8压杆的稳定计算
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压杆的稳定校核
i
80
1
不能用欧拉公式
2
a
σs b
57 2
1
用直线公式
σcr a b 214MPa
Fcr A σcr 268kN [FN ] FN 2.27F [F] =118kN
本讲结束π2 EI(l )2π2 E πd 4 64
(l )2
求得 d = 24.6mm，取 d = 25mm。
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
l
i
l
d
200
1 π
E 97 σP
4
压杆的稳定校核
例3 AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端视为铰支。
材料为Q235钢，弹性模量 E = 200GPa。比例极限p = 200MPa，屈服极限 s=240MPa，由稳定条件求[F]。
E=210GPa，[nst] = 6。试确定活塞杆的直经。
D
p
活塞
活塞杆 d
压杆的稳定校核
D
p
活塞杆 d
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力为
πD2 F p 3980N
4
活塞杆承受的临界压力应为Fcr nst F 23900N
把活塞的两端简化为铰支座
压杆的稳定校核
用试算法求直径
（1）先由欧拉公式求直径 Fcr
Fmax = 41.6kN。规定稳定安全系数为 nst = 8-10 。
试校核其稳定性。（a= 461MPa，b= 2.568 MPa）
解： 1 π
E 86
p
活塞杆两端简化成铰支 = 1
截面为圆形 i I d A4
l
i
62.5
1
不能用欧拉公式
压杆的稳定校核
80
1
不能用欧拉公式
2
a
σs b
57 2
1
用直线公式
σcr a b 214MPa
Fcr A σcr 268kN [FN ] FN 2.27F [F] =118kN
本讲结束π2 EI(l )2π2 E πd 4 64
(l )2
求得 d = 24.6mm，取 d = 25mm。
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
l
i
l
d
200
1 π
E 97 σP
4
压杆的稳定校核
例3 AB的直径 d=40mm，长 l=800mm，两端视为铰支。
材料为Q235钢，弹性模量 E = 200GPa。比例极限p = 200MPa，屈服极限 s=240MPa，由稳定条件求[F]。
E=210GPa，[nst] = 6。试确定活塞杆的直经。
D
p
活塞
活塞杆 d
压杆的稳定校核
D
p
活塞杆 d
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力为
πD2 F p 3980N
4
活塞杆承受的临界压力应为Fcr nst F 23900N
把活塞的两端简化为铰支座
压杆的稳定校核
用试算法求直径
（1）先由欧拉公式求直径 Fcr
Fmax = 41.6kN。规定稳定安全系数为 nst = 8-10 。
试校核其稳定性。（a= 461MPa，b= 2.568 MPa）
解： 1 π
E 86
p
活塞杆两端简化成铰支 = 1
截面为圆形 i I d A4
l
i
62.5
1
不能用欧拉公式
压杆的稳定校核
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
压杆稳定计算
第二节
欧拉在 1774 年首先解决的。
细长压杆的临界力
现在我们来求压杆的临界力 Plj ，即杆弯曲后在平衡状态时的纵向力 P，这个问题是 设有一根等截面的直杆 AB，长为 L，两端铰支(图 25-2)，在纵向力 P 作用下，发生 微小弯曲变形，选取坐标轴如图所示，杆在弯曲状态下，距下端为 x 的任一截面的挠度 为 y，该截面的弯矩为 M（x）= -Py （ a） 压杆开始丧失稳定时，挠度很小，可以根据挠曲线的近似微分方 程来进行分析，将式（a）代入挠曲线近似微分方程得 d2 y EI = M ( x) = − Py d x2 P (b) 令 k2 = EI 那么上面的微分方程就可写成 d2 y + k2 y = 0 d x2 它的通解是 y=c1sinkx+c2coskx 不知道，所以式中的K也是一个待定值。 要确定上述这几个待定值，可以利用杆端的两个边界条件。在 A 端，即 x=0 处，挠 度 y=0，把它代入式（c） ，即可求得 c2=0 因此挠度曲线方程为 y=C1sinkx (d) 又在 B 端，即 x= l 处，挠度 y=0，代入上式得
P lj
=
π
2
EI
2
(0 .7 l )
2 2
（25-4）
综合上述四个公式可得临界力的一般表达式为
P lj =
π EI = π EI 2 2 (μl ) L0
（25-5）
式中 μ 为长度系数，其值取决于压杆两端的约束情况，可见表 25-1。L0= μ l ，为 压杆的计算长度；E为杆件材料的弹性模量：I为杆件截面的惯矩。
k= l
或 (e)
若取C1=0，则由式（d）得挠曲线方程为y=0，表示杆仍保持直线形式，这个结论与原来
压杆稳定计算简介
式中的系数j为折减系数，它决定于压杆的材 料和柔度，折减系数j反映了柔度对压杆稳 定性的影响。j值可以从折减系数表中查得。
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆稳定
例11-3 校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端
铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。
解：
i I d 20 l 1 600 5cm; 1; 120; A 4 4 i 5
20 d 20 l 1l 600 1 600 5cm ;5cm ; 1 ; 1; 120 ; 120; 4 4 i i 5 5
y
120
z
200
