空间数据的拓扑关系教学资料
地理信息系统应用 学习指南 - 拓扑关系建立
学习指南
课程（学习领域）名称《地理信息系统应用》
项目×
（学习情境×）
GIS空间数据处理
单元主要教学内容拓扑关系建立
任务描述在GIS中，为了真实地反映地理实体，不仅要包括实体的位置、形状、大小和属性、还必须反映实体之间的拓扑关系。
拓扑关系是对图形数据进行空间查询、分析等操作的基础，拓扑关系的建立是GIS数据管理和更新的重要内容。
教学目标
能力（技能）目标知识目标素质目标
1．能熟练进行拓扑数据
处理
2．能熟练进行拓扑关
系的建立
1．掌握拓扑关系的含义
2. 掌握拓扑关系的类
型及表示方法
3. 掌握拓扑数据处理
和拓扑关系的建立的方
法
1.培养安全、正确操作实
训设备的习惯
2.培养语言的表达能力
3.培养理论联系实际的
意识
能力训练任务根据要求，对中国地图进行拓扑关系的建立，具体任务为：
1.拓扑数据处理
2.拓扑关系的建立
教学重点教学难点重点：拓扑关系的的含义、拓扑关系的类型及表示方法重点（难点）：拓扑数据的处理和拓扑关系建立
教学方法、手段项目教学，案例教学，实践教学，边讲边练
教学组织形式（1）学习型工作任务导入；
（2）边讲边练习，拓扑关系的类型及表示方法，拓扑数据处理和拓扑关系建立
（3）布置任务，学生自己学习和练习；
（4）交流互动，总结评价。
作业课程考核册中涉及到本任务的全部内容。
拓扑关系介绍
弧段邻接关系的建立
如果两条弧段具有相同的端点， 则定义这两条弧段具有邻接关系。
记录规则：邻接于弧段同一端点的各个邻接弧段按 顺时针方向顺序记录；按照数字化方向，如果邻接弧段 是首点邻接，则在其前面冠以正号，否则冠以负号。
3.地图平面上连接两结点的有一定意义的一维图形称为边（ Edge） ，也叫弧段（Arc）。例如：连个城市之间的道路
4.由一些边围成的有一定意义的闭合区域称为面（Area）。
1.4 基本的拓扑关系
基本拓扑关系分为拓扑邻接关系、拓扑关联关系和拓 扑包含关系。
拓扑邻接和拓扑关联是用来描述网结构元素（比如结 点、弧段、面域）之间的两类二元关系。
4
X4
Y4
5
X5
Y5
6
X6
Y6
7
X7
Y7
线段号 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 e11
始结点 3 4 3 1 4 2 5 6 7 7 5
终结点 1 3 2 2 2 5 6 4 6 4 7
左多边形 NULL NULL A NULL B NULL E D D NULL NULL
拓扑关系介绍
1.1 拓扑的来源 1.2 为什么要研究地图上的拓扑关系 1.3 建立拓扑关系的基本概念 1.4 基本的拓扑关系 1.5 拓扑关系的表示 1.6 Arc/Info中拓扑关系的构建
1.1 拓扑的来源
1.拓扑的来源
“拓扑（Topology）”一次来自希腊文，它的原意是“ 形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分支，它研究在拓扑 变换下能够保持不变的几何属性——拓扑属性。
ArcGIS实战5、空间数据的拓扑处理
6.2.1使用ArcCatalog创建拓扑 操作步骤为：在ArcCatalog
目录树中，右击Water数据集， 在弹出菜单中，单击【新建】【拓扑】，打开【新建拓扑】 对话框，浏览创建拓扑简单介 绍后，单击【下一步】按钮， 进入右图所示对话框，并输入 相关数据，点击【下一步】按 钮。
设置拓扑名称及拓扑容差
6.4.1获取拓扑属性信息
操作步骤：在ArcCatalog目录树中右击Water_Topology,在 弹出菜单中，单击【属性】，打开【拓扑属性】对话框。在对 话框中记录了拓扑的属性信息。
