六年级下册数学讲义-培优：第05讲 行程问题—相遇问题(下)(解析版)全国通用
六年级下小升初典型奥数之行程问题
六年级下小升初典型奥数之行程问题在小学六年级的数学学习中，行程问题一直是一个重点和难点，也是小升初奥数考试中经常出现的题型。
今天，咱们就来好好探讨一下这类问题。
行程问题主要涉及速度、时间和路程这三个量之间的关系。
基本的公式就是：路程＝速度×时间。
而常见的行程问题类型有相遇问题、追及问题、流水行船问题等等。
咱们先来说说相遇问题。
比如说，甲从 A 地出发，速度是每小时 5千米；乙从 B 地出发，速度是每小时 3 千米。
A、B 两地相距 16 千米，两人相向而行，问经过多长时间两人相遇。
解决这个问题，我们可以先算出两人的速度和，也就是 5 ＋ 3 ＝ 8千米/小时。
然后用总路程除以速度和，就能得到相遇时间：16÷8 ＝ 2小时。
再来看一个稍微复杂点的相遇问题。
甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。
甲每小时走 4 千米，乙每小时走 6 千米，经过 3 小时两人相遇。
A、B 两地相距多远？这时候我们就可以先算出甲 3 小时走的路程是 4×3 ＝ 12 千米，乙 3 小时走的路程是 6×3 ＝ 18 千米。
然后把两人走的路程相加，12 ＋ 18＝ 30 千米，就是 A、B 两地的距离。
接下来是追及问题。
比如甲在乙前面 10 千米处，甲的速度是每小时 3 千米，乙的速度是每小时 5 千米，问乙多长时间能追上甲。
因为乙的速度比甲快，所以每小时乙能比甲多走 5 3 ＝ 2 千米。
而两人一开始的距离差是 10 千米，所以追上甲需要的时间就是 10÷2 ＝ 5 小时。
再看一个例子，甲、乙两人同时同向出发，甲在前，乙在后。
甲每小时走 2 千米，乙每小时走 5 千米。
出发 4 小时后，乙追上甲。
一开始两人相距多远？我们先算出乙 4 小时走的路程是 5×4 ＝ 20 千米，甲 4 小时走的路程是 2×4 ＝ 8 千米。
因为乙追上了甲，所以一开始两人的距离差就是乙比甲多走的路程，即 20 8 ＝ 12 千米。
六年级数学行程问题四种类型专讲完整版讲解
六年级行程问题专讲第一部分：相遇问题知识概述：行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，（涉及两个或两个以上物体运动的问题）指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。
数量关系：总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度注：（1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者开始运动那一刻所处的状态；（2）在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点（非常重要）；（3）无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。
解题秘诀：（1）必须弄清物体运动的具体情况，运动方向（相向），出发地点（两地），出发时间（同时、先后），运动路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇）等。
（2）要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。
典型例题：例1.东西两地相距60千米，甲骑自行车，乙步行，同时从两地出发，相对而行，3小时后相遇。
已知甲每小时的速度比乙快10千米，二人每小时的速度各是多少千米？习题：一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，相向而行，汽车每小时行50千米，摩托车每小时行40千米，8小时两车相距多少千米？例2.甲港和乙港相距662千米，上午9点一艘“名士”号快艇从甲港开往乙港，中午12点另一艘“日立”号快艇从乙港开往甲港，到16点两艇相遇，“名士”号每小时行54千米，“日立”号的速度比“名士”号快多少千米？习题：甲乙两地的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地。
货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地。
要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发？例3.甲骑摩托车，乙骑自行车，同时从相距126千米的A 、B 两城出发相向而行。
3小时后，在离两城中点处24千米的地方，甲、乙二人相遇。
