易错点02 方程(组)与不等式(组)-备战2021年中考数学一轮复习易错题(原卷版)
中考数学第一轮考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组)第8讲一元一次不等式(组)及其应用(练本)课
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谢谢观独具赏方为先
匠心可成锋 Y o u m a d e m y d a y !
我们，还在路上……
场最多能购买50个甲种奖品.
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共100个，且此次购买奖品的费用不超过2 000元.正逢商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在商场最多能购买 多少个甲种奖品.
解：设学校在商场购买m个甲种奖品，则购买(100－m)个乙种奖品. 根据题意，得30×0.8m＋20×0.8(100－m)≤2 000， 解得m≤50. 答：学校在商场最多能购买50个甲种奖品.
解：设购进电视机x台，则购进洗衣机(100－x)台.
根据题意，得
x
1 (100 x)， 2
1800x 1500(100 x) 161800，
解得 33 1 x 39 1 .
3
3
∵x为整数，
∴x可以取34，35，36，37，38，39，
∴商店共有6种进货方案.
11.学校准备为“趣味数学”比赛购买奖品.已知在商场购买3个甲种奖品和2 个乙种奖品共需130元，购买6个甲种奖品和5个乙种奖品共需280元.
3倍，购进A，B两种风扇的总金额不超过1 170元.根据以上信息，小丹共
有哪些进货方案？ 解：设购进A型风扇m台，则购进B型风扇(100－m)台.
根据题意，得
m 3(100 m),
10m
16(100
m)
解得71 2
1170，
3
m 75.
∵m为正整数，∴m可以取72，73，74，75，∴小丹共有4种进货方案：
12.(2020·德州)若关于x的不等式组
中考数学易错题专题复习 方程(组)与不等式(组)(2021年整理)
中考数学易错题专题复习方程（组）与不等式（组）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考数学易错题专题复习方程（组）与不等式（组））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方程（组）与不等式（组）易错点1：运用等式性质2时，注意除数不能为零;解方程(组）的基本思想：消元降次。
易错题1：已知方程组2326x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，则x+y的值为…………………………………（）A。
-3 B.0 C。
2 D。
3错解：C正解：D赏析：本题错误的原因是在解方程组的过程中出现了错误，且没有检验就计算x+y。
一般做法是:先用代入法或加减法求得方程组的解,如用代入法:由①得，y＝3－2x③，把③代入②,得x＋2（3－2x）＝6，解得x＝0，把x＝0代入③，得y＝3，∴3xy=⎧⎨=⎩,再求x+y的值。
若将两个方程相加：①＋②，得3x＋3y＝9，再方程两边同除以3，得x＋y＝3,这样可直接求得结果,计算简便且不易出错。
易错点2：解一元二次方程的有关问题时忽略二次项系数不为零的条件，在用韦达定理时忽略△≥0的条件，从而出错。
易错题2：若关于x的一元二次方程ax2＋2(a＋2）x＋a＝0有两个实数根，则实数a的取值范围是___________________.错解：a≥﹣1正解:a≥﹣1且a≠0赏析：错误的原因是忽略了二次项系数a≠0的条件.首先计算判别式△＝[2（a＋2)］2－4a2＝8a＋8，接下来由方程有两个实数根，得△≥0，∴8a＋8≥0，解这个不等式,得a≥﹣1，又∵二次项系数a≠0，∴实数a的取值范围是a≥﹣1且a≠0。
2021年中考数学总复习第二章 方程(组)与不等式(组)第四节 一元一次不等式(组)及其应用
5. 不等式 3 x - x 4 可以表示( C ) 2
A. 3 x 与x的差大于4 2
B. 3 x 与x的差小于4 2
C. 3 x 与x的差最小值为4 2
D. 3 x 与x的差最大值为4 2
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第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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6. (2011河北22题8分)甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40 分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． (1)问乙单独整理多少分钟完工？
(1)求购进A，B两种型号的口罩机各多少台；
【分层分析】(1)设购进A种型号的口罩机x台，B种型号的口罩机y台，由表格和题干① 可得等式为__1_6_x_+_1_4_._8_y=__4_5_6__；由题干②可得等式为_x_+_y_=_3_0__，列方程组求解即可，
也可只设一个未知数，列一元一次方程求解；
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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(2)①嘉嘉在去分母和去括号时出错了，去分母时漏乘了没有分母的常数项－1，去 括号时没有变号． 正确的解法是： 去分母，得 2(x＋2)－3(x－1)≥－6， 去括号，得 2x＋4－3x＋3≥－6， 移项，得 2x－3x≥－6－4－3， 合并同类项，得 －x≥－13， 系数化为1，得 x≤13；
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
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(4)若2x-6<3x的解集能使关于x的不等式 a 2 x x - 2 - a 成立，求常数a的取值范
围．
3
3
(4)∵不等式2x-6＜3x的解集为x＞-6，
不等式 a 2 x x - 2 - a 的解集为x≤6a+2，
方程(组)与不等式(组)-2021年中考数学真题专项汇编(含答案)
方程（组）与不等式（组） ——2021年中考数学真题专项汇编1.【2021年河北，3】已知a b >，则一定有44a b --，“□”中应填的符号是( ) A.> B.<C.≥D.=2.【2021年重庆，3】不等式2x ≤在数轴上表示正确的是( ) A.B.C.D.3.【2021年天津，7】方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是( )A. 02x y =⎧⎨=⎩B. 11x y =⎧⎨=⎩C. 22x y =⎧⎨=-⎩D. 33x y =⎧⎨=-⎩4.【2021年河南，7】若方程220x x m -+=没有实数根，则m 的值可以是( )A. -1B. 0C. 1D.5.【2021年福建，6】某市2018年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是( ) A.()0.6310.68x +=B.()20.6310.68x += C.()0.63120.68x +=D.()20.63120.68x +=6.