-=--++++②当3n ≥时，112424242122n n n n n n n n n C C C n -+++-=-≥-=+++++11922319223422(1)(2)412(1)(2)n n n n n n T n n n n n -++++∴=--≥--+++++224(2)4619(1)(2)4(2)46419(1)(2)(1)(2)n n n n n n n T n n n n +++++-+--⇒≥-=++++215371615(1)(1)(2)(1)(2)2n n n n n n n n +++=>+++++∴当3n ≥()n *∈N 时，()15(1)44215(2n n n T n T n n +>⇒+>++（22）解：（I ）221()log (1)log x f x x x x-=--，'22222211111()log (1)log log log (1x f xx e e x xx x x x -=-+-=--令'()0f x ≥，得2x ≥，所以()f x 在(1,2]递减，在[2,)+∞递增所以min ()(2)1f x f ==-.（Ⅱ）2222221log log log log log 11(1)log (1)m t m m t m t m t m m m+=-=---{}2221log (1)log (1)log m m m m m⎡⎤=----⎣⎦ 222211log (1)log (1)log (1)log m m m m m m m m -⎡⎡⎤=---=---⎣⎦⎢⎥⎣⎦m 由（I ）知当1>x 时，221log (1)log 1x x x x---≥-， 又111m t+=，,m t +∈R ∴2222221log (1)log 1log log m m m t m m t mt m m t---⇒+≤. （Ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当1n =时，由（Ⅱ）可知，不等式成立； 2°假设n k =(k *∈N )时不等式成立， 即若1232,,,...,a a a a +∈R k ，且12321111...1ka a a a ++++=时， 不等式221222321232log log log log ...a a a a k a a a a ++++≤k k成立 现需证当1n k =+(k *∈N )时不等式也成立， 即证：若11232,,,...,a a a a ++∈R k ，且112321111...1a a a a +++++=k 时，不等式 211122221222222212221222log log log log log log ......1a a k a a +++++++++++++≤+k k k k k k k k aa a a a a a a 成立. 证明如下：设12321111...k x a a a a ++++=，则12321111...1xa xa xa xa ++++=k()()()()222122231232log log log log ...⇒++++≤k kxa xa xa xa k xa xa xa xa用心 爱心 专心 112222312212321111log log log log ...⇒++++≥-k kxa xa xa xa kx a a a a222122221212322111log log log 1111...(...)log log k ⇒+++≥-+++++=-+k k ka a a x x kx x x a a a a a a a ......①同理1122221222212222122111log log log 111...(1)(...)log (1)+++++++++++≥--++++-k k k k k k k k a a a k x x a a a a a2(1)(1)log (1=--+--k x x 由①+②得：112222221222122212221222111111log log log log log log ......+++++++++++++k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a 22[log (1)log (1)]≥-++--k x x x x又由（Ⅱ）令1x m =，则11x t=-，其中(0,1)x ∈， 则有2222log log 11log (1)log 11m t x x m t x x+=+-≤- ∴22log (1)log (1)1+--≥-x x x x ∴22[log (1)log (1)]1k x x x x k -++--≥--211122221222222212221222log log log log log log ......1a a a a a k a a a a a a +++++++++++++≤+k k k k k k k k a∴当1n k =+时，原不等式也成立.综上，由1°和2°可知，对任意的*n ∈N 原不等式均成立注：对于解答题的其它解法，根据小题的小分值适度合理给分.。
四川省成都市2023届高三第一次诊断性检测数学(理科)试题(解析版)
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的导数可得 ，解出 的值之后验证函数在 处取得极大值.
【详解】函数 ， ，
函数 在 处有极大值，可得 ，解得 或 ，
当 时， ， 时 ， 时 ，
在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处有极小值，不合题意.
当 时， ， 时 ， 时 ，
在 上单调递增，在 上单调递减， 在 处有极大值，符合题意.
成都市2020级高中毕业班第一次诊断性检测
数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
对于B，2015年工业企业利润总额增速为负数，从2014到2015利润总额下降，2019年工业企业利润总额增速为负数，从2018到2019利润总额下降，故B不正确；
对于C，2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正数，所以利润总额均较上一年实现增长，且其增速均大于当年工业企业利润总额增速，故C正确；
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式，得到 ，进而求出交集.
【详解】 ，
故 .
故选：C
2.满足 （ 为虚数单位）的复数 （）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法化简可得复数 .
【详解】由复数的除法可得 .
故选：A.
3.抛物线 的焦点坐标为（）
成都七中21届高三理科数学一诊模拟考试试卷
的黄色汽车数以 表示，求 的分布列和数学期望.
19.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC 60 , AB PA 2, PA 平面 ABCD , E, M 分别是 BC, PD 中点，点 F 在棱 PC 上移动.
C. 1
D. 2
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡上.
x 2y 1
13．若实数
x,
y
满足约束条件
x
y
0
，则
z
x
4y
的最小值为
y 5
高三数学（理科）摸底测试题 第 3 页（共 6 页）
14.已知数列an 前
n
项和
Sn
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
x
y
t kt
3
（
t
为参数），直线
l2
的参数方程为
高三数学（理科）摸底测试题 第 5 页（共 6 页）
x 3 m
y m 3k
，（ m 为参数），设直线l1 与 l2 的交点为 P ，当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线C1 .