六年级下册数学课件奥数行程专题：一般相遇和追及问题全国通用
从题目的解题方法上又可以分为五大类：
第一、利用设数法、设份数处理
第二、利用速度变化情况进行分段处理
第三、利用和差倍分以及比例关系，将行程过程进 行对比分析
第四、利用方程方法进行求解
第五、利用柳卡图来分析
注意：以上五种方法都是要结合画图去分析的！
行程题目到底难在哪里呢？
七大题型、五大方法相互交织，就构成了整个小 学行程问题的知识架构。这其中的交织与综合不仅仅 是题型与方法之间的交织，也有题型之间的重叠，比 如环形问题就可以有环形路线上的流水行船，而火车 问题也可以有多辆火车之间的错车问题……至于解题 方法的重叠那更是比比皆是，一道稍有分量的行程问 题就需要运用至少两种解题方法……诸如此类的综合， 既是行程问题变化多端的原因，也是行程问题难学的 原因。想要将上述题型与方法融会贯通、运用自如， 首先得分门别类的把各类问题学好，并穿插以各类解 题方法的训练，然后在此基础之上再进行综合。
行程题目需要掌握的公式及知识点
路程=速度×时间 路程一定，平均速度和时间成反比。 速度一定，时间和路程成正比。 时间一定，平均速度和路程成正比。
行程问题从运动形式上可以分为七大类：
第一、一般直线上的相遇、追及问题 第二、火车过桥问题 第三、流水行船问题 第四、环形运动与时钟问题 第五、多个对象间的行程问题 第六、变速运动 第七、多次往返类型的相遇、追及
一、成功之处 本节教学最大的成功在于教师把主要精力放在积极引导学生探索发现问题之上。利用复习准备、导入两个环节,为学生探索比例的基 本性质搭建了桥梁,新知构建部分,有教师引导的思路设计,学生通过阅读教材、分析、计算,总结出比例的基本性质,教学自然流畅。随 堂练习,让学生展示自己发现的成果,在获得成功的同时也收获了解决问题的方法。 二、不足之处 在例1的教学时教师放手还是有些不够,问的太多,学生自主学习成分略显不足。 三、再教设计 再教这个内容时,我应该在引导学生发现问题时,真正让学生自主阅读,自主发现,培养学生探究发现新知的本领。
小学六年级数学行程问题综合讲解
行程问题需要用到的基本关系：路程=速度时间速度=路程时间时间=路程速度题型一、相遇问题与追及问题相遇问题当中：相遇路程=速度和相遇时间追及问题当中：追及路程=速度差追及时间*********画路程图时必须注意每一段路程对应的问题是相遇问题还是追及问题**********【例题1】甲、乙两人从A地到B地，丙从B地到A地。
他们同时出发，甲骑车每小时行8千米，丙骑车每小时行10千米，甲丙两人经过5小时相遇，再过1小时，乙、丙两人相遇。
求乙的速度考点：多次相遇问题．分析：本题可先据甲丙两人速度和及相遇时间求出总路程，再根据乙丙两人的相遇时间求出乙丙两人的速度和之后就能求出乙的速度了．解答：解：（8+10）×5÷（5+1）-10=18×5÷6-10，=15-10，=5（千米）．答：乙每小时行5千米．点评：本题据相遇问题的基本关系式：速度和×相遇时间=路程，进行解答即可．【例题2】甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地40米处相遇，相遇之后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地30米处，求A、B两地相距多远分析：两次相遇问题，其实两车一起走了3段两地距离，当然也用了3倍的一次相遇时间。
40×3－30=90km变式1、甲、乙两人同时从东西两地相向而行，第一次在离东地60米处相遇，相遇之后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离西侧20米处，求东西两地相距多远60×3－20=160km【例题3】快车从甲站开往乙站需要6小时，慢车从乙站开往甲站需要9小时。
两车分别从两站同时开出，相向而行，在离中点18千米处相遇。
甲乙两站相距多少千米分析：中点相遇问题，实际上是相遇问题和追及问题的综合。
第一步：相同的时间，快车比慢车多行18×2=36千米解：∵快车从甲站开往乙站需要6小时，慢车从乙站开往甲站需要9小时快车与慢车的时间比是 6 : 10∴快车与慢车的速度比是10：6=5：3∴相遇时，快车行了全程的：5/（5+3）=5/8全程是225÷5/8=360（千米）变式1、快车每小时行48千米，慢车每小时行42千米。
人教版小学六年级下册数学小升初数学培优讲义：行程问题
一、相遇问题甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A ，B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程＋乙走的路程＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间＝路程和，即=t S V 和和。
