高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修2_1
∴点
������2 ������2 A 的轨迹方程是 + =1(y ≠0). 25 16
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟找出点A的轨迹满足|AB|+|AC|=10>6后,知A的轨迹是 椭圆,用定义法求出其方程,但要注意去掉不符合题意的点(5,0),(5,0).Βιβλιοθήκη 探究一探究二探究三
探究四
变式训练1过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B 两点,F2是椭圆的另一个焦点,求△ABF2的周长. 解:根据题意画出图形如图所示, ∵A,B在椭圆4x2+y2=1上,a2=1, ∴2a=2. ∴|AF1|+|AF2|=2a=2, |BF1|+|BF2|=2a=2. ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4. ∴△ABF2的周长为4.
探究一
探究二
探究三
探究四
求椭圆的标准方程 【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点 的距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - , (3)经过两点(2,- √2), -1,
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,建立平面直角坐标系,使x轴经过点B,C,原点O与BC的中 点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10>6,即点A的 轨迹是椭圆,且2c=6,2a=16-6=10. ∴c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,
一
二
思考辨析
【做一做 2】 则 m 等于( )
������2 ������2 已知椭圆 + =1,焦点在 y 10-������ ������-2
轴上,若焦距为 4,
A.4 B.5 C.7 D.8 解析:由已知得,a2=m-2,b2=10-m,又焦距为4, ∴c=2,∴m-2-(10-m)=4,解得m=8. 答案:D
)
(4)两种椭圆方程中,有时a>b>0,有时b>a>0.( × )
探究一
探究二
探究三
探究四
椭圆定义的应用 【例1】 已知B,C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,求 顶点A的轨迹方程. 思维点拨:选取线段BC的中点为坐标原点,建立适当的直角坐标 系,由B,C为两定点,A为动点,研究|AB|+|AC|是否为定值,并比较与 |BC|的大小关系,从而判断点A的轨迹图形形状,进而得到轨迹方程.
【做一做 3】
则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是(
������2 ������2 若椭圆 + =1 上一点 16 25
P 到焦点 F1 的距离为 6,
)
A.2 B.4 C.6 D.8 解析:由椭圆的标准方程可知,a2=25,∴a=5. ∵由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,又|PF1|=6,∴|PF2|=4. 答案:B
������2 ∴设椭圆的标准方程为������2
+
������2 ������
2=1(a>b>0).
∴设所求椭圆的标准方程为������ 2 + ������ 2=1(a>b>0).
一
二
思考辨析
二、椭圆的标准方程
一
二
思考辨析
名师点拨1.椭圆的标准方程中的“标准”指的是椭圆的中心必须 在原点,且以两定点所在直线为x轴(或y轴),两定点所连线段的垂直 平分线为y轴(或x轴). 2.椭圆标准方程的形式:等号左边是“平方+平方”,右边是“1”. 3.焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,焦点在y轴上⇔标 准方程中y2项的分母较大,因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时 要根据方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随 着大的跑.”
3.1.1 椭圆及其标准方程
学 习 目 标 思 1.了解 椭圆的实际背景, 理解 椭圆的定义. 2.掌握 椭圆标准方程的 推导过程. 3.理解 参数 a,b,c 的几何 意义. 4.掌握 a,b,c 的内在关系 , 即 a2-b2=c2. 5.会求 一些简单的椭圆 的标准方程.
维
脉 络
一
二
思考辨析
一
二
思考辨析
【做一做1】 下列说法正确的是( ) A.已知F1(-6,0),F2(6,0),到F1,F2两点的距离之和为12的点的轨迹 是椭圆 B.已知F1(-6,0),F2(6,0),到F1,F2两点的距离之和为8的点的轨迹是 椭圆 C.到点F1(-6,0),F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10,0)到F1,F2的 距离之和的点的轨迹是椭圆 D.到F1(-6,0),F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析:A,B,D三个选项中,都不满足椭圆定义中2a>|F1F2|的条件, 只有C选项满足,因此选C. 答案:C
一、椭圆的定义 我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点 F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距. 特别提醒1.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的 轨迹为椭圆; 2.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以 F1,F2为两端点的线段; 3.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存 在.
√14
3 5 2 2
;
2
.
思维点拨:根据题意,先判断椭圆的焦点位置,再设出椭圆的标准 方程,从而确定a,b的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
∵c=4,2a=10, ∴b2=a2-c2=9. ������2 ������2 ∴所求椭圆的方程为25 + 9 =1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上,
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆. ( × ) (2)椭圆的焦点只能在坐标轴上. ( × )
������2 ������2 (3)方程 + =1(m>0,n>0)不一定表示椭圆.( √ ������ ������
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数学第三章1.1椭圆及其标准方程课件(北师大版选修2-1)
25 9
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1
① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
新教材2023版高中数学第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件
1F2|)的点的
轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距
离叫做椭圆的________，焦距的________称为半焦距．
一半
焦距
用 集 合 语 言 描 述 椭 圆 的 定 义 ： P ＝ {M||MF1| ＋ |MF2| ＝ 2a ，
2a>|F1F2|}．
状元随笔
(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
F1(0，－c)，F2(0，c)
__________________
标准
方程
图形
焦点
坐标
a，b，c
的关系
________________
c2＝a2－b2
状元随笔
椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在
y轴上⇔标准方程中含y2 项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断
椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝ 5.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|
＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
1
∴△PF1F2 是直角三角形，且∠F1PF2 ＝90°，故△F1PF2 的面积为 |PF1|·|PF2|＝
∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1 ，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，∴b2＝a2
－c2＝25－9＝16.
x2
故动圆圆心的轨迹方程为
25
+
y2
＝1.
