高二数学不等式的解法及其应用
高二数学含参数不等式的解法
例1．解关于x的不等式 ax b 0
分析： 参变数可分为三种情况，即 a 0, a 0和a 0 ，
分别解出当 a 0, a 0和a 0时的解集即可。
解： 原不等式可化为：ax b
当 a 0 时,则 x b a
当
a
0
时,则
x
b a
当 a 0 时,则原不等式变为: 0 b
解: 原不等式可化为:
(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a， 则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
当a 0时， 解集为{x | x b}
a 当a 0时， 解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时， 解集为
当a 0且b 0时， 解集为R
例2．解关于x的不等式
x2 (a a2 )x a3 0(a R)
； https:// 女性生理期计算器
；
（4分） 答：? ? 17.文中画线的句子使用了什么修辞方法？请结合文章内容，具体分析其表达作用。（3分） 雪花簌簌地落着，风安静地睡去，远山近水被夜色围拢而来，婴孩一般安卧在村庄阔大的臂弯里。 答：? ? 18.下面对文章的理解分析，不正确的两项是（ ）（? ） A.文章以“冰 窗花”为线索，回顾作者早年的故园生活，着力描写了盛开在冬日窗棂上的冰窗花。 B.第①自然段“尤其是在久居乡下的那些日子里”一句起强调作用，并自然地引起下文。 C.第②自然段中，作
高二数学不等式的实际应用
【解题回顾】本题采取分离变量，将问题转化为求函数值 域的问题.若转化为一元二次方程根的分布问题求解，则较 繁.
2. 已知等比数列 {an} 的首项 a1 ＞ 0 ，公比 q ＞ -1 ，且 q≠1 ， 前 n 项和为 Sn ；在数列 {bn} 中， bn ＝ an+1-kan+2 ，前 n 项和 为Tn. (1)求证：Sn＞0； (2)证明若Tn＞kSn对一切正整数n成立，则k≤-1/2.
(3)若f(x)≤m2-2am+1，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成 立，求实数m的取值范围. 【解题回顾】本题是函数与不等式的综合题，对于(3)是 已知两参数a、x的范围，求另一参数m的范围.此类题的 做法是先消去一参x，后求m范围.
误解分析
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不等式问题大多需要“等价转化”，而能否确保转化 “等价”是解题成败的关键.
延伸·拓展
f a f b 0 a，b∈[-1，1]，a+b≠0有 ab
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5.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且 f(1)＝1，若
(1)判断函数f(x)在[-1，1]上是增函数，还是减函数，并证 明你的结论；
1 (2)解不等式 f x 2 1 f x -1
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4. 设 x ＝ logst+logts ， y ＝ logs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s) ，其 中，s＞1，t＞1，m∈R. (1)将y表示成x的函数y＝f(x)，并求f(x)的定义域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0，有且仅有一个实数根，求m的 取值范围；
(3)若f(x)＞0恒成立，求m的取值范围. 【解题回顾】(1)本小题是利用 x+1/x与x2+1/x2，x4+1/x4之 间的关系用配凑法求得. (2)通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解. (3) 把恒成立问题转化为求函数的最值，本题利用函数的 单调性求最大值.