【2021年山东临汾，12】某工厂生产A ，B 两种型号的扫地机器人.B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫1002m 所用的时间，A 型机器人比B 型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A 型扫地机器人每小时清扫2m x ，根据题意可列方程为( ) A.10010020.53x x =+ B.10021000.53x x +=C.10021003 1.5x x+=D.10010021.53x x =+ 7.【2021年广东，14】若一元二次方程20x bx c ++=（b ,c 为常数）的两根1x ，2x 满足131x -<<-，213x <<，则符合条件的一个方程为________.8.【2021年广东15】若1136x x +=且01x <<，则221x x-=______. 9.【2021年江苏南京，10】设1x ，2x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =______.10.【2021年山东枣庄，13】已知x ，y 满足方程组43123x y x y +=-⎧⎨+=⎩，则x y +的值为________.11.【2021年陕西，16】解方程：213111x x x --=+-. 12.【2021年河北，21】已知训练场球筐中有A 、B 两种品牌的乒乓球共101个，设A 品牌乒乓球有x 个.(1)淇淇说：“筐里B 品牌球是A 品牌球的两倍.”嘉嘉根据她的说法列出了方程：1012x x -=.请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；(2)据工作人员透露：B 品牌球比A 品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A 品牌球最多有几个.13.【2021年天津，19】解不等式组43,65 3.x x x +≥⎧⎨≤+⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. （Ⅰ）解不等式①，得_______________； （Ⅱ）解不等式②，得_______________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为___________.14.【2021年重庆，23】某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知A 产品的销售单价比B 产品的销售单价高100元，1件A 产品与1件B 产品售价和为500元. （1）A 、B 两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B 产品的生产车间.预计A 产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加%a ；B 产品产量将在去年的基础上减少%a ，但B 产品的销售单价将提高3%a .则今年A 、B 两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925%a .求a 的值.15.【2021年福建，20】某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元.（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？答案以及解析1.答案：B解析：解：根据不等式的性质，不等式两边同时乘以负数，不等号的方向改变. a b >， 44a b ∴-<-.故选：B. 2.答案：D 3.答案：B 4.答案：D 5.答案：B 6.答案：D 7.答案：240x -= 8.答案：6536- 9.答案：2 10.答案：-211.答案：解：方程两边都乘以()()11x x +-得：()()()27371x x x --=+-， 238131x x x -+-=-， 222183x x x --=--+， 23x -=，12x =-，检验：当82x =-时，()()130x x +-≠，所以15x =-是原方程的解.12.答案：(1)嘉嘉所列方程为1012x x -=， 解得：2333x =，又x 为整数，2333x ∴=不合题意，∴淇淇的说法不正确.(2)设A 品牌乒乓球有x 个，则B 品牌乒乓球有()101x -个， 依题意得：10128x x --≥， 解得：1362x ≤，又x 为整数，x ∴可取的最大值为36.答：A 品牌球最多有36个. 13.答案：（Ⅰ）1x ≥-； （Ⅱ）3x ≤；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示（Ⅳ）13x -≤≤.14.答案：（1）设B 产品的销售单价为x 元，则A 产品的销售单价为()100x +元. 根据题意，得()100500x x ++=. 解这个方程，得200x =. 则100300x +=.答：A 产品的销售单价为300元，B 产品的销售单价为200元.（2）设去年每个车间生产产品的数量为t 件，根据题意，得 ()()()293001%20013%1%5001%25a t a t a t a ⎛⎫+⋅++⋅-=⋅+ ⎪⎝⎭设%a m =，则原方程可化简为250m m -=. 解这个方程，得121,05m m ==（舍去）.20a ∴=.答：a 的值是20.15.答案：（1）设该公司当月零售农产品x 箱，批发农产品y 箱. 依题意，得70404600,100,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得20,80.x y =⎧⎨=⎩所以该公司当月零售农产品20箱，批发农产品80箱.（2）设该公司零售农产品m 箱，获得总利润w 元.则批发农产品的数量为(1000)m -箱， 该公司零售的数量不能多于总数量的30% 300m ∴≤依题意，得7040(1000)3040000,300w m m m m =+-=+≤. 因为300>，所以w 随着m 的增大而增大， 所以300m =时，取得最大值49000元， 此时1000700m -=.所以该公司应零售农产品300箱、批发农产品700箱才能使总利润最大，最大总利润是49000元.。
专题二 方程(组)与不等式(组)-2021年中考数学暑假知识点复习(重点)
2021年中考数学暑假重点知识点总结专题二 方程(组)与不等式(组)一、一次方程(组)1、定义定义1：含有未知数的等式叫做方程。
定义2：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是()00ax b a +=≠。
定义3：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
定义4：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，它的一般形式是()00,0ax by c a b ++=≠≠。
定义5：把两个方程合在一起，就组成了方程组。
定义6：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组。
定义7：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
定义8：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
2、等式的性质性质1：若a =b ，则a ±c =b ±c 。
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
性质2：若a =b ，则ac =bc ；a b c c=(c ≠0)。
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
3、解一元一次方程的一般步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
