数学文卷·2014届河北省衡水中学高三上学期四调考试(2013.12)
河北省衡水中学2013～2014学年度上学期第四次调研考试高三年级数学试卷（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．集合A={x }2221≤≤∈x Z ，B=},cos {A x x y y ∈=，则B A =( )A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3. 函数2()2ln f x x x bx a =+-+ (0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A. B.214.若抛物线22(0)y px p =>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（ ）A.24yx = B.236y x = C.24y x =或236y x = D.28y x =或232y x =5. 已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b b a a nn n n ,211, 则数列{}n a b 的前10项的和为 （ ） A ．)14(349- B.)14(3410-． C ．)14(319- D ．)14(3110-6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）7.已知函数f (x )＝|x |＋1x，则函数y ＝f (x )的大致图像为 ( )8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A.3160B. 160C. 23264+D.2888+ 9.函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的部分图像如图，其中)0,(),2,(),0,(πP n N m M ,且0<mnA. )4,0(πB. )32,4(ππ C ．)43,2(ππ D ． ),32(ππ10．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点,且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A ．(]1,8 B ．41,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．45(,)33D ．(]2,311．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线22212:20,:210:240l x y a l x y a x y x -+=-++=++-=和圆相切，则a 的取值范围是（ ）A ．73a a ><-或B ．a a ><C ．-3≤a ≤a ≤7 D ．a ≥7或a ≤—312．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x ；④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
把答案填在答题纸的横线上）13.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围 .14、设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a,b,c ，若△ABC 的面积为22()S a b c =--，则sin 1cos AA-= .15．如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为 . 16．直线l 过椭圆的左焦点F ，且与椭圆相交于P 、Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形， 则直线l 的方程为 ．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17、在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足=-B A 2cos 2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+π⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA A 6cos 6cos 2（1）求角B 的值； （2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围．18、已知数列{a n }满足：a 1=20，a 2=7，a n+2﹣a n =﹣2（n ∈N*）． （Ⅰ）求a 3，a 4，并求数列{a n }通项公式；（Ⅱ）记数列{a n }前2n 项和为S 2n ，当S 2n 取最大值时，求n 的值．O ABC DA 1B 1C 1D 1·19、如图所示的几何体ABCDFE 中，△ABC ，△DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED 是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC ．（Ⅰ）求几何体ABCDFE 的体积； （Ⅱ）证明：平面ADE ∥平面BCF ；20、如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417． （1）求抛物线C 的方程；（2）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率； （3）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．21、已知函数()ln f x x =，2()()3g x f x ax x =+-，函数()g x 的图像在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）求a 的值；（2）求函数()g x 的极小值；（3）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，（12x x <） 证明：2111k x x <<．请考生在22，23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题纸上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上两点，AC 与BD 相交于点E ，GC ，GD 是圆O 的切线，点F 在DG 的延长线上，且DG GF =。
求证：（1）D 、E 、C 、F 四点共圆； （2）GE AB ⊥23． 已知函数()|1|f x x =-。
（1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()b f ab a f a>。
2013—2014学年度上学期四调考试 高三年级数学试卷（文）（参考答案）1——12 BAACD DBCBB CC 13. (,1]-∞ 14. 4 15. 6π16.17.解：（1）由已知⎪⎭⎫⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛-π=-A A B A 6cos 6cos 22cos 2cos 得 =-A B 22sin 2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A 22sin 41cos 432，----------4分化简得23sin =B ，故323ππ=或B ．----------6分（2）由正弦定理2sin sin sin ===BbC c A a ，得C c A a sin 2,sin 2==， 故A A A A C A c a cos 23sin 2332sin sin 2sin sin 221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π-=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=6sin 3A ----------8分因为a b ≤，所以323π<≤πA ，266π<π-≤πA ，----------10分 所以⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-3,236sin 321A c a ． ----------12分 18.解：（I ）∵a 1=20，a 2=7，a n+2﹣a n =﹣2 ∴a 3=18，a 4=5由题意可得数列{a n }奇数项、偶数项分布是以﹣2为公差的等差数列 当n 为奇数时，=21﹣n 当n 为偶数时，=9﹣n∴a n =（II ）s 2n =a 1+a 2+…+a 2n=（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（a 2+…+a 2n ）==﹣2n 2+29n结合二次函数的性质可知，当n=7时最大19.解：（Ⅰ）取BC 的中点O ，ED 的中点G ，连接,,,AO OF FG AG . 因为AO BC ⊥，且平面BCED ⊥平面ABC ， 所以AO ⊥平面BCED ，同理FG ⊥平面BCED ，…………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知,AO FG AO FG = ， 所以四边形AOFG 为平行四边形，故AG OF又DE BC ，所以平面ADE 平面BCF .…………………………………（12分） 20.解（1）∵点M 到抛物线准线的距离为=+24p 417， ∴21=p ，即抛物线C 的方程为x y =2． （2）法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴HE HF k k =-， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴1212H H H H y y y y x x x x --=---， ∴ 12222212H H H H y y y y y y y y --=---， ∴1224H y y y +=-=-． 212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． 法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点)2,4(H ，∴ 60=∠AHB ，可得3=HA k ，3-=HB k ，∴直线HA 的方程为2343+-=x y ，联立方程组⎩⎨⎧=+-=xy x y 22343，得023432=+--y y ，∵2E y +=∴363-=E y ，33413-=E x ．同理可得363--=F y ，33413+=F x ，∴41-=EF k ．（3）法一：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=x y k MA ，∴114y x k HA -=， 可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ， ∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(202202=-+--x y y y x ，∴直线AB 的方程为02200(4)4150y x y y y --+-=，令0=x ，可得)1(154000≥-=y y y t ， ∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t ．法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+， .......... ① ⊙M 方程：1)4(22=+-y x ． ................................................. ② ①-②得：直线AB 的方程为2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t ． 21.解：（1）依题意得2()ln 3g x x ax x =+-，则1'()23g x ax x=+- 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)1230g a =+-= ∴1a =（2）由（1）得2231'()x x g x x -+=(21)(1)x x x--=∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞，令'()0g x =得12x =或1x = 函数()g x 在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2单调递减；在(1,)+∞上单调递增．故函数()g x 的极小值为(1)2g =-（3）证法一：依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--， 要证2111k x x <<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-因210x x ->，即证21221211ln x x x x xx x x --<< 令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t -<<-（1t >） 令()ln 1k t t t =-+（1t >）则1'()10k t t=-< ∴()k t 在（1，+∞）上单调递减，∴()()10k t k <= 即ln 10t t -+<，ln 1t t ∴<---------------① 令1()ln 1h t t t =+-（1t >）则22111'()t h t t t t-=-=0> ∴()h t 在（1，+∞）上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-（1t >）--------------② 综①②得11ln 1t t t-<<-（1t >），即2111k x x <<． 【证法二：依题意得212122112121ln ln ln ln y y x x k x kx x kx x x x x --==⇒-=---，令()ln ,h x x kx =-则1(),h x k x'=- 由()0h x '=得1x k =，当1x k >时，()0h x '<，当10x k <<时，()0h x '>，()h x ∴在1(0,)k 单调递增，在1(,)k+∞单调递减，又12()(),h x h x =121,x x k ∴<<即2111k x x << 22.解：（Ⅰ）如图，连结OC ，OD ，则OC ⊥CG ，OD ⊥DG ，设∠CAB ＝∠1，∠DBA ＝∠2，∠ACO ＝∠3， ∠COB ＝2∠1，∠DOA ＝2∠2．所以∠DGC ＝180︒－∠DOC ＝2(∠1＋∠2)． …3分因为∠DGC ＝2∠F ，所以∠F ＝∠1＋∠2．又因为∠DEC ＝∠AEB ＝180︒－(∠1＋∠2)，所以∠DEC ＋∠F ＝180︒，所以D ，E ，C ，F 四点共圆．…5分（Ⅱ）延长GE 交AB 于H ．因为GD ＝GC ＝GF ，所以点G 是经过D ，E ，C ，F 四点的圆的圆心． 所以GE ＝GC ，所以∠GCE ＝∠GEC ．…8分又因为∠GCE ＋∠3＝90︒，∠1＝∠3，所以∠GEC ＋∠3＝90︒，所以∠AEH ＋∠1＝90︒， 所以∠EHA ＝90︒，即GE ⊥AB ．…10分23.解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立； 当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．…4分 所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}． …5分 （Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( ba)即|ab －1|＞|a －b |．…6分因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |． 故所证不等式成立．…10分ABCDEO FG12H3。