（1）求曲线 C1 的普通方程；
个白球， P
2 等于
n m Am2
An3
.
④由一组样本数据 x1, y1 , x2, y2 , xn , yn 得到回归直线方程 y bx a ，那么直线 y bx a 至少经
过 x1, y1 , x2, y2 , xn, yn 中的一个点.
22届高三理科数学一诊模拟考试试卷答案更新版
成都七中2022届高三数学一诊模拟考试(理科)一．1-12AABCC BADB A BD13.520x y −+=；14.18；15.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；16. 三、解答题 17．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由636S =，可得1656362⨯+=a d ，即12512a d +=，选①：由35a =，可得11251225a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−．选②：由24621a a a ++=，可得4321a =，即47a =，所以11251237a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−． 选③：由749=S ，因为636S =，可得77613a S S =−=，所以112512613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−． （2）由（1）可得2133−=n n n a n ，所以23135213333−=+++⋅⋅⋅+n n n T ， 所以234113521333313+−+++⋅⋅⋅+=n n T n ，两式相减得2341222221333233133+−+++⋅⋅⋅+−=+n n n n T 23411111112123333333+−⎛⎫=++++⋅⋅⋅+−− ⎪⎝⎭n n n 111111212223321333313++⎛⎫− ⎪−+⎝⎭=⨯−−=−−n n n n n 所以113n nn T +=−． 18.【解析】(1)由题意，知10122.00i i t ==∑,101230i i y ==∑,可得 2.20t =,23y =, 又由()()()112221110569.0010 2.20232550.9210ˆ 2.20 2.2010n ni i i ii i n n i i i i t t y y t y t y b t t t t ====−−−⋅−⨯⨯====−⨯⨯−−∑∑∑∑, 则23252ˆ.2032ˆay bt =−=−⨯=−（第17-21题必答题每题12分，第22、23题选考题每题10分）在BQN △中，BH BN ==所以sin BH BGH BG ∠===A MN B −−. 方法二：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0B，()A −，12N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,1M ，13,,122NM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，()2,3,1AM =−，()1,0,1BM =. 设平面AMN 的法向量()1111,,n x y z =，平面BMN 的法向量()2222,,n x y z =.由1111111113022230x y z n NM n AM x y z ⎧⎧−+=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪−+=⎩，可取()11,3,1n =； 由2222222130220n NM x y z n BM x z ⎧⎧⊥−+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩，可取231,,13n ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭. 于是12121213cos,35753n n n n n n ⋅−===−⋅⨯， 所以二面角A MN B −−35=. 20．【解析】(1)由题意可知，圆1C 的圆心为(2,0)，半径为32 ； 圆2C 的圆心为(2,0)−，半径为2，设圆M 的半径为R ，则()()1212366264MC MC R R C C +=−++=>=，所以M 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆，不妨设椭圆的标准方程为：22221x y a b +=(0)a b >>，且椭圆焦距为2c ，由椭圆定义可知，226a =，24c =，所以6a =，2c =，2222b a c =−=，故动圆圆心M 的轨迹方程C 为22162x y +=. (2)设AP AQ λ=()1λ>，即有()()11223,3,x y x y λ−=−，即()1233x x λ−=−，12y y λ=，设()10,M x y ，即有221036x y +=，则01=−y y ，又右焦点()2,0F ，则()112,x FM y −=−，()222,FQ x y =−，∴120y y λ+=， 由于1233x x λ−=−，112232032x x x x −−+=−−等价为()121221250x x x x +−+=， 由韦达定理代入可得222227618212501313k k k k−⋅+−⨯=++，则有()()12220x x λ−+−=， 故有FM FQ λ=−，∴Q ，F ，R 三点共线，∴ARQ △面积()221211122a S AF y y c y y c=⨯⨯−−=⨯−⨯+， ()()()211221113362261333123121323k x k x k x x k k k k k k k=⨯⨯−+−=⨯+−⎡⎤⎣⎦=⨯=≤=++⨯， 当且仅当13=k k ，即33k =±时取等号，满足6633k −<<， ∴ARQ △面积的最大值32． 21．【解析】（1）证明：当12a =时，设1()2x G x e =−21(0)x x x −−， ()1x G x e x '=−−，则()10x G x e ''=−，故()G x '在[0，)+∞上单调递增，故当0x 时，()(0)0G x G ''=，故()G x 在[0，)+∞上单调递增，故当0x 时，()(0)0G x G =，故当0x 时，()1f x x +恒成立．(2)设2()()()sin 21(0)x h x f x g x x e ax x x =−=+−−−，则()0min h x ，且(0)0h =，则()22cos (0)x h x e kx x x '=−−+，且(0)0h '=，()2sin x h x e k x ''=−−，(0)12h a ''=−， ()cos 0x h x e x '''=−，则()h x ''在[0，)+∞上单调递增，当12a 时，(0)120h a ''=−，由于()h x ''在[0，)+∞上单调递增， 则当0x 时，()(0)0h x h ''''，则()h x '在[0，)+∞上单调递增，故()(0)0h x h ''=，则()h x 在[0，)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =，符合题意，当12a >时，(0)120h a ''=−<， 利用（1）中已证结论可得由于()h x ''在[0，)+∞上单调递增，12(12)2sin(12)1(12)210a h a e a a a a +''+=−−+++−−>，故必然存在0(0,12)x a ∈+，使得0(0,)x x ∈时，(0)0h ''<，则()h x '在0(0,)x 上单调递减，故当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h '<'=，则()h x 在0(0,)x 上单调递减，则当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，综上，a 的取值范围为(−∞，1]2． 