4、解二元一次方程组的方法①代入消元法；②加减消元法。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
5、方程(组)与实际问题解有关方程(组)的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
2023年中考数学复习第一部分考点梳理第二章单元核心考点过关练二 方程(组)与不等式(组)
单元核心考点过关练二 方程(组)与不等式(组)(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(共6小题,每小题4分,满分24分)1.若关于x 的方程2x -m =x -2的解为x =5,则m 的值为 (D )A.-5B.5C.-7D.72.若x -2m >3的解集为x >-1,则m 的值是(B ) A.-1 B.-2 C.1 D.23.关于x ,y 的方程组{x +py =0,x +y =3的解是{x =1,y =▲,其中y 的值被盖住了,不过仍能求出p ,则p 的值是 (C )A .-14B .14C .-12D .12 4.(2022·辽宁盘锦)甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同,已知两人每天共做140个零件.若设甲每天做x 个零件,则所列方程正确的是 (A )A .360x =480140−xB .360140−x =480x C .360x +480x =140D .360x -140=480x 5.(2021·四川广安)关于x 的一元二次方程(a +2)x 2-3x +1=0有实数根,则a 的取值范围是(A )A.a ≤14且a ≠-2B.a ≤14C.a <14且a ≠-2D.a <14 6.(2021·蚌埠联考)如图所示的运算程序,规定:从“输入一个x 值”到“结果是否大于18”为一次程序操作.如果程序操作恰好进行了2次后停止,那么满足条件的所有整数x 的和是 (C )A.21B.26C.30D.35二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)7.已知{x =3−m,y =2m +1,用含有y 的式子表示x 可表示为 x =7−y 2 . 8.若分式方程x−3x−1=m x−1无解,则m = -2 .9.(2022·安庆怀宁调研)设a ,b 是方程x 2+x -2022=0的两个实数根,则a 2+2a +b 的值为 2021 . 10.已知{2x −a >0,3x −4<5是关于x 的一元一次不等式组. (1)若不等式组无解,则a 的取值范围是 a ≥6 ;(2)若不等式组有三个整数解,则a 的取值范围是 -2≤a <0 .【解析】解不等式2x -a >0,得x >a 2;解不等式3x -4<5,得x <3.(1)若不等式组无解,则a 2≥3,解得a ≥6;(2)若不等式组有三个整数解,则-1≤a 2<0,解得-2≤a <0.三、解答题(共5小题,满分56分)11.(8分)解分式方程:2x x−1-31−x =1. 解:去分母,得2x +3=x -1.解得x =-4.检验:当x =-4时,x -1≠0,∴原分式方程的解为x =-4.12.(8分)解方程:2x 2-5x +3=0.解:因式分解,得(2x -3)(x -1)=0.解得x 1=32,x 2=1.13.(8分)(2021·江苏盐城)解不等式组:{3x −1≥x +1,4x −2<x +4.解:{3x −1≥x +1, ①4x −2<x +4, ②解不等式①,得x ≥1.解不等式②,得x <2.∴不等式组的解集为1≤x<2.14.(14分)(2021·山东东营)“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现了水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现了水稻亩产量1008公斤的目标.(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率;(2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤,请通过计算说明他们的目标能否实现.解:(1)设亩产量的平均增长率为x.根据题意,得700(1+x)2=1008,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).答:亩产量的平均增长率为20%.(2)1008×(1+20%)=1209.6(公斤).∵1209.6>1200,∴他们的目标能实现.15.(18分)关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值..解:(1)根据题意,得Δ=(-3)2-4k≥0,解得k≤94(2)由题意得k=2,∴方程为x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.;当相同的根为x=1时,把x=1代入方程(m-1)x2+x+m-3=0,得m-1+1+m-3=0,解得m=32当相同的根为x=2时,把x=2代入方程(m-1)x2+x+m-3=0,得4(m-1)+2+m-3=0,解得m=1,而m-1≠0,∴不符合题意,舍去.综上所述,m的值为3.2。
易错02 方程(组)与不等式(组)(七大易错分析+举一反三+易错题通关)(解析版)
易错02方程（组）与不等式（组）易错点一：遇到括号易出错解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
易错提醒：（1）分数线具有括号的作用，如果分子是一个多项式，应该把它看作一个整体，故去分母后，应该用括号括起来；（2）去括号时需乘多项式的每一项，若括号前面是负号，去括号时项的符号要改变．例1．解方程．(1)()()3278x x x -=--(2)3157123x x ---=【答案】(1)16x =(2)=5x 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．（1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．【详解】（1）()()3278x x x -=--去括号，得3678x x x-=-+移项，得3876x x x --=-+合并同类项，得61x -=-系数化为1，得16x =（2）3157123x x ---=去分母，得()()3312576x x ---=去括号，得9310146x x --+=移项，得9106314x x -=+-合并同类项，得5x -=-系数化为1，得=5x 例2．下列变形正确的是（）A ．由521335x x -+-=去分母，得5(5)33(21)x x --=+B ．由4(21)2(5)4x x --+=去括号，得842104x x --+=C ．由623x x --=移项，得632x x --=D ．由23x =系数化为1，得23x =【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．根据去分母、去括号、移项、未知数的系数化为1的要求逐项分析即可．【详解】A ．由521335x x -+-=去分母，得5(5)453(21)x x --=+，故不正确，不符合题意；B ．由4(21)2(5)4x x --+=去括号，得842104x x ---=，故不正确，不符合题意；C ．由623x x --=移项，得632x x --=，正确，符合题意；D ．由23x =系数化为1，得32x =，故不正确，不符合题意；故选C ．变式1．解方程：(1)()()2125x x x +=+-；(2)321223x x +--=．【答案】(1)7x =(2)=1x -【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键．