2014-2015学年河北省衡水中学高三(上)第四次调考数学试卷(文科))
2014-2015学年河北省衡水中学高三（上）第四次调考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤22．（5分）已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C．200 D．2404．（5分）已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2 B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象5．（5分）直线分割成的两段圆弧长之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：46．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．4 B．2C．2 D．27．（5分）如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，若数列{S n}在n≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣15，+∞）B．[﹣15，+∞）C．[﹣16，+∞）D．（﹣16，+∞）9．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知实数x、y满足不等式组，且ax+by≤1，（a＞0，b＞0）恒成立，则a+b的取值范围是（）A．（0，4]B．（0，]C．（0，2）D．[，+∞）11．（5分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．812．（5分）定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＜2f（）sin1 C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为．14．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是．15．（5分）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是．16．（5分）方程+=λ（λ＜0）的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是．（请写出所有正确命题的序号）①函数y=f（x）在R上是单调递减函数；②函数y=f（x）的值域是R；③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；④函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；⑤函数F（x）=4f（x）+3x至少存在一个零点．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1，等差数列{b n}满足b3=3，b5=9，（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的正切值；（Ⅲ）求点C到平面AB1D的距离．20．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（1）若函数g（x）=f′（x）﹣只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．21．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．（2）若△AOB的面积为，求向量的夹角．22．（10分）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC 上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．2014-2015学年河北省衡水中学高三（上）第四次调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•益阳校级模拟）设集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}．若A⊆B，则a的范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2解：根据题意，A⊆B，而A={x|1≤x≤2}，在数轴上表示可得，必有a≤1，故选B．2．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选C．4．（5分）（2010•济宁二模）已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2 B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象解：∵，∴f（x）=cosx，g（x）=sinx∴f（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，，排除B；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=﹣sinx≠g（x），排除C；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x﹣）=sinx=g（x），故选D．5．（5分）（2016•河西区一模）直线分割成的两段圆弧长之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4解：∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心（1，0），半径r=1，∴圆心（1，0）到直线x﹣﹣2=0的距离：d==，设直线圆相交的弦所对的圆心角为α，则cos==，∴=，解得，∴直线分割成的两段圆弧长之比为：=1：2．故选：B．6．（5分）（2010•湖北校级模拟）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．4 B．2C．2 D．2解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥4，故选A．7．（5分）（2010•成都二模）如图，点F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：设线段PF的中点为M，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故选：B．8．（5分）（2014秋•路南区校级期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，若数列{S n}在n≥7时为递增数列，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣15，+∞）B．[﹣15，+∞）C．[﹣16，+∞）D．（﹣16，+∞）解：∵a n=2n+λ，∴a1=2+λ，∴S n===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{S n}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D9．（5分）（2014•福建模拟）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线Γ的离心率等于（）A．B．C．D．解：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．10．（5分）（2014•湛江二模）已知实数x、y满足不等式组，且ax+by≤1，（a＞0，b＞0）恒成立，则a+b的取值范围是（）A．（0，4]B．（0，]C．（0，2）D．[，+∞）解：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0 ∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）或线段AB．∵ax+by≤1 ∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．11．（5分）（2014•文登市三模）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．8解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．12．定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（）A．f（）＞f（）B．f（1）＜2f（）sin1 C．f（）＞f（）D．f（）＜f（）解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2013•南通二模）函数f（x）=（x﹣1）sinπx﹣1（﹣1＜x＜3）的所有零点之和为4．解：由（x）=（x﹣1）sinπx﹣1=0（﹣1＜x＜3）可得sinπx=令g（x）=sinπx，h（x）=，（﹣a＜x＜3）则g（x），h（x）都是关于（1，0）点对称的函数故交点关于（1，0）对称又根据函数图象可知，函数g（x）与h（x）有4个交点，分别记为A，B，C，D则x A+x B+x C+x D=4 故答案为：414．（5分）（2014•福建模拟）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是3；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是4027．解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，b2014=b235×6+4=b4=3，在每一个周期内，含有3个1，2014=671×3+1，∴第2014个值为1是项，位于第672个周期内的第一个1，则671×6+1=4027，故答案为：3；402715．（5分）（2013•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是2．解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，的最大值是2 故答案是216．（5分）（2014•临川区校级模拟）方程+=λ（λ＜0）的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是①②③．（请写出所有正确命题的序号）①函数y=f（x）在R上是单调递减函数；②函数y=f（x）的值域是R；③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；④函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；⑤函数F（x）=4f（x）+3x至少存在一个零点．【分析】不妨取λ=﹣1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，再由图象可知函数在R上单调递减，且函数的值域为R，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，即可得出结论．解：不妨取λ=﹣1，对于①，当x≥0且y≥0时，方程为，此时方程不成立．当x＜0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x≥0且y＜0时，方程为，此时y=﹣3．当x＜0且y≥0时，方程为﹣，即y=3．因此作出函数的图象，如图所示由图象可知函数在R上单调递减，所以①②③成立，④不正确．⑤由F（x）=4f（x）+3x=0得f（x）=﹣．因为双曲线和﹣的渐近线为y=±，所以函数y=f（x）与直线y=﹣无公共点，因此F（x）=4f（x）+3x不存在零点，可得⑤不正确．故答案为：①②③．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•浙江校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的值；（2）若∠B=，BC边上中线AM=，求△ABC的面积．解：（1）∵．∴由正弦定理，得，化简得cosA=，∴A=；（2）∵∠B=，∴C=π﹣A﹣B=，可知△ABC为等腰三角形，在△AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC2﹣2AC•MCcos120°，即7=，解得b=2，∴△ABC的面积S=b2sinC==．18．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1，等差数列{b n}满足b3=3，b5=9，（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，恒成立，求实数k的取值范围．解：（1）由a n+1=2S n+1①得a n=2S n﹣1+1②，①﹣②得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），∴a n+1=3a n（n≥2）又a2=3，a1=1也满足上式，∴a n=3n﹣1；（3分）b5﹣b3=2d=6∴d=3 ∴b n=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；（6分）（2），∴对n∈N*恒成立，∴对n∈N*恒成立，（8分）令，，当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，（10分），所以实数k的取值范围是（12分）19．