6.4.2拓扑重命名
步骤为：打开【拓扑属 性】对话框，切换到【常规】 选项卡，如图所示，在【名称 】文本框中输入新的拓扑名称
【添加类】对话框
15
2.使用ArcToolbox向拓扑 中添加新的要素类步骤为;在 ArcToolbox中双击【数据管 理工具】-【拓扑】-【向拓 扑中添加要素类】，打开 【向拓扑中添加要素类】对 话框，并加载相关数据如图 所示，单击【完成】按钮， 完成向拓扑中添加要素类的 操作。
【向拓扑中添加要素类】对话框
6
6.错误与异常：错误（errors）以要素的形式存储在 拓扑图层中，并且允许用户提交和管理要素不符合拓扑规 则的情况。错误要素记录了发现拓扑错误的位置，用红色 点、线、方块表示。其中，某些错误时数据创建与更新过 程中的正常部分，是可以接受的，这种情况下可将该错误 要素标记为异常（exceptions），用绿色点、线、方块表 示。
，单击【确定】按钮，完成操
作。
【拓扑属性】对话框
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6.4.3向拓扑中添加新的要素 类：
1.使用ArcCatalog向拓 扑中添加新要素类步骤为： 打开【拓扑属性】对话框， 切换到【要素类】选项卡。 单击【添加类】按钮，弹出 【添加类】对话框。选择要 添加的要素类如图所示单击 【确定】按钮，关闭【添加 类】按钮。为刚添加的要素 设置坐标等级和添加拓扑规 则。最后单击【确定】按钮， 关闭【拓扑属性】对话框。
拓扑学第2章拓扑空间连续映射
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
拓扑教案
嵌入在 6.6 中介绍 例 3.3.3 起不讲 习题课时 1
道路连通分支不讲 习题课时 1 定理 5.2.1 不讲
例 6.2.2 讲部分 不讲定理 6.3.1, 6.3.4 的证明
定理 6.6.1 讲部分 习题课时 3(含总复习) 定理 7.1.6 讲部分 引理 7.3.2 用分析中的结论
定理 7.6.8 不讲
4
第二章 拓扑空间与连续映射
本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两 个概念 : 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边 界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.
§ 2.1 度量空间与连续映射 在 R 上 , |x-y|表示点 x 与 y 之间的距离 . 绝对值是一非负函数, 具有三条重要性质. 定义 2.1.1 设 X 是一集合 , : X X R . 如果 满足正定性、 对称性和三角不等式, 则称 是X 的一个度量 . (X, )称为度量空间, (x, y)表示两点 x, y 之间的距离. 例 2.1.1 实数空间 R . (x,y)=|x-y|, R 的通常度量 . 例 2.1.2 n 维欧氏空间 R n=R R … R. 对于 x R n, 记 x=(xi). 定义 (x, y)= 平面或平面 . 例 2.1.3 Hilbert 空间 H. H={x=(x1 , x2 , … ) | xi R , i Z+; 称为 Hilbert 空间. 例 2.1.4 离散度量空间. 度量空间(X, )称为离散的 , 若 x X, δ x, 满足 (x, y)< δ x >0, 使得不存在 X 中的点 y x. 如 对集合 X, 按如下方式定义 : X X R 是 X 上的离散度量:
史上最权威的空间数据结构数据库拓扑关系讲义