（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．【详解】（1）解：()()2125x x x +=+-，2225x x x +=+-，2252x x x --=--，7x -=-，7x =．（2）解：321223x x +--=，()()3312221x x +-=-，391242x x +-=-，342912x x -=--+，1x -==1x -．变式2．已知关于x 的方程()3312m x m +--=的解是4x =，求m 的值．【答案】m 的值为5【分析】本题主要考查方程的解，把4x =代入方程解关于m 的方程即可求解，掌握解方程的方法是解题的关键．【详解】解：∵4x =是关于x 的方程()3312m x m +--=的解，∴()33412m m +⨯--=，整理得，392m m +-=，去分母得，1823m m -=+，移项得，2318m m --=-，合并同类项得，315m -=-，系数化为1得，5m =，∴m 的值为5．变式3．（1）解方程：()()3114x x +=-+．（2）下面是小明同学解一元一次方程11124x x +--=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：去分母，得()()2114x x +--=．…………………………………第一步去括号，得2214x x +--=．……………………………………………第二步移项，得2421x x -=-+．………………………………………………第三步合并同类项，得3x =．……………………………………………………第四步任务①第一步的依据是________；②第________步开始出现错误，错误的原因是________；③该方程的正确解为________．【答案】（1）32x =-；（2）①等式的基本性质；②二，括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③1x =【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可；（2）①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确的求解即可．【详解】解：（1）去括号，得3314x x +=--．移项，得3143x x +=--．合并同类项，得46=-x ．方程两边同除以4，得32x =-．（2）①第一步的依据是等式的基本性质；故答案为：等式的基本性质；②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；故答案为：二，括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；③去分母，得()()2114x x +--=．去括号，得2214x x +-+=．移项，得2421x x -=--．合并同类项，得1x =．故答案为：1x =．变式4．下面是佳佳作业中一个问题的解答过程：1223x x +-=-解：()()3122x x +=--①3342x x +=--②3234x x +=--③75x =-④(1)第①步的变形为______（填去分母、去括号、移项或合并同类项）；(2)解方程的过程中开始出现错误的步骤是第______步，请写出该方程正确的求解过程．【答案】(1)去分母(2)②，过程见解析【分析】本题考查了将分式方程化为一元一次方程，去分母、去括号、移项合并同类项：（1）由题可得分式方程变成了一元一次方程，可知这一步是去分母；（2）去括号时，如果括号之前是负数，则括号里的符号均需改变，由此可知②错误；按照正常的求解过程正常解答即可；正确计算是解题的关键．【详解】（1）解：由题可得，第一步为分式方程变成了一元一次方程，∴第①步的变形为去分母，故答案为：去分母；（2）解：解答过程中②出现错误，去括号时出错，括号之前是负数，括号里的符号均需改变，故答案为：②；正确求解过程如下：1223x x +-=-，去分母得：3(1)2(2)x x +=--，去括号得：3342x x +=-+，移项可得：3243x x -=--，解得：7x =-．1．下列方程变形正确的是（）A ．由41x =-得4x =-B ．由530x +=得53x =-C ．由123x x =+得321x x =+D ．由()214x --=得214x --=【答案】B【分析】本题考查了解一元一次方程的方法，根据等式的性质逐项判断即可，熟练掌握等式的性质是解题的关键．【详解】解：A 、41x =-两边同时除以4，可得到14x =-，原变形错误，该选项不符合题意；B 、530x +=两边同时减去3，可得到53x =-，原变形正确，该选项符合题意；C 、123x x =+每项同时乘以6，可得到326x x =+，原变形错误，该选项不符合题意；D 、()214x --=去括号可得224x -+=，原变形错误，该选项不符合题意；故选：B ．2．小琪解关于x 的方程4234x x k ++-=，在进行“去分母”步骤时，等号右边的“2”忘记乘最简公分母，她求得的解为=1x -，则k 的值为（）A ．133B ．2C ．－1D ．－3【答案】A【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据题意得出方程()()4432x x k +-+=，将=1x -代入方程即可求解．【详解】解：由题意得：小琪去分母后得到的方程为：()()4432x x k +-+=，将=1x -代入方程得：()()414312k ⨯-+-⨯-+=，解得：133k =，故选：A ．3．佳佳同学解一元一次方程1211124224x x --+=-的过程如下：解：去分母，得12(21)2(12)x x +-=--，第一步去括号，得142212x x +-=--，第二步移项，得422112x x +=--+，第三步合并同类项，得62x =，第四步系数化为1，得13x =．前四个步骤中，开始出现错误．．的是（）A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，熟记去括号时，括号前面是符号，括号内各项都要改变符号是解本题的关键．【详解】解：1211124224x x --+=-去分母，得12(21)2(12)x x +-=--，第一步去括号，得142212x x +-=-+，第二步∴出现错误在第二步，去括号时，括号前面的负号，去括号后，括号内第二项没有改变符号；故选：B4．下面是小友同学解方程212134x x -+=-的过程如下，请仔细阅读，并解答所提出的问题：解：去分母，得4(21)13(2)x x -=-+，①去括号，得84136x x -=-+，②移项，得83164x x +=++，③合并同类项，得1111x =，④系数化为1，得1x =，⑤(1)该同学的解答过程从第______步开始出错；(2)写出正确的解答过程．【答案】(1)①(2)见解析【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；（1）由去分母漏乘可得该同学的解答过程从第①步开始出错；（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；【详解】（1）解：该同学的解答过程从第①步开始出错（2）解：212134x x -+=-，去分母，得()()4211232x x -=-+，去括号，得841236x x -=--，移项，得831264x x +=-+，合并同类项，得1110x =，系数化为1，得1011x =．5．解方程(1)()310321-=-x x ；(2)311123x x --=-【答案】(1)73x =-(2)1x =【分析】本题考查解一元一次方程，关键是掌握解法步骤．（1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可；（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的解法步骤求解即可．