高中数列知识点、常用方法及典型题型总结

n −m
⑵在等比数列 {Байду номын сангаас n } 中， 等距离取出若干项也构成一个等比数列， 即 a n , a n + k , a n + 2 k , a n + 3k , L
(n, m ∈ N + )
⑷若 m + n = p + q(m, n, p, q ∈ N + ) ，则 a m ⋅ a n = a p ⋅ a q ；
⑴数列 {a n } 是等差数列，则数列 {a n + p}、 {pa n } （ p 是常数）都是等差数列； 为等差数列，公差为 kd .
⑵在等差数列 {a n } 中， 等距离取出若干项也构成一个等差数列， 即 a n , a n + k , a n + 2 k , a n + 3k , L
⑶ a n = a m + ( n − m )d ； a n = an + b ( a , b 是常数 ) ； S n = an 2 + bn ( a , b 是常数，
这个式子叫做数列 {a n } 的递推公式. 如数列 {a n } 中， a1 = 1, a n = 2a n + 1 ， 其中 a n = 2a n + 1 是数列 {a n } 的递推公式. 4. 数 列 的 前 n 项 和 与 通 项 的 公 式 ① S n = a1 + a 2 + L + a n ；
a ≠ 0)
⑷若 m + n = p + q(m, n, p, q ∈ N + ) ，则 a m + a n = a p + a q ；
Sn 是等差数列； n S a ⑹当项数为 2n (n ∈ N + ) ，则 S 偶 − S奇 = nd , 偶 = n +1 ； S奇 an
⑸若等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n ，则 当项数为 2n − 1( n ∈ N + ) ，则 S 奇 − S 偶 = a n ,
S偶 n − 1 = . S奇 n
⑺若等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n ，则 S k 、 S 2 k − S k 、 S 3k − S 2 k 、 S 4 k − S 3k 是等差数列. 等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 q ( q ≠ 0 ) ，这个数列叫 做等比数列，常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式： a n = a1q n −1 ， a1 为首项， q 为公比 . ⑵前 n 项和公式：①当 q = 1 时， S n = na1 ②当 q ≠ 1 时， S n =
a n +1 = q （ n ∈ N + ， q ≠ 0 是常数） ⇔ {a n } 是等比数列； an
2
⑵中项法： a n +1 = a n ⋅ a n+ 2 ( n ∈ N + )且 a n ≠ 0 ⇔ {a n } 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列 {a n } 是等比数列，则数列 {pa n } 、 {pa n } （ q ≠ 0 是常数）都是等比数列； 为等比数列，公比为 q k . ⑶ an = am ⋅ q
a1 (1 − q n ) a1 − a n q = . 1− q 1− q
3.等比中项 如果 a, G, b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即： G 是 a 与 b 的等差中项 ⇔ a ， A ， b 成等差数列 ⇒ G 2 = a ⋅ b . 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：
n( a1 + a n ) 1 或 S n = na1 + n ( n − 1)d . 2 2
3.等差中项 如果 a , A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 即： A 是 a 与 b 的等差中项 ⇔ 2 A = a + b ⇔ a ， A ， b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法： a n +1 − a n = d （ n ∈ N + ， d 是常数） ⇔ {a n } 是等差数列； ⑵中项法： 2a n +1 = a n + a n + 2 ( n ∈ N + ) ⇔ {a n } 是等差数列. 5.等差数列的常用性质
（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 a n = f ( a n −1 ) 或 a n = f ( a n −1 , a n − 2 ) ，那么
②
S (n = 1) an = 1 . S n − S n −1 ( n ≥ 2)
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有 界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何 n ∈ N + ,均有 a n +1 > a n . ②递减数列:对于任何 n ∈ N + ,均有 a n +1 < a n . ③摆动数列:例如: − 1,1, −1,1,−1, L. ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数 M 使 a n ≤ M , n ∈ N + . ⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 a n 使得 a n > M . 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d ，这个数列叫做等差 数列，常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 a n = a1 + ( n − 1) d ， a1 为首项， d 为公差. ⑵前 n 项和公式 S n =
数列
数列概念 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列 {a n } 的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式，即 a n = f ( n ) . 3.递推公式：如果已知数列 {a n } 的第一项 （或前几项） ，且任何一项 a n 与它的前一项 a n −1
2
⑸若等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n ，则 S k 、 S 2 k − S k 、 S 3k − S 2 k 、 S 4 k − S 3k 是等比数列. 二、典型例题 A、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， a 4 = 9, a9 = −6, S n = 63 ，求 n ；