22.【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=，1=−1,01,01y x x y =−+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ−+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y −+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=−⎪⎨−+=⎪⎩，整理得12130x −+=12=136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 23.【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=−−<<⎨⎪⎪−−≤−⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x −−=+−，解得76x =−． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭．。
2020届四川省成都市高三第一次诊断考试 数学(理)(含答案)
2020届四川省成都市高三第一次诊断考试数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I 卷(选择题)1至2页，第II 卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 1与z 2＝－3－i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1＝ (A)－3－i (B)－3＋i (C)3＋i (D)3－i2.已知集合A ＝{－l ，0，m}，B ＝{l ，2}。
若A ∪B ＝{－l ，0，1，2}，则实数m 的值为 (A)－l 或0 (B)0或1 (C)－l 或2 (D)l 或23.若sin )θπθ=-，则tan2θ＝(A)3-3 (C)2- (D)24.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。
则这100名同学的得分的中位数为(A)72.5 (B)75 (C)77.5 (D)805.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0，若a 5＝3a 3，则95S S = (A)95 (B)59 (C)53 (D)2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是 (A)若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n (B)若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥n (C)若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n (D)若m ⊥α，n ∥β且α⊥β，则m ⊥n7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为 (A)25 (B)－25 (C)5 (D)－5 8.将函数y ＝sin(4x －6π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为 (A)f(x)＝sin(2x ＋6π) (B)f(x)＝sin(2x －3π)(C)f(x)＝sin(8x ＋6π) (D)f(x)＝sin(8x －3π)9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点。
四川省成都市高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈N|-1≤x≤3}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A. {0，1，2，3}B. {1，2，3}C. [1，3]D. [0，3]2.己知点Z1，Z2的坐标分别为（1，0），（0，1），若向量对应复数z，则复数z对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对实数a，b，“a＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2a，且a，b，c成等差数列，则cos B=（）A. B. C. D.5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.6.已知函数y=2tan（ωx+）的最小正周期为，将函数y=2sin（）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数f（x）在[-]的值城为（）A. [-]B. [-2，2]C. [-1，1]D. [-2，1]7.已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，C为圆（x+1）2+（y-2）2=1的圆心，则|MF|+|MC|的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（）A. 20B. 21C. 22D. 239. 已知函数f （x ）为R 上的奇函数，且在[0，+∞）上为增函数，从区间（-5，5）上任取一个数x ，则使不等式f （x 2-1）+f （2x -2）＜0成立的概率为（ ）A. B. C. D.10. 已知M 为双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）的右支上一点，A ，F 分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过M ，∠MFA =60°，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4 11. 设函数的极值点的最大值为，若，则整数n 的值为 A.B. C. 0D. 112. 已知三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点，若点、是空间中的两动点，且，，则( )A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 的始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为，则cos2α=______．14. 若变量x ，y 满足，则x 2+y 2的最大值是______．15. 若（+2x -2）n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是______．16.函数f（x）=cos2x+α（sin x-cos x）在区间上单调递增，则实数α的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为等比数列{a n}的前n项和，其公比为q，且S n，S n+1，S n+2成等差数列．