16
方法归纳
求轨迹方程的常用方法
轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距
离叫做椭圆的________，焦距的________称为半焦距．
一半
焦距
用 集 合 语 言 描 述 椭 圆 的 定 义 ： P ＝ {M||MF1| ＋ |MF2| ＝ 2a ，
2a>|F1F2|}．
状元随笔
(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
F1(0，－c)，F2(0，c)
__________________
标准
方程
图形
焦点
坐标
a，b，c
的关系
________________
c2＝a2－b2
状元随笔
椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在
y轴上⇔标准方程中含y2 项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断
椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝ 5.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|
＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
1
∴△PF1F2 是直角三角形，且∠F1PF2 ＝90°，故△F1PF2 的面积为 |PF1|·|PF2|＝
∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6.
由椭圆的定义可知点M在以Q1 ，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，∴b2＝a2
－c2＝25－9＝16.
x2
故动圆圆心的轨迹方程为
25
+
y2
＝1.
16
方法归纳
求轨迹方程的常用方法
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆及其标准
(4)对于椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，F1，F2 为其左、右焦 点．点 P 坐标为(x1，y1)． ①当点 P 落在椭圆外时，|PF1|＋|PF2|＞2a；xa212＋by212＞1； ②当点 P 落在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，xa212＋by212＝1； ③当点 P 落在椭圆内时，|PF1|＋|PF2|＜2a，xa212＋by212＜1.
第三 章
圆锥曲线与方程
§1 椭 圆 1．1 椭圆及其标准方程
学课前预习学案
1．影视剧中常有这样的镜头：武士为了显示自 己的功夫超群及手中刀剑锋利，对准身边树桩 或毛竹，手起刀(剑)落，劈为两截，你知道截口 是什么形状吗？ [提示] 椭圆或圆形
2．你能举出几个椭圆形的例子吗？ [提示] 卫星轨道，镜子，会议桌等． 3．特殊的曲线都可以看作是满足特定的条件的动 点运动的轨迹．(1)圆是动点满足什么条件时形成 的轨迹？(2)线段的垂直平分线是动点满足什么条 件时的轨迹？
1．a＝6，c＝1 的椭圆的标准方程是( )
பைடு நூலகம்
A.3x62＋3y52 ＝1
B.3y62 ＋3x52＝1
C.3x62 ＋y52＝1
D．以上都不对
解析： ∵a＝6，c＝1，∴b2＝a2－c2＝35 ∵椭圆的焦点在x轴，还是在y轴不确定． 答案： D
2．椭圆3x2＋4y2＝12的两个焦点之间的距离为
()
(2)椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小 来确定．如果x2的分母大，焦点就在x轴上；如 果y2的分母大，则焦点就在y轴上．简记为“焦点 位置看大小，焦点随着大的跑”．
(3)椭圆方程中，a 表示椭圆 上的点 M 到两焦点间距离的 和的一半，可借助图帮助记 忆，a、b、c(都是正数)恰构 成一个直角三角形的三条边， a 是斜边，所以 a＞b，a＞c，且 a2＝b2＋c2，其中 c 是焦距的一半，叫做半焦距．
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2.1 椭圆的简单
_－__a_≤__x_≤___a_且____ 范围 _－__b_≤__y_≤___b___
_－__b_≤__x_≤__b__且____ _－__a_≤__y_≤__a__
顶点 A1(－a,0)、A2(a,0)， A1(0，－a)、A2(0，a)， B1(0，－b)、B2(0，b) B1(－b,0)、B2(b,0)
讲课堂互动讲义
根据方程确定椭圆的性质 已知椭圆的方程为 4x2＋9y2＝36， (1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长 以及离心率； (2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
[思路导引] (1) 化为标准方程 ―→ 求出a，b，c ―→ 焦点位置 ―→ 得其几何性质 (2) 将方程变形 ―→ 列表 ―→ 描点 → 得出图形
(2)画出的椭圆越来越扁．
椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准 方程
_xa_22_＋__by_22_来自__1_(_a_＞__b_＞__0_) __ay_22＋__xb__22＝__1_(_a_＞__b_＞__0_)
对称性 对称轴_x__轴__和__y__轴_，对称中心__(_0_,0_)__
③椭圆的离心率是椭圆的焦距与长轴长的比，记 作 e＝22ac＝ac，因为 a＞c＞0，所以 0＜e＜1. ④提到离心率，我们应想到两个公式即 e＝ac和 e ＝ 1－ba22.