z 200
y
120
（图a）
（图b）
解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力
120 200 80106 m m4 中性轴为y轴：I y 12
3
y
120
z 200
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2 EI y
l 2
3.142 10103 80106 123kN 2 1 8000
压杆稳定
压杆稳定的概念
压杆的稳定计算
细长压杆的临界力
小结
压杆的临界应力
第一节
压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其 稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性） 细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力。
4 d C
64
;
a
B
l
i
11000 142 .9 p 123; 大柔度杆； 7
A
2 E 2 200000 lj 2 96.7 MPa 2 142.9
N CB a
P B
压杆稳定
11500 173 p 100 30 i 2 3
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
材料力学第八章压杆的稳定性
第八章
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
压杆的稳定性
§8-1 压杆稳定性的概念
工程中存在着很多受压杆件。 受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式： 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到 材料的极限应力，为强度破坏。 2）细长的直杆，其破坏 是由于杆不能保持原有的直线 平衡形式，为失稳破坏。 对于相对细长的压杆，其 破坏并非由于强度不足，而是 由于荷载（压力）增大到一定 数值后，不能保持原有直线平 衡形式而失效。
z y x 轴销
解：先计算压杆的柔度。 在xz面内，压杆两端可视为铰支，μ=1。查型钢表，得 l 1 2 iy=4.14cm，故 y 48.3 i y 0.0414
在xy面内，压杆两端可视为固支， μ=0.5。查型钢表，得iz=1.52cm， 故 l 0.5 2 z 65.8 iz 0.0152
n2π2EI l2
(n = 0,1,2…）
（Euler公式）
x Fcr
π w =Asin l x （半波正弦曲线） l x= 2 时 w0= A
A是压杆中点的挠度w0。为任意的微小值。
l
w
F与中点挠度w0之间的关系 （1） 若采用近似微分方程，则F 与如折线OAB所示； （2） 若采用精确的挠曲线微 分方程，则可得F与w0之间的 关系如曲线OAB'所示； F B'
例 某钢柱长7m，由两根16b号槽钢组成，材料 为Q235钢，横截面如图所示，截面类型为b类。钢柱 的两端截面上有4个直径为30mm的螺栓孔。钢柱μ=1.3 ， 受260kN的轴向压力，材料的[σ]=170MPa。 （1）求两槽钢的间距h。 （2）校核钢柱的稳定性和强度。
解：(1) 确定两槽钢的间距h 钢柱两端约束在各方向均相同， 因此，最合理的设计应使Iy=Iz , 从 而使钢柱在各方向有相同的稳定性。
工程力学29-压杆稳定计算
33. 压杆的稳定计算
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
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F cr 称 为 临 界 荷 载
稳定的平衡：
能保持原有的
直线平衡状态
的平衡；
不稳定的平衡：
不能保持原有的
直线平衡状态的
平衡。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发 生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现 象也称为屈曲。
2020/3/12
子情境8.1 压杆的概念
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡 时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力， 用Fcr表示
Fcr
2EI (l)2
22001096.75108
(22)2
y z
30mm
8 3 3 0 N 8 .3 3 k N
30mm
2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。
⑷当截面改为面积相等的圆
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N 矩 形 :F cr3.7kN
形时，其惯性矩：
D2 b2 D
Iy
Iz
4
D4
64
422 b4
64
4
b
24 6 4 3046.45104m m 4
Fcr
2EI (l)2
2200 (1 20 92 )6 2.45108
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
7 9 5 0 N 7 .9 5 k N
2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N
临界力。
矩 形 :F cr3.7kN
⑶当截面改为边长为30mm的 正方形时，其惯性矩：
IyIzh 1 b 2 33 1 0 2 3 6 .7 5 1 0 4m m 4
⑴两端铰支细长杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr
2EI
l2
⑵其他约束情况下细长压杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr
