资本资产定价模型与单因素模型
投资学中的资本资产定价模型
投资学中的资本资产定价模型资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是投资学中的一种重要理论模型，用于估计某项资产的预期回报率。
它在投资决策、资产评估和风险管理等领域扮演着重要角色。
本文将对CAPM的基本概念、公式推导和应用进行阐述。
一、CAPM的基本概念资本资产定价模型是在一定假设条件下，以市场组合为基准，通过测量资产的风险和预期回报率之间的关系来解释资本市场的定价现象。
CAPM的核心思想是，投资者对于资产的风险厌恶程度决定了他们对于收益与风险的权衡。
CAPM的基本假设包括：1. 完全市场假设：假设市场上没有交易成本，所有的投资者都能以相同的无风险利率借贷。
2. 投资者效用最大化假设：投资者在进行投资决策时，总是试图最大化自己的效用。
3. 投资者无限分散化假设：认为投资者将其投资资金充分分散到各种不同的证券上，消除了个别资产的特异性风险。
二、CAPM的公式推导CAPM的核心公式如下：E(Ri) = Rf + βi(E(Rm) - Rf)其中，E(Ri)表示资产i的预期回报率，Rf表示无风险利率，βi表示资产i相对于市场组合的β系数，E(Rm)表示市场组合的预期回报率。
公式的含义是，资产i的预期回报率等于无风险利率加上市场风险溢价与资产i的β系数的乘积。
通过公式可以看出，β系数是CAPM模型的重要指标之一。
β系数衡量了资产相对于市场组合的系统性风险。
β系数大于1意味着资产具有高于市场平均水平的风险，而小于1则意味着资产具有低于市场平均水平的风险。
三、CAPM的应用CAPM在实际应用中有多种用途。
以下是其中的几个方面：1. 资产估值：CAPM可以用于估计资产的合理价值。
通过计算资产的预期回报率，可以与市场价格进行比较，判断该资产是否被低估或高估。
2. 投资组合管理：CAPM可以帮助投资者构建有效的投资组合。
通过选择具有不同β系数的资产，可以实现投资组合的风险与回报的平衡。
第一节 资本资产定价模型
第一节资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型的主要特点是一种资产的预期收益率可以用这种资产的风险相对测度β值来测量。
一、资本资产定价模型的假设1．投资者通过在单一投资期内的期望收益率和标准差来评价投资组合。
2．投资者永不满足，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较高期望收益率的那一种。
3．投资者是风险厌恶的，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较小标准差的那一种。
4．每种资产都是无限可分的，也就是说，投资者可以买卖单位资产或组合的任意部分。
5．投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金。
6．税收和交易费用均忽略不计。
7．所有投资者的投资期限均相同。
8．对于所有投资者来说，无风险利率相同。
9．对于所有投资者来说，信息都是免费的并且是立即可得的。
10．所有投资者对于各种资产的收益率、标准差、协方差等具有相同的预期。
二、分离定理分离定理表示风险资产组成的最优证券组合的确定与个别投资者的风险偏好无关。
最优证券组合的确定仅取决于各种可能的风险证券组合的预期收益率和标准差。
分离定理使得投资者在做决策时，不必考虑个别的其他投资者对风险的看法。
更确切的说，证券价格的信息可以决定应得的收益，投资者将据此做出决策。
三、市场组合在市场达到均衡时，每一种证券在切点组合的构成中都具有一个非零的比例。
当所有风险证券的价格调整都停止时，市场就达到了一种均衡状态。
首先，每一个投资者对每一种风险证券都将持有一定数量，也就是说最佳风险资产组合M包含了所有的风险证券；其次，每种风险证券供求平衡，此时的价格是一个均衡价格；再次，无风险利率的水平正好使得借入资金的总量等于贷出资金的总量。
通常我们把最佳风险资产组合M称为市场组合(Market Portfolio)。