二、追及问题有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他。
这就产生了“追及问题”。
实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）。
如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程－乙走的路程＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程＝速度差×追及时间，即=t S V 差差。
三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同。
(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。
相遇问题：速度和×相遇时间＝路程和 路程和÷速度和＝相遇时间 路程和÷相遇时间＝速度和 追及问题：速度差×追及时间＝路程差知识梳理行程问题路程差÷速度差＝追及时间路程差÷追及时间＝速度差一、多次追及、相遇问题精讲精练题型一、环形跑道多次相遇问题例、甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【举一反三】甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端，他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长是多少米？【07年15所民校联考题】题型二、折返多次相遇问题例1、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。
六年级下册相遇问题知识点
六年级下册相遇问题知识点在数学学习的过程中，相遇问题是一个常见的类型，需要学生掌握相应的知识点和解题方法。
下面将介绍六年级下册中与相遇问题相关的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、相遇问题概述相遇问题是指两个或多个物体从不同的位置或出发时间出发，经过一段时间后在某个时间点或位置相遇的问题。
在解决相遇问题时，需要考虑到物体的速度、距离、时间等因素。
二、相遇问题的解题方法1. 直接法直接法是相遇问题的常用解题方法之一。
通过列方程、建立等式，从而求解未知数的值。
例如：甲、乙两人同时从不同的地点出发，一个人每小时走5公里，另一个人每小时走6公里，几小时后两人可以相遇？解法：设两人相遇需要走的时间为t，甲乙两人相遇的总距离相等，即5t=6t。
解得t=0，说明两人出发时就已经相遇。
2. 比值法比值法也是解决相遇问题常用的方法之一。
通过计算物体的速度比，找到相遇时的时间点或位置。
例如：甲、乙两人同时从不同的地点出发，一个人每小时走5公里，另一个人每小时走6公里，几小时后两人相距10公里？解法：根据速度比，可得相遇时甲、乙两人在同一时间内行走的距离比例为5:6。
设乙行走t小时后与甲相遇，根据比例关系可得5:6=（x-10）:x，解得x=60，即两人共同走了60公里时相遇。
3. 速度和时间的关系在相遇问题中，速度和时间是密切相关的。
当两物体速度相同或时间相同的情况下，它们将会在同一时间或位置相遇。
应用速度和时间的关系，可以更好地解决相遇问题。
例如：甲、乙两人同时从不同的地点出发，甲每小时走10公里，乙每小时走8公里，几小时后两人相距40公里？解法：根据速度和时间的关系，可得每小时甲、乙两人的距离差为（10-8）=2公里。
所以相遇需要40/2=20小时。
三、注意事项及拓展应用1. 单位的统一在解决相遇问题时，需要注意各个物理量的单位统一。
当速度的单位与距离或时间单位不一致时，应进行相应的换算。
2. 复杂相遇问题除了简单的相遇问题外，还存在一些复杂或多个物体相遇的情况。
六年级培优竞赛-多次相遇问题-课件与答案
A 甲
80米 C
第一次
第二次 D
60米
B 乙
例6.小张与小王分别从甲乙两地同时出发， 在两地之间往返行驶（到达另一地后就 立即返回），他们在离甲地3.5千米处 第一次相遇，在离乙地2千米处第二次 相遇。问他们两人第四次相遇的地点离 乙地多远？（相遇指迎面相遇）
看图解析
第三次
小张
3.5千米
甲
C
8.5千米
第一次
A
BD
乙
小王
即第四次相遇时,小张行了两个全程多7.5千米， 第四次相遇点与乙的距离:8.5-7.5=1千米
1.甲、乙二人分别从A、B两地同时相 向遇而后行继，续乙 行的 进速 ，度 甲是 到甲B地的、32乙,到二A人地相 后立即返回。已知二人第二次相遇的 地点距第一次相遇的地点是20千米， 那么，A、B两地相距多少千米？
