第三章刚体转动
第三章 刚体的转动
M
o
r
F
M r F
m
力矩是矢量，M 的方向垂直于r和 F所决定的平面，其指向 用右手螺旋法则确定。
力矩的方向
2）力矩的单位、
牛· 米(N· m)
3）力矩的计算：
M 的大小、方向均与参考点的选择有关
M
m
M Fr sin
r
F
※在直角坐标系中，其表示式为 M r F ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k )
例2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各 自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量.
解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量.如图 (a)所示，在环上任取一质元，其质量为dm，该质元到转轴的距 离为R，则该质元对转轴的转动惯量为
dI R 2 dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R， 所以细圆环对中心轴的转动惯量为
dI x dm x dx
2 2
整个棒对中心轴的转 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为
1 2 I x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同.
刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质 量连续分布的质点系。
3.1 刚体定轴转动的描述
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体 的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
1.刚体的平动和定轴转动
平动
刚体的平动是指刚体在运动过 程中其中任意两点的连线始终保 持原来的方向（或者说，在运动 的各个时刻始终保持彼此平行）。 特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动 轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运 动都可代表整个刚体的运动。 平动的刚体可看作质点。 刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。
大学物理.第三章.刚体的转动
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
第三章刚体定点转动
第三章刚体定点转动§3.1定点转动运动学一、什么是定点转动？刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。
由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般以定点为基点。
陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。
它们都只有一点不动。
如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称轴z O ′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的图3.1.1此，ON 轴转动而外悬架又可绕固定轴Oz 转动，此三轴的交点O 则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。
二、定点转动和定轴转动的联系与区别1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。
把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。
跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O 的锥面，前者叫空间极面，后者则叫本体极面。
刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图3.1.2所示。
2．区别：（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动的转轴在空间的取向不变。
（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。
而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的函数。
ω三、定点转动时刚体上任一点的速度r dt r d v v vv ×==ωυ （3.1.1）P图3.1.3如图3.1.3所示,刚体上任一点P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R ωυ=.四、定点转动时刚体上任一点的加速度由加速度的定义知r r r dtd r r dt d r dt d dt d a vv v v v vv v v v v v v v v v v 2)()(ωωωωωωωυωωυ−⋅+×=××+×=×+×==而 R r r v v v v v 22)(ωωωω−=−⋅则R r dtd a v v v v 2ωω−×= (3.1.2)上式中的第一项r dtd vv×ω为转动加速度,第二项R v 2ω−为向轴加速度. 例:半径为a 的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为b 的水平轴OA 绕竖直轴OE 以匀角速度1ω转动,如图3.1.4所示.