（1）求q的值；（2）若数列{b n}为递增数列，b1=q，且，又，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．18.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的3组数据恰好是连续ξ天的数据（ξ=0表示数据来自互不相邻的三天），求ξ的分布列及期望；（2）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差x的线性回归方程=x+．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：=，=-．19.如图，菱形ABCD与正△BCE所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，BC=2，FD=．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）若∠CBA=60°，求直线EF与平面AFB所成角的正弦值．20.已知O为坐标原点，椭圆E：（a＞b＞0）的焦距为，直线y＝x截圆O：x2＋y2＝a2与椭圆E所得的弦长之比为，圆O、椭圆E与y轴正半轴的交点分别为P，A．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设点B（x0，y0）（y0≠0且y0≠±1）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明：tan∠OPM＝tan∠ONP．21.已知函数．（1）求函数f（x）在区间上的最大值；（2）证明：∀x∈（0，+∞），e x[（ln x）2+3ln x+3]-3x2＞0．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，其中a为参数，以坐标原点O为点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）B为圆C上一点，且B点的极坐标为（ρ0，θ0），θ0∈（-），射线OB绕O点逆时针旋转，得射线OA，其中A也在圆C上，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-3|的最小值为m．（1）求m的值并指出此时x的取值集合；（2）求不等式f（x）≤4的解集．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x∈N|-1≤x≤3}={0，1，2，3}，B={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={0，1，2，3}，故选：A．对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法．本题易错的地方是认为自然数集不包括零．解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识．2.【答案】B【解析】解：∵点Z1，Z2的坐标分别为（1，0），（0，1），∴，∴复数z对应点位于第二象限，故选：B．求出向量的坐标表示，然后确定复数z对应点的位置．本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴若a＞|b|，则f（a）＞f（|b|）=f（b），即充分性成立，若f（a）＞f（b），则等价为f（|a|）＞f（|b|），即|a|＞|b|，即a＞|b|或a＜-|b|，即必要性不成立则“a＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充分不必要条件，故选：A．4.【答案】D【解析】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，又c=2a，∴b=a，∴cos B===．故选：D．a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，又c=2a，b=a，再利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理、等差中项、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：∵函数，∴，故当x＜0时，f′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数，当x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数，故选：B．求导分析函数的单调性，比照后，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，难度中档．6.【答案】D【解析】解：因为函数y=2tan（ωx+）的最小正周期为，所以T==（ω＞0），解得：ω=2，函数y=2sin（2x+）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，所以有y=f（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），所以x∈[-，]，所以2x-∈[-，]，可得：sin（2x-）∈[-1，]，因此函数f（x）在[-，]的值城为[-2，1]，故选：D．由函数y=2tan（ωx+）的最小正周期为，可以求出ω，由已知条件，可以求出y=f（x）的解析式，然后利用正弦函数的单调性，求出函数f（x）在[-，]的值城．本题考查了正切函数的周期公式、正弦型函数的图象变换、正弦型函数的值域问题．7.【答案】B【解析】解：设抛物线x2=4y的准线方程为l：y=-1，C为圆（x+1）2+（y-2）2=1的圆心，所以C的坐标为（-1，2），过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|=|ME|，所以问题求|MF|+|MC|的最小值，就转化为求|MF|+|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|+|MC|有最小值，最小值为CE=2-（-1）=3，故选：B．设出抛物线的准线方程，问题求|MF|+|MC|的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点M，使M到C点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化．8.【答案】C【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）为R上的奇函数，又在[0，+∞）上为增函数，∴f（0）=0，由奇函数的性质可知，函数f（x）为R上的增函数，∴f（x2-1）+f（2x-2）＜0⇒f（x2-1）＜-f（2x-2）⇒f（x2-1）＜f（2-2x）⇒x2-1＜2-2x，解得-3＜x＜1，从区间（-5，5）上任取一个数x，则使不等式f（x2-1）+f（2x-2）＜0成立的概率为．故选：A．利用奇函数的性质，可以解出不等式f（x2-1）+f（2x-2）＜0的解集，然后利用几何概型公式，进行求解．本题考查了几何概型，考查函数奇函数与单调性的性质，考查数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】D【解析】解：设双曲线另一个焦点为F′，如下图所示：因为线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA=60°，所以△MFA是等边三角形，边长为a+c，M为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，所以有MF′-MF=2a，可得MF′=3a+c，在△MFF′中，由余弦定理可得：MF′2=MF2+FF′2-2MF•FF′cos60°，即4a2+3ac-c2=0，解得4a=c，即，双曲线的离心率为4，故选：D．