四、资本市场线（CML ）资本市场线是由无风险收益为R F 的证券和市场证券组合M 构成的。
市场证券组合M 是由均衡状态的风险证券构成的有效的证券组合。
资本资产定价模型
资本资产定价模型在金融领域，资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，简称 CAPM）是一个具有重要地位的理论框架。
它为投资者理解资产风险与预期收益之间的关系提供了关键的指导。
要明白资本资产定价模型，首先得清楚什么是资产的风险和收益。
想象一下，你把钱投资到股票、债券或者其他金融资产上，你期望能从中获得回报，这就是收益。
但同时，投资也伴随着不确定性，可能赚得盆满钵满，也可能亏得血本无归，这种不确定性就是风险。
CAPM 认为，资产的预期收益率主要取决于两个因素：无风险利率和资产的系统性风险。
无风险利率就像是一个基准，通常可以用国债的收益率来代表。
因为国债被认为是几乎没有违约风险的。
那什么是系统性风险呢？简单来说，就是整个市场都面临的风险，比如经济衰退、通货膨胀、政策调整等。
这些因素会对所有的资产产生影响，不是单个投资者或者企业能够控制的。
在 CAPM 中，用贝塔系数（β）来衡量资产的系统性风险。
β值大于 1 表示该资产的风险高于市场平均水平，预期收益也会相应较高；β值小于 1 则表示风险低于市场平均水平，预期收益也较低；β值等于 1 意味着资产的风险与市场平均水平相当。
举个例子，假如市场的预期收益率是 10%，无风险利率是 3%，某只股票的β值是 15。
那么根据 CAPM 公式，这只股票的预期收益率就应该是 3% ＋ 15×（10% 3%）＝ 135%。
资本资产定价模型的意义非常重大。
对于投资者来说，它帮助他们评估不同资产的合理价格和预期收益，从而做出更明智的投资决策。
如果一只股票的实际价格低于根据 CAPM 计算出的合理价格，那么投资者可能会认为这是一个买入的好机会；反之，如果实际价格高于合理价格，可能就需要考虑卖出了。
对于企业来说，CAPM 也有很大的作用。
企业在进行项目投资决策时，可以利用 CAPM 来计算项目的必要收益率，从而判断项目是否值得投资。
然而，资本资产定价模型也并非完美无缺。
第二章资本资产定价模型
2 i
bi2
2 F
2 (i )
–
资产组合的总风险
2 P
bP2
2 F
2 ( P )
– 因素风险：等式右边第一项
– 非因素风险：等式右边第二项
– 投资分散化将导致因素风险的平均化和非因 素风险的降低
第四章 资产定价理论
27
单指数模型（SIM）
单指数模型(SIM)或市场模型：
10
分离定理示例
–假设市场中只有三项风险资产A、B和C，当无风险收 益率为4%时，它们的切点组合（市场组合）的投资 比例是[0.12,0.19,0.69]。如果资本资产定价模型 成立，如图4.1所示，投资于组合P1点的投资者大约 会用三分之二的资金投资于无风险资产，用三分之 一的资金投资于市场组合，因此该投资者投资于三 项风险资产的投资比例是
说明之二：
– 资本资产定价模型的成立并不需要上述所有 假设条件成立。在将某些假设条件去掉后， 模型仍然成立。附加以上的假设条件只是为 了容易推导和解释资本资产定价模型。
第四章 资产定价理论
6
二、资本市场线
1．分离定理或分离特性 2．市场组合（market portfolio） 3．资本市场线（CML）
资本市场线方程： 含义：
rp
rF
rM rF
M
• p
– 表示有效组合的预期收益率与风险之间的关系。有效组 合的预期收益率由两部分构成：一部分是无风险收益率，
它是由时间创造的，是对投资者放弃即期消费的补偿；
另一部分是风险溢价，它与承担风险大小成正比，是对 投资者承担风险的补偿。
风险的价格：
即认为CAPM是一个正确的定价模型
资本资产定价模型
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
10-39
套利定价理论模型
• 套利定价理论APT适用于多元投资组合，在单 个股票中并不需要。
• 在没有基于证券市场线的情况下，在一些单个 资产中使用套利定价理论有可能错误定价，
• 套利定价理论可以扩展为多因素的套利理论模 型。