【详解】（1）解：去括号，得31063-=-x x 移项、合并同类项，得37x -=化系数为1，得73x =-∴原方程的解为73x =-；（2）解：去分母，得()()331621-=--x x 去括号，得93622-=-+x x 移项、合并同类项，得1111x =，化系数为1，得1x =∴原方程的解为1x =．6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定22a b b ab =+☆，如：213321315=+⨯⨯=☆．(1)求()25-☆的值；(2)若1382a +⎛⎫= ⎪⎝⎭☆，求a 的值；(3)若12x m =☆，12x n =☆（其中x 为有理数），试比较4m 与n 的大小．【答案】(1)5(2)43a =-(3)4m n=【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，整式的加减计算，解一元一次方程：（1）根据新定义可得()()2255225-=+⨯-⨯☆，据此计算即可；（2）根据新定义可得方程2132382a ++⨯⨯=，解方程即可得到答案；（3）根据新定义求出2x x m +=，244x x n +=，再利用作差法求出4m n -的结果即可得到结论．【详解】（1）解：由题意得()()2255225-=+⨯-⨯☆2520=-5=；（2）解：：由题意得，2132382a ++⨯⨯=，∴()9318a ++=，解得：43a =-；（3）解：根据题意得：2122x x m +⨯=，即2x x m +=，()22212x x n +⨯⋅=，即244x x n+=∴()()2222444444440m n x x x x x x x x -=+-+=+--=，∴4m n =．7．在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．211521346x x x -++-=-解：()()()4213112252x x x --+=-+………………第一步843312104x x x ---=--…………………第二步831012434x x x --=-++………………第三步515x -=……………………………第四步3x =-……………………………第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第一步的变形的依据是；第二步去括号时依据的运算律是；②以上解题过程中从第步开始出现错误，这一步错误的原因是；③请直接写出该方程的正确解：；任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议．【答案】任务一：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时10x -没有变号；③1x =；任务二：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“-”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化（不唯一）．【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键．任务一：根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答；任务二：结合解一元一次方程的经验，总结注意事项即可．【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律；②以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时10x -没有变号；由()()()4213112252x x x --+=-+，843312104x x x ---=--，831012434x x x -+=-++，1515x =，1x =③该方程的正确解：1x =；故答案为：①等式的基本性质；乘法分配律；②三；移项时10x -没有变号；③1x =；任务二：解一元一次方程需要注意以下事项：①去分母时要给每一项乘以分母的最小公倍数数，特别是常数项是易错点；②去括号时，如果括号外是“-”号，括号内每一项都要变号；③移项时，注意移动项的符合的变化易错点二：①忽视二次项系数为0;②解方程易失根一、一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a +≠+=，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项二、求解方程过程中需满足等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等易错提醒：（1）不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件；（2）若用到两边同时除以一个多项式时，要考虑多项式为0和多项式不为0两种情况，不然会造成丢根例3．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B ．1k <C ．1k ≥-且0k ≠D ．1k >-且0k ≠【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的概念；由题意得00k ∆>≠，，求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，∴2(2)4(1)00k k ∆=--⨯->≠，，解得：1k >-且0k ≠；故选：D ．例4．关于方程()()32632x x x +=+的描述，下列说法错误的是（）A ．它是一元二次方程B ．解方程时，方程两边先同时除以()32x +C ．它有两个不相等的实数根D ．用因式分解法解此方程最适宜【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．【详解】解：A 、方程()()32632x x x +=+整理得为2316120x x --=，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；B 、解方程时，方程两边先同时除以()32x +，会漏解，故该说法错误，符合题意；C 、由2316120x x --=得：()()21643124120∆=--⨯⨯-=>，故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；D 、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；故选：B ．变式1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A ．()()213x x x --=B ．20ax bx c ++=C ．2210x x --=D ．22350x x +-=【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【详解】解：A 、由()()213x x x --=可得2243x x x -+=即430x -+=，不是一元二次方程，选项错误；B 、20ax bx c ++=形式是一元二次方程，但二次项系数a 没有标注不等于0，选项错误；C 、2210x x --=符合一元二次方程定义．正确．D 、22350x x +-=含有分式，属于分式方程，选项错误．故选：C ．变式2．