史上最权威的空间数据结构数据库拓扑关系讲义在现代社会中，空间数据已经成为各个领域必不可少的一部分。
对于地理信息系统（GIS）和遥感技术的广泛应用，对空间数据结构、数据库和拓扑关系的研究变得异常重要。
本文将介绍史上最权威的空间数据结构、数据库和拓扑关系讲义，探讨其在空间数据应用领域的重要性。
其次，空间数据库是对空间数据进行组织、存储和查询的关键技术。
《Spatial Databases: A Tour》是另一本权威的空间数据库讲义。
该讲义由R.G. G. Cutingame、M. H. F. Van Leusen、M.J. Kraak和M.J. Molenaar撰写，全面介绍了空间数据库的背景、模型、方法和应用。
讲义详细介绍了空间数据库的关键概念，如空间索引、空间查询、空间拓扑关系等，以及各种不同类型的空间数据模型和数据管理技术。
该讲义的权威性在于其对空间数据库的全面概述和对实际应用的深入剖析。
最后，拓扑关系是描述空间对象之间关系的重要工具。
《The Elements of Graphic Statics: Their Application to the Solutionof Static Problems》是一本古老但非常有影响力的拓扑关系讲义。
该讲义由Daniel T. Shearwood于1865年撰写，主要介绍了图形静力学的概念和方法。
尽管该讲义的主要关注点是力学领域，但它详细介绍了拓扑关系的基本原理和应用，为后来的拓扑学和计算几何学的发展奠定了基础。
尽管这本讲义已有150多年的历史，但它的影响力仍然存在于现代空间数据领域。
总而言之，空间数据结构、数据库和拓扑关系是空间数据应用领域的核心技术。
最权威的空间数据结构、数据库和拓扑关系讲义为这些领域的研究和应用提供了重要的参考和指导。
通过深入学习和理解这些讲义，人们可以更好地处理和管理空间数据，为各个领域的应用提供更准确和高效的解决方案。
解析拓扑学掌握拓扑学的基本概念和定理
解析拓扑学掌握拓扑学的基本概念和定理拓扑学是数学中的一个重要分支学科，研究的是空间中的连续性质和变形。
它的发展可以追溯到18世纪末，而在20世纪初得到了较大的发展和应用。
拓扑学的基本概念和定理对于数学和其他学科都有着重要的影响。
一、拓扑学的基本概念在介绍拓扑学的基本概念之前，我们先来了解一下拓扑空间的概念。
拓扑空间是可以定义连续性的一种数学结构，它由特定的集合和在集合上定义的拓扑结构组成。
1.1 集合在拓扑学中，集合是指事物的总体，它由若干个元素组成。
集合可以是有限的，也可以是无限的。
1.2 拓扑结构拓扑结构是对集合进行拓扑性质描述的一种方式。
拓扑结构由开集构成，满足以下三个条件：（1）空集和整个集合都是开集；（2）两个开集的交集仍然是开集；（3）有限个开集的并集仍然是开集。
1.3 拓扑空间拓扑空间是一个有序对，包括一个集合和一个定义在集合上的拓扑结构。
二、拓扑学的基本定理在拓扑学中，有一些基本定理被广泛应用于研究和解决问题。
接下来，我们将介绍几个重要的基本定理。
2.1 连通性定理连通性定理指出，如果一个拓扑空间是连通的，那么它的子空间也是连通的。
这个定理在拓扑学中有着广泛的应用，可以帮助我们研究和理解拓扑空间的性质。
2.2 压缩映射定理压缩映射定理是拓扑学中的另一个重要定理，它说明了在一个完备度量空间中存在唯一的压缩映射。
这个定理在动力系统和微分方程等领域有着广泛的应用。
2.3 闭集和极限点定理闭集和极限点定理是拓扑学中的两个基本概念。
闭集是指包含了所有极限点的集合，而极限点是指集合中存在收敛于它的序列。
闭集和极限点定理可以帮助我们判断拓扑空间的性质和证明定理。