高二数学基本不等式知识点
高二数学基本不等式知识点一、不等式的基本性质在学习不等式之前，我们先来了解一下不等式的基本性质。
不等式具有以下性质：1. 若不等式两边同时加（减）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
2. 若不等式两边同时乘（除）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
但是需注意，当乘（除）以一个负数时，不等号方向需要颠倒。
3. 若不等式两边交换位置，不等号方向需要颠倒。
二、基本不等式1. 两个正数的不等式：若a > 0，b > 0，则a > b等价于a² > b²。
2. 两个负数的不等式：若a < 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
3. 正负数的不等式：若a > 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
4. 平方不等式：若x > 0，y > 0，则x < y等价于√x < √y。
同理，对于x < 0，y < 0的情况，不等号方向需要颠倒。
5. 两个正数与一个负数的不等式：若a > 0，b > 0，c < 0，则a > b等价于 -a < -b，a * c > b * c。
三、不等式的解集表示法当我们解不等式时，需要将解表示出来。
不等式的解集表示法有以下几种形式：1. 区间表示法：用数轴上的区间表示解集。
例：对于不等式x > 3，解集可以用开区间(3, +∞)表示。
2. 图形表示法：我们可以通过图形的方式表示解集。
例：对于不等式x ≤ -2，解集可以用沿x轴方向的线段表示。
3. 集合表示法：用集合的形式表示解集。
例：对于不等式2 < x ≤ 5，解集可以用集合表示为{x | 2 < x ≤ 5}。
四、不等式的应用不等式是数学中常见的工具，在现实生活中也有广泛的应用。
高二数学含参数不等式的解法
(2) ax (2a 1) x 2 0
2
1 当a 0时， 解集为 x | x 2 a 当a 0时， 解集为x | x | x 2 1 1 当0 a 时， 解集为 x | x 或x 2 2 a 1 当a 时， 解集为x | x 2 2 1 1 当a 时， 解集为 x | x 2或x 2 a
含参数不等式的解法
例1．解关于x的不等式
分析：
ax b 0
参变数可分为三种情况，即 a 0, a 0和a 0 ， 分别解出当 a 0, a 0和a 0 时的解集即可。 原不等式可化为：ax b
解：
b 当 a 0 时,则 x a
b 当 a 0 时,则 x a
当0 a 1时， 有a 2 a 2 当a 0、a 1时， 有a a
解: 原不等式可化为:
( x a)(x a ) 0
2
当a 0时, 则a a 2 , 原不等式的解集为 {x | x a或x a 2 }
当a 0时, 则a a 2 0, 原不等式的解集为 {x | x 0}
1 1 0 1 1 x ,因为 1 a 0, 所以x 1, 故有1 x x 1 a 1 1 a x
综上所述，当a 1时，不等式的解集为：
1 x 0 x | 1 a
当 0 a 1 时，不等式的解为：
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一个紧张的汇报着这一星期的成果。夜北冥安静的听完后，点了点头，顿时跪着的十三个人就齐齐松了一口气。夜北冥从朝凰大陆带来的 十二个人，都是月如跟月媚亲自在暗门挑的，每一个都是暗门中的精英，都有各自的特长。在这次夜北冥给的为期一个星期的任务中，她 们互相合作，已经在距离青龙王朝不远处的郊外买下了一间面积特大的客栈，打算在未央大陆再开一家梦之境和凤栖楼。这处山洞是十二 属下挖的，是专门给这两天在青龙王朝各地找到的天赋、经脉不错且无家可归的人或奴隶市场的人提供修炼的地方。这一星期以来梦瑶跟 濯清炼制的丹药和武器也算是有了用武之地，这些东西交给十二属下分发给几千个修炼的人。得到了丹药和武器的人们，顿时对那位高座 上戴银色面具穿黑袍的女子产生了再生之情，一个个看着夜北冥的眼光都是如同小孩子看着自己最仰慕的父母的眼神。夜北冥感觉到精神 海中有什么又开始增长了，连带着身体非常的舒爽，好像这浑浊的空气更加的清新了。这就是信仰之力，从小的时候，夜北冥就感受到这 种信仰的力量了，尤其在六年前自己十二岁的时候结束了未央大陆的战乱，将魔兽都赶到落叶森林让人类得以解放。从那时候起，夜北冥 尤其感觉到了精神海中的信仰之力的疯涨，这也是夜北冥境界升的这么快的原因。等到了傍晚，夜北冥就让濯清梦瑶等人都留在这里和月 如十二属下一起创建势力，自己独身一人往自己的行宫中赶去。在路过一汪池塘的时候，精神力‘看到’一男一女正在欺负一个躺在地上 蜷缩的人，那男的在拿鞭子抽地上蜷缩成一团的人，抽的很用力，好像有什么深仇大恨似的不抽死鞭子下的人誓不罢休似的，夜北冥站在 离他们十米左右的树枝上都能清晰的听到鞭子破空抽入皮肉的声音。不一会，夜北冥就感觉到地上的人已经断气了，于是就摇摇头准备离 开。忽然间，夜北冥浩瀚的精神力察觉到原本在地上蜷缩起来已经断气的人突然就开始呼吸，而且在夜北冥精神力的查看下，能敏锐的感 觉到，这死了又复活的人与没死之前的气息大不一样。那人没死之前带给夜北冥的气息是绵软的，很懦弱没胆子还很好欺负的样子，可是 现在复活过来的人给夜北冥的气息是强悍的，就好像是尖锐的箭破空刺入敌人的身体一样带着很浓郁的血腥味。果然，夜北冥精神力‘看 到’那人站起来，接住了马上就要降落在自己身上的鞭子，反手一拽一拉，鞭子就到了自己手里。手一扬就狠狠的落在鞭子之前的主人身 上，那两人好像被突然站起身反击的人吓了一跳，接着就被鞭子抽的哇哇大叫，跑的比兔子还快，几秒钟的时间就已经消失的无影无踪。 看到周围没有危险了，那人原本躬身战斗的姿势瞬间崩塌，手中的鞭子掉落在地上，人也紧跟着要倒