（12分）（2016春•普宁市期中）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求二面角B﹣AB1﹣D的正切值；（Ⅲ）求点C到平面AB1D的距离．（Ⅰ）证明：连结A1B，AB1，交于点E，则E是AB1中点，连结DE，∵D是BC的中点，∴DE是△A1BC的中位线，∴DE∥A1C，∵A1C不包含于平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG．因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1．又AB1⊂平面A1ABB1，所以AB1⊥DF．又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG．又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B﹣AB1﹣D的平面角．因为AA1=AB=1，所以在正△ABC中，DF=，在△ABC中，FG=BE=，所以在Rt△DFG中，tan∠DFG==．（Ⅲ）连接A1D，设点C到平面AB1D的距离为d．因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1，所以=，所以=，解得d=．故点C到平面AB1D的距离为．20．（12分）（2014秋•南阳期末）设函数f（x）=lnx+，m∈R．（1）若函数g（x）=f′（x）﹣只有一个零点，求m的取值范围；（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx+，（x＞0），∴g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣=，（x＞0），若g（x）只有一个零点，则h（x）=﹣x3+3x﹣3m，（x＞0）只有一个零点，∵h′（x）=﹣3x2+3=0时，x=1，或x=﹣1（舍去），故当x=1时，h（x）取极大值﹣3m+2，若h（x）=﹣x3+3x﹣3m只有一个零点，则﹣3m+2＞0，解得：m＜（2）若对于任意b＞a＞0，＜1恒成立，则f′（x）=﹣=＜1在（0，+∞）上恒成立，即x2﹣x+m＞0在（0，+∞）上恒成立，由y=x2﹣x+m的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故＞0，解得：m＞．21．（12分）（2014•枣强县校级模拟）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．（2）若△AOB的面积为，求向量的夹角．解：（1）由题意知：抛物线方程为：y2=4x且P（﹣1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my﹣1，代入y2=4x得y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16＞0，得m2＞1，假设存在T（a，0）满足题意，则k AT+k BT====0．∴8m﹣4m（1+a）=0，∴a=1，∴存在T（1，0）（2）S△AOB=||||sinθ=，∴||||=，=x1x2+y1y2=+y1y2==5，∴cos∠AOB==sin∠AOB，∴tan∠AOB=1，∴∠AOB=．22．（10分）（2016•永州模拟）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【解答】（I）证明：∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠A，由题设知：=，故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．∵B，E，F，C四点共圆，∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（2）解：连接CE，∵∠CBE=90°，∴过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC2DB•BA=2DB2，∴CA2=4DB2+BC2=6DB2，而DC2=DB•DA=3DB2，故B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC的外接圆面积的比值为．23．（2016•白山三模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（5分）（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[﹣7，7]．…（10分）。
河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文(含解析)
数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合的范围是【知识点】集合 A1a≤，故选B【答案】【解析】B 解析：由子集的概念可知1【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到lα，必要不充分条件.B为正确选平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是//项.【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200 D． 240【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为()1284102002V Sh ==+⋅⋅=，所以正确选项为C.【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积. 【题文】4．已知函数，则下列结论中正确的是A ．函数的最小正周期为B ．函数的最大值为1C ．将函数的图像向右平移的图像D ．将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 C4 【答案】【解析】C 解析：∵，∴f（x ）=cosx ，g （x ）=sinx∴f（x ）g （x ）=sinxcosx=sin2x ，T=，排除A ，，排除B ；将f （x ）的图象向左平移个单位后得到y=cos （x+）=﹣sinx≠g（x ），排除D ；将f （x ）的图象向右平移个单位后得到y=cos （x ﹣）=sinx=g （x ），故选C ．【思路点拨】先将函数f （x ），g （x ）根据诱导公式进行化简，再求出f （x ）g （x ）的解析式，进而得到f （x ）g （x ）的最小正周期和最大值可排除A ，B ；再依据三角函数平移变换法则对C ，D 进行验证即可． 【题文】5．直线分割成的两段圆弧长之比为A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】B 解析：因为圆心到直线的距离为12d =，所以劣弧所对的圆心角为120︒，优弧所对的圆心角为240︒，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为1:2，所以B 正确. 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小. 【题文】6．已知的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：因为由对数的运算可知3lg2lg8lg2lg231 x y x y x y++==∴+=，所以()11113324 333y xx yx y x y xy⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭，33y xx y+=能取等号，所以A 正确. 【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 H5【答案】【解析】D 解析：设线段PF的中点为M ，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM 是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．【思路点拨】设线段PF 的中点为M ，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数λ的取值范围为【知识点】数列的函数特性 D1【答案】【解析】D 解析：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D【思路点拨】Sn==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．【题文】9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．【题文】10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是【知识点】简单的线性规则 E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤,即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．【题文】11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2 B．4 C．6 D．8【知识点】抛物线的简单性质 H7【答案】【解析】D 解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x，()f x'是它的导函数，且恒有()()tanf x f x x'<成立，则【知识点】导数的运算 B11【答案】【解析】A 解析：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜()f x'tanx，得f（x）cosx＜()f x'sinx．即()f x'sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选A．【思路点拨】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g （x ）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 【题文】13．函数的所有零点之和为____．【知识点】函数的零点 B9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是1sin 1x x π=-的根，由图像可知y sin x π=是周期为2的函数，与1y 1x =-交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。
【100所名校】河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
名校精编卷 第1页（共6页） 名校精编卷 第2页（共6页） 河北省衡水中学 高三年级上学期四调考试数学（理）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 4= A．52 B ．3 C ．72 D ．4 3．已知双曲线my 2−x 2=1(m ∈R)与抛物线x 2=8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A ．y =±√3x B ．y =±3x C ．y =±13x D ．y =±√33x 4．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有A ．40条B ．60条C ．80条D ．120条 5．函数f(x)=x 2−2|x|的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．若tan(x 2+π4)+tan(x 2−π4)=32，则tanx = A ．−2 B ．2 C ．34 D ．−34 7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A,B 两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为 A ．72 B ．56 C ．57 D ．63 8．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．96π+36 B ．72π+48 C ．48π+96 D ．24π+48 9．已知函数f(x)=cosxsin2x ，下列结论不正确的是 A ．y =f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 B ．y =f(x)既是奇函数，又是周期函数 C ．y =f(x)的图象关于直线x =π2对称 D ．y =f(x)的最大值为√32 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号名校精编卷 第3页（共6页）名校精编卷 第4页（共6页） 10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A ．2000π9B ．4000π27C ．81πD ．128π11．已知y 2=4x 的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交y 2=4x 于A,B ，∠AFB =600，则|AB|=A ．4√76B ．4√73C ．4D ．312．已知f (x )={x 2,x ≤0−x (e 1−x +ax 2−a),x >0 是减函数，且f (x )+bx 有三个零点，则b 的取值范围为A ．(0,ln22)∪[e −1,+∞)B ．(0,ln22)C ．[e −1,+∞)D ．{ln22}∪[e −1,+∞)二、解答题13．数列{a n }满足a 1=6，a n+1=6a n −9a n （n ∈N ∗）.（1）求证：数列{1a n −3}是等差数列；（2）求数列{lga n }的前999项和.14．在四棱锥P −ABCD ，AB//CD ，∠ABC =900,BC =CD =PD =2，AB =4,PA ⊥BD ，平面PBC ⊥平面PCD ，M,N 分别是AD,PB 中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）求MN 与平面PDA 所成角的正弦值. 15．在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=accosC +c 2cosA . （1）求角A 的大小； （2）若ΔABC 的面积S ΔABC =25√34，且a =5，求sinB +sinC . 