2EI
l 2
μ称为长度系数。
两 端 铰 支 时 ： 1 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 铰 支 时 ： 0 .7 两 端 固 定 时 ： 0 .5 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 自 由 时 ： 2
F30N
F6000N
1000
30
2020/3/12
轴心受压杆件从直线状态突然变为曲线状态的现
象，在结构上称为“失稳”。这种情况对结构安全是
极为不利的。也是必须避免的。
F30N
截面形状也是轴心受压直杆 稳定性的又一个重要因素。
F6000N
1000
30
2020/3/12
子情境8.1 压杆的概念
当压杆所受的轴向压力F小于临界力Fcr时，杆件就 能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定 性；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时, 杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
2020/3/12
子情境8.2 各种压杆的临界力和临界应力计算
8.2.1 细长压杆的临界力和临界应力计算
⒈ 细长压杆的临界力计算
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
2020/3/12
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑴细长压杆临界应力的计算公式 — 欧拉公式
cr
Fcr A
cr
1 A
2
EI
l 2
I i2A或i2 I A
cr 1A2lEI2 2Eli22
2E
l
2
令
l
i
,则有：
cr
2E 2
i
2020/3/12
cr
2E 2
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑵欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此
微分方程时，材料必须服从胡克定理。因此，欧拉公式的适 用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即：
2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N
临界力。
矩 形 :F cr3.7kN
从以上三种情况的分析，其 截面面积相等、支承条件也相同, 但是，计算得到的临界力却不一 样。可见在材料用量相同的条件 下，选择恰当的截面形式可以提 高细长压杆的临界力。
c
600040MP 305
a
长木条失效时：
30
c
305
0.2MP
a
两者失效原因存在本质区别：
短木条: 强度失效，由强度不足引起
长木条: 非强度失效(丧失稳定)，由 稳定性不足引起
2020/3/12
F30N
F6000N
1000
30பைடு நூலகம்
从谚语“直木顶千斤”谈轴心受压杆的稳定
这个试验告诉我们，同一材料、 同一截面尺寸和形状，当长度不同 时，其能承受的轴心压力值是不同 的。在结构计算中，构件有一个重 要特征，就是计算长度的影响。长 度越大，构件的计算长度也越大， 其能承受的轴心压力值越小，这就 是直木承受轴心压力的一个重要特 征。因此，笼统地说“直木顶千斤” 并不符合实际情况。
2020/3/12
两 端 铰 支 时 ： 1 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 铰 支 时 ： 0 .7 两 端 固 定 时 ： 0 .5 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 自 由 时 ： 2
2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。
学习情境8
压杆的稳定计算
学习要点：压杆稳定的概念、临界压力和欧 拉公式等。
教学目标：了解压杆稳定的概念；会计算细 长杆、中长杆和短粗杆的临界力；会对各种压杆 进行稳定校核。了解提高压杆稳定性的措施。
2020/3/12
引例
一个实验：
松木板条：截面尺寸5×30，抗压极 限应力40MPa。
短木条失效时：
cr 22E≤P
≥
E P
设λP为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：
则欧拉公式的适用范围为： ≥ P
2020/3/12
P =
E P
矩 形 :F cr3.7kN
解：⑴计算截面的惯性矩
Im a x Iy h 1 b 2 3 4 5 1 2 2 0 3 3 .0 1 0 4 m m 4
⑵计算临界力
Fcr
2EI (l)2
2200(2 1 029) 23108
3 7 0 1 N 3 .7 k N
稳定的平衡：
能保持原有的
直线平衡状态
的平衡；
不稳定的平衡：
不能保持原有的
直线平衡状态的
平衡。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发 生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现 象也称为屈曲。
2020/3/12
子情境8.1 压杆的概念
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡 时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力， 用Fcr表示
Fcr
2EI (l)2
22001096.75108
(22)2
y z
30mm
8 3 3 0 N 8 .3 3 k N
30mm
2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。
⑷当截面改为面积相等的圆
