练习七

第7章故障树分析（FTA）练习七(ans)1.试建造下述输电网络故障树:由A站向B,C站供电,共有5条线路(AB,BC间各有一条备用线路)电网失效判断是:(1)B和C中任何一站无输出,即该站停电;(2)B和C站的负荷共由单一线路承担,则线路将过载而失效.求故障树的全部最小割集,并据此讨论改进此输电系统可靠性的新方案.故障树的全部最小割集: {1,2,3},{1,2,4,5},{3,4,5},{2,3},{1,3},{1,2}改进方案:1第7章 故障树分析（FTA ）2改进方案故障树的全部最小割集:{1,2,5},{2,3,5},{1,3,5},{1,2,3},{1,2,4},{4,5,3}2. 已知切尔诺贝利控制系统的可靠性框图,建立系统的故障树,并求出全部最小割集与路集?A1A2A3A4B1B2CA1,A2,A3,A4 为 2/4(G) 系统B1,B2 为并联系统解:系统失效3/4A1A2A3A4B1B2C最小割集：（C 〕，（B1，B2〕，（A1，A2，A3〕，（A1，A2，A4），（A2，A3，A4）。

最小路集：P UK C B B A A A A A A A A A i ==+++++++()()()()12123124234 展开后,并删除非最小割集得到{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},{,,,},C B A A C B A A C B A A C B A A C B A A C B A A C B A A C B A A C B A A C B A A C B A A C B A A 112113114123124134212213214223224234注:将故障树对偶树求其割集,则同样可得到原故障树的最小路集3. 画出图示(a)、(b)系统的故障树,并求出它们的最小割集和最小路集,证明由最小割集和最小路集求出的顶事件概率相等.第7章 故障树分析（FTA ）3A BDC A C BD(a) (b)解： a 系统故障树 b 系统故障树a 系统最小割集 },{B A },{D Ca 系统最小路集 },{D A },{C A },{C B },{D Bdc b ad c b a Q Q Q Q Q Q Q Q D C B A P TOP P -+==)()(其中a Q A P =)( b Q B P =)( c Q C P =)( d Q D P =)( 由路集：第7章 故障树分析（FTA ）4dc b ad c b a Q Q Q Q Q Q Q Q D C B A P D C B P C D A P D C B A P D C B A D C B A P D C B A P D C B P D C A P C D P B A P C D B C D D C A B A P D C B C D A P D B C B C A D A P BD BC AC AD P TOP P -+=+------+++=+++=++==⋅⋅⋅=)(3)()()()()()()]()()()()()])([()])()()([()()(∴ 证毕b 系统的MCS ：},{B A },{D A },{B C },{D C b 系统的MPS ：},{C A },{D B证明类似，故略。