由于没有投资，投 资者可以建立大量 头寸，以获取巨额 利润。
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10-33
套利定价理论
• 在一个无风险套利 投资组合中，不管 其风险厌恶程度和 财富水平如何，投 资者都愿意持有一 个无限的头寸。
• 在有效市场中，可 以获利的套利机会 会很快消失。
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9-13
图 9.2 证券市场线
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9-14
图9.3 证券市场线和一只α值为正的股票
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9-15
指数模型和实现的收益
C EroG rG vE ,ErrM f Er MM 2rf
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9-11
通用电气公司的例子
• 通用电气公司的合理风险溢价:
E r G E r f Cr 2 O G ,r M E V E r M r f M
• 变换一下，我们可以得到:
• 单个证券的风险溢价取决于单个资产对 市场投资组合风险的贡献程度。
• 单个证券的风险溢价是市场投资组合的 各个资产收益协方差的函数。
第四章资本资产定价理论
E (r i) rfE (r M ) rf iM
式（4.7）
iM
iM
2 M
16
4.2 资本资产定价模型
证券市场线
1、一个组合的贝塔值只是它的各成分证券贝塔值的加权平均， 而权数即为各成分证券的比例。
2、每一个证券或每一证券组合，都必然证券市场线上。这说明， 有效组合既落在资本市场线上也落在证券市场线上，然而非 有效组合则落在证券市场线上，但位于资本市场线之下。
9
4.2 资本资产定价模型
➢ 市场组合 在均衡时，切点组合的比例将与市场组合的
比例相对应。市场组合是由所有证券构成的组合， 在这个组合中，投资于每一种证券的比例等于该 证券的相对市值。一种证券的相对市值简单地等 于这种证券总市值除以所有证券的市值总和。
10
4.2 资本资产定价模型
➢ 有效集
1、M点代表市场组合，rf代 表无风险利率， 有效组合 落在直线rf M上。这一线性 有效集也就是“资本市场 线”（CML)；
零贝塔值资产组合 收益率
iR zM iaMR Z
式（4.8）
21
4.2 资本资产定价模型
传统资本资产定价模型(CAPM)的改进
➢ 存在个人所得税的CAPM模型 传统CAPM模型是在不考虑所得税的情况下推导出来的，但是现实经济
生活中的税收却极为复杂。假定资本市场上存在股利所得税和资本利得税 （印花税较低，不予考虑）；税率只与投资者的收入有关，与证券的种类 无关 。
r i E ( r i) iG D P G D P iI R I R e i
35
4.4 套利定价理论与风险收益多因素模型
E(r)由什么决定？
在CAPM中，证券期望收益的定价由两部分组成：用来补偿货 币时间价值的无风险利率和风险溢价，它决定于基准风险溢价 乘以衡量风险的贝塔值，若将市场组合的风险溢价用RPM表示， 则CAPM公式可表示为：
资产定价因素模型
险和非因素风险。 投资分散化的结果是因素风险趋于平均化，非因素风险将不 断减少而趋于0。 因素风险与系统风险类似，非因素风险与非系统风险类似。
单个资产的因素风险和非因素风险
以单因素为例，来分析资产的风险构成。 如（8-5）式，资产 i 的总风险拆成两个部分：因素风险 2 （ bi2 F ），即跟因素 F 相关的风险；非因素风险（ 2i ），
即资产
的个别风险，用随机误差项 i
2 i2 bi2 F 2
i
的方差来测度： it
（8-5）
资产组合的因素风险和非因素风险
根据单因素模型，n 种资产的收益率可以表示为：
r1t a1 b1 Ft 1t r a b F 2t 2 2 t 2t rnt an bn Ft nt