16．如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形，四棱锥的顶点P 在平面α上，AB =√7，AD =√3，AD ⊥DB ，AC ∩BD =O,OP//AQ,AQ =2，M,N 分别是AQ 与CD 的中点. （1）求证：MN//平面QBC ； （2）求二面角M −CB −Q 的余弦值. 17．如图，椭圆C 1：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率为√32，过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M,N 两点，当|MF|=74时，M 点在x 轴上的射影为F 1，连接NO,MO)并延长分别交C 1于A,B 两点，连接AB ，ΔOMN 与ΔOAB 的面积分别记为S ΔOMN ，S ΔOAB ，设λ= S ΔOMN S ΔOAB . （1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程； （2）求λ的取值范围. 18．已知函数f(x)=ax 32−lnx −23的图象的一条切线为x 轴.（1）求实数a的值；（2）令g(x)=|f(x)+f′(x)|，若存在不相等的两个实数x1,x2满足g(x1)=g(x2)，求证：x1x2<1.三、填空题19．已知向量m⃑⃑ ,n⃑夹角为600，且|m⃑⃑ |=1，|2m⃑⃑ +n⃑ |=√10，则|n⃑ |=_______.20．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=1200,AB=2,BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_______.21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.22．三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，ΔABC为正三角形，外接球表面积为12π，则三棱锥P−ABC的体积V P−ABC的最大值为______.名校精编卷第5页（共6页）名校精编卷第6页（共6页）名校精编卷答案 第1页（共16页）名校精编卷答案 第2页（共16页） 河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1．C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2．C【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，代入S 8=4S 4即可求出a 1=12，再利用等差数列通项公式就能算出a 4.【详解】∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴8a 1+8×7×12=4×(4a 1+4×3×12)解得a 1=12，则a 4=12+3×1=72，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式的运用，是基础题。
河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 理(含解析)
数学（理）试题【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.【题文】一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 【题文】1．已知向量=【知识点】平面向量的数量积；向量模的运算. F3 【答案】【解析】C 解析：∵222()2()50a b a a b b +=+⋅+=，又(2,1),10a a b =⋅=，∴()250520255b b =--=⇒=，故选C. 【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【题文】2．已知的共轭复数，复数A ．B ．c．1 D ．2【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案】【解析】A解析：∵114i z i-====+，∴144z i =--，∴221144z z ⎛⎛⎫⋅=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【思路点拨】化简复数z ，根据共轭复数的定义得z ，进而求得结论.【题文】3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 【知识点】排列与组合. J2 【答案】【解析】 D 解析：有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有335360C A =种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有 213453902C C A =种，∴共有150种.故选D. 【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可. 【题文】4．曲线处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．【知识点】导数的几何意义. B11【答案】【解析】A 解析：∵22222(2)(2)x x x y y x x x +-'=⇒==+++，∴曲线在点（-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为21y x =+，故选A.【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程. 【题文】5．等比数列A ．62B ． 92 C ．152 D ．122【知识点】等比数列；积得导数公式. D3 B11 【答案】【解析】D 解析：因为182,4a a ==，又()()()()()()128128()f x x a x a x a x x a x a x a ''=---+---⎡⎤⎣⎦所以()441212818(0)82f a a a a a '====，故选D.【思路点拨】根据积得导数公式求解. 【题文】6．经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B ，若AB=4，则这样的直线有几条A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 【知识点】直线与双曲线. H6 H8 【答案】【解析】B 解析：因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条.【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数.【题文】7．设函数，则A ．在单调递增B ．在单调递减 C ．在单调递增 D ．在单调递增【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性. C5 C4【答案】【解析】D解析：())4f x x πωϕ=+-，因为T π=，所以2ω=，又因为()(),2f x f x πϕ-=<，所以4πϕ=，所以()f x x =，经检验在单调递增，故选 D.【思路点拨】根据已知条件求得函数()f x x =，然后逐项检验各选项的正误. 【题文】8．某产品的广告费用x 与销售额y的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A ． 112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元 【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用. I4【答案】【解析】C 解析：把样本中心点（7,432）代入回归方程得 5.9a =，所以广告费用为10万元时销售额为10.610 5.9111.9⨯+=（万元），故选C.【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得a 值，从而求得广告费用为10万元时销售额. 【题文】9．椭圆C 的两个焦点分别是F1，F2若C 上的点P 满足，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是【知识点】椭圆的性质. H5【答案】【解析】C 解析：∵12233,2PF F F c ==∴223PF a c=-，由三角形中，两边之和大于第三边得232311223342c c a c c c a c c a +≥-⎧⇒≤≤⎨+-≥⎩，故选C.【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论. 【题文】10．已知直三棱柱，的各顶点都在球O 的球面上，且，若球O 的体积为，则这个直三棱柱的体积等于【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式. G1【答案】【解析】B 解析：由球的体积公式得球的半径AB=AC=1，ABC是顶角是120°的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为111sin12042⨯⨯⨯⨯=B.【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，△ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果.【题文】11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为A．4 B．6 C．8 D．12【知识点】几何体中的距离求法. G11【答案】【解析】 B解析：若点P在棱AD上，设AP=x，则()222212 CP PD DC x=+=-+，所以2x=，解得12x=，同理点P可以是棱,,,,AB AA C C C B C D''''''的中点，显然点P不能在另外六条棱上，故选B.【思路点拨】构建方程，通过方程的解求得点P 的个数.【题文】12．定义在实数集R 上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t函数”的结论：①()0f x=是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于12函数”至少有一个零点；③2()f x x=是一个“关于t函数”.其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．0【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用. B1【答案】【解析】A 解析：①不正确，()0f x c=≠，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0f x c=≠是一个“关于-1函数”；②正确，若f(x)是“关于12函数”，则11()()022f x f x ++=，取x=0，则1()(0)02f f +=，若1(),(0)2f f 任意一个为0，则函数f(x)有零点，若1(),(0)2f f 均不为0，则1(),(0)2f f 异号，由零点存在性定理知在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点；③不正确，若2()f x x =是一个“关于t 函数”，则22()x t tx +=-()22120t x tx t ⇒+++=恒成立，则210200t t t ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩所以t 不存在. 故选A.【思路点拨】举例说明①不正确；由函数零点存在性定理及新定义说明②正确；把2()f x x =代入新定义得t 不存在，所以③不正确.【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题.【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2024届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学试题及答案
2023-2024学年度上学期高三年级四调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{11},02A xx B x x =-<<=∣∣ ，则A B ⋂=（）A.[)0,1 B.(]1,2- C.(]1,2 D.()0,12.已知直线1:30l ax y +-=和直线2:3230l x y -+=垂直，则a =（）A.32-B.32C.23-D.233.已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（）A.4πB.12πC.16πD.π34.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，()()1f x x x =+，则()1f -=（）A.-1B.-2C.2D.05.已知α是第一象限角，cos 5α=，则cos cos2sin ααα-=（）A.135-B.75-C.135 D.1106.记n S 为等比数列{}()0n n a a >的前n 项和，且131233116,,,42a a S S S =成等差数列，则6S =（）A.126B.128C.254D.2567.已知直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是（）A.[]2,6 B.[]4,8 C. D.⎡⎣8.设2ln0.99,ln0.98,1a b c ===，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c<< D.c b a<<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A.{}n a 是递增数列B.1014a =-C.当4n >时，0n a < D.当3n =或4时，n S 取得最大值10.已知函数()()2e xf x x =-，则下列说法错误的是（）A.()f x 的图象在2x =处的切线斜率大于0B.()f x 的最大值为eC.()f x 在区间()1,∞+上单调递增D.若()f x a =有两个零点，则e a <11.已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论正确的是（）A.π6ϕ=B.若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C.若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎤⎥⎝⎦D.