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N 矩 形 :F cr3.7kN
形时，其惯性矩：
D2 b2 D
Iy
Iz
4
D4
64
422 b4
64
4
b
24 6 4 3046.45104m m 4
Fcr
2EI (l)2
2200 (1 20 92 )6 2.45108
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
7 9 5 0 N 7 .9 5 k N
2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N
临界力。
矩 形 :F cr3.7kN
⑶当截面改为边长为30mm的 正方形时，其惯性矩：
IyIzh 1 b 2 33 1 0 2 3 6 .7 5 1 0 4m m 4
⑴两端铰支细长杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr
2EI
l2
⑵其他约束情况下细长压杆的临界力计算公式—欧拉公式
Fcr
2EI
l 2
μ称为长度系数。
两 端 铰 支 时 ： 1 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 铰 支 时 ： 0 .7 两 端 固 定 时 ： 0 .5 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 自 由 时 ： 2
F30N
F6000N
1000
30
2020/3/12
轴心受压杆件从直线状态突然变为曲线状态的现
象，在结构上称为“失稳”。这种情况对结构安全是
极为不利的。也是必须避免的。
F30N
截面形状也是轴心受压直杆 稳定性的又一个重要因素。
F6000N
1000
30
2020/3/12
子情境8.1 压杆的概念
当压杆所受的轴向压力F小于临界力Fcr时，杆件就 能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定 性；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时, 杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
2020/3/12
子情境8.2 各种压杆的临界力和临界应力计算
8.2.1 细长压杆的临界力和临界应力计算
⒈ 细长压杆的临界力计算
Fcr 7.95kN
D y
z
30mm
30mm
2020/3/12
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑴细长压杆临界应力的计算公式 — 欧拉公式
cr
Fcr A
cr
1 A
2
EI
l 2
I i2A或i2 I A
cr 1A2lEI2 2Eli22
2E
l
2
令
l
i
,则有：
cr
2E 2
i
2020/3/12
cr
2E 2
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑵欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此
微分方程时，材料必须服从胡克定理。因此，欧拉公式的适 用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即：
2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的
正 方 形 :F cr8 .3 3 k N
临界力。
矩 形 :F cr3.7kN
从以上三种情况的分析，其 截面面积相等、支承条件也相同, 但是，计算得到的临界力却不一 样。可见在材料用量相同的条件 下，选择恰当的截面形式可以提 高细长压杆的临界力。
c
600040MP 305
a
长木条失效时：
30
c
305
0.2MP
a
两者失效原因存在本质区别：
短木条: 强度失效，由强度不足引起
长木条: 非强度失效(丧失稳定)，由 稳定性不足引起
2020/3/12
F30N
F6000N
1000
30பைடு நூலகம்
从谚语“直木顶千斤”谈轴心受压杆的稳定
这个试验告诉我们，同一材料、 同一截面尺寸和形状，当长度不同 时，其能承受的轴心压力值是不同 的。在结构计算中，构件有一个重 要特征，就是计算长度的影响。长 度越大，构件的计算长度也越大， 其能承受的轴心压力值越小，这就 是直木承受轴心压力的一个重要特 征。因此，笼统地说“直木顶千斤” 并不符合实际情况。
2020/3/12
两 端 铰 支 时 ： 1 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 铰 支 时 ： 0 .7 两 端 固 定 时 ： 0 .5 ； 一 端 固 定 ， 另 一 端 自 由 时 ： 2
2020/3/12
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。
学习情境8
压杆的稳定计算
学习要点：压杆稳定的概念、临界压力和欧 拉公式等。
教学目标：了解压杆稳定的概念；会计算细 长杆、中长杆和短粗杆的临界力；会对各种压杆 进行稳定校核。了解提高压杆稳定性的措施。
2020/3/12
引例
一个实验：
松木板条：截面尺寸5×30，抗压极 限应力40MPa。
短木条失效时：
cr 22E≤P
≥
E P
设λP为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：
则欧拉公式的适用范围为： ≥ P
2020/3/12
P =
E P
矩 形 :F cr3.7kN
解：⑴计算截面的惯性矩
Im a x Iy h 1 b 2 3 4 5 1 2 2 0 3 3 .0 1 0 4 m m 4
⑵计算临界力
Fcr
2EI (l)2
2200(2 1 029) 23108
3 7 0 1 N 3 .7 k N