伯德坐标纸
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控制工程 第5章 系统的频率特性
解：系统的频响函数（频响特性）、幅频特性和相频 特性分别为
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
18:10:18
5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
18:10:18
5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
频响函数 幅频特性 相频特性
1 G ( j ) 1 j 0.005 1 | G ( j ) | 1 (0.005 )2 0 0.005 ( ) arctan arctan 1 1 arctan(0.005 )
可见：输入信号频率越高，稳态输出幅值衰减越大，相移越大（这正是惯性环节 的频响特性）。
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5-1 频率特性
本例题也可以采用第 4 章介绍的求时间响应的方法获 得稳态响应，即利用传递函数求出零状态响应，然后分 解出其中的稳态响应。 而利用频响函数可直接求出稳态 响应。
21
y( t ) L [Y ( s )] 0.555e 200 t
m k f (t)/x (t) f(t)—力
A
f(t) = Asin(ωt)
A B
x(t)—位移 B
0 -A
ωt
υ
单自由度有阻尼振动 x(t) = Bsin(ωt+υ)+瞬态响应 系统力学模型 教材101页图5-2中的标注“υ”不对，应改成“υ/ω”，
18:10:18
或将横坐标标尺改成“ωt”。
5-1 频率特性
相频特性 = 正弦信号稳态响应相角 - 正弦输入信号相角
幅频特性和相频特性合起来描述了系统的频响特 性或频率特性。
18:10:18
13
5-1 频率特性
系统频率特性的获得 解析法 令输入x(t)=x0sin(t)，求解微分方程的特解（稳 态解）。可以利用拉氏变换求解；
利用频率响应函数；
实验法
输入正弦信号，测量稳态输出。
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5-1 频率特性
利用频率响应函数求频率特性 频率响应函数的定义：对连续线性定常系统，输出 的付立叶变换 C(j) 与输入的付立叶变换 R(j) 之比 ，叫频率响应函数，简称频响函数，也称为正弦传 递函数，记作G(j) 。即
系统的频率特性
三、机械系统动刚度的概念
质量-弹簧-阻尼系统(m- k- B)
f(t):输入力
x(t):输出位移
k
B
m
其传递函数
阻尼比
无阻尼自然频率
系统的频率特性
动柔度： 动刚度： ω = 0时，即为系统静刚度。 当
f
x1
k1
m1
k2
m2
x2
例p142：弹簧吸振器简化图示模型,若质量m1受到干扰力f=Asinωt,如何选择吸振器参数m2和k2,使质量m1产生的振幅为最小?
解 其稳态响应为： 求一阶系统G(s)=K/Ts+1的频率特性及在正弦信号xi(t)=Xsinωt作用下的频率响应。
求系统如图所示，当输入3cos(4t-30°)+sin(10t+45 °)时，试求系统的稳态输出。
[结论]：当传递函数中的复变量s用 jω代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下： 微分方程 频率特性 传递函数 脉冲函数
卡通风学期计划
频率特性
频率特性的对数坐标图
频率特性的极坐标图
最小相位系统
闭环频率特性与频域性能指标
系统辨识
第五章 系统的频率特性
B
D
F
A
C
E
掌握系统频率特性的概念和求法
掌握系统闭环频率特性的求取方法
根据bode图估计系统的传递函数
熟悉系统的bode图和nyquist图的构成
系统幅频特性和相频特性的求法
解:以f为输入,x1为输出,系统微分方程为
则位移x1与干扰力f之间的传递函数为
5·4-Bode稳定判据
• 描述2
– 若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于ωc时，其对数相频特性还在-1800线
以上，即相位还不足-1800，则闭环系统稳定；
– 若开环相频特性达到-1800时，其对数幅频特性还在0分贝线以上，即幅值大 于1,则闭环系统不稳定。
• 一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0
第10页，共20页。
第18页，共20页。
第19页，共20页。
作业
• 5.4（Routh法） • 5.9(2)(Nyquist) • 5.13(2) (Bode)
第20页，共20页。
5·4 Bode（伯德）稳定判据
•Nyquist稳定判据是利用开环频率特性G(K)的极坐 标图(Nyquist图）来判定闭环系统的稳定性。
•如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即Bode图， 同样可以利用它来判定系统的稳定性。 •这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数判据或 Bode判据，它实质上是Nyquist判据的引申。
第1页，共20页。
一、Nyquist图和Bode图的对应关系