速度和×相遇时间 = 路程 路程÷ 速度和 = 相遇时间 路程÷ 相遇时间 =速度和 速度和一甲速度 =乙速度
典型例题精讲 【例1】湖中有A，B两岛，甲、 乙二人都要在两岛间游一个来回 。两人分别从A，B两岛同时出发 ，他们第一次相遇时距A岛700米 ，第二次相遇时距B岛400米。问 ：两岛相距多远
例3. 甲村，乙村相距6千米，小张和小王分别从甲、乙两村同时 出发，在两村之间往返行走（到达另一个村后马上返回）。 在出发后40分钟两人第一次相遇，小王到达甲村后返回，在 离甲村2千米的地方两人第二次相遇，问小王和小张的速度各 是多少图解析
第二次
6千米 第一次
40分钟
第一次 A
第四次
第二次 2千米
B
D
乙 小王
二次相遇时，小张行了:3.5×3=10. 5千米 相距:10.5-2=8. 5千米 两人第四次相遇,共行2×4-1=7个全程 小张行了:3.5×7=24.5千米
相遇问题(讲义)六年级下册小升初数学应用题真题汇编通用版
小升初数学运用题真题汇编典型运用题—相遇问题 班级 姓名 得分1.(浙江杭州小升初考试)一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，已知货车每小时行45千米，客车每小时比货车多行10千米，两车开出后5小时相遇。
问：甲、乙两城市相距多少千米?2.(云南曲靖期末)甲、乙两列火车同时从A 、B 两地相对开出。
相遇时，甲车行驶的路程是乙54,已知乙车每小时行驶86千米，甲车行驶完全程要10小时，A 、B 两地相距多少千米?3.(广东广州中大附属外国语实验中学招生)客车、货车两车同时从甲、乙两城相对开出，客5车每小时行60千米，是货车速度的65,两车开出后6小时相遇。
甲、乙两城相距多少千米?知识梳理基础题4.(黑龙江伊春六年级期末)东、西两地相距420千米，客车和货车分别从东、西两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。
已知客车的平均速度是每小时75千米，货车的平均速度会超过每小时70千米吗?提高题5.(湖南长沙小学毕业考试)甲、乙两辆汽车同时从相距500千米的两地相对开出，2.5小时后两车相遇，已知甲、乙两车的速度之比是3:2,乙车每小时行驶多少千米?6.(河南商丘六年级期末)甲、乙两列火车同时从A、B两城相对开出，4小时后相遇，相遇时甲、乙两车所行路程的比是3:5,已知乙车每小时行60千米，求A、B两城相距多少千米?7.(山东青岛超银中学小升初入学分班考试)京沪高速公路全长大约1200千米。
一辆大客车和一辆小客车分别同时从上海和北京出发，相向而行，经过6小时9,两辆车的速度各是每小时多少千在途中相遇。
如果大客车的速度是小客车的11米?8.(贵州贵阳六年级期末)在比例尺是1:4000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是5厘米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，货车的速度是40千米/时，客车的速度是60千米/时，经过几小时后两车相遇?9.(山东枣庄六年级期末)在一幅比例尺为1:9000000的地图上量得甲、乙两地的图上距离是3厘米。
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666 第05讲
行程问题—相遇问题（下）
教学目标：
1、理解行程问题中的“相遇求路程、求速度”的解题思路。
2、在实际行程问题中，总结出一些相遇问题的规律和特点；
3、进一步通过行程中相遇问题的学习，培养学员学以致用的应用意识。
教学重点：
掌握相遇问题的结构特点，弄懂每经过一个单位时间两物体的变化，并能根据速度、时间、路程的数量关系解相遇行程的应用题。
教学难点：
理解行程问题中的“相遇求路程”的解题思路。
教学过程：
【环节一：预习讨论，案例分析】
【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟
1、相遇问题的意义：
两个运动物体（人）分别以一定的速度，从两地同时出发，相向（面对面）而行，经过一段时间后在途中相遇，这类行程问题叫做“相遇问题”。
它的特点是两个运动物体（人）在相遇时间内共同走完的路程等于它们原来相距的路程。
2、相遇问题的基本量：
速度和：两个运动物体（人）在单位时间(秒、分、时)所走的路程和；
相遇时间：两个运动物体（人）同时出发到相遇所用的时间；
总路程：两个运动物体（人）同时出发到相遇所走的路程。
3、相遇问题主要数量关系是：总路程÷速度和=相遇时间
【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟
甲乙两地相距450千米，客车10小时行完全程，货车15小时行完全程。
客车和货车同时从两地出发，相向而行，几小时相遇？