求碾盘最高点P 的速度和加速度.x图3.1.4解: 碾盘绕定点O 运动,取如图所示的直角坐标系,OA=b,AB=OE=a,j a i b r P ˆˆ+−=v 要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时角速度的方向为BO 方向,且iab j j i ˆˆˆˆ1121ωωωωω+=+=v.则 kb j a i b i ab j r P P ˆ2)ˆˆ()ˆˆ(111ωωωωυ=+−×+=×=vv v . 或用瞬轴法:P 点速度大小:b PD P 12ωωυ=⋅=. 方向:oz 轴方向.加速度: ja b i b r dt d dt d a P P Pˆˆ321221ωωυωωυ−=×+×==v v v v v v§3.2定点转动刚体对定点的动量矩一、刚体的动量矩图3.2.1刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点O 的动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点O 的动量矩之和（矢量和）。
第三章 刚体的定轴转动
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
第三章刚体的转动
三、转动定律 第一转动定律：若 第二转动定律：
，刚体将保持原状
例1．一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 和 的物体， ,滑轮质量为m，半径为r，其转动 惯量可按 计算（视为圆盘），绳 与轮之间无相对滑动，试求物体的加速 度 和绳的张力。 例2．一块均匀的长方形薄板，边长为a、 b，中心O取为原点，设薄板的质量为M， 求薄板对o杆长L，质量为m，一质量也为m的 小球用长为L 的轻绳系于O点，开始时杆 静止于竖直位置，现将小球在垂直于轴的 平面内拉开一定角度，摆下去与杆端相碰 （弹 性碰撞 ） ，结 果 使 杆 的 最 大 偏 角 为 ，求小球最初被拉开的角度 。 4．在水平面上，有一均匀细棒L，质量为 ，与水平面的摩擦系数为 ，可绕O转动， 以 碰棒的A端，碰撞时间极短，碰后速 度为 ，求碰撞后，细棒从开始转动到停 止转动过程所需的时间t。
第三章 刚体的转动
一、基本概念 1．刚体(Rigid Body) 2．刚体的平动(Translation) 3．刚体的转动(Rotation) 4．定轴转动 5．转动平面 6．角坐标；角位移；角速度；角加速度
7. 线速度 8 刚体的平衡条件
二、转动惯量 (1)转动惯量定义：
(2)刚体的动能：
与(a) 刚体的质量m有关； (b) 与m的分布有关； (c) 与转轴的位置有关
四、刚体定轴转动的动能定理 1．力矩做功 当刚体在力矩 作用下从 转到 力矩所做的功为：
时，
五、定轴转动的角动量定理
1．定义：冲量矩= 2．刚体定轴转动的角动量定理 3．角动量守恒定律 当 时， 恒量 问题： ①刚体绕定轴做匀变速运动，刚体上任意一点是 否有 、 ，其大小是否改变？ ②一个物体可以绕定轴做无摩擦的匀速运动，当 它热胀冷缩时，角速度是否改变？为什么？
大学物理上第3章 刚体的定轴转动
z
(ω, β )
r fi
F 两边乘以r 两边乘以ri ,有： it ri + f it ri = ∆mi ait ri
对所有质元的同样的式子求和， 对所有质元的同样的式子求和，有：
fit
∆mi
Fit
r Fi
Fir
o
Fit ri + ∑ f it r i = ∑ ∆mi ait ri = β ∑ ( ∆mi ri 2 ) ∑
表示合外力矩，记作M ∑ F r 表示合外力矩，记作 表示内力矩之和， ∑ f r 表示内力矩之和，其值等于零
it i
it i
(∆mi ri 2 ) 称为刚体对轴的转动惯量，记作J 称为刚体对轴的转动惯量，记作 ∑
则上式可简写成： 则上式可简写成：M = Jβ
11
M = Jβ
刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动 轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。 说明: 说明: 1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、J、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 上式反映了力矩的瞬时效应。M = Jβ = J dω 上式反映了力矩的瞬时效应。 dt 4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 5. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。
2
§3.1
3.1.1 刚体的运动
刚体定轴转动的描述
刚体的平动：刚体在运动过程中， 刚体的平动：刚体在运动过程中，其 上任意两点的连线始终保持平行。 上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法 来处理刚体的平动问题。 来处理刚体的平动问题。 刚体的定轴转动： 刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同 一直线作圆周运动， 一直线作圆周运动，而直线本身在空 间的位置保持不动的一种转动。 间的位置保持不动的一种转动。这条 直线称为转轴 转轴。 直线称为转轴。
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
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上次课主要内容：
1. 转动惯量 （ 定义、求法、物理意义）
2. 转动定律 （地位、证明、应用）
思考： 1 复摆转动惯量的实验方法？ 2 不规则刚体转动惯量的实验方法？
设计：所给条件
1 绕有很多细线的转动架，转 动架对轴的转动惯量、半径已知。
2 如图放置定滑轮，质量忽略。 3 质量为m的物体、米尺秒表。
求：不规则刚体对轴的转动惯量。
四、力矩的空间累积效果
问题：1.
