选修1-2第一章知识点

第一部分 统计案例
1、变量之间的相关关系
（1）相关关系是当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。

（2）变量的确定性关系与非确定性关系。

①确定性关系：即我们所熟悉的变量间的函数的关系；
②非确定性关系：即变量之间虽然有密切关系，但是这种关系却无法用确定的函数关系式表达，变量之间的这种非确定性关系，称为相关关系。

（3）应注意相关关系是一种非确定性关系，它和函数关系不同。

判断两个变量是否具有相关关系，应先看它们是否有关，再看这种关系是否是确定的函数关系。

例 、 在下列各组变量中：（1）正方体的体积与棱长；（2）一块农田的水稻产量与施肥量；（3）人的身高与年龄；（4）家庭的支出与收入；（5）某户家庭的用电量与电价。

其中量与量之间是相关关系的是那几组？
2、求回归直线方程
①制作散点图，判断线性相关关系
②求回归直线方程的系数
1
221n
i i i n
i
i x y nx y b x nx a y bx
==⎧
-⎪
⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 其中∑==n
i i x n x 1
1，∑==n i i y n y 11，),(y x 称为样本点中心，回归直线经过样本点中心),(y x 。

将所给的数据y x ,列成相应的表格，如下表所示：
③写出线性回归方程： ^
^
a x
b y +=∧
例1、某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表
(1) 画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性。

(2)用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程． (3)当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.
x(千万元)
3、残差分析：
（1）残差：数据点和它在回归直线上相应的位置的差异是随机误差的效应，称∧
∧-=i i i y y e 为残差，由^^a x b y i i +=∧，所以^
^a x b y e i i i --=∧。

残差分析：我们通过残差∧
1e ，∧
2e ，...,∧
n e 来判断原始数据是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。

残差图：我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选样本编号或解释变量的数据，这样做出的图形称为残差图。

（2）残差图分析：残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合程度越高，若残差点的分布在其他形状的区域中，则说明所选用的回归模型不是最好的，有改进的余地。

4、相关指数2R
)1,0()()(1212
12
2∈---
=∑∑==∧
R y y
y y R n
i i i
n
i i i
①2R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好； ②2R 越接近于1，，则回归效果越好。

例2、已知某种商品的价格x （元）与需求量y （件）之间的关系有如下一组数据：
求y 对x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏。

6、分类变量
分类变量也称为属性变量或定性变量，它的不同“值”表示个体所属的不同类别。

分类变量的取值一定是离散的，而且不同取值仅表示个体所属的类别，如性格变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等， 7、列联表
列联表是两个或两个以上分类变量的汇总统计表，书中仅限于研究两个分类变量的列联表，并且每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2⨯2列联表。

（1）一般地假设两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}21,x x 和{}21,y y ，其样本频数列联表为下表；
（2）列联表有助于直观地观测数据之间的关系；
（3）列联表是列出的两个分类变量的频数表，由列联表的频数，可以粗略看出变量之间是否有关或者存在差异。

8、等高图
与表格相比，图形能更直观地反映出相关数据的总体状态。

（1）直接观察两个等高条形图中各部分所占比例即可粗略判断X 与Y 有关系的可能性大小 （2）等高条形图的条高表示某个体所属类别在另一个变量中所占百分比，不能显示频数。

9、独立性检验
（1）独立性检验：利用随机变量2
K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

（2）检验指标2
K
般地假设两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{}21,x x 和{}21,y y ，其样本频数列联表为下表；
我们构造一个变量：
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
，其中d c b a n +++= 随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

（3）独立性检验的基本步骤：
①根据观测数据计算随机变量2K 的观测值k ，
))()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=
（d c b a n +++=），
其值越大，说明“X 和Y 有关系”成立的可能性越大。

②得到的k 与临界值进行比较，参考下表：
③进行统计判断“X 和Y 有关系”成立的可靠性有多大。

例：当828.10>k 时，)828.10(2≥K P =0.001，即“X 和Y 有关系”这一结论出错的可能性为0.001，就有99.9%的把握认为“X 和Y 有关系”；当706.2≤k 时就认为没有充分的证据显示“X 和Y 有关系”。

例、质检部门对甲乙两厂生产的某型号的纱线的不均匀率进行检验，记录90根纱线的均匀情况，得到下列列联表：
（1） 画出列联表的等高条形图，并判断纱线是否均匀与厂子是否有关； （2） 利用独立性检验进行判断。

5、回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：
∑=-n
i i y y 12)( ⑵残差：∧
∧
-=i i i y y e ； ⑶残差平方和：
21)(∑=∧
-n
i i i
y y
；
⑷回归平方和：
∑=-n
i i
y y
1
2
)(－21)(∑=∧
-n
i i i y y ；
⑸相关指数∑∑==∧
---
=n
i i i
n
i i i
y y
y y R 12
1
2
2
)()(1 。

例1、解：
两个变量符合正相关
（2）设回归直线的方程是：a bx y
+=ˆ， ;6,4.3==x y
∴9
1196
.136.01)4.0()1()4.1(3)()
)((1
2
1
+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-=
---=
∑∑==n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b
2
1
2010==
……………6分 4.0=a
∴y 对销售额x 的回归直线方程为：4.05.0+=x y ……………7分 （3）当销售额为4(千万元)时，利润额为：
4.04
5.0ˆ+⨯=y
＝2.4(百万元) ……。