人教版数学九年级上册二次函数教学课件
合作学习，探索新知 :
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
人 教 版 数 学 九年级 上册二 次函数 教学课 件
解：(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)
(2) y 2 32 20 3 42m
例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4
y (m 1)xm22m1 (m 3)x m是二次函
数？
驶向胜利 的彼岸
练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
3、若函数 y (m 2 1)xm2m 为二次函数，求 m的值。
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x(cm) y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
人 教 版 数 学 九年级 上册二 次函数 教学课 件
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解：因为该函数为二次函数，
则
m 2 m 2(1) m 2 1 0(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得：m 1且m 1
所以m=2
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y ( cm)与2 圆的半径 x（cm)
的函数关系是
y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
合作学习，探索新知 :
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
温室外围是一个矩形，周长为120m , 室
内通道的尺寸如图,设一条边长为x(m),
种植面积为y(m2)。
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
x
3
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(3) y x(1 x)
不是 是
(4) y (x 1)2 x2
不是
先化简后判断
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２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2
(是 )
(2) y x2 1 x
( 否)
(3) y (x 2)(x 3)
( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
例1: 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函
数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
知识运用
练习1：m取何值时，函数
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数、正比例函数的定义是 什么？
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
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创设情境，导入新课
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？ （2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到 最高点时的高度？
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二次函数
人 教 版 数 学 九年级 上册二 次函数 教学课 件
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合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之 间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数 关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2 ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
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抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是பைடு நூலகம்次函数?
(1) y x2
是
(2)
y
1 x2
解: （1）由题意得 S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数；
（2）由题意得 y x 2 (x 0) 其中y是x的二次函数；
4
（3）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)其中S是x的
2
2
二次函数
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一 个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的 面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
（3）自变量的最高次数为 2 ，可以没有一 次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
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二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
人 教 版 数 学 九年级 上册二 次函数 教学课 件
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函 数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数， ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为 常数项。
注意 （1）都是整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
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解：(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)
(2) y 2 32 20 3 42m
例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4
y (m 1)xm22m1 (m 3)x m是二次函
数？
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练一练:
练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子
（1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
展示才智
3、若函数 y (m 2 1)xm2m 为二次函数，求 m的值。
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x(cm) y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
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解：因为该函数为二次函数，
则
m 2 m 2(1) m 2 1 0(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得：m 1且m 1
所以m=2
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y ( cm)与2 圆的半径 x（cm)
的函数关系是
y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
合作学习，探索新知 :
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
温室外围是一个矩形，周长为120m , 室
内通道的尺寸如图,设一条边长为x(m),
种植面积为y(m2)。
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
x
3
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(3) y x(1 x)
不是 是
(4) y (x 1)2 x2
不是
先化简后判断
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２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2
(是 )
(2) y x2 1 x
( 否)
(3) y (x 2)(x 3)
( 是)
(4)y x2 2x 3
( 否)
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
例1: 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函
数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
知识运用
练习1：m取何值时，函数
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数、正比例函数的定义是 什么？
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
二次函数
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创设情境，导入新课
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？ （2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到 最高点时的高度？
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二次函数
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合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之 间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数 关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2 ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
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抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是பைடு நூலகம்次函数?
(1) y x2
是
(2)
y
1 x2
解: （1）由题意得 S 6a2 (a 0) 其中S是a的二次函数；
（2）由题意得 y x 2 (x 0) 其中y是x的二次函数；
4
（3）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)其中S是x的
2
2
二次函数
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一 个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的 面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
（3）自变量的最高次数为 2 ，可以没有一 次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
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二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
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定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函 数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数， ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为 常数项。
注意 （1）都是整式
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
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二次函数的图象和性质 (第3课时)人教数学九年级上册PPT课件
x
-2
探究新知
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
a>0
a<0
h>0 图象
h<0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线x=h （h,k）
直线x=h （h,k）
当x<h时，y随x增大而减小； 当x<h时，y随x增大而增大；
当x>h时，y随x增大而增大. 当x>h时，y随x增大而减小.
解：由函数顶点坐标是（1，-2）， 设二次函数的关系式为y=a(x-1)2-2. 因为图象过点(0，0)，则0=a(0-1)2-2， 解得a=2. 所以这个二次函数的关系式为y=2(x-1)2-2.
课堂检测
拓广探索题
某某在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y= 1 x2+3.5的一
5
部分(如图)，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B )
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质 （第3课时）
素养目标
3. 能说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、 对称轴、顶点.
2. 理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系. 1. 能画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象.
y - 12（Oxy +1）2
-4 -2
2 4x
-2 -4
y
-
1 2
x2
-6
y - 12（x+1）2-1
y
-
1 2
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程
x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
的解。
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT教学课件(第1课)
C.y=2(x+2)2
D.y=2(x-2)2
解析:根据平移的规律可知把二次函数
y=2x2的图象向上平移2个单位长度,所得 图象对应的函数解析式为y=2x2+2.故选
A.