高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式及其变形公式的应用(第三课时)》新授课详细教案
第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
高二数学知识点：不等式的解法
高二数学知识点：不等式的解法不等式的解法：(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：(2)绝对值不等式：若，则;;注意：(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为(或更多)但含参数，要讨论几种常见不等式的解法：1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为axb或axb而言，当a0时，其解集为(ab，+)，当a0时，其解集为(-，ba)，当a=0时，b0时，期解集为R，当a=0，b0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2b+2x解：原不等式化为(a-2)xb+2①当a2时，其解集为(b+2a-2，+)②当a2时，其解集为(-，b+2a-2)③当a=2，b-2时，其解集为④当a=2且b-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax?2+bx+c0或ax?2+bx+c0(a0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
高中数学 第3章 不等式 2.2 一元二次不等式的应用教案 高二数学教案
2.2 一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点)2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)1.通过学习分式不等式与高次不等式培养数学运算素养．2．通过一元二次不等式的实际应用提升数学建模素养.1．分式不等式的解法阅读教材P 82“例10”以上部分，完成下列问题．(1)f x g x ＞0与f (x )·g (x )＞0同解．(2)f x g x＜0与f (x )·g (x )＜0同解．(3)f x g x ≥0与f (x )·g (x )≥0且g (x )≠0同解．(4)f x g x≤0与f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0同解．思考：(1)不等式f xg x≥0与f (x )·g (x )＞0或f (x )＝0同解吗？[提示] 同解．(2)解分式不等式的主导思想是什么？ [提示] 化分式不等式为整式不等式． 2．高次不等式的解法阅读教材P 82“例10”以下至P 83“练习1”以上部分，完成下列问题．如果把函数f (x )图像与x 轴的交点形象地看成“针眼”，函数f (x )的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？ [提示] 可以(2)应用穿针引线法解高次不等式f (x )＞0，对f (x )的最高次项的系数有什么要求吗？[提示] 把f (x )最高次项的系数化为正数． 1．不等式4x ＋23x －1>0的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12 A [4x ＋23x －1>0⇔(4x ＋2)(3x －1)>0⇔x >13或x <－12，此不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－12.] 2．函数f (x )＝x －1x的定义域是________． (－∞，0)∪[1，＋∞) [由题意得x －1x≥0，即x (x －1)≥0且x ≠0，解之得x ≥1或x ＜0，故其定义域是(－∞，0)∪[1，＋∞)．]3．不等式(x －1)(x ＋2)(x －3)＜0的解集为________． (－∞，－2)∪(1,3) [如图所示：由图知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1,3)．] 4．不等式x ＋1x ＋22x ＋3x ＋4＞0的解集为_________________．{x |－4＜x ＜－3或x ＞－1} [原式可转化为(x ＋1)(x ＋2)2(x ＋3)(x ＋4)＞0，根据数轴穿根法，解集为－4＜x ＜－3或x ＞－1.]分式不等式和高次不等式的解法【例1】 解下列不等式：(1)x ＋43－x ＜0；(2)x ＋1x －2≤2；(3)(6x 2－17x ＋12)(2x 2－5x ＋2)＞0.[解] (1)由x ＋43－x ＜0，得x ＋4x －3＞0，此不等式等价于(x ＋4)(x－3)＞0，∴原不等式的解集为{x |x ＜－4或x ＞3}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0，左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0， 同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧x －2x －5≥0，x －2≠0，∴x ＜2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0，此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －5≥0，x －2＞0①或⎩⎪⎨⎪⎧x －5≤0，x －2＜0， ②解①得x ≥5，解②得x ＜2，∴原不等式的解集为{x |x ＜2或x ≥5}．