• Bode图与Nyquist图的对应关系： • （1）Nyquist图上的单位园 — Bode图
幅频特性上的0dB线 • （2）Nyquist图上的负实轴 — Bode图
相频特性上的-1800线
第2页，共20页。
2个重要频率
• Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数 幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入 与输出幅值相等时的频率（开环输入与输出 的量纲相同），称为剪切频率或幅值穿越频 率、幅值交界频率，记为ωc。
第17页，共20页。
Im
G0 ( j g )
kg
-1 g• c•
c
– 若开环对数幅频特性达到0分贝，即交于ωc时，其对数相频特性还在-1800线
以上，即相位还不足-1800，则闭环系统稳定；
– 若开环相频特性达到-1800时，其对数幅频特性还在0分贝线以上，即幅值大 于1,则闭环系统不稳定。
• 一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P=0
第10页，共20页。
第18页，共20页。
第19页，共20页。
作业
• 5.4（Routh法） • 5.9(2)(Nyquist) • 5.13(2) (Bode)
第20页，共20页。
5·4 Bode（伯德）稳定判据
•Nyquist稳定判据是利用开环频率特性G(K)的极坐 标图(Nyquist图）来判定闭环系统的稳定性。
•如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即Bode图， 同样可以利用它来判定系统的稳定性。 •这种方法称为对数频率特性判据，简称为对数判据或 Bode判据，它实质上是Nyquist判据的引申。
第1页，共20页。
一、Nyquist图和Bode图的对应关系
• Bode图与Nyquist图的对应关系： • （1）Nyquist图上的单位园 — Bode图
幅频特性上的0dB线 • （2）Nyquist图上的负实轴 — Bode图
相频特性上的-1800线
第2页，共20页。
2个重要频率
• Nyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数 幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入 与输出幅值相等时的频率（开环输入与输出 的量纲相同），称为剪切频率或幅值穿越频 率、幅值交界频率，记为ωc。
第17页，共20页。
Im
G0 ( j g )
kg
-1 g• c•
c
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
控制工程基础
控制工程基础名词解释1.频率特性：当输入信号的幅值不变而频率变化时，输入幅值和相位围着输入信号的变化而变化。
2.传递函数：传递函数时在拉氏变换的基础上，以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量和输出量的关系式。
3.伯德图：对数坐标图，是将幅值对频率的关系和相位对频率的关系分别画在两张图上，用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅值和相角坐标则以线性分度。
4.稳态误差：系统过渡完成后控制准确度的一种度量。
5.乃氏图：频率响应G(jω)是输入频率ω的复变函数，是一种变换，当ω从0逐渐增长到+∞时，G(jω)作为一个矢量，其端点在复变平面相对应的轨迹就是频率响应的极坐标图。
6.反馈和反馈信号：输出量通过测量装置返回系统输入端，使之与输入端进行比较，并产生偏差〔给定信号与返回的输出信号之差〕信号，输出量的返回过程称为反馈，返回的全部或部分信号称为反馈信号。
7.瞬态响应：系统在输入信号的作用下，其输出从初始状态到稳定状态的相应过程。
8.n阶系统：由n阶微分方程描述的系统。
λ=n时的系统9.n型系统：开环频率特性G(jω)=k(jωτ1+1)(jωτ2+1)···(jω)λ(jωT1+1)(jωT2+1)···10.闭环控制系统误差：控制系统希望输出量和实际输出量之差。
11.最小相位系统：极点和零点全部位于s左半平面的系统。
12.幅值裕量：当ω为相位交界频率ω−S时，开环频率幅频特性|G(jω)|的倒数。
13.相位裕量：当ω等于剪切频率ωc时，相频特性据−1800线的相位差γ。
概论1.开环系统和闭环系统的优缺点开环系统：优点是结构简单，价格廉价，容易维修。
缺点是精度低，容易受环境变化〔如电源波动，温度波动〕的干扰闭环系统：优点是精度高，动态性能好，抗干扰能力强。
缺点是结构比较复杂，价格比较贵，对维修人员要求较高。
2.简要说明控制系统相应的快速性，稳定性，准确性和其之间的关系快速性：在系统稳定的条件下，当系统的输出量与给定的输入量之间产生偏差时消除偏差的快慢程度。
线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当
1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
典型环节伯德图
精选完整ppt课件
10
惯性环节的相频特性为:
对应的相频特性曲线如图5-14所 示。它是一条由 至 范围内变化 的反正切函数曲线，且以 和 的交点为斜对称.
