压杆的稳定计算
压杆稳定性验算公式
压杆稳定性验算公式压杆稳定性是工程结构设计中需要考虑的一个重要问题。
在许多工程应用中，压杆一般用于承受压力作用的结构元素，如柱子、桁架等。
压杆的稳定性验算是为了判断压杆在承受压力时是否会发生屈曲或失稳的现象，需要通过计算并比较压力作用下的抗弯稳定能力和压杆的承载能力。
压杆在弯曲中的稳定性主要受压杆的几何形状、材料特性、边界条件以及压力作用方向等因素的影响。
一般来说，压杆的稳定性验算可以采用欧拉公式、约束系数法和有限元法等方法进行。
欧拉公式是一种经典的压杆稳定性验算方法，其基本原理是根据压杆的截面形状和尺寸来计算压杆的临界压力，然后和实际压力进行比较，从而评估压杆的稳定性。
欧拉公式的基本形式如下：Pcr = (π^2EI)/(kl)^2其中Pcr为压杆的临界压力（也称为临界载荷）E为材料的弹性模量I为压杆的截面惯性矩k为约束系数（取决于边界条件，一般为纵横比的函数）l为压杆的有效长度。
欧拉公式适用于压杆为理想长细杆的情况，即压杆的长度远大于其截面的最小尺寸，并且边界条件是固定或铰支的。
对于实际情况下的压杆验算，可以根据具体条件和要求进行修正或改进。
约束系数法是一种更为精确的压杆稳定性验算方法，它考虑了压杆的几何形状、材料特性以及边界条件等因素的影响。
其基本原理是根据压杆的几何形状以及约束条件，在一系列已知的稳定压力下进行试算，从而得到压力-破坏应力的关系曲线。
然后根据工程要求，找到落在这条曲线上的设计压力，从而评估压杆的稳定性。
约束系数法的计算过程较为复杂，需要进行较多的计算和试算，但可以得到更为准确的结果。
在实际工程中，一般可以借助计算机辅助设计软件进行约束系数法的计算。
有限元法是一种现代化的验算方法，通过将大型结构划分为小型有限元，然后进行数值计算，得到压杆的应力和变形情况，从而评估压杆的稳定性。
有限元法充分考虑了压杆的复杂几何形状、材料非线性以及边界条件的影响，具有较高的精度和适用性。
以上介绍的是压杆稳定性验算的一些基本方法和原理。
《土木工程力学》第6章
φ
λ
0 20 40 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 1.000 0.981 0.927 0.842 0.789 0.731 0.669 0.604 0.536 0.466 0.401 0.349 0.306 0.272 0.243 0.218 0.197 0.180 0.164 0.151 0.139 0.129 0.120 1.000 0.973 0.895 0.776 0.705 0.627 0.546 0.462 0.384 0.325 0.279 0.242 0.213 0.188 0.168 0.151 0.136 0.124 0.113 0.104 0.096 0.089 0.082 1.00 0.91 0.69 0.44 0.34 0.26 0.20 0.16
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四、临界应力的经验公式
对于中长杆和粗短杆，临界应力可以用经验公式（抛物线公
式）：
cr ＝ 0 –k2
(6-7)
来进行计算， 0、k都是和材料有关的参数。例如：
Q235钢
cr =(235-0.0068λ２)MPa
16Mn钢
(<p=132 ) (<p=109)
cr =(343-0.00161λ２)MPa
重复二、三次便可达到目的。
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例6-2 图示一根钢管支柱，管长l=2.5m，两端铰支，承受 轴向压力F=250kN 。截面尺寸为D=102mm ， d=86mm ，材料
采用Q235钢，其容许应力[]=160MPa 。校核该柱的稳定性。 F 解 1）计算柱的长细比
压杆稳定性计算
Wz=102⨯10-6m3,A=21.5⨯10-4m2
由此得到
σmax
MmaxFN15.63⨯10321.65⨯103
=+=+-6
WzA102⨯1021.5⨯10-4
=163.2⨯106Pa=163.2MPa
Q235钢的许用应力[σ]=
σs
ns
=
235
=162MPa 1.45
临界载荷为：Fcr=σcrA=191.5⨯10⨯
3
π⨯0.022
4
=60.1kN
根据稳定条件：n=
Fcr
≥nst F
Fcr
nst
则F=1.67P≤
于是得P≤
Fcr60.1
==12.0kN
1.67nst1.67⨯3
可见托架D端的许用载荷不应超过12.0 kN。
例12-6图12-14所示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20 mm，二者材料均为Q235钢，A、C、D三处均为球铰约束。已知F=25 kN，l1=1.25 m，l2=0.55 m，σs=235 MPa。强度安全因数ns=1.45，稳定安全因数nst=1.8。试校核此结构是否安全
可见，压杆稳定性满足要求。
例12-5油管托架如图12-13所示。杆AB直径d=20mm，长l=400 mm，材料为Q235钢。如果取稳定安全因数nst=3，试确定托架D端的许用载荷P的大小。
解：杆AB两端可简化为铰支，忽略其自重，则可视为二力杆，受轴向压力F作用。以杆CD为研究对象，由平衡方程：
∑Mc=0,P(240+80)-F⋅CE=0
?