(8-6) 2 2 E F 其中 表示因素的预期值； F 是因素 F 的方差； 是随 机误差项 i 的方差； ij 表示任意两个资产 i 和 j 之间的协 j bj 方差； 为 资产对因素 的敏感性。 F
i
2 ij bb i j F
单因素模型极大地简化了资产的期望收益率、方差及资产
（8-22）
假设某投资组合 P 中，n 种资产的投资权重分别是 1 2 ， n
则投资组合的收益率可以表示为：
rP i ri
i 1 n
（8-23）
将（8-22）代入（8-23），可以得到资产组合的单因素模型
：
rP i ai bi F i
2 2 2 P bP I 2
2
（8 ， 2P i2 2i P i i i 1 i 1
3-市场策略-CAPM、因素模型与APT
）或借入资金
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第七章 资本资产定价模型（CAPM）与因素模型
第一节 资本市场线
CAPM的基本假设 税收和交易成本均忽略不计
所有投资者都有相同的投资期限 对于所有投资者，无风险利率相同
对于所有投资者，信息是免费的并且是立 即可得的
投资者具有相同的预期
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k
2
wn
有
wf
k1 ， k 2 wi
w
i
(
i
1,2, , n)
（7.1.4） （7.1.5）
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第七章 资本资产定价模型（CAPM）与因素模型
第一节 资本市场线
由上章两基金分离定理的证明过程中知，k1 1 k2 。
若 k2 0 ，则k1 1 ，表示该有效组合即为点（0r，f ），
借贷关系，取决于投资者选择的投资组合是位于 T 的
左边，还是它的右边。若投资者选择的投资组合
位于 T 的左边，如图中的O2 ，则投资者不需要融资，
且在投资组合中一定还包含有一定量的无风险证券
（相当于贷出资金）；若投资者选择的投资组合位于
T 的右边，如 O1 点，他就必须进行融资，即在利率为
rf 下借入所需要的资金。
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第七章 资本资产定价模型（CAPM）与因素模型
第一节 资本市场线
因为，资本市场线是通过（0，rf ）和（ T ，rT ）
两点的直线，而两点可以完全决定一条直线，由这两
点的坐标可得直线的斜率为rT rf ， T 0
所以该直线的方程能被写成 rp = a +[rT rf ] p
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Cov(r1,r1) Cov(r1,r2) … Cov(r2,r1) Cov(r2,r2) …
Cov(rGE,r1)
… Cov(rGE, rGE)
… Cov(rGE, rn) …
… Wn Cov(rn,r1)
2018/5/5
投资分析
对外经济贸易大学
Cov(r r) 10 n, n
SML的证明：
E ( RP ) R f
资本市场线是市场组合和无风险资产的投 资组合的轨迹线 市场组合包含所有的风险资产 所有的有效投资组合都在资本市场直线上 无风险资产可以用国库券的收益率来衡量 市场组合可以用S&P500 指数来衡量
2018/5/5
投资分析
对外经济贸易大学
7
资本市场线
CML
E(rM ) - rf E(rp ) rf * (rp ) (rM )
投资分析 对外经济贸易大学 15
2018/5/5
资产组合的预期回报率
期望收益- β关系对资产组合仍然成立 资产组合的β系数是构成投资组合的各证券 的β系数的加权平均。
E ( Rm ) R f
( Rm )
* ( RP )
E ( Rm ) R f E ( RP ) ( RP ) ( Rm )
RP Rm (1 ) R f R m x i Ri E ( RP ) x i E ( Ri ) (1 xi ) R f E ( Rm ) (1 ) R f
j
cov( Ri , x j R j )
j
( RP )
cov( Ri , Rm ) ( Rm )