若π342g ⎛⎫=⎪⎝⎭，则ω的最小值为212.如图，在ABC 中，π,12B AB BC ∠===，过AC 中点M 的直线l 与线段AB 交于点N .将AMN 沿直线l 翻折至A MN ' ，且点A '在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，连接AH 交l 于点,O D 是直线l 上异于O 的任意一点，则（）A.A DH A DC ∠∠''B.A DH A OH ∠∠''C.点O 的轨迹的长度为π6D.直线A O '与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为13-第II 卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()52,1,,2a b k ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，若a∥b ，则k =__________.14.写出一个圆心在y x =上，且与直线y x =-和圆22(3)(3)2x y -+-=都相切的圆的方程__________.15.已知表面积为100π的球面上有,,,S A B C 四点，ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC -体积的最大值为__________.16.若数列{}n a 满足()2*114,13n n n a a a a n +==-+∈N ，则122017111a a a +++ 的整数部分是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin 2A Cc b C +=.（1）求B ；（2）若BD 是AC边上的高，且1,BD b ==，求ABC 的周长.18.（12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ADC AC ∠= 与BD 交于点O ，EC ⊥底面,ABCD F 为BE 的中点，AB CE =.（1）证明：DE ∥平面ACF ；（2）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.19.（12分）已知数列{}n a 是各项都为正整数的等比数列，13a =，且3a 是2a 与434a 的等差中项，数列{}nb 满足111,21n n b b b +==+.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）若582242n n b k a n k +⋅-+- 对任意*n ∈N 恒成立，求实数k 的取值范围.20.（12分）已知点P 到()2,0A -的距离是点P 到()1,0B 的距离的2倍.（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，过B 的直线与点Q 的轨迹Γ交于,E F 两点，则BE BF ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()()e sin 1xf x a x a =--∈R .（1）当1a =时，讨论函数()()e xf xg x =在区间π3π,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调性；（2）当3a =-时，证明：对()0,x ∞∀∈+，都有()2e 12e xxf x x -<++-.22.（12分）如图①，在ABC 中，4,,13BC AB B E D ===分别为,BC AC 的中点，以DE 为折痕，将DCE 折起，使点C 到1C 的位置，且12BC =，如图②.（1）设平面1C AD ⋂平面1BEC l =，证明：l ⊥平面1ABC ；（2）若P 是棱1C D 上一点（不含端点），过,,P B E 三点作该四棱锥的截面与平面1BEC 所成的锐二面角的正切值为2，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.参考答案及解析2023-2024学年度上学期高三年级四调考试•数学一､选择题1.A【解析】因为集合{}{11},02A xx B x x =-<<=∣∣ ，所以{01}A B xx ⋂=<∣ .2.D【解析】由于直线1:30l ax y +-=和直线2l ：3230x y -+=垂直，故320a -=，解得23a =.3.B 【解析】已知圆锥的底面半径2r =，高h =则母线长6l ===.圆锥的侧面展开图为扇形，且扇形的弧长为圆锥底面圆周长2πr ，扇形的半径为圆锥的母线长为l ，所以圆锥的侧面积12ππ26π12π2S rl rl =⨯==⨯=.4.B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当x 0时，()()1f x x x =+，所以()()112f f -=-=-.5.B 【解析】因为α是第一象限角，25cos 5α=，所以sin 5α=，所以2225cos cos 75cos22cos 121sin sin 555αααααα⎛⎫-=--=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭.6.A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则10,a q >>0，由题意可得213213216,13,22a a a S S S ⎧==⎪⎨+=⎪⎩即()()21123124,1322a a a a a a a =⎧⎪⎨+++=+⎪⎩整理得2324,28,a a a =⎧⎨==⎩则1214,8,a q a q =⎧⎨=⎩解得12,2,a q =⎧⎨=⎩所以()6621212612S ⨯-==-.7.A 【解析】因为直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，所以令0x =，得2y =-，令0y =，得2x =-，所以()()2,0,0,2,A B AB --=.点P 到直线20x y ++=的距离为ABP 的高h ，圆22(2)2x y -+=的圆心为()2,0，半径为，圆心到直线的距离为d ==P 到直线的距离h的最大值为+=最小值为=，则ABP 的面积为12S AB h =⨯⨯，最大值为162⨯=，最小值为122⨯=.所以ABP 面积的取值范围为[]2,6.8.D【解析】令0.01x =，则())()22ln 1ln(12,ln 12a x x xb x =-=-+=-，显然a b >.令0x =.02，则()ln 1,1b x c =-=，令()f x b c =-，则()()()1ln 11,2f x x x f x ⎛⎫'=--+<= ⎪⎝⎭.因为22(1)1212x x x x -=-+>-，所以()0f x '>，所以()()00f x f >=，即b c >，综上，a b c >>.二､多选题9.CD 【解析】当2n 时，128n n n a S S n -=-=-+，又116a S ==适合上式，所以28n a n =-+，则{}n a 是递减数列，故Λ错误；1012a =-，故B 错误；当4n >时，820n a n =-<，故C 正确；因为27n S n n=-+的对称轴为72n =，开口向下，而n 是正整数，且3n =或4距离对称轴一样远，所以当3n =或4时，n S 取得最大值，故D 正确.10.ACD 【解析】由题得()()()e 2e 1e x x x f x x x =-+-=-'，则()22e 0f =-<'，故A 错误；当1x <时，()()0,f x f x '>在区间(),1∞-上单调递增；当1x >时，()()0,f x f x '<在区间()1,∞+上单调递减，所以()f x 的极大值即最大值为()1e f =，故B 正确，C 错误；令()()g x f x a =-，则()()1e x g x x =-'，由B知()g x 在区间(),1∞-上单调递增，在区间()1,∞+上单调递减，所以()g x 的极大值为()1e g a =-，且当x 趋向于∞-时，()g x 趋向于a -，当x 趋向于∞+时，()g x 趋向于∞-，所以若()f x a =有两个零点，则e 00a a ->⎧⎨-<⎩，即0e a <<，故D 错误.11.ABC 【解析】若()πsin (03f x x ωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，π)2ϕ<为偶函数，则πππ,32k k ϕ+=+∈Z ，π2ϕ<，所以π6ϕ=，A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，则2π3πT ω==，所以2,B 3ω=选项正确；由()0,πx ∈，得πππ,π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5π2<π7ππ62ω+ ，得71033ω< ，C 选项正确；因为()πsin 6g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若πππsin 4462g ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ2π463k ω+=+或ππ2π2π463k ω+=+，得283k ω=+或28,k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为23，D 选项错误.12.BCD 【解析】依题意，将AMN 沿直线l 翻折至A MN ' ，连接AA '.由翻折的性质可知，关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分，故AA MN '⊥，又A '在平面BCMN 内的射影H 在线段BC 上，所以A H '⊥平面,BCMN MN ⊂平面BCMN ，所以,,A H MN AA A H A AA '⊂'⋂=''⊥'平面A AH '，A H '⊂平面A AH '，所以MN ⊥平面A AH '，所以,,AO MN A O MN A H MN ''⊥⊥⊥，所以90AOM ∠= ，且A OH ∠'即为二面角A MN B '--的平面角.对于A 选项，由题意可知，A DH ∠'为A D '与平面BCMN 所成的线面角，故由线面角最小可知A DH A DC ∠∠'' ，故A 错误；对于B 选项，因为A OH ∠'即为二面角A MN B '--的平面角，故由二面角最大可知A DH A OH ∠∠'' ，故B 正确；对于C 选项，因为MN AO ⊥恒成立，故O 的轨迹以AM 为直径的圆弧夹在ABC 内的部分，易知其长度为1ππ236⨯=，故C 正确；对于D 选项，如图所示，设ππ,32AMN ∠θ⎛⎫=∈⎪⎝⎭，在AOM 中，因为90AOM ∠= ，所以sin sin AO AM θθ==，在ABH中，π,π2cos cos 3ABB AH BAH∠∠θ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin πcos 3OH AH AO θθ=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线A O '与平面BCMN 所成的角为α，则sin πcos 33cos 111813πsin π33sin cos 3322OH AO θθαθθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当ππ232θ-=，即5π12θ=时取等号，故D 正确.三､填空题13.5-【解析】因为a∥b ，所以5122k -⨯=⨯，故k =5-.14.22(1)(1)2x y -+-=或22(2)(2)8x y -+-=（答案不唯一）【解析】设圆心为(),m m，则半径r ==；假设与圆22(3)(3)2x y -+-==+，所以31m m -=+，故226921m m m m -+=++，则34m m +=，若0m >，则44m =，得1m =，则圆心为()1,1，半径为r =22(1)(1)2x y -+-=；若0m <，则24m =，得2m =，不满足前提.假设与圆22(3)(3)2x y -+-=内切，又点()3,3与y x =-的距离为=>，此时圆22(3)(3)2x y -+-=内切于所求圆，则m =31m m -=-，故226921m m m m -+=-+，则34m m -=，若0m >，则24m =，得2m =，则圆心为()2,2，半径为r =22(2)(2)8x y -+-=；若0m <，则44m =，得1m =，不满足前提.综上，所求圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=或22(2)(2)8x y -+-=.15.12+【解析】如图，因为球的表面积为100π，所以球的半径为5.设ABC 的中心为O '，则OO '=3，所以4CO '=，所以ABC的边长为，所以ABC的面积为.欲使三棱锥S ABC -的体积最大，则S 到平面ABC 的距离最大.又平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影为线段AB 的中点D .因为5SO =，所以33SD ==S ABC -的体积最大为(13123V =⨯+=.16.2【解析】因为()2*114,13n n n a a a a n +==-+∈N ，所以()2110n n n a a a +-=->，即1n n a a +>，所以数列{}n a 单调递增，所以()1110n n n a a a +-=->，所以()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---，所以1212231111111111111111111111n n n n n S a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+++-=- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .所以20173m S ==-201811a -，因为143a =，所以222234441313131331331331,1,12,33999818181a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+==-+==-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201820172016201542a a a a a >>>>>> ，故201811a ->，所以20181011a <<-，所以201812331a <-<-.因此m 的整数部分是2.四､解答题17.解：因为sin sin 2A C c b C +=，所以πsin sin sin sin 22BC B C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,π,sin 0C C ∈≠，所以cos sin 2B B =，即cos 2sin cos 222B B B =.