解：在给定的结构中，梁AB承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD承受压力，属于稳定问题。应分别校核。
压杆稳定计算
第二节
欧拉在 1774 年首先解决的。
细长压杆的临界力
现在我们来求压杆的临界力 Plj ，即杆弯曲后在平衡状态时的纵向力 P，这个问题是 设有一根等截面的直杆 AB，长为 L，两端铰支(图 25-2)，在纵向力 P 作用下，发生 微小弯曲变形，选取坐标轴如图所示，杆在弯曲状态下，距下端为 x 的任一截面的挠度 为 y，该截面的弯矩为 M（x）= -Py （ a） 压杆开始丧失稳定时，挠度很小，可以根据挠曲线的近似微分方 程来进行分析，将式（a）代入挠曲线近似微分方程得 d2 y EI = M ( x) = − Py d x2 P (b) 令 k2 = EI 那么上面的微分方程就可写成 d2 y + k2 y = 0 d x2 它的通解是 y=c1sinkx+c2coskx 不知道，所以式中的K也是一个待定值。 要确定上述这几个待定值，可以利用杆端的两个边界条件。在 A 端，即 x=0 处，挠 度 y=0，把它代入式（c） ，即可求得 c2=0 因此挠度曲线方程为 y=C1sinkx (d) 又在 B 端，即 x= l 处，挠度 y=0，代入上式得
P lj
=
π
2
EI
2
(0 .7 l )
2 2
（25-4）
综合上述四个公式可得临界力的一般表达式为
P lj =
π EI = π EI 2 2 (μl ) L0
（25-5）
式中 μ 为长度系数，其值取决于压杆两端的约束情况，可见表 25-1。L0= μ l ，为 压杆的计算长度；E为杆件材料的弹性模量：I为杆件截面的惯矩。
k= l
或 (e)
若取C1=0，则由式（d）得挠曲线方程为y=0，表示杆仍保持直线形式，这个结论与原来
压杆稳定性计算公式例题
压杆稳定性计算公式例题在工程结构设计中，压杆是一种常见的结构元素，用于承受压力和稳定结构。
在设计过程中，需要对压杆的稳定性进行计算，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将介绍压杆稳定性计算的基本原理和公式，并通过一个例题进行详细说明。
压杆稳定性计算的基本原理。
压杆稳定性是指压杆在受压力作用下不会发生侧向屈曲或失稳的能力。
在进行压杆稳定性计算时，需要考虑压杆的材料、截面形状、长度、支座条件等因素，以确定其稳定性。
一般来说，压杆的稳定性可以通过欧拉公式或约束条件来计算。
欧拉公式是描述压杆稳定性的经典公式，其表达式为：Pcr = (π^2 E I) / (K L)^2。
其中，Pcr表示压杆的临界压力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示约束系数，L表示压杆的有效长度。
这个公式是基于理想的弹性理论，适用于较长的细杆，但在实际工程中，压杆的稳定性计算可能还需要考虑其他因素。
除了欧拉公式外，压杆稳定性计算还需要考虑约束条件。
约束条件是指压杆在受力时的支座和边界条件，对压杆的稳定性有重要影响。
在实际工程中，约束条件可以通过有限元分析等方法来确定，以获得更精确的稳定性计算结果。
压杆稳定性计算的例题分析。
下面我们通过一个例题来说明压杆稳定性计算的具体步骤和方法。
假设有一根长度为2m的钢质压杆，截面形状为矩形，截面尺寸为100mm ×50mm，弹性模量为2.1 × 10^5 N/mm^2。
现在需要计算在这根压杆上施加的最大压力，使得其不会发生侧向屈曲或失稳。
首先，我们需要计算压杆的有效长度。
对于简支压杆，其有效长度可以通过以下公式计算：Le = K L。
其中，K为约束系数，对于简支压杆，K取1。
所以，这根压杆的有效长度为2m。
接下来，我们可以使用欧拉公式来计算压杆的临界压力。
根据欧拉公式，可以得到：Pcr = (π^2 E I) / L^2。
其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
根据矩形截面的惯性矩公式，可以计算得到I = (1/12) b h^3 = (1/12) 100mm (50mm)^3 = 5208333.33mm^4。
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆稳定—压杆稳定的概念(建筑力学)
二、压杆稳定概念
压杆稳定
当FP值超过某一值Fcr时，撤除干扰后，杆不能恢复到原来 的直线形状，只能在一定弯曲变形下平衡（图ｄ），甚至折 断，此时称杆的原有直线状态的平衡为不稳定平衡。
由此可知，压杆的直线平衡状态是否稳定，与压力FP的大 小有关。
压杆稳定
当压力FP逐渐增大至某一特定值Fcr时，压杆将从稳定平 衡过渡到不稳定平衡，此时称为临界状态。 压力Fcr称为压杆的临界力。 当外力达到压杆的临界力值时，压杆即开始丧失稳定。
压杆稳定
第一节 压杆稳定概念
一、稳定问题的提出
两根相同材料（松木）制成的杆，
σb=20MPa；A＝10mm×30mm