(3)原不等式可化为(2x －3)(3x －4)(2x －1)(x －2)＞0，进一步化为⎝⎛⎭⎪⎫x －32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，如图所示，得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜12或43＜x ＜32或x ＞2. 1．分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型f xg x ＞0(<0)或f xg x≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．2．一元高次不等式f (x )＞0用穿针引线法求解，其步骤是： (1)将f (x )最高次项的系数化为正数；(2)将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f (x )值的符号变化规律，写出不等式的解集．1．解下列不等式：(1)x ＋12x －3≥1；(2)x 4－2x 3－3x 2＜0.[解] (1)移项得x ＋12x －3－1≥0，即4－x2x －3≥0，同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2x －3≥02x －3≠0，∴32＜x ≤4，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤32，4. (2)原不等式可化为x 2(x －3)(x ＋1)＜0， 当x ≠0时，x 2＞0，由(x －3)(x ＋1)＜0， 得－1＜x ＜3；当x ＝0时，原不等式为0＜0，无解．∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜3，且x ≠0}．一元二次不等式在生活中的应用千瓦时．本年度计划将电价降价到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?[解] (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时，依题意知，用电量增至k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫kx －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)．(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a x －0.3≥[a 0.8－0.3]1＋20%，0.55≤x ≤0.75，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75，解此不等式组，得0.60≤x ≤0.75.所以当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.解不等式应用题的步骤2．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带宽度为x m ，则草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m ，根据题意，得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理，得x 2－700x ＋60 000≥0， 解得x ≥600(舍去)或x ≤100， 由题意知x >0，所以0<x ≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半．不等式的恒成立问题[探究问题]1．设f (x )＝mx 2＋2x ＋1，若f (x )＞0对任意的x ∈R 恒成立，f (x )的图像如何？求m 的范围．[提示] 由条件知m ＞0，即f (x )的图像开口向上，且和x 轴没有交点，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0Δ＝4－4m ＜0，解之得m ＞1.2．设f (x )的值域是[1,2]，若f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．[提示] a ≤13．设x ∈[3,4]，若存在x ∈[3,4]，使x ≥a ，求a 的取值范围．[提示] a ≤4【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于任意x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．思路探究：(1)讨论m 的符号，结合函数f (x )的图像求解． (2)求f (x )的最大值，使其最大值小于－m ＋5；或分离参数m 后，转化为求函数的最值问题．[解] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0，满足题意；若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0.∴－4＜m ≤0.(2)法一：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0， ∴0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0，得m ＜6， ∴m ＜0.综上所述：m ＜67.