三、拓扑学的应用除了在数学中的应用，拓扑学还在其他学科中有着广泛的应用，包括物理学、计算机科学和生物学等领域。
3.1 物理学中的应用在物理学中，拓扑学可以帮助我们理解和解释一些复杂的物理现象。
例如，在凝聚态物理中，研究拓扑态可以揭示材料的独特性质和电子结构。
拓扑关系
各空间数据间的相互关系
01 定义
目录
02 拓扑
03 类别
04 拓扑数据结构
05 常见拓扑结构
06 由来
拓扑关系是指满足拓扑几何学原理的各空间数据间的相互关系。即用结点、弧段和多边形所表示的实体之间 的邻接、关联、包含和连通关系。如：点与点的邻接关系、点与面的包含关系、线与面的相离关系、面与面的重 合关系等。
拓扑
是将各种物体的位置表示成抽象位置。 在络中，拓扑形象地描述了络的安排和配置，包括各种结点和结点 的相互关系。拓扑不关心事物的细节也不在乎什么相互的比例关系，只将讨论范围内的事物之间的相互关系表示 出来，将这些事物之间的关系通过图表示出来。
类别
非拓扑属性
拓扑属性
两点之间的距离；一个点指向另一个点的方向；弧段的长度；一个区域的周长；一个区域的面积。
多面体的欧拉定理折叠
在拓扑学的发展历史中，还有一个着名而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果 一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。
谢谢观看
星型络拓扑结构的一种扩充便是星行树。每个Hub与端用户的连接仍为星型,Hub的级连而形成树。然而,应当 指出,Hub级连的个数是有限制的,并随厂商的不同而有变化。
树型结构是分级的集中控制式络，与星型相比，它的通信线路总长度短，成本较低，节点易于扩充，寻找路 径比较方便，但除了叶节点及其相连的线路外，任一节点或其相连的线路故障都会使系统受到影响。
总线结构的优点是信道利用率较高，结构简单，价格相对便宜。缺点是同一时刻只能有两个络节点相互通信， 络延伸距离有限，络容纳节点数有限。在总线上只要有一个点出现连接问题，会影响整个络的正常运行。在局域 中多采用此种结构。
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空间数据的拓扑关系
空间数据的拓扑关系
1.空间数据的拓扑关系
地理信息系统同其它一些事务信息处理系统如银行管理系统，图书检索系统的主要区别在于地理信息系统中具有大量几何目标信息。
这些几何目标信息还包含两类信息，一类是目标本身的位置信息；另一类是地物间的空间关系信息。
如果忽略几何目标间的空间关系信息，那么从数据结构的角度看，地理信息系统的数据结构就可以设计成通常事务信息处理系统的形式。
也就是说，由于地理信息系统必须同时考虑几何目标的空间关系、地物位置信息及特征信息，致使地理信息系统的数据结构比较复杂。
为了研究几何目标的空间关系，在此引入拓扑关系的概念。
2. 拓扑的基本概念
几何信息和拓扑关系是地理信息系统中描述地理要素的空间位置和空间关系的不可缺少的基本信息。
其中几何信息主要涉及几何目标的坐标位置、方向、角度、距离和面积等信息，它通常用解析几何的方法来分析。
而空间关系信息主要涉及几何关系的“相连”、“相邻”、“包含”等信息，它通常用拓扑关系或拓扑结构的方法来分析。
拓扑关系是明确定义空间关系的一种数学方法。
在地理信息系统中用它来描述并确定空间的点、线、面之间关系及属性，并可实现相关的查询和检索。
从拓扑观点出发，关心的是空间的点、线、面之间的联接关系，而不管实际图形的几何形状。
因此，几何形状相差很大的图形，它们的拓扑结构却可能相同。
图3-4(a)(b)所表示的图，其几何形状不同，但它们结点间拓扑关系是相同的，均可用图3-4(c)所示结点邻接矩阵表示。