若关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（）A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠【答案】B【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式0∆≥，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20k x kx k --+=有实数根，∴()()224280k k k k ∆=---=≥，且20k -≠，解得0k ≥且2k ≠，故选：B变式3．一元二次方程x （x －2）＝2－x 的根是（）A ．－1B ．0C ．1和2D ．－1和2【答案】D【分析】先将原方程整理为x 2﹣x ﹣2=0，再利用十字相乘法进行计算即可.【详解】解：x （x －2）＝2－x ，去括号移项得，x 2﹣2x+x ﹣2=0，合并同类项得，x 2﹣x ﹣2=0，∴（x+1）（x ﹣2）=0解得x 1=﹣1，x 2=2.故选D.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的各个方法.变式4．选择适当的方法解方程；(1)()()3121x x x -=-(2)()428x x x -=-【答案】(1)122,13x x ==(2)122,2x x ==【分析】本题考查公式法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．（1）用因式分解法解一元二次方程即可；（2）先整理成一般式，再用配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：()()3121x x x -=-()()3210x x --=320x -=或10x -=解得：122,13x x ==；（2）解：()428x x x -=-2428x x x-=-2420x x +-=2446x x ++=()226x +=2x +=解得：122,2x x ==．1．下列方程中是一元二次方程的是（）A ．2120x x--=B ．2220x xy y -+=C ．()230x -=D ．2256x x x =-+【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】A ．方程2120x x--=是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B ．方程2220x xy y -+=是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C ．方程()230x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意；D ．方程2256x x x =-+是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：C ．2．方程220x x -=的解是（）A ．2x =B ．0x =C ．2x =或1x =D ．2x =或0x =【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：220x x -=∴()20x x -=解得10x =，22x =故选D ．【点睛】本题主要考查用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．3．解一元二次方程()22x x x -=-时，小明得出方程的根是1x =，则被漏掉的一个根是x =．【答案】2【详解】移项得x(x-2)-(x-2)=0，，提取公因式得(x-2)(x-1)=0，所以x-2=0或x-1=0，即x=2或x=1，则被漏掉的一个根是x=2，故答案为2.4．如果方程()22230pp x x ---+=是关于x 的一元二次方程，则P 的值是()A ．2B ．2-C ．2±D ．3【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元二次方程的定义得出222p -=且20p -≠，再求出p 的值即可．【详解】解： 方程22(2)30pp x x ---+=是关于x 的一元二次方程，222p ∴-=且20p -≠，2p ∴=±且2p ≠，即2p =-．故选：B ．5．一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值为．【答案】1-【分析】本题考查一元二次方程的定义，方程的解，将0x =代入得出210m -=且10m -≠，求解即可．【详解】解：∵一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一个根为0，∴210m -=且10m -≠，解得1m =-，故答案为：1-．6．解方程：(1)2630x x ++=．(2)2(2)3(2)0x x ++=-．【答案】(1)13x =-，23x =-(2)122,1x x =-=【分析】本题考查了一元二次方程的解法：（1）根据公式法求解一元二次方程；（2）根据因式分解即可求解方程；解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．【详解】（1）解：在2630x x ++=中，1,6,3a b c ===，∴243641324b ac ∆=-=-⨯⨯=，根据622b x a --==，可得13x =-，23x =-（2）解：2(2)3(2)0x x ++=-，提取公因式得()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，∴2010x x +=-=或，解得122,1x x =-=．7．已知关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若方程两根之和为3-，求k 的值.【答案】(1)14k ≤且0k ≠(2)1k =-【分析】（1）本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和方程有两个实数根，列式求解即可．（2）本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用12bx x a+=-结合k 的取值范围即可解题．【详解】（1）解：()2222Δ[21]4441441k k k k k k =---=-+-=-+，由题意得0∆≥，即410k -+≥，14k ∴≤，又20k ≠ 即0k ≠，14k ∴≤且0k ≠．（2）解：设该方程两根为1x ，2x ，则12221k x x k +=-，123x x +=- ，2213k k-∴=-，23210k k +-=，解得：113k =，21k =-，由（1）知14k ≤，1k ∴=-，经检验，1k =-是方程2213k k -=-的解且符合题意．易错点三：运用根的判别式时代入错误一、一元二次方程根的判别式:24b ac ∆=-.（1）当240b ac ∆=->时,原方程有两个不等的实数根;（2）当240b ac ∆=-=时,原方程有两个相等的实数根;（3）当240b ac ∆=-<时,原方程没有实数根.二、求根公式：当240b ac -≥时,方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为2b x a-=易错提醒：需要将方程化成一般形式后，而且要注意确定a b c 、、前面的性质符号．例5．解方程：213x x -=．【答案】1x =2x =【分析】本题考查求根公式法解一元二次方程，移项，定系数，判断判别式，代入求根公式即可得到答案；【详解】解：原方程变形得，2310x x --=，∴1a =，3b =-，1c =-，∴2(3)41(1)130=--⨯⨯-=>△，∴(3)3212x --==⨯，∴132x =，232x -=；例6．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --++=有两个实数根，则k 的取值范围为．