设双曲线另一个焦点为F′，线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA=60°，由此可以判断△MFA是等边三角形，边长为a+c，这样利用双曲线的定义可以求出MF′的大小，在△MFF′中，利用余弦定理可以列出等式，最后可以求出双曲线C的离心率．本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想．11.【答案】C【解析】解：函数f（x）=（x2-2x+2）e x--x2，可得f（x）=x2e x-x2-x，令x2e x-x2-x=0，可得x（xe x-x-1）=0，解得x=0，或xe x-x-1=0，令g（x）=xe x-x-1，函数是连续函数，g（1）=e-2＞0；g（0）=-1＜0，所以方程xe x-x-1=0的根在（0，1）之间，导函数由两个零点，也就是函数有两个极值点，x0∈（n，n+1），则整数n的值为：0．故选：C．求出函数的导数，得到函数的极值点，然后通过x0∈（n，n+1），判断整数n的值．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，零点问题的应用，考查分析问题解决问题的能力．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的性质及其应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．由题意画出图形，建立空间直角坐标系，由已知说明点M，N在以（0，0，0）为球心，以1为半径的球上，结合MN=2，得MN为球的直径，则答案可求．【解答】解：设A在底面BCD的投影为O,∵AB=AC=AD=3，底面BCD为等边三角形，且BC=2，∴OD=2，AO=，建立如图所示空间直角坐标系．则B（，-1，0），D（0，2，0），C（），又E为CD的中点，∴E（），点F为BE的中点，F（，，0），设M（x，y，z），由==2，得,∴x2+y2+z2=1，∴点M在以（0，0，0）为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且MN=2，∴MN为球的直径，则===．故选：B．13.【答案】【解析】解：设角α的终边与单位圆交点的横坐标为x，因为角α的终边与单位圆交点的纵坐标为-，所以x2+（-）2=1，可得：x=±，当角α的终边与单位圆交点的坐标为（，-）时，α=2kπ-，k∈Z，cos2α=cos[2（2kπ-）]=cos（-）=cos=-；当角α的终边与单位圆交点的坐标为（-，-）时，α=2kπ+，k∈Z，cos2α=cos[2（2kπ+）]=cos（）=cos=-；综上所述cos2α=-．故答案为：-．角α的终边与单位圆交点的纵坐标为-，可以求出终边与单位圆交点的横坐标，这样可以求出角α，也就能求出cos2α的值．本题考查了通过求一个角的终边与单位圆的交点的坐标，求此角二倍角的余弦值问题，考查了分类讨论思想、数形结合思想．14.【答案】10【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，-1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（-1）2=10，故答案为：10．15.【答案】180【解析】解：因为（+2x-2）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n=10，展开式的通项公式为T r+1=•2r•，令5-=0，解得r=2，所以展开式的常数项为•22=180．故答案为：180．根据（+2x-2）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，可以求出n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项是第几项，最后求出常数项．本题考查了二项式的系数和展开式的通项公式的应用问题，考查了运算能力，属于基础题．16.【答案】[，+∞）【解析】【分析】本题考查三角函数与导数的综合，利用导数研究函数的单调性是导数的主要功能，与单调性有关的问题，当不方便用相应函数的性质进行进行研究时，应转化为利用导数进行研究，本题通过导数工具把研究研究三角函数单调的问题转化为三角函数的最值，大大方便了问题的解决．由题意，函数f（x）=cos2x+α（sin x-cos x）在区间上单调递增，可转化为f′（x）=-2sin2x+α（cos x+sin x）≥0在区间上恒成立，进而转化为在区间上恒成立，求出在区间上的最大值即可得出答案【解答】解：函数f(x)=cos2x+α（sin x-cos x）在区间上单调递增，∴f′（x）=-2sin2x+α（cos x+sin x）≥0在区间上恒成立∴在区间上恒成立即，令∈[1，]所以问题转化为，t∈[1，]．当t=时，取到最大值，取到最大值．∴t≥故答案为：17.【答案】解：（1）S n，S n+1，S n+2成等差数列，可得2S n+1=S n+S n+2⇒S n+1-S n=S n+2-S n+1⇒a n+1=a n+2，可得q=1；（2）由，数列{b n}为递增数列，可得，∴，∴，又，∴．【解析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义，可得公比q；（2）由题意可得，由等差数列的定义和通项公式，可得b n，又，运用裂项相消求和，可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由题意知，ξ=0，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=3）==，∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=3）=，数学期望为Eξ=0×+2×+3×=2.1；（2）由题意，计算=×（11+13+12）=12，=×（25+30+26）=27，（x i-）（y i-）=-1×（-2）+1×3+0×（-1）=5，=（-1）2+12+02=2，∴==，=-=27-×12=-3，∴y关于x的线性回归方程为=x-3；当x=10时，y=×10-3=22，且|22-23|＜2，当x=8时，y=×8-3=17，且|17-16|＜2；∴所求得线性回归方程是可靠的．【解析】本题考查了线性回归方程与离散型随机变量的分布列问题，是中档题．（1）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，求出期望值；（2）由题意计算、，求出回归系数，写出线性回归方程，利用方程验证所求得线性回归方程是否可靠．19.【答案】证明：（1）∵菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，∴作EO⊥BC，交BC于O，且EO=，∵FD⊥平面ABCD，且FD=，∴FD EO，∴四边形EODF是平行四边形，∴EF∥DO，∵EF⊄平面ABCD，OD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．