因为π0,,cos 0222B B ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以1sin 22B =，故π26B =，解得π3B =.（2）因为π,3B b ==，所以111222ABC S b BD =⋅=⨯⨯ .又由1πsin 234ABC S ac ==，可得42ac =，所以2ac =.由余弦定理222π2cos 3b ac ac =+-，可得223a c ac =+-，即2()33a c ac +=+，即2()369a c +=+=，所以3a c +=，所以ABC的周长为318.（1）证明：如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，可得O 为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE 的中位线，所以OF∥DE .又OF ⊂平面,ACF DE ⊂⊂平面ACF ，所以DE ∥平面ACF.（2）解：以C 为坐标原点，,CB CE 所在直线为,y z 轴，过C 作CB 的垂线所在的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为ABCD 是菱形，60ADC ∠= ，所以ADC 为等边三角形.不妨设2AB CE ==，则)()1,0,0,2,0D B -，())()0,0,2,,0,1,1E A F，可得()(),0,2,2DB BE ==- ，设平面EBD 的一个法向量为(),,n x y z = ，可得30,220,DB n y BE n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 不妨取1y =，则1x z ==，可得)n = .又()AF = ，所以AF 与平面EBD所成角的正弦值为5||||n AF n AF ⋅= 19.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则*q ∈N ，因为3a 是2a 与434a 的等差中项，所以324324a a a =+，所以23214q q =+，解得2q =或23q =（舍去），所以132n n a -=⨯因为121n n b b +=+，所以()1121n n b b ++=+，又112b +=，所以数列{}1n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b +=，所以21n n b =-.（2）由582242n n b k a n k +⋅-+- ，整理得可得()()112232832n n k n k --+-⨯-+ ，即()()13283n k n --⋅- ，所以33162n k n -- 对任意*n ∈N 恒成立.令()32n n f n -=，则()()()()11122323412222n n n n n n n n n f n f n +++------+-=-==，所以当4n 时，()()1f n f n + ，当5n 时，(f n +1）()f n <，所以当4n =或5时，()f n 取得最大值，所以()max 1()416f n f ==.所以311616k - ，解得4k .故实数k 的取值范围是[)4,∞+.20.解：（1）设点(),P x y ，由题意可得2PA PB =，=，化简可得22(2)4x y -+=.（2）设点()00,Q x y ，由（1）知点P 满足方程（222)4x y -+=，则0021,0,x x y y +=⨯⎧⎨+=⎩代入上式整理可得22004x y +=，即点Q 的轨迹方程为224x y +=，如图所示，当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =-，由()224,1x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y ，得)2222(1240k x k x k +-+-=，显然Δ0>，设()()1122,,,E x y F x y ，则212221k x x k +=+，212241k x x k-=+，又()()11221,,1,BE x y BF x y =-=- ，则()()()()()2212121212121211111BE BF x x x x y y x x x x k x x k ⋅=-+++=-+++--=+ .()()()()()()22222222221212224211111421311k k x x k x x k k k k k k k k k --++++=+⋅-+++=--++=-++.当直线l的斜率不存在时，((,1,E F ，3BE BF ⋅=- .故BE BF ⋅ 是定值，3BE BF ⋅=-.21.（1）解：当1a =时，()e sin 1sin 11e ex x x x x g x --+==-，()π1cos sin 14e e x xx x x g x ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭=-=-'，当π02x -<<时，()()ππππ,cos(0,44442x x g x g x ⎫-<+<+>⎪⎭'<单调递减；当3π02x <<时，()()ππ7ππ,cos 0,44442x x g x g x ⎛⎫<+<+'<> ⎪⎝⎭单调递增.所以()g x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间(0，3π2⎫⎪⎭上单调递增.（2）证明：当3a =-时，要证()2e 12ex x f x x -<++-，只要证23sin 22e x x x ---<-，即证()2e 3sin 22x x x --<-.令()()2e 3sin 2x F x x x =--，则()()2e 6sin 23cos 5x F x x x x =-+-'.当0x >时，令()()sin ,1cos 0h x x x h x x =-=-' ，所以()h x 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00h x h >=，即sin x x >，所以22sin x x -<-.所以()()()()222e 6sin 23cos 5e 6sin 2sin 3cos 5e 4sin 3cos 5x x x F x x x x x x x x x '=-+-<-+-=+-()2e 5sin 50x x ϕ⎡⎤=+-⎣⎦ ，其中ϕ为辅助角，且满足34sin ,cos 55ϕϕ==.所以()F x 在区间()0,∞+上单调递减，即()()02F x F <=-.故()2e 12e x x f x x -<++-.22.（1）证明：如图，连接1CC ，因为,E D 分别为,BC AC 的中点，所以11,CE C E EB CD C D DA ====，所以11,ACC BCC 分别为以,AC BC 为斜边的直角三角形，即1111,CC AC CC BC ⊥⊥，又111AC BC C ⋂=，1BC ⊂平面11,ABC AC ⊂平面1ABC ，所以1CC ⊥平面1ABC ，因为平面1C AD ⋂平面11BEC l CC ==，所以l ⊥平面1ABC.（2）解：如图，过1C 作1C H BE ⊥，连接CP 并延长，交1AC 于点Q ，连接,EP BQ ，因为11C E C B =，所以H 为EB 的中点，所以1BH =，连接AH，因为13BH AB B AB ===，所以AH EB ⊥，又1,AH C H H AH ⋂=⊂平面11,AHC C H ⊂平面1AHC ，所以BE ⊥平面1AHC ，连接HQ ，则1C HQ ∠是截面EPQB 与平面1BEC 所成二面角的平面角，即1tan 2C HQ ∠=.在Rt 1BCC 中，12,4BC BC ==，所以1CC =，又在ABC中，由余弦定理可得2222cos 1316242113AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯，所以在Rt 1ACC 中，2221121129AC AC CC =-=-=，所以13AC =，所以22211AH AC HC =+，所以11;HC AC ⊥因为1113tan 2C Q C HQ HC ∠===，所以132C Q =，即Q 为1AC 中点.又D 是AC 中点，所以P 是1ACC 的重心，所以1122,33C P CD CP CQ ==，所以211323CPE CQB S S =⨯= ，所以11CPE 24C BQPE C CDPE V V V --==四棱锥三棱锥三棱锥，又1C AQB C BQC V V --=三棱锥三棱锥，所以ABEDQP C ABQ C DPE V V V --=-=几何体三棱锥三棱锥15C BQC C DPE C DPE V V V ----=三棱锥三棱锥三棱锥，所以145C BQPEABEDQP V V -=四棱锥几何体.。
河北省衡水中学高三数学上学期第四次调考试卷 理(含解
河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．252．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1 D．23．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣25．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．40966．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．1212．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n 项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m 的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5 D．25考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．解答：解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．点评：本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．解答：解：∵z==，∴，则•z=﹣i•i=﹣i2=1．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种考点：排列、组合的实际应用．专题：应用题；排列组合．分析：分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有25种，再分配，共有A33种果，根据分步计数原理知结果．解答：解：依题意分组法是（1，1，3），（1，2，2）共有=25，再分配，乘以A33，即得总数150，故选：D．点评：本题考查分步计数原理，首先分组，再进行排列，属于基础题．4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．解答：解：函数的导数为f′（x）=，则在点（﹣1，﹣1）处切线斜率k=f′（﹣1）=2，则对应的切线方程为y+1=2（x+1），即y=2x+1，故选：A．点评：本题主要考查函数切线的求解，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．5．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．4096考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：通过f'（0）推出表达式，利用等比数列的性质求出表达式的值即可解答：解：因为函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），f′（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）+x[（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8）′，则f'（0）=a1•a2…a8=（a1a8）4=84=4096．故选D．点评：本题考查等比数列的性质，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．6．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：双曲线的简单性质；直线的一般式方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB 只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．解答：解：由题意，a=2，b=1．若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，长度为=1，∵AB=4＞1，∴此时有两条直线符合条件；若AB与双曲线的两支都相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的距离，长度为2a=4，距离无最大值，∵AB=4，∴此时有1条直线符合条件；综合可得，有3条直线符合条件；故选C．点评：本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解，可避免由弦长公式进行计算．7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．解答：解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为π=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选A．点评：本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元）4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为10代入，预报出结果．解答：解：∵==3.5，==43，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，=x+a中的b=10.6，∴43=10.6×3.5+a，∴a=5.9，∴线性回归方程是y=10.6x+5.9，∴广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9万元，故选：C．点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题，本题解答关键是利用线性回归直线必定经过样本中心点．