短杆长：l＝30mm；
长杆长：l＝1000mm F
若按强度条件计算，
两根杆压缩时的极限承载
能力均应为：
F
F =σbA=6kN
F
1m 30mm
F
压杆的破坏实验结果：
（1）短杆在压力增加到约 为6kN时，因木纹出现裂纹而 破坏。
（2）长杆在压力增加到约40N 时突然弯向一侧，继续增大压力 ，弯曲迅速增大，杆随即折断。
F
1m
F
30mm
F
F
结论：
短压杆与长压杆在压缩时的破坏 性质完全不同
• 短压杆的破坏属于强 度问题；
F• 长压杆的破坏则属于能否保持其原来的直线平衡
状态的问题
F
F
1m 30mm
F
压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态 的能力。
压杆稳定
压杆稳定
学习目标：
1.深刻理解压杆稳定的概念，理解临界力和柔度的概念。 2. 理解杆端约束对临界力的影响，了解压杆的分类和临界 应力总图。 3.掌握压杆临界力、临界应力的计算。 4.掌握压杆的稳定计算以及提高压杆稳定性的措施。
压杆稳定计算
d 2
而i
4 4 64 64 I d A 4 （此式今后可直接使用），则i
162
2 201.1cm ,I
d 4
164
=16/4=4cm。
（2）计算临界荷载 l 1 500 l1杆 : 1 1 125 P 102 图16-6 i 4 属于细长杆，故可用欧拉公式计算临界荷载。于是 2 EI z 2 2 1011 3.217 105 6 Fcr1 2 . 54 10 N 2540 kN ( l ) 2 (1 5) 2
临界压力
取图16-1所示的理想压杆做一抗侧向干扰的试验，在不同压力下用侧向干扰力使 其弯曲。结果表明，轴向压力F＜Fcr时，一但去除干扰力，压杆便迅速恢复 原状，继续保持其稳定直线平衡状态承受压力。我们称这种情况的平衡为稳 定平衡。 当F＝Fcr时，即使去除了干扰力压杆仍停留在干扰力使其弯曲的位置，无法恢复 原状，这是工程上不能容许的状况。我们称这种情况的平衡为临界平衡。F ＞Fcr时，一有微小干扰，压杆迅速向远离干扰所致的位置弯曲，随即折断。 我们称这种情况的平衡为不稳定平衡。 工程上不能容许这种情况出现。前面所谓压杆失稳，就是指F≥Fcr的情况，Fcr的 被称为临界压力。
例16-1 某压杆材料弹性模量E=200GPa，λP=100。当柱子实际柔度λ=125时， 试分别计算横截面为图示圆形和矩形截面时柱子的临界压力。
例16-1
图16-3
解： 因为柱子实际柔度λ=125＞λP=100，故知可用欧拉公式计算临界力。柱 子“上端自由、下端固定”，故长度系数μ=2。 （1）圆形截面时，惯性矩为4 4
1 250 62.5 4 i λ2< λ P=102，它属于中长杆或粗短杆。今假定用中长杆直线经验公式计算临界应力， 从表16-1中查出公式中系数a=304，b=1.12。则 l2 杆 : 2
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解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度
l
i
1 3000 23.1
129.9
p
123
大柔度杆
由欧拉公式
lj
2E 2
2 200 103 129 .92
117 MPa
Plj lj A 117 4200 491 .3kN P 500 kN 所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。
二、欧拉公式的适用范围
λ p—分界柔度，取决与
lj
2E 2
p
或
2E p
p
材料的力学性质。A3钢：
E 200GPa, p 200EPa, p
2 200000 100
200
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三、超出比例极限时压杆的临界力 临界应力总图
临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时
的应力。
lj
Plj A
2EI
l2 A
2E
l 2
I A
2E
l 2
i2
2E 2
其中：i I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝ l 称为压杆的柔度（长细比）；反映压杆的柔软程度。
i
•解：查表得20a号工字钢:
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
2 EI
•临界压力按公式 plj l 2
计算
2EI 2 200 106 158 10 8
Plj l 2
32
346 kN
•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便
会丧失稳定。
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当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压 杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。