巩固练习
4.抛物线y=-3(x-2)2的开口向 轴是 直线x=2 .
下 ,对称
解析:抛物线y=-3(x-2)2中,因为-3<0,所
(1)自变量x的取值范围是什么?
(2)画函数图象时,x取哪些值列表能使函数图象
上的点均匀对称? (3)如何用平滑的曲线连接各点?
新知探究
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1 8
(1)三条抛物线的开口方向、对称轴、 顶点坐标分别是什么？
(2)你有什么方法把抛物线y=2x2分别移 动到抛物线y=2x2+1的位置和抛物
注意： k带前 面的符 号！
探究二次函数
7. 抛物线
可以如何由抛物线
的图象和性质
得到？
当k>0时 向上平移 k 个单位长度
顶点
当k<0时 向下平移 个单位长度
顶点
巩固练习
抛物线
的开口 向下 ，对称轴是 y 轴 ，
图象存在最 高 点，坐标是
，当 x
时
， yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y 随 x 的增大而增大，当 x
时，y 随 x 的增大而减小. x
新知探究
抛物线y = ax2+k 与抛物线y=ax2 有什么关系 ？
y = ax2+k (k>0) y
结论：
抛物线y=ax2+k的图象相当于把抛物线
y=ax2的图象 向上（k＞0）或 向下（k＜0）平
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章 二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
1 令 x＝0 得 y＝− 45 ×(0 − 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状 可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直 钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主 塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面 的高度为 0.5 m.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). y 根据对称性，如果不计其它因素，
●B (1，2.25)
A●(0，1.25)
那么水池的半径至少要 2.5 m，才
能使喷出的水流不致落到池外.
●
D
O
●
C
x
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少？
OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面
直角坐标系，抛物线可以用 y＝ − 1 x2 + 2x + c 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式；6
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
∴
6
抛物线解析式为
y＝−
1
x2
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
人教版九年级数学上册二次函数课件(共15张)
1、y =6x2
2、
3、y=20x2+40x+20 上述问题中的函数解析式具有
哪些共同的特征?
化简后具有y=ax²+bx+c 的情势.
(a,b,c是常数, a≠0 )
二次函数概念
我们把形如y=ax²+bx+c
(其中a,b,C是常数，a≠0)的函 数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
(1)写出y关于x的 函数关系式. (2)当x=3时,矩形 的面积为多少?
x
2、已知二次函数 y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值 为 -5, 求这个二次函数 的解析式.
课堂小结
a≠0
y=ax²+bx+c
二次项 系数
一次项 系数
常数项
每个队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲
队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，
所以比赛的场次数
.即
.
上式表示比赛的场次数m与球队数n的关系，对于 n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数.
问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后 两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所 定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?
这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 20(1+x)t，
再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) t，即两年 后的产量 y=20(1+x)2 ， 即 y=20x2+40x+20 .
上式表示两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y 是x的函数.
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章二次函数 第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
解：(1) y = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2，顶点坐标为(1，0). (2) y = 2x2 − 4x + 6 = 2(x −1)2 + 4，顶点坐标为(1，4).
问题1 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗
？答：对称轴是直线
2 x=
6，顶点坐标是
(6，3).
（1）a、b 同号；
（2）当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相
等；
（3）4a + b = 0；
–1 O
（4）当 y = -2 时，x 的值只能取 0. –2
其中正确的是 （2） .
x 3
x=1
4. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. （1）当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ （2）当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 13 = 2(x − 3)2 − 5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x =为 −5. （2）当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. （3）新抛物线的解析式为 y = 2(x − 5)2 − 3．
5 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
5 10 x
要点归纳 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成
y = a(x - h)2 + k 的形式，即
y ax2 bx c
a
问题1 你能说出 y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗
？答：对称轴是直线
2 x=
6，顶点坐标是
(6，3).
（1）a、b 同号；
（2）当 x = -1 和 x = 3 时，函数值相
等；
（3）4a + b = 0；
–1 O
（4）当 y = -2 时，x 的值只能取 0. –2
其中正确的是 （2） .
x 3
x=1
4. 已知抛物线 y = 2x2 - 12x + 13. （1）当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ （2）当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ （3）将该抛物线向右平移 2 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 13 = 2(x − 3)2 − 5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−5)，对称轴为直线x =为 −5. （2）当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. （3）新抛物线的解析式为 y = 2(x − 5)2 − 3．
5 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
O
5 10 x
要点归纳 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成
y = a(x - h)2 + k 的形式，即
y ax2 bx c
a
人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程 (共12张PPT)
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=5/2. ①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）