9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C的离心率e的计算公式即可得出解答：解：∵椭圆C上的点P满足，∴|PF1|==3c，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=2a﹣3c．利用三角形的三边的关系可得：2c+（2a﹣3c）≥3c，3c+2c≥2a﹣3c，化为．∴椭圆C的离心率e的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积．解答：解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C△ABC中，cosA==﹣∵A∈（0，π），∴A=根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1∵球O的体积为V==，∴OA=R=Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB•ACsin=∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2=故选：B点评：本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：椭圆的定义．专题：计算题．分析：由题意可得点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球与正方体与棱的交点，可求解答：解：∵正方体的棱长为1∴∵|PA|+|PC′|=2∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭球上，∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD上各有一点满足条件故选B点评：本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题12．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0考点：函数恒成立问题．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：举例说明①不正确；由函数零点存在性定理结合新定义说明②正确；把f（x）=x2代入定义求得λ的矛盾的值说明③错误．解答：解：由题意得，①不正确，如f（x）=c≠0，取t=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，即f（x）=c≠0是一个“t函数”；②正确，若f（x）是“是关于函数”，则f+f（x）=0，取x=0，则f+f （0）=0，若f（0）、f 任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f 均不为0，则f（0）、f 异号，由零点存在性定理知，在区间内存在零点；若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+λ）2+λx2=0，求得λ=0且λ=﹣1，矛盾．③不正确，∴正确结论的个数是1．故选：A．点评：本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C 上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为12．考点：两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．解答：解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，∴AB=2m≤12．∴AB的最大值为12．故答案为：12．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，由此能求出结果．解答：解：如图，由抛物线的定义知：抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离|PM|=|PF|，∴当P，Q，F共线时，P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，∵F（1，0），Q（2，2），∴[|PM|﹣|PQ|]max=[|PF|﹣|PQ|]max=|QF|==，故答案为：．点评：本题考查两线段之差的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为40．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立起a的方程，解出a 的值来，然后再由规律求出常数项解答：解：由题意，（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，所以，令x=1则可得到方程1+a=2，解得得a=1，故二项式为由多项式乘法原理可得其常数项为﹣22×C53+23C52=40故答案为40点评：本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的②．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：结合选项，正方体的体积否定俯视图可能是四边形，对俯视图可能是圆求出体积判断正误；俯视图可能是扇形求出几何体的体积判断正误；同理俯视图可能是三角形的正误作出判断即可．解答：解：由题意可知，（1）当俯视图是四边形时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，不合题意；（2）当俯视图是圆时，该几何体是圆柱，底面积是S=π×（）2=，高为1，则体积是，不合题意；（3）当俯视是直角三角形时，该几何是直三棱柱，如图，故体积是V=×1×1×1=，这个几何体的俯视图可能是直角三角形．可排除锐角三角形和钝角三角形的情形；（4）当俯视图是扇形时，该几何是圆柱切割而成，其体积是V=π×12×1=，不合题意．综上，则这个几何体的俯视图可能是直角三角形．故答案为：②．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．考点：正弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）根据正弦定理化简题中等式，得sinAcosC﹣sinC=sinB．由三角形的内角和定理与诱导公式，可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，代入前面的等式解出cosA=﹣，结合A∈（0，π）可得角A的大小；（2）根据A=且a=1利用正弦定理，算出b=sinB且c=sinC，结合C=﹣B代入△ABC的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到△ABC的周长关于角B的三角函数表达式，再根据正弦函数的图象与性质加以计算，可得△ABC的周长的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵acosC﹣=b，∴根据正弦定理，得sinAcosC﹣sinC=sinB．又∵△ABC中，sinB=sin（π﹣B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC﹣sinC=sinAcosC+cosAsinC，化简得﹣sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=﹣∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵A=，a=1，∴根据正弦定理，可得b===sinB，同理可得c=sinC，因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+[sinB+sin（﹣B）]=1+[sinB+（cosB﹣sinB）]=1+（sinB+cosB）=1+sin（B+）．∵B∈（0，），得B+∈（，）∴sin（B+）∈（，1]，可得l=a+b+c=1+sin（B+）∈（2，1+]即△ABC的周长的取值范围为（2，1+]．点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A的大小，并在边a=1的情况下求三角形的周长的取值范围．着重考查了正弦定理、三角函数的图象与性质、三角恒等变换和函数的值域与最值等知识，属于中档题．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n 项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）依题意知，{a n}是以3为首项，公差为2的等差数列，从而可求得数列{a n}的通项公式；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n+1，对b1=4不成立，于是可求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，利用裂项法可求得=（﹣），从而可求T n．解答：解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，∴{a n}是公差为2的等差数列，又a1=3，∴a n=2n+1；当n=1时，b1=S1=4；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，对b1=4不成立．∴数列{b n}的通项公式：b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，==（﹣），∴T n=+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=+（﹣）=+，当n=1时仍成立．∴T n=+对任意正整数n成立．点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与递推关系的应用，突出考查裂项法求和，属于中档题．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（Ⅲ）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入求出λ的值，则线段AM的长可求．解答：（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了线面角和二面角的求法，运用了空间向量法，运用此法的关键是建立正确的空间坐标系，再就是理解并掌握利用向量求线面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中档题．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m 的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m 的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据函数的单调减区间是（，1），建立导数关系即可，求实数a的值；（2）将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，利用参数分离法求函数的最值，求实数a的取值范围；（3）求函数的导数，根据函数极值，最值和导数之间的关系，求出函数的最值即可得到结论．解答：解：（1）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则要使h（x）的单调减区间是则，解得a=3；另一方面当a=3时，由h'（x）＜0解得，即h（x）的单调减区间是．综上所述a=3．（2）由题意得x2﹣ax≥lnx（x＞0），∴．设，则，∵y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，且x=1时，y=0．∴当x∈（0，1）时φ'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）内是增函数．∴φmin=φ（1）=1∴a≤φmin=1，即a∈（﹣∞，1]．（3）由题意得h（x）=x2﹣ax+lnx（x＞0），则∴方程2x2﹣ax+1=0（x＞0）有两个不相等的实根x1，x2，且又∵，∴，且设，则，∴φ（x）在（1，+∞）内是增函数，∴，即h（x1）﹣h（x2），∴，则m的最大值为．点评：本题主要考查函数的极值，最值和导数之间的关系，考查导数的综合应用，运算量大，综合性较强．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：如图，延长DC，AB交于点E，由已知条件推导出∠ECB=60°，∠EBC=90°，∠E=30°，由此利用切割线定理、勾股定理和三角形相似能求出对角线BD、AC的长．解答：解：如图，延长DC，AB交于点E，∵∠BAD=60°，∴∠ECB=60°，∵∠ABC=90°，BC=3，CD=5，∴∠EBC=90°，∴∠E=30°，∴EC=2BC=2×3=6，∴EB=BC=3，∴ED=DC+EC=5+6=11，∵EC×ED=EB×（EB+AB）则6×11=3×（3+AB），解得AB=，∴A C==，∵∠EDB=∠EAC，∠E=∠E，∴△EDB∽△EAC，∴，∴BD===7．点评：本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2﹣t﹣1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．解答：解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y+1=0，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴；∴+=+====．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．考点：带绝对值的函数；绝对值不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，由题意可得|a﹣1|≥4，与偶此解得 a的值．解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，，或，或．解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）（Ⅱ）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．。
数学文卷·2014届河北省衡水中学高三上学期四调考试(2013.12)
二、 填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）
ìx + y -3£ 0
13.若直线
y
=
2x
上存在点
(
x,
y
)
满足约束条件
ï í
x
-
2
y
-
3
£
0
，则实数
m
的取值范围
.