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率
依次是( )
A．5、3、0.8
B．10、6、0.8
C．5、3、0.6
1．已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率 e ＝ 23，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点 坐标、顶点坐标．
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2.1椭圆的简单性质课件北师大选修2_1
=
=1
答案 :C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 求椭圆的顶点坐标、焦点坐标及离心率
【例 1】 求椭圆 4x 2+9y 2=36 的长轴长和短轴长、焦点坐标、 顶点坐标和离心率,并用描点法画出它的图形. 分析:把椭圆方程写成标准形式,求出基本元素 a,b,c 即可求出答 案.
题型一
������2 解:把椭圆的方程化为标准方程 9
, 椭圆趋近于圆, ������越小, 并且 0 < ������ < 1.
������2 ������2 ������2 ������2 【做一做 1】 已知椭圆 2 + 2 = 1 与椭圆 + = ������ 25 16 ������ ������2 ������2 ������2 ������2 1 有相同的长轴, 椭圆 2 + 2 = 1 的短轴长与椭圆 + = ������ 21 9 ������
= 1 的短轴长为6,∴a2= 25,b2=9. 答案 :D
【做一做 2】 若椭圆的焦距等于它的短轴长,则椭圆的离心率 为( )
1 2 A. B. C. 2 2
2D. 2
2 , 3
答案 :B 【做一做 3】 若椭圆以坐标轴为对称轴,离心率 e = 长轴长为 6, 则椭圆的方程为( )
������2 ������2 1或 + 36 20 ������2 ������2 ������2 ������2 A. + = 1B. + = 1 36 20 9 5 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 C. + = 1 或 + = 1D. + 9 5 5 9 20 36
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1.2椭圆及其标准方程习题课课件北师大选修2_1
64 3
3
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 共焦点的椭圆系方程
【例
1】
求过点
Q(2,1)且与椭圆
������2 9
+
������2 4
=
1 有公共的焦点的椭圆的标准方程.
分析:设所求椭圆方程为
������2 ������2
+
������2 ������2
=
1(������
>
������
>
0),
【做一做】
点
P
是椭圆
������2 100
+
������2 64
=
1 上的一点, ������1, ������2
是焦点,
且∠F1PF2=60°,则△F1PF2 的面积是
.
解析: ������△������1������������2
= ������2·tan 30°=64×
3 3
=
64 3
3.
答案:
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2.
①
在△F1PF2 中,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos α=|F1F2|2=4c2, ②
①-②,得 2(1+cos α)|PF1|·|PF2|
=4(a2-c2)=4b2,
∴|PF1|·|PF2|= 1+2c������o2s������,
>
−4).
则9
4 +
������
+
4
1 +
������
=
1,
北师大版选修2-1高中数学3.1《椭圆》(第2课时)ppt课件
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1．焦点在 x 轴上，长、短半轴之和为 10，焦距为 4 5，则椭
圆的方程为( ) A．3x62 ＋1y62 ＝1 C．x62＋y42＝1
B．1x62 ＋3y62 ＝1 D．y62＋x42＝1
[答案] A
[解析] 由题意得 c＝2 5，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20， 解得 a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为3x62 ＋1y62 ＝1.
所以|PF1|·|Pຫໍສະໝຸດ 2|＝43b2②.由①和②根据基本不等式，得|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2. 即43b2≤a2，又 b2＝a2－c2，故43(a2－c2)≤a2，解得 e＝ac≥12.
又 e<1，所以该椭圆的离心率 e 的范围是12，1.
解法二：由解法一得出|PF1|＋|PF2|＝2a |PF1|·|PF2|＝43b2
5．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为
23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的 方程为________________．
[答案] 3x62 ＋y92＝1 [解析] 由题设，知 2a＝12，ac＝ 23， ∴a＝6，c＝3 3，∴b＝3. ∴椭圆 G 的方程为3x62 ＋y92＝1.
应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速
得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或 方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件 灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目 的．
已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)， F2(c,0)若椭圆上存在点 P 使sin∠aPF1F2＝sin∠cPF2F1，则该椭圆的 离心率的取值范围为________________．
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1.1椭圆及其标准方
.
解析:易知
������ < 0, -������ > ������2,
故-1<a<0.
答案:(-1,0)
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
椭圆定义的应用
【例 1】
(1)椭圆
������2 25
+
������2 9
=
1
上一点������到一个焦点的距离为
5,
则������到另一个焦点的距离为( )
这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫作椭圆的 焦距.
说明:(1)椭圆的定义中提到的“常数”常用2a表示,焦距常用2c表
示.椭圆定义的数学表达式为|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)当2a=|F1F2|时,其轨迹是线段F1F2. (3)当2a<|F1F2|时,其轨迹不存在. (4)椭圆的定义是推导椭圆方程的依据.
∴甲是乙的必要条件.
反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),是不能推出P点的轨迹 是椭圆的.这是因为,仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹.
∴甲不是乙的充分条件.
故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
3.椭圆的标准方程
【做一做1】 命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>题乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常 数).