(c)中交点为1处表示相应纵横两结点相连。
同样，图3-5(a)(b)所表示的图，其几何形状完全不同，但各面块之间的拓扑邻接关系完全相同，如图3-5(c)邻接矩阵所示，(c)中交点为1处表示相应的两个面相邻。
总之，拓扑关系反映了空间实体之间的逻辑关系，它不需要坐标、距离信息，不受比例尺限制，也不随投影关系变化。
因此，在地理信息系统中，了解拓扑关系对空间数据的组织，空间数据的分析和处理都具有非常重要的意义。
3．空间数据的拓扑关系
空间数据拓扑关系的表示方法主要有下述几种：
一、拓扑关联性
拓扑关联性表示空间图形中不同类型元素，如结点、弧段及多边形之间的拓扑关系。
如图3-6(a)所示的图形，具有多边形和弧段之间的关联性
P1/a1，a5，a6；P2/a2，a4，a6等，如图3-6(b)所示。
也有弧段和结点之间的关联性，N1/a1，a3，a5，N2/a1，a6，a2等。
即从图形的拓扑关联性出发，图3-6(a)可用如图3-6(b)，(c)所示的关联表来表示。
用关联表来表示图的优点是每条弧段所包含的坐标数据点只需存储一次，如果不考虑它们之间关联性而以每个多边形的全部封闭弧段的坐标点来存储数据，不仅数据量大，还无法反映空间关系。
二、拓扑邻接性
拓扑邻接性表示图形中同类元素之间的拓扑关系。
如多边形之间的邻接性，弧段之间的邻接性以及结点之间邻接关系(连通性)。
由于弧段的走向是有向的，因此，通常用弧段的左右多边形号来表示并求出多边形的邻接性，如图3-6(a)所示图，用弧段走向的左右多边形表示时，得到表3-1(a)。
显然，同一弧段的左右多边形必然邻接，从而得到如表3-1(b)所示的多边形邻接矩阵表。
表中值为1处，所对应多边形相邻接，从表3-1(b)整理得到多边形邻接性表如表3-1(c)所示。
同理，从图3-6(a)可得到如表3-2所示的弧段和结点之间关系表。
由于同一弧段上两个结点必连通，同一结点上的各弧段必相邻，所以分别得弧段之间邻接性矩阵和结点之间连通性矩阵如表2-3(a)，(b)所示。
三、拓扑包含性
拓扑包含性是表示空间图形中，面状实体中所包含的其它面状实体或线状、点状实体的关系。
面状实体中包含面状实体情况又分为三种情况，即简单包含、多层包含和等价包含。
分别如图3-7(a)，(b)和(c)所示。
图3-7(a)中多边形P1中包含多边形P2，图3-7(b)中多边形P3包含在多边形P2中，而多边形P2，P3又都包含在多边形P1中。
图3-17(c)中多边形P2，P3都包含在多边形P1中，多边形P2、P3对P1而言是等价包含。
3．2．3 拓扑关系的关联表达
拓扑关系的关联表达是指采用什么样的拓扑关联表来表达空间位置数据之间关系。
在地理信息系统中，空间数据的拓扑关联表达尤为重要，通常可采用全显式表达和半隐式表达方式。
一、全显式表达
全显式表达不仅明确表示空间数据多边形→弧段→点之间拓扑关系，同时还明显表达点→弧段→多边形之间关系。
为了描述图3-8所示图及其拓扑关系，可用关联表表3-4到表3-7来表示。
其中表3-4，3-5自上到下表示基本元素之间关联性；表3-6，3-7自下到上表示基本元素之间关联性。
这些表的集合即为图3-8的拓扑关联表的全显式表示。
二、半隐式表示
分析表3-4到表3-7可知，从表3-5可以推导出表3-6。
同样，从表3-6可推导出表3-5，而且，这种推导相当简单。
同时，从表3-4和表3-5也可推导出表3-7，但这种推导关系比较复杂。
基于上述原因，为了简化拓扑关联表达，又便于使用，常常选择表3-4，表3-5和表3-6中的一个，以及表3-7
来表达矢量数据结构中不同元素之间拓扑关联性。
在此基础上，还可以进一步把表进行合并，形成如表3-8所示的半隐式表示。