lj a b2; Plj lj A (a b2)A;
式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。 A3钢：a＝235,b＝0.00668；
16锰钢：a＝343,b＝0.0142。
• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承
情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。
可见，改善支承条件可有效提高压杆稳定性。若采用加大截面
为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
支承减小杆长），则μ＝0.5,
l
i
129.9 2
64.95
p
123
为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。
lj a b2 235 0.0066864.952 206.8MPa
Plj lj A 206 .8 4200 868 .7kN P 500 kN
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
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• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。
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二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。
也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
Plj
2 EI m in (l)2
式中： E材料的弹性模量；
Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d2y dx2
M (x) EI
Plj EI
y;
令 Plj EI
k
2
,
则有
d2y dx2
k
2
y
0;
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l, y 0;
（1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。
中性轴为y轴： Iy=120×2003/12 =80×106mm4 =80×10-6m4
木柱两端铰支，，则得：
Plj
2EIy
l 2
3.142 10103 80106
1 80002
123kN
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178KN
比较计算结果可知：第一种情况临界压
力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明， 当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况 不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳 ，必须经过计算才能最后确定。
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第三节 压杆的临界应力
一、临界应力与柔度
• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。
•
中性轴为z轴： Iz
200 120 3 12
28.8 10 6 mm 4
28.8 10 6 m4
木柱两端固定，，则得：
Plj
2EIz
l 2
3.142
10103 28.8106
0.5 80002
临界应力总图—临界应力
lj与柔度的函数关系曲线。
c
: 大柔度杆； lj
2E 2
;
c :中小柔度杆； lj a b2;
λ c—修正的分界柔度。
A3钢：λ c=123；16锰钢：λ c＝102。 返回 下一张 上一张 小结
例10-3 22a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。 钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。
得c2 0;c1 sin kl 0;
因为c1 0,所以sin kl 0;得kl n (n 0、1、2、n)；
则
Plj
n2 2EI
l2
(n
0、1、2、n);
n取不为零的最小值，即 取n 1,所以
Plj
2EI
l2
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）