【答案】1k ≤-/1k-≥【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系求参数，求不等式的解集的运用，掌握240b ac ∆=->方程有两个不相等的实根；240b ac ∆=-=方程有两个相等的实根；240b ac ∆=-<方程无实根的判定方法是解题的关键．根据方程有两个实根，可得0∆≥，由此即可求解．【详解】解：∵一元二次方程()222130x k x k --++=有两个实数根，∴()()2221430k k ⎡⎤∆=---+≥⎣⎦，整理得，224844120k k k -+--≥，解得，1k ≤-，故答案为：1k ≤-．变式1．一元二次方程244x x -=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不等的实数根C ．没有实数根D ．有一个实数根【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：∵244x x -=，∴2440x x --=，∴()()244411616320∆=--⨯-⨯=+=>，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：B ．变式2．已知关于x 的一元二次方程2320x x a -+=有两个不相等的实数根．(1)若1a =时，求方程的根；(2)求a 的取值范围．【答案】(1)122,1x x ==(2)98a <【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：熟记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”；熟练掌握一元二次的解法一公式法．（1）将1a =代入原方程，解之即可求出方程的根．（2）根据方程根的判别式0∆>，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；【详解】（1）当1a =时，此时，方程为2320x x -+=，解得：()3,21x --=⨯即122,1x x ==，∴方程的根为122,1x x ==；（2）∵关于x 的一元二次方程2320x x a -+=有两个不相等的实数根，2(3)420,a ∴∆=--⋅>解得98a <，∴a 的取值范围为98a <；变式3．小明在解方程253x x -=-的过程中出现了错误，其解答如下：解：1a = ，=5b -，3c =-，⋯⋯第一步()()224541337b ac ∴-=--⨯⨯-=，⋯⋯第二步52x ∴=，⋯⋯第三步1x ∴=2x =．⋯⋯第四步(1)问：小明的解答是从第______步开始出错的；(2)请写出本题正确的解答．【答案】(1)一；(2)正确的解答见解析．【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．（1）先把方程化为一般式，再确定a 、b 、c 的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到1a =，=5b -，3c =，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的，故答案为：一；（2）解：方程化为一般式为2530x x -+=，1a =，=5b -，3c =，()224541313b ac ∴-=--⨯⨯=，52x ∴=，152x ∴=，2x 变式4．求证：无论m 为何值，关于x 的一元二次方程()23210x m x m ----=总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】本题考查的是根的判别式，一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与24b ac ∆=-的关系①当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．先根据一元二次方程中a 、b 、c 的值求出∆的值，即可证明．【详解】证明：∵()()234121m m ∆=---⨯⨯--⎡⎤⎣⎦26984m m m =-+++()2112m =++，∴无论m 为何值，∆总大于0，∴无论m 为何值，关于x 的一元二次方程()23210x m x m ----=总有两个不相等的实数根．1．一元二次方程()225x x +=-的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握0∆>，方程有两个不相等的实数根；Δ0=方程有两个相等的实数根；Δ0<方程没有实数根是解题的关键．化成一般形式，计算方程根的判别式，进而判断即可．【详解】解：∵()225x x +=-2445x x x ++=-2390x x ++=∴2243419270b ac ∆=-=-⨯⨯=-<，∴方程无实数根．故选：C ．2．已知，O 的半径为一元二次方程22560x x --=的根，圆心O 到直线l 的距离4d =，则直线l 与O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系：当r d >，直线与圆相交，当r d =，直线与圆相切，当r d <，直线与圆相离，据此即可作答．【详解】解：∵22560x x --=∴1255044x x ==<故O 的半径为54，∵4d =4<∴直线与圆相离故选：C ．3．对于实数a ，b 定义运算“☆”为2a b a a b =-+☆，例如：24544517=-+=☆，则关于x 的方程()221x x -=-☆的根的情况，下列说法正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】B 【分析】题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：∵()221x x -=-☆，∴方程为()()22221x x x ---+=-，即2690x x -+=，2Δ436360b ac =-=-=，∴有两个相等的实数根，故选：B ．4．已知关于x 的方程()2121m x x ++=有两个实数根，那么m ．【答案】2m >-且1m ≠-【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与2Δ4c b a =-有如下关系：当Δ0>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．【详解】解：关于x 的方程()2121m x x ++=有两个实数根，∴()104410m m +≠⎧⎨++>⎩，解得：2m >-且1m ≠-，故答案为：2m >-且1m ≠-．5．解方程：21x x +=．【答案】12x x =【分析】利用公式法求解即可．本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．【详解】∵21x x +=，∴210x x +-=，()221,1,1,414115a b c b ac ===--=-⨯⨯-=∴x =，解得121122x x --==．6．(1)计算：()0212π122---+-+(2)解方程：27124x x -=【答案】(1) 3.5-+(2)12x =，227x =-【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程，对于（1），根据224=，0(1)1π+==1122-=，22=对于（2），先整理，再求出224(12)47(4)2560b ac -=--⨯⨯-=>，然后根据求根公式求出解即可．【详解】（1）原式14122=--+-+3.5=-+（2）整理，得271240x x --=，由7a =，12b =-，4c =-，∴224(12)47(4)2560b ac -=--⨯⨯-=>，∴121614x ±==，∴12x =，227x =-．7．已知关于x 的一元二次方程221(1)1mm m x mx --+-=.(1)求m 的值；(2)用公式法解这个方程．【答案】(1)3(2)12141x x ==-，【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及公式法解一元二次方程；（1）根据一元二次方程的定义可得10m +≠，2212m m --=，解方程，即可求解；（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：依题意，10m +≠，2212m m --=，∴2230m m --=，∴()()310m m -+=，∵10m +≠，解得：3m =；（2）解：当3m =时，原方程为24310x x --=，∴4,3,1a b c ==-=-，2491625b ac ∆=-=+=，∴358x ±==，解得：12114x x ==-，．易错点四：忽略检验根的存在分式方程的解法：①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