解：（2）∵∠CBA=60°，∴OA⊥OB，以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，，0），B（1，0，0），E（0，0，），F（-2，，），=（-2，，0），=（-1，，0），=（-3，），设平面AFB的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（，1，2），设直线EF与平面AFB所成角为θ，则sinθ===．∴直线EF与平面AFB所成角的正弦值为．【解析】（1）作EO⊥BC，交BC于O，推导出四边形EODF是平行四边形，由此能证明EF∥平面ABCD．（2）以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BEF所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意可得c=，a2-b2=3．因为直线y=x截圆O：x2+y2=a2所得的弦长为2a，直线y=x截椭圆E所得的弦长为2•，故2a=．⇒a2=4b2⇒a2=4，b2=1．故椭圆E的标准方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A（0，1），点P（0，2）．直线AB的方程为，令y=0，得M（）．因为点B关于x轴的对称点为C，所以C（x0，-y0），所以直线AC的方程为，令y=0，得N（）．∴|OM|•|ON|=．∵，∴．∴|OM|•|ON|=4=|OP|2，即．∴tan∠OPM=tan∠ONP．【解析】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．（Ⅰ）由弦长之比求得a，b，椭圆方程可求；（Ⅱ）点B关于x轴的对称点为C，所以C（x0，-y0），分别写出直线AC与AB的方程，得到M，N的坐标，再根据点B在椭圆上，即可证明．21.【答案】解：（1）f（x）=，f′（x）=，…………………………（2分）f′（x）＞0，解得：＜x＜1，知：f（x）在（0，）和（1，+∞）上递减，在（，1）上递增，当≤a≤1时，f（x）max=f（1）=3；当a＞1时，f（x）max=f（a）=，故f（x）max=…（5分）（2）证明：由（1）知f（x）在（0，）和（1，+∞）上递减，在（，1）上递增，①当x∈（0，1）时，f（x）≥f（）=e，而=，故y=在（0，1）上递增，∴＜＜e，∴f（x）＞，e x（ln2x+3ln x+3）-3x2＞0；②当x∈[1，+∞）时，ln2x+3ln x+3≥3，令g（x）=，则g′（x）=，故g（x）在[1，2）上递增，（2，+∞）上递减，∴g（x）≤g（2）=＜3，∴ln2x+3ln x+3＞，即e x（ln2x+3ln x+3）-3x2＞0，综上，∀x＞0，e x（ln2x+3ln x+3）-3x2＞0．…………………………（12分）【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可；（2）当x∈（0，1）时，得到=，故y=在（0，1）上递增，根据函数的单调性证明即可；②当x∈[1，+∞）时，ln2x+3ln x+3≥3，令g（x）=，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）⇒（x-1）2+y2=1⇒x2+y2-2x=0，由ρ2=x2+y2，x=ρcosα，可得圆C的极坐标方程ρ=2cosα．（2）由题意可知：A（ρ1，θ0+），所以|OA|+|OB|=2cosθ0+2cos（θ0+）=2cos（θ0+）θ0∈（-，），所以θ0+∈（-，）⇒cos（θ0+）∈（，1]，从而|OA|+|OB|最大值为2．【解析】（1）通过sin2α+cos2α=1进行消参，然后利用公式ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，把普通方程化为极坐标方程；（2）由已知可以求出A的极坐标，然后用两角和的余弦公式及辅助角公式化简|OA|+|OB|，最后求出它的最大值．本题考查了把圆的参数方程化成普通方程再化为极坐标方程问题．考查了在极坐标下，利用三角恒等变换求两极径之和最大值问题，考查了运算能力．属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=4，当且仅当（x-1）（x-3）≤0，即1≤x≤3，时取等号，∴m的最小值为4，此时x的取值集合为{x|1≤x≤3}．（2）f（x）=|x-1|+|x-3|=，∵f（x）≤4，∴或或，∴0≤x≤4，∴不等式的解集为{x|0≤x≤4}．【解析】（1）利用绝对值三角不等式求解即可；（2）将f（x）写为分段函数的形式，然后分段解不等式即可．本题考查了绝对值三角不等式和绝对值不等式的解法，属基础题．。
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成都市高2020届高三一诊模拟试题（2）数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若复数z =a1+i +1为纯虚数，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4＞0}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ） A ．{x |﹣2≤x ＜4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |﹣2≤x ≤﹣1}D ．{x |﹣1≤x ≤2}3．根据下面的算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（ ） A ．25B ．30C ．31D ．614．已知直线ax +by +c ＝0与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |=√3，则OA →在OB →上的投影为（ ） A ．−12B ．12C ．−43D ．05．已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a ＞b 且c ＞d ”是“ac +bd ＞bc +ad ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是（ ） A ．α⊥β 且m ⊥α B ．α⊥β且m ∥αC ．m ∥n 且n ⊥βD ．m ⊥n 且n ∥β7．函数f （x ）=x 2+cosxx的图象大致为（ ）8．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C ．[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）9．如图，在正方体ABC 的﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P ﹣BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．210．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（ ） A ．12种B ．16种C ．18种D ．36种11．若函数f （x ）＝cos2x ﹣a sin2x 的图象关于直线x =π8轴对称，则函数y =√2cos （x −π8）+f （x ）的最小值为（ ） A ．﹣2√2B ．−3√62C ．0D ．−9√2812．已知f （x ）={xe x−1，x ＞0|1x+2|，x ＜0，若函数y ＝f （x ）﹣m （2x ﹣1）有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，8√2−12）∪（2，+∞）B ．（4√2−6，1)C ．