其数学表达式？
2.物理意义？
1．力矩做功 当刚体在力矩 作用下从 转到 时，
力矩所做的功为：
五、力矩的时间累积效果
1．定义：冲量矩 = 问题： 其物理意义？数学表达式？
2．刚体定轴转动的角动量定理
3．角动量守恒定律
当
时， 恒矢量
率为匀速u，问 ⑴ B端物体上升的加速度是多少？ ⑵人爬的速率u与物体上升速率的关系? （绳与滑轮无相对滑动,滑轮做为圆环）
杆和盘等与小物体碰撞后旋转的问题
6．在水平面上，有一均匀细棒L，质量为 ，与水平面的摩擦系数为 ，可绕O转动， 以 碰棒的A端，碰撞时间极短，碰后速
度为 ，求碰撞后，细棒从开始转动到停 止转动过程所需的时间t。
第五章 刚体力学 （刚体的定轴转动）
一、基本概念
1．刚体(Rigid Body) 2．刚体的平动(Translation) 3．刚体的转动(Rotation) 4．定轴转动 5．转动平面
6．角坐标；角位移；角速度；角加速度 7. 线速度 8 刚体的平衡条件
问题： 刚体定轴转动的动能表达式？
二、转动惯量
(1)转动惯量定义：
与 (a) 刚体的质量m有关； (b) 与m的分布有关； (c) 与转轴的位置有关
(2) 刚体动能的表达式：
刚体的机械能表达式？
刚体角动量的表达式？
三、转动定律 转动定律：力矩与角加速度的关系
例1．一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 和 的物 体， , 滑轮质量忽略，绳与轮之间无 相对滑动，试求物体的加速度 和绳的张 力。
它热胀冷缩时，角速度是否改变？为什么？
本章主要内容
1. 转动惯量 2. 转动定律
3.
4.
=?
本章主要类型题： 1.转动惯量的计算 2.刚体平衡的问题 3.关于滑轮的问题 4.关于杆和盘等与小物体碰撞后旋转
的问题
转动惯量的计算
1 利用盘的转动惯量求球体的 转动惯量
2 利用球壳的转动惯量求球体的 转动惯量（由环的结果求壳）
例1．一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量为 和 的物 体， ,滑轮质量为m，半径为r，可 视为圆盘，绳与轮之间无相对滑动，试 求物体的加速度 和绳的张力。
例2．一块均匀的长方形薄板，边长为a、 b，中心O取为原点，设薄板的质量为M， 求薄板对ox轴、oy轴及oz轴的转动惯量。
问题： 描述单摆、复摆的振动 ,周期 是多少？
例 在水平面上，有一均匀细棒L，质量为 ，与水平面的摩擦系数为 ，可绕O转动， 以 碰棒的A端，碰撞时间极短，碰后速
度为 ，求碰撞后，细棒从开始转动到停 止转动过程所需的时间t。
问题： ①刚体绕定轴做匀变速运动，刚体上任意一点是
否有 、 ，其大小是否改变？ ②题
3 均匀梯子重量和长度已知，靠在光滑 的墙上，且倾角已知，地与梯子有摩 擦， 求：地对梯子的作用力和摩擦系数。
关于滑轮的问题
4．均匀圆盘R，质量为m，可绕O转动， 现以一轻细绳绕在轮边缘，下挂m物体， 求圆盘从静止开始转动后，它转过的角 度和时间的关系。
5．一轻绳绕过质量为m/4、半径为R的定 滑轮，质量为m的人抓住A端，绳的另 一端B系了一个质量为m/2的物体，今 人从静止开始上爬，人相对于绳的速
7．细杆长L，质量为m，一质量也为m的 小球用长为L 的轻绳系于O点，开始时杆静 止于竖直位置，现将小球在垂直于轴的平 面内拉开一定角度，摆下去与杆端相碰 （弹性碰撞），结果使杆的最大偏角为
，求小球最初被拉开的角度 。
8. 转台绕中心轴转动，角速度和 转动惯量已知，沙子以恒定的质量 变化率落入转台，且附在转台上形 成一圆环，圆环内、外半径已知， 求：落砂使转台角速度变为原角 速度的一半所需时间。
(忽略沙子落入前角动量)
9 ①刚体绕定轴做匀变速运动， 刚体上任意一点是否有切向加速度、
其大小是否改变？法向加速大小 是否改变？
②一个物体可以绕定轴做无摩擦 的匀速运动，当它热胀冷缩时，角 速度是否改变？
10. 证明： 定轴转动定律
11. 证明: 若质点只受有心力作用, 则该质点做平面运动.