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11
四一阶微分环节 一阶微分环节频率特性为: 其对数幅频特性是:
一阶微分环节的对数幅频特性如图5-16所示，渐
近线的转折频率为 ，转折频率处渐近特性与精确特
的误差愈大。 等于转折频率
时，误差最大，最大误差为:
精选完整ppt课件
9
时的误差是:
时的误差是:
误差曲线对称于转折频率 ，如 图5-15所示。由图5-15可知，惯 性环节渐近线特性与精确特性的误 差主要在交接频率 上下十倍频
程范围内。转折频率十倍频以上的 误差极小，可忽略。经过修正后的 精确对数幅频特性如图5-14所示 。
，与零分贝线重合； 是一条斜率为
-20（dB/dec.）的直线。
两条直线在 处相交， 称为转折频率，由这两条直
线构成的折线称为对数幅频特性的渐近线。如图5-14所 示。
精选完整ppt课件
8
很明显，距离转折频率 愈
远
, 愈能满足近似条
件，用渐近线表示对数幅频
特性的精度就愈高；反之，
距离转折频率愈近，渐近线
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
精选完整ppt课件
4
二积分环节 积分环节的频率特性是: 其幅频特性为:
对数幅频特性是:
精选完整ppt课件
5
设
，则有:
可见，其对数幅频特性是一条在 ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝线 （ω轴），且以每增加十倍频率降 低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。
自动控制理论 5-2 频域：伯德图
Lω 20lg1 ＝0 dB
——低频渐近线为一条0dB的水平直线。
15
Lω 20lg 1 Tn ω
2
2 2
2ζ T ω
n
2
高频段，即ωTn>>1时
L() 20lg( Tn ) 40lg(Tn )
2 2
当ω增加10倍
ωTn 40 40lgωTn L() 40lg10
2
伯德图表示频率特性的优点： 把频率特性的乘除运算转变为加减运算； 在对系统作近似分析时，一般只需要画出 对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简 化了图形的绘制； 用实验方法，将测得系统频率响应的数据 画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线， 估计被测系统的传递函数。
3
二 典型因子的伯德图
5-2 对数坐标图
表示系统频率特性的图形有三种： 对数坐标图 极坐标图 对数幅相图
1
一、对数坐标图
1. 对数幅频特性图： 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。 纵坐标：L(ω)= 20lg|G(jω)| （dB）， 采用线性分 度；
2.相频特性图 横坐标：用频率ω 的对数lgω 分度。 纵坐标：频率特性的相角，以度为单位，采用线性 分度；
20lg 1 jω T 20lg 1 ω 2 T 2
ωT ω arct an
13
L ( )
dB
20
20 0
( )
90
1 10T
1 T
10 T
45 0
1 10T
1 T
10 T
一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20dB/dec，其 相位变化范围由0°（ω=0）经+45°至90°（ω=∞）