（﹣∞，4√2−6）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，2√2−2）∪（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝a n +ln （1+1n ），则a 5等于 ． 14．如果（√x −1x 2）n的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 ． 15．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P （1，y 0）是抛物线上一点，过点P 向抛物线C 的准线引垂线，垂足为D ，若△PDF 为等边三角形，则p ＝ ．16．在平面四边形ABCD 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，△ADC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，以AC 为折痕把△ADC 折起，当DA ⊥AB 时，四面体D ﹣ABC 的外接球的体积为 ． 三、解答题：共70分．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m →=（cos B ，2cos 2C2−1），n →=（c ，b ﹣2a ），且m →•n →=0．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅰ）若点D 为边AB 上一点，且满足AD →=DB →，|CD →|=√7，c ＝2√3，求△ABC 的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 为矩形，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形，平面P AB ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面P AD ⊥平面PBC ；（Ⅰ）M 为直线PC 的中点，且AP ＝AD ＝2，求二面角A ﹣MD ﹣B 的正弦值．19．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点（√62，1）离心率为√33．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）过点M （2，0）的直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点，若FA →•FB →=−1，求直线l 的方程．20．（12分）微信运动是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号，很多手机用户加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，运动的积极性明显增强．微信运动公众号为了解用户的一些情况，在微信运动用户中随机抽取了100名用户，统计了他们某一天的步数，数据整理如下： x /万步 0≤x ≤0.4 0.4＜x ≤0.8 0.8＜x ≤1.2 1.2＜x ≤1.6 1.6＜x ≤2.0 2.0＜x ≤2.4 2.4＜x ≤2.8 y /人5205018331（Ⅰ）根据表中数据，在如图所示的坐标平面中作出其频率分布直方图，并在纵轴上标明各小长方形的高；（Ⅰ）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取3人，求至少2人步数多于1.2万步的概率；（Ⅰ）若视频率分布为概率分布，在微信运动用户中随机抽取2人，其中每日走路不超过0.8万步的有X 人，超过1.2万步的有Y 人，设ξ＝|X ﹣Y |，求的分布列及数学期望．21．（12分）函数f （x ）＝e x ﹣1﹣1n （x ﹣a ）．（Ⅰ）若函数f （x ）在点（2，f （2））处的切线过点（1，0），求a 的值；（Ⅰ）若不等式f （x ）＞0在定义域上恒成立，求a 的取值范围（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ，（θ为参数），过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f （x ）＝|x +2|+|x +a |．（Ⅰ）若函数f （x ）的最小值为2，求a 的值．（Ⅰ）若x ∈（4，+∞）时，不等式f （x ）＜2x 成立，求a 的取值范围．一、1．A 2．D 3．C 4．A 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．C 11．D 12．C 二、13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝a n +ln （1+1n ），所以a 2＝a 1+ln （1+1）＝2+ln 2， a 3＝a 2+ln （1+12）＝2+ln 2+ln 3﹣ln 2＝2+ln 3， a 4＝a 3+ln （1+13）＝2+ln 3+ln 4﹣ln 3＝2+ln 4， a 5＝a 4+ln （1+14）＝2+ln 4+ln 5﹣ln 3＝2+ln 5， 14．T r +1=∁nr (√x)n−r(−1x 2)r =（﹣1）r ∁n rx n−5r 2令n−5r 2=0，可得n ＝5r ．∵（√x −1x 2）n的展开式中含有常数项，∴正整数n 的最小值是5． 15．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），焦点为F （p 2，0），准线为l ：x =−p 2， P （1，y 0）是抛物线上一点，则y 02＝2p ，由题意可得D （−p2，√2p ），由于△PFD 为等边三角形，则有|PF |＝|PD |＝|FD |，即有：1+p 2=2p ，可得p =23．16．在四面体中，由已知条件可知，AD ＝CD ，AB ＝BC ，BD ＝BD ，则△BAD ≌△BCD ，所以，∠BCD ＝∠BAD ＝90°，所以，△BAD 和△BCD 是公共斜边的直角三角形，则BD 是四面体D ﹣ABC 外接球的一条直径， 易知，AD ＝AC cos45°=√2，且BD =√AB 2+AD 2=√6， 设四面体D ﹣ABC 的外接球的半径为R ，则R =BD 2=√62， 因此，四面体D ﹣ABC 的外接球的体积为43π×(√62)3=√6π．17．（Ⅰ）∵向量m →=（cos B ，2cos 2C2−1），n →=（c ，b ﹣2a ），且m →•n →=0，∴c •cos B +（b ﹣2a ）cos C ＝0，由正弦定理可得，sin C cos B +（sin B ﹣2sin A ）cos C ＝0，∴sin A ﹣2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C =12，∵C ∈（0，π），∴C =π3，（Ⅰ）AD →=DB →，|CD →|=√7，c ＝2√3，∴CD →−CA →=CB →−CD →，∴2CD →=CA →+CB →， 两边平方得4|CD →|2＝b 2+a 2+2ac cos C ＝b 2+a 2+ac ＝28，（1）， ∵c 2＝b 2+a 2﹣2ac cos C ＝b 2+a 2﹣ac ＝12，（2）， 由（1），（2）可得ab ＝8，∴S △ABC =12ab sin C ＝2√3．18．