ïîx ³ m
14、设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的三边分别为 a,b,c，若△ABC 的面积为 S = a2 - (b - c)2 ，则
当 n 为奇数时，
=21﹣n
当 n 为偶数时，
=9﹣n
∴an=
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（II）s2n=a1+a2+…+a2n =（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n） =
=﹣2n2+29n 结合二次函数的性质可知，当 n=7 时最大
19.解：（Ⅰ）取 BC 的中点 O， ED 的中点 G，连接 AO, OF , FG, AG . 因为 AO ^ BC ，且平面 BCED ^ 平面 ABC ， 所以 AO ^ 平面 BCED ，同理 FG ^平面 BCED ， 因为 AO = FG = 3 ，
（2）若 |
a
|< 1,| b
|< 1，且
a
¹
0 ，求证：
f
(ab)
>|
a
|
f
(
b a
)
。
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2013—2014 学年度上学期四调考试
高三年级数学试卷（文）（参考答案）
江西2015年高考数学二轮复习小题精做系列之集合与常用逻辑用语3
一．基础题组1. 【河北省衡水中学2014届高三上学期四调考试】已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则（ ）A ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈≥B ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈≥C ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈>D ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈>2. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】不等式21ax <解集为Q ，{}0p x x =≤，若104R Q C P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则a 等于（ ） A. 14 B.12 C.4 D. 23. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞【答案】B【解析】试题分析：∵{|21}A x x =-≤≤，{|0}B x x =<，∴{|1}AB x x =≤.考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的并集的运算.4. 【山西省太原市太远五中2014届高三12月月考】设集合{|2}M x x =<，集合{|01}N x x =<<，则下列关系中正确的是（ ）A ．M N R =B ．R NC M R = C ．R M C N R =D ．M N M =5. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=（ ）A. {x|-1＜x≤3}B. {x|2≤x﹤3}C. {x|x=3}D.φ6. 【山西省忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】复数iai z -=3在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件考点：1.复数的除法运算；2.复数和点的对应关系；3.充分必要条件.7. 【唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】设全集=U R ，已知集合{|1}A x x =≥，{|(2)(1)0}B x x x =+-<，则（ ）A ．AB U = B ．A B φ=C ．U C B A ⊆D ．U C A B ⊆二．能力题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“α∥β”是“l ⊥m”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2. 【山西省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】三．拔高题组1. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】已知命题p ：∀x ∈（0，∞+），3x ＞2x，命题q ：∃x ∈（∞-，0），x x ->2，则下列命题为真命题的是（ ）A . p ∧qB .（￢p ）∧q C.（￢p ）∧（￢q ） D.p ∧（￢q ）。
河北省衡水中学高二数学上学期第四次调研考试试题 文 新人教A版
2013—2014学年度第一学期第四次调研考试高二年级文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.双曲线13222=-y x 的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．32.曲线的极坐标方程θρsin 4=化成直角坐标方程为( ) A.4)2(22=++y x B.4)2(22=-+y x C.4)2(22=+-y x D.4)2(22=++y x3. 已知1F 、2F 为双曲线右焦点,点P 在曲线C 上,∠21PF F =060,则P 到x 轴的距离为（ ）A4. 已知动点(,)M x y 8=，则M 的轨迹方程 是（ ）A.221169x y += B.221169x y -= C. 2210169()x y x -=> D.2210169()y x y -=> 5.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能6. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A x y 2±=B x y 2±=C x y 22±= D x y 21±=7.已知等边△ABC 中，D 、E 分别是CA 、CB 的中点，以A 、B 为焦点且过D 、E 的椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则下列关于1e 、2e 的关系式不正确．．．的是( ) A ．221=+e e B ．212=-e e C ．221=e e D 212>e e . 8已知F 为抛物线py x 22=)0(>p 的焦点，M 为其上一点，且p MF 2||=，则直线MF 的斜率为( )． A ．－33 B ．±33C ．－ 3D ．± 3 9. 已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）A 9πB 8πC 4πD π10.设(P x 、)y 1=上的点，12(4,0),(4,0)F F -，则必有 （ ） A ．12||||10PF PF +≤ B ．12||||10PF PF +< C ．12||||10PF PF +≥ D ．12||||10PF PF +>11.已知AB 为半圆的直径，P 为半圆上一点，以A 、B 为焦点且过点P 做椭圆，当点P 在半圆上移动时，椭圆的离心率有( )A ．最大值12B ．最小值12C ．最大值22D ．最小值2212.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =;则AOB ∆的面积为 （ ）A ．2B C ．2D ． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（每题5分，共20分。
河北衡水中学第一学期第四次调研考试高三数学试题
高三数学试题本试卷共 150分, 考试时间 120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：此题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。
在每个小题的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。
1．会合 My y 2 x , Py yx 1，则M P（）A ． y y 1B ． y y 1C ． y yD ． y y2．化简2 cos 21等于（）2 tan() sin 2 ()44A ． cosB ．sinC ．－ 1D ． 13．已知 a =2， b =3， a b = 7 , 则向量 a 与向量 b 的夹角是（ ）A ．6 B ．4C ．3 D ．24．已知直线 mx4 y2 0 与 2x 5 y n 0 相互垂直，垂足为 p 1, p ，则 m n p 的值是（）A ． 24B ． 20C ． 0D ．－ 45．在等差数列 { a n } 中， 2(a 1a 4 a 7 ) 3(a 9a 11 ) =24，则此数列的前13 项之和等于（）A ． 13B ． 26C ． 52D ． 1566．若11 0 ，则以下不等式： ① | a | | b |；② a b ab ；③ ba 2 ；④ a 22a baba bb中，正确的不等式有（）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7．函数y x 1 2 x 1 的反函数的图象是（）y y yy 4 4443 332 2 2 32 1 1 11o 1 2 3 4 x o x o x1234 o 1 2 3 4 x1234A B CD8．已知三角形ABC 三个极点为A(1,1),B(1 3,0), C (13,0) ，则角A的内角均分线所3在的直线方程为（）A．x y 0 B．y 3x 1 3 2 2C．x y 0或x y 2 0 D．x y 2 09．已知函数y f ( x) 的定义域为R，它的反函数为y f 1 (x) ，假如 y f 1 (x a) 与y f ( x a) 互为反函数且 f (a) a （ a 为非零常数），则 f (2a) 的值为（）A． a B． 0 C．a D ． 2a10．已知双曲线x2 y2 1 ( a 0, b 0) ，被方向向量为k (6,6) 的直线截得的弦的中点a 2 b2为（ 4， 1），则该双曲线离心率的值是（）5B．6 10D． 2A．2 C．3211．设 F1、F2为椭圆x2 y 2 1的左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P、 Q 4 3两点，当四边形PF QF 面积最大时，PF1 PF2的值等于（）1 2A． 0 B． 1 C． 2 D． 412．对于函数 f ( x) x 22x, 在使 f (x) M 建立的全部常数M中，我们把 M的最大值M= 12 2叫做 f ( x)x22x 的下确界，则对于 a, bR, 且a,b 不全为 0, 则ab 的下确界( a b) 2为（）A ．1B ． 2C ．1D ． 442第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13．函数 ya sin x bcos x( ab0) 的图像的一条对称轴为 x，则以 a (a, b) 为方向4向量的直线的倾斜角为.x y 1 014．不等式组 xy 0 表示的平面地区的面积是.y15．若直线 2axby 2 0(ab 0 ） 一直均分圆 x 2 y 22x 4 y 1 0的周长 , 则1 1的最小值是.a b16 ．椭圆x 2 y 21(a b 0) 的 两个焦点为F 1 、 F 2 ，点 P 为椭圆上的点，则能使a 2b 2F 1PF 2的点 P 的个数可能有个.（把全部的状况填全）2三、解答题（共 70 分） 17．（本小题满分 10 分）已知向量 a (cos x, sin x), b ( 2,2 ), 若 a b8,且x,542求 sin 2x(1 tan x) 的值 . 1tan x18．（本小题满分 12 分）已知曲线C 的方程为： kx 2 (4 k ) y 2 k 1(k R)（ 1）若曲线 C 是椭圆，求 K 的取值范围；（ 2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为，求此双曲线的方程.32 100 ，定点A（3,0），M为圆C上19．（本小题满分 12 分）如下图，已知圆x 3y2一动点，点P 在 AM上，点 N 在 CM上，且知足AM 2 AP, NP AM 0，点N的轨迹为曲线 E。