法二：当x ∈[1,3]时，f (x )＜－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6＜0恒成立． ∵x2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又m (x 2－x ＋1)－6＜0， ∴m ＜6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m ＜67即可．1．(变条件)把例3中的函数换为：f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋(5－2a )，若f (x )＞0对任意的x ∈R 都成立，求实数a 的取值范围．[解] 由题意可知，f (x )的图像开口向上，故要使f (x )＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a －4)2－4(5－2a )＜0，解得－2＜a ＜2.2．(变结论)例3的条件不变，若存在x ∈[1,3]，f (x )＜－m＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 不等式f (x )＜－m ＋5可化为mx 2－mx －1＜－m ＋5， 即m (x 2－x ＋1)＜6，由于x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，故原不等式等价于m ＜6x 2－x ＋1.当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，故6x 2－x ＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤67，6，由题意可知m ＜6.有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法 (1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．1．解分式不等式和高次不等式的一般方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积，使每个因式的x 系数全为1，再把各根依次从小到大标在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要折回，然后根据x 轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论．2．一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式3x ＋5x ＋1＞2与3x ＋5＞2(x ＋1)同解．( )(2)x －1x ＋2≤0与(x －1)(x ＋2)≤0同解．( )(3)应用穿针引线法解不等式(x ＋2)2(x －3)＞0，可得其解集为(2,3)．( )[答案] (1)× (2)× (2)×[提示] (1)错误，不等式3x ＋5x ＋1＞2与x ＋3x ＋1＞0同解；(2)错误，x －1x ＋2≤0与(x －1)(x ＋2)≤0且x ＋2≠0同解；(3)错误，(x ＋2)2(x －3)＞0的解集为(3，＋∞)．2．对任意的x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．[－2,2]D ．(－∞，2]∪[2，＋∞)A [由题意可知Δ＝a 2－4＜0，解得－2＜a ＜2.] 3．不等式2x －1x ＋3≤－2的解集为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－3 [原不等式可化为4x ＋5x ＋3≤0，故(4x ＋5)(x ＋3)≤0且x ≠－3，故解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，－3.]4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．。
高二数学人选修课件第一章绝对值不等式的解法
XX
PART 05
绝对值不等式在实际问题 中应用举例
REPORTING
在几何问题中应用举例
两点间距离公式
利用绝对值不等式可以方便地表示平面上两点间的距离，进而解决与距离相关 的问题。
直线与点的位置关系
通过绝对值不等式可以判断一个点相对于直线的位置，例如点在直线上、点在 直线外等。
在函数问题中应用举例
易错点三
在解绝对值不等式时，容易忽视题目中的限制条件，导致解集不符合题 目要求。因此，在解题时需要认真审题，注意题目中的限制条件。
拓展延伸：多元函数中的绝对值问题初探
多元函数中的绝对值问题概述
在多元函数中，绝对值问题涉及到多个变量的取值范围和相互之间的关系，因此比一元函 数中的绝对值问题更为复杂。
XX
PART 04
分式型和含参数型绝对值 不等式解法
REPORTING
分式型绝对值不等式解法
转化思想
将分式不等式转化为整式不等式 ，通过去掉分母来简化问题。
分类讨论
根据分子和分母的符号，对不等 式进行分类讨论，分别求解。
注意事项
在去掉分母时，需要注意分母不 能为零，同时要考虑不等式的定
义域。
含参数型绝对值不等式解法
典型例题分析与解答
例题2
解不等式 |x-a| < 2x+1 (a为参数) 。
分析
本题考查含参数型绝对值不等式 的解法。首先根据参数 a 的不同 取值范围对不等式进行分类讨论 ，然后将含参数的不等式转化为 不含参数的不等式进行求解。
解答
当 a = -1 时，原不等式化为 |x+1| < 2x+1，解得 x > 0；当 a > -1 时，原不等式化为 |x-a| < 2x+1，解得 (a-1)/3 < x < a+1 ；当 a < -1 时，原不等式无解。 综合以上三种情况，原不等式的 解集根据参数 a 的不同取值范围 而有所不同。
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