E ( RP ) E ( Ri ) R f E ( Rm ) R f E ( RP ) xi ( RP ) ( RP ) cov( Ri , Rm ) ( Rm ) xi ( Rm )
包含无风险资产的资产组合
当存在无风险资产时，资产组合的轨迹线 变成一条直线
E(rp) 无风险借 xA=1 rf 无风险贷 (rp) (rp)=xA (rA)
2018/5/5
投资分析
对外经济贸易大学
4
资本市场线 E(r)
切线组合
E(rM) rf
M
CML
风险资产的有效前沿
m
2018/5/5 投资分析 对外经济贸易大学 5
即证券市场线
2018/5/5 投资分析 对外经济贸易大学 13
证券市场直线
E(r)
E(r) CML SML E(rM) E(rM-rf)
E(rM)
M
rf
rf
(r) M
=1
14
2018/5/5
投资分析
对外经济贸易大学
证券市场线的经济意义
在均衡状态，单个资产的边际风险带来的边际收 益等于风险的市场价格 证券市场线表明，单个风险资产的预期回报率由 两部分构成：一部分是无风险回报率，可视为资 金的时间价值；另一部分是由于单个证券的风险 所带来的风险补偿。 该风险补偿受两个因素的影响：（1）现在市场上 平均的风险补偿水平，即市场组合的风险溢价。 （2）单个证券与市场组合的关系。也就是系统性 风险系数。 在均衡状态，资产的预期回报率只和系统性风险 有关，与单个证券的非系统性风险无关。
2018/5/5 投资分析 对外经济贸易大学 12
将上述公式进行整理后可得：
E ( Ri ) R f [ E ( Rm ) R f ]* 定义
ห้องสมุดไป่ตู้2 m E ( Ri ) R f [ E ( Rm ) R f ]
cov( Ri ; Rm )
2 m
cov( Ri ; Rm )
资产组合的风险的贡献程度。 2、证券市场线表示证券的预期收益率与其系统风 险的关系的直线. （期望收益-贝塔关系）
SML ： ri = rf + β[ E(rm) – rf ] βi = [ Cov (ri,rm) ] / σm2
2018/5/5
投资分析
对外经济贸易大学
9
协方差矩阵
W1 W1 W2 … WGE W2 … WGE … Wn Cov(r1,rn)
第四章 资本资产定价模型 与单因素模型
资本资产定价模型的假设
投资者是风险厌恶型的 投资者根据预期回报率和风险来决定投资 只考虑一个投资期 存在无风险利率 没有税负和交易成本 同性的预期
2018/5/5
投资分析
对外经济贸易大学
2
包含无风险资产的资产组合
例: E(rA)=8%, (rA)=6%
M=市场组合 rf=无风险资产 E(rM) - rf=市场组合的风险溢价 E(rM) – rf M 每单位风险溢价， 是市场组合的夏普比率，也是 风险的市场价格
投资分析 对外经济贸易大学 8
2018/5/5
证券市场线(Security Market Line)
1、单个证券的风险溢价取决于该单一证券对整个
E(rB)=4%, (rB)=0, B 是无风险资产 对于由A和B构成的任意资产组合 E(rp)=xAE(rA)+(1-xA)E(rB) =0.04+0.04*xA (rp)=0.06xA 因此： E(rp)=0.04+2/3* (rp) 资产组合的预期回报率与资产组合的风险之间存在线性关系
2018/5/5 投资分析 对外经济贸易大学 3
资本市场线（Capital Market Line)
CML是由市场证券组合和无风险借或贷构 成的有效证券组合的收益与风险的集合。 CML是资本配置线CAL(Capital Allocation Line)的一个特例，体现了CAL 的一个消极策略。
2018/5/5
投资分析
对外经济贸易大学
6
资本市场线
( RP ) [ xi x j cov( Ri , R j )]
i j
2018/5/5 投资分析 对外经济贸易大学
1/ 2
( Rm )
11
E ( RP ) E ( Ri ) R f xi ( RP ) 1 1 * *(2 x j cov( Ri , R j ) xi 2 ( RP ) j 因为， x j R j Rm ; ( RP ) ( Rm )