（Ⅰ）证明：∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥AB ∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AD ⊥平面P AB ，则AD ⊥PB 又P A ⊥PB ，P A ∩AD ＝A ，∴PB ⊥平面P AD ，而PB ⊂平面PBC ，∴平面P AD ⊥平面PBC ；（Ⅰ）取AB 中点O ，分别以OP ，OB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系， 由AP ＝AD ＝2，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形， 得：A （0，−√2，0），D （0，−√2，2），B （0，√2，0），M （√22，√22，1）， MA →=(−√22，−3√22，−1)，MD →=(−√22，−3√22，1)，MB →=(−√22，√22，−1)．设平面MAD 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，由{m →⋅MA →=−√22x −3√22y −z =0m →⋅MD →=−√22x −3√22y +z =0，取y ＝1，得m →=(−3，1，0)； 设平面MBD 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅MD →=−√22x −3√22y +z =0n →⋅MB →=−√22x +√22y −z =0，取z ＝1，得n →=(−1，1，√2)． ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√10×2=√105．∴二面角A ﹣MD ﹣B 的正弦值为√155．19．（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c （c ＞0），则ca =√33，∴a =√3c ，b =√a 2−c 2=√2c ， 所以，椭圆C 的方程为x 23c 2+y 22c 2=1，将点(√62，1)的坐标代入椭圆C 的方程得(√62)23c 2+12c 2=1，解得c ＝1，则b =√2c =√2，a =√3c =√3，因此，椭圆C 的方程为x 23+y 22=1；（Ⅰ）设直线l 的方程为x ＝my +2，设点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）， 将直线l 的方程代入椭圆的方程，并化简得（2m 2+3）y 2+8my +2＝0， △＝64m 2﹣4×2×（2m 2+3）＝24（2m 2﹣1）＞0，解得m ＜−√22或m ＞√22．由韦达定理可得y 1+y 2=−8m 2m 2+3，y 1y 2=22m 2+3， FA →=(x 1+1，y 1)=(my 1+3，y 1)，同理可得FB →=(my 2+3，y 2)，所以，FA →⋅FB →=(my 1+3)(my 2+3)+y 1y 2=（m 2+1）y 1y 2+3m （y 1+y 2）+9=2(m 2+1)2m 2+3−24m 22m 2+3+9=−1，解得m ＝±4，合乎题意 因此，直线l 的方程为x ﹣4y ﹣2＝0或x +4y ﹣2＝0． 20．（Ⅰ）根据题意，补充下表，x /万步 0≤x ≤0.4 0.4＜x ≤0.8 0.8＜x ≤1.2 1.2＜x ≤1.6 1.6＜x ≤2.0 2.0＜x ≤2.4 2.4＜x ≤2.8 Y /人 5 20 50 18 3 3 1 频率 0.05 0.20 0.50 0.18 0.03 0.03 0.01 频率组距0.1250.51.250.450.0750.0750.025根据表中数据，作出频率分布直方图如下：（Ⅰ）这100人中只有25人步数多于1.2万步，在这100人中随机抽取3人，至少2人步数多于1.2万步的概率为P =C 252⋅C 751+C 253C 1003=2481617．（Ⅰ）由题知微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过0.8万步的概率为14，超过1.2万步的概率为14，且当X ＝Y ＝0或X ＝Y ＝1时，ξ＝0，P （ξ＝0）=12×12+C 21×14×14=38，当X ＝1，Y ＝0或X ＝0，Y ＝1时，ξ＝1，P （ξ＝1）=C 21×14×12+C 21×14×12=12，当X ＝2，Y ＝0或X ＝0，Y ＝2时，ξ＝2，P （ξ＝2）=14×14+14×14=18， ∴ξ的分布列为：ξ 012P381218E ξ═0×38+1×12+2×18=34． 21．（Ⅰ）∵f ′（x ）＝e x −1x−a ，∴k ＝f ′（2）＝e 2−12−a ，f （2）＝e 2﹣1﹣ln （2﹣a ）， ∴e 2−12−a =e 2−1−ln(2−a)−02−1， 整理可得12−a=lne （2﹣a ），解得a ＝1， （Ⅰ）由题意知，x ＞a ，f ′（x ）＝e x −1x−a ，设h （x ）＝e x −1x−a ，h ′（x ）＝e x +1(x−a)2＞0，故f ′（x ）在（0，+∞）递增，故x →a 时，f ′（x ）→﹣∞，当x →+∞时，f ′（x ）→+∞， 故f ′（x ）＝0在（a ，+∞）上有唯一实数根x 0，当x ∈（a ，x 0）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（x 0，+∞）时，f ′（x ）＞0，故x ＝x 0时，f （x ）取最小值，由f ′（x 0）=e x 0−1x 0−a =0，得e x 0=1x 0−a ，故x 0＝﹣ln （x 0﹣a ），f （x ）≥f （x 0）=e x 0−1﹣ln （x 0﹣a ）=1x 0−a +x 0﹣a +a ﹣1≥2+a ﹣1＞0，解得：a ＞﹣1，故a 的范围是（﹣1，+∞）．22．（1）∵⊙O 的参数方程为{x =cosθy =sinθ（θ为参数），∴⊙O 的普通方程为x 2+y 2＝1，圆心为O （0，0），半径r ＝1，当α=π2时，过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 的方程为x ＝0，成立； 当α≠π2时，过点（0，−√2）且倾斜角为α的直线l 的方程为y ＝tanα•x −√2， ∵倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点， ∴圆心O （0，0）到直线l 的距离d =|√2|√1+tan 2α＜1，∴tan 2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，∴π4＜α＜π2或π2＜α＜3π4，综上α的取值范围是（π4，3π4）．（2）l 的参数方程为{x =tcosαy =−√2+tsinα，（t 为参数，π4＜α＜3π4），设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B2， 且t A ，t B 满足t 2−2√2tsinα+1=0，∴t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα， ∵P （x ，y ）满足{x =t P cosαy =−√2+t p sinα，∴AB中点P的轨迹的参数方程为：{x=√22sin2αy=−√22−√22cos2α，（α为参数，π4＜α＜3π4）．23．（Ⅰ）函数f（x）＝|x+2|+|x+a|≥|（x+2）﹣（x+a）|＝|2﹣a|，当且仅当（x+2）（x+a）≤0“＝”成立；若函数f（x）的最小值为2，则|2﹣a|＝2，解得a＝0或a＝4；（Ⅰ）若x∈（4，+∞）时，不等式f（x）＜2x成立，化为x+2+|x+a|＜2x成立，即|x+a|＜x﹣2成立；所以2﹣x＜x+a＜x﹣2，即2﹣2x＜a＜﹣2；由y＝2﹣2x在x＞4时单调递减，可得2﹣2x＜﹣6，即a≥﹣6且a＜﹣2，所以a的取值范围是[﹣6，﹣2）．。