解析部分：两车速度未知，需先求出。
客车速度：450÷10=45（千米/时）；货车速度：
450÷15=30（千米/时）。
再根据，相遇时间=总路程÷速度和，求出相遇时间。
给予新学员的建议：教师可以引导学员两车速度未知，需先求出。
哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：
450÷（450÷10+450÷15）=6（小时）
答：6小时可相遇。
【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟
甲乙两人同时从A，B两地相向而行，出发2小时后，还相距90千米，出发5小时后两人相遇。
求甲乙两地的距离。
解析部分：出发2小时后，还相距90千米，出发5小时后两人相遇，说明这90米是两人5-2=3小时走的路程。
给予新学员的建议：教师可以引导学员相遇行程问题求路程的计算方法是：速度和×相
遇时间=总路程
哈佛案例教学法：学员通过预习，初步了解新知识，对后面的学习有所帮助，让学员分
享解题方法，拓宽解题思路。
参考答案：
出发2小时后，还相距90千米，出发5小时后两人相遇，说明这90米是两人5-2=3
小时走的路程。
90÷（5-2）×5=150（千米）
答：甲乙两地的距离是150千米。
【环节二：知识拓展、能力提升】
【知识点分析——本期知识点】----参考时间-2分钟
行程问题中的“相遇求路程、求速度”的基本数量关系：
1、速度和×相遇时间=总路程
2、总路程÷相遇时间=速度和
【例题分析——讲解室】----参考时间-10分钟
一列快车和一列慢车同时从甲乙两站出发，相向而行，经过6小时相遇。
相遇后快车继续行驶3小时后到达乙地，已知慢车每小时行45千米，问甲乙两站相距多少千米？
➢快车继续行驶的3小时的路程慢车行了几小时？
➢怎么求快车的速度？
解析部分：
第一步：让学生分析题意，快车继续行驶的3小时的路程慢车行了6小时。
这样就能先求出快车的速度：45×6÷3=90（千米/时）。
第二步：让学生再根据“速度和×时间=路程”求出总路程。
第三步：让学生总结思路，题中求路程，未知的量是快车的速度，所以要先求出快车的速度。
给予新学员的建议：教师可以引导学员题中求路程，未知的量是快车的速度，所以要先求出快车的速度。
哈佛案例教学法：引导学生进行分组讨论，让学生根据讨论问题找到解题方法。
参考答案：
快车继续行驶的3小时的路程慢车行了6小时。
这样就能先求出快车的速度：
45×6÷3=90（千米/时）。
然后再根据“速度和×时间=路程”求出总路程。
（45×6÷3+45）×6=810（千米）
答：甲乙两站相距810千米。
【环节三：阶段复习】
【游戏环节——游乐场】----参考时间-2分钟
游戏名称：24点小高手
游戏规则：每人拿1-10，10张扑克牌，两人对战，每次每人出2张，赢的人获取场上4张扑克牌，无法计算的，每人收回自己的2张。
看最后谁手里的牌最多，即为获胜。
【练习分析——练习场（一）】----参考时间-7分钟
熊猫胖胖家距离迷你猫家430米，他们约好两人某一天要碰头。
这天他们准备出发，相向而行。
胖胖先行了70米后迷你猫才出发的。
迷你猫出发3分钟后两人相遇了。
胖胖每分钟行50米，迷你猫每分钟行多少米？
➢想一想求迷你猫的速度应该用什么公式？
➢路程是不是430米？
解析部分：求一个人的速度的公式为：总路程÷相遇时间-甲速=乙速。
他们在相同时间3分钟行的路程应是430米减去胖胖先走的70米。
然后将此路程÷时间-胖胖的速度=
迷你猫的速度。
给予新学员的建议：教师可以引导学员总路程÷相遇时间-甲速=乙速
哈佛案例教学法：引导学生进行分组讨论，让学生根据讨论问题找到解题方法。
参考答案：
（430-70）÷3-50=70（米）
答:迷你猫每分钟行70米。
【练习分析——练习场（二）】----参考时间-7分钟
甲乙两人从同一地点出发，背向而行，甲以每分钟60米的速度先行12分钟后乙才出发，乙行了20分钟后与甲相距3220米。
乙每分钟行多少米？
➢同一地点背向而行与两地相向而行有什么区别？计算上有区别吗？
➢求乙的速度应该用哪个公式？
解析部分：引导学员思考，同一地点背向而行与两地相向而行实际上是相同的。
先要处理甲先行的路程。
“3220-60×12”才是两人在相同时间走的路程和。
再根据“总路程÷时间-甲速=乙速”求出乙的速度。
给予新学员的建议：教师可以引导学员了解同一地点背向而行与两地相向而行实际上是相同的。
哈佛案例教学法：引导学生进行分组讨论，让学生根据讨论问题找到解题方法。
参考答案：
（3220-60×12）÷20-60=65（米）
答：乙每分钟行65米。
【本节总结】
行程问题中的“相遇求路程、求速度”的基本数量关系：
1、速度和×相遇时间=总路程
2、总路程÷相遇时间=速度和。