中考数学第一轮考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组)第7讲分式方程及其应用(练本)课件
解：设该厂当前参加生产的工人有x人.
根据题意，得
16 8(x 10)
15 ， 10x
解得x＝30.
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意.
答：该厂当前参加生产的工人有30人.
解：每人每小时完成的工作量为15÷10÷30＝0.05(万剂).设还需要生产y天
A3. 7 1
x x6
3
Cx.
x
7
6
1
B. 3 10 1
x x6
D.
3 10 1 x x6
13.若关于x的方程 2 x mx 无解，则m的值为( B )
x 1 1 x
A.－1 C.1
B.－1或1
D.－1或－
5
3
14.(2020·枣庄)对于实数a，b，定义一种新运算“
这里等式右边是实数运算.例如，1
第二章 方程(组)与不等式(组)
第7讲 分式方程及其应用
1.(2021·哈尔滨)方程 1 2 的解为( A )
2 x 3x 1
A.x＝5
B.x＝3
C.x＝1
D.x＝2
2.解分式方程 2 3 6
x 1 x 1 x2 1
分以下四步，其中错误的一步是(
D
)
A.方程两边分式的最简公分母是(x－1)(x＋1)
的平均速度为x km/h.
根据题意，得 240
x
270 1.5x
1，
解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＝90.
答：甲校师生所乘大巴车的平均速度为60 km/h，乙校师生所乘大巴车的平
均速度为90 km/h.
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易错点02 方程（组）与不等式（组）1．一次方程（组）及其应用
2．分式方程及其应用
3．一元二次方程及其应用
4．一次不等式（组）及其应用
01各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。
1．解方程组：．
1．已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值．
2．已知方程组与有相同的解，求m和n值．
【解析】两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．【答案】解：由已知可得，
解得，
把代入剩下的两个方程组成的方程组，
得，
解得m＝﹣1，n＝﹣4．
3．已知，关于x、y二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝13，求a的值．
4．若方程＝x﹣2m有一个根x＝1，求m的值及方程的其他的根．
02运用不等式的性质３时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错。
不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。
1．解不等式≥，并在数轴上表示解集．
2．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
3．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
4．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的答案．
（1）解不等式①，得；
（2）解不等式②，得；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为．
03关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0。
1．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
2．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．
3．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0有一个解是0，求m的值及方程的另一根．
4．已知关于x的方程5x2﹣kx﹣10＝0的一个根为﹣5，求它的另一个根及k的值．
04关于一元一次不等式组有解、无解的条件易忽视
相等的情况。
1．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（）
A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1＜m＜0
2．若关于x的一元一次不等式组有且只有四个整数解，且关于y的方程y﹣3＝3k﹣y的解为非负整数，则符合条件的所有整数k的和为（）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．0
3．若整数a使得关于x的不等式组，有且只有7个整数解，且使得关于y 的一元一次方程＝1的解为非负整数，则满足条件的整数a的值有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知关于x的不等式组有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤0 B．﹣2＜a≤﹣1 C．﹣1≤a＜1 D．﹣2≤a＜0
05解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括号，易忘记根检验，导致运算结果出错。
1．解方程﹣2．
1．解方程：1﹣＝．
2．如果k是数据：3，5，3，9，8中的中位数，求关于x的方程的解．3．解分式方程：．
06利用函数图象求不等式的解集和方程的解。
1．如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0）和B（3，2），不等式x2+bx+c ＞x+m的解集为．
2．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c ＜n的解集是．
3．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：
①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④
关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的是．
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有．。