4. 给出下面开关系统,已知每个开关都有两种失效模式,它们的概率是,故障闭合概率q c ,故障断开概率q 0且q q c ==--1010403,,①求“系统故障闭合顶事件T C ”故障树,找出MCS 和顶概率; ②求“系统故障断开顶事件T 0”故障树,找出MCS 和顶概率.A BC DFE解： （a ）最小割集：第7章 故障树分析（FTA ）5}{C C B A}{C C C E D C }{C CCF D C5453222)()(CCCCCC C C C C C C C C qq q q q F D C E D C B A P T P +--+==8101)(-⨯=C T P（b ）最小割集 }{O O C A }{O O D A }{O O O F E A }{O OC B }{O OD B }{O OOF E B略去-+==2233222224)()(OO O O O O O O O q q A A A A A A P T P)2)(4(24)()()()()(63863442426386344242332222332222O O O O O O OOOOOOO q q q q C q C q qq q q C q C q A A P A A A A P A A P A A A A P T P --+---+-+-=⋅-+=第7章 故障树分析（FTA ）66104)(-⨯=O T P5. 建造（a ）至（b ）系统的故障树，并求出它们的最小割集(a) (b)(c) (d) 解：(a)(b)第7章 故障树分析（FTA ）7(c)(d)6. ①某系统S 的故障树如下图所求示,求故障树的割集,最小割集和最小路集.②试用最小割集表示法求故障树顶事件S 的发生概率?P x P x P x ()()()123310===- 及P x P x ()().45410==-TOPx 1x 1x 5x 4x 3x 3x 2x 2系统S 故障树解: ① TOP=)x x )(x x )(x x ()x x (32312154++++⋅第7章 故障树分析（FTA ）8=32312154x x x x x x x x ⋅+⋅+⋅+⋅② P(TOP)=P( 32312154x x x x x x x x )=P(54x x )+P(21x x )+P(31x x )+P(32x x )-P(2154x x x x )-P(3154x x x x )-P(3254x x x x )-3P(321x x x ) +2P(32154x x x x x )+P(321x x x )=3344101031010----⨯⨯+⨯=(0.01+3-0.002)610-⨯=3.012610-⨯7. ①写出下图所示故障树的结构函数.②画出故障树的等价可靠性框图.③画出故障树的对偶树,并用下行法及上行法求原树的最小路集.④图故障树中,设:λ100001=./小时，λλλ234000015===./小时，λλ5600005==./小时，λλ78000075==./小时.试用最小割集法计算该系统工作100小时时,顶事件发生的概率.TM 1M 2M 3x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8图 系统故障树解: ① T=x )x x ()x x (x x x +++++第7章 故障树分析（FTA ）9③1321x M M M T ==()1x ()432x x x ++()65x x ()87x x④ P(Top)=43287651q q q q q q q q +++++01.09900.0101.0ex p 1)1000001.0ex p(1q 1≈-=--=⨯--= 0149.09851.01015.0ex p 1q q q 432=-=--=== 0488.09512.0105.0ex p 1q q 65=-=--==0723.09277.01075.0ex p 1q q 87=-=--==P(Top)=0.01+2x0.0488+2x0.0723=0.25228. ①写出图所示故障树的结构函数和画出故障树的等价可靠性框图.②用上行法及下行法求故障树的最小割集.Tx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7图 系统故障树9. 画出下图的2/3(G)系统的等价故障树,求出它的最小割集和结构函数.第7章 故障树分析（FTA ）102/3123解:结构函数：32132312132132132121321323133213231213231212)1(1]1)[1(1)1)(1)(1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x X -++=-++-+---=+----=----=φ10. 系统可靠性框图如图所示.求:①.画出其相应的故障树; ②写出结构函数;③求所有最小割集和最小路集.x 1x 1x 2x 3x 3x 4x 4解: ①.画出其相应的故障树第7章 故障树分析（FTA ）11③所有最小割集:用下行法:(X1,X4),(X3,X4),(X1,X2,X3).所有最小路集: (4,1X X ),(4,2X X ), (3,1X X ),(4,3X X ),②写出结构函数: )3211)(431)(411(1)(X X X X X X X ⋅⋅-⋅-⋅--=ΦX11. 某故障树的最小割集为:{E ，D}，{A ，B ，E}，{B ，D ，C}，{A ，B ，C}.已知:R R R R R A C D E B =====0807064.,.,.. 试求顶事件发生的概率.12. 在下图故障树中,λ100001=./小时,λ2000015=./小时,λ300002=./小时,λ4000023=./小时.试计算系统工作50小时时各部件的概率重要度,结构重要度及关键重要度.若要提高该系统的可靠性.你首先改进那个部件? x 1x 2x 3x 4T解: 部件的概率重要度可按定义写成 i i Q Q g g ∂∂=∆)( )1)(1)(1(1)(4321Q Q Q Q Q g ----=第7章 故障树分析（FTA ）12)1)(1)(1()1)(1)(1()1)(1()1)(1(32144421334312243211Q Q Q Q g g Q Q Q Q g g Q Q Q Q g g Q Q Q Q g g ---=∂∂=∆---=∂∂=∆--=∂∂=∆--=∂∂=∆ 结构重要度:2121===∂∂=nQ Q Q i i Q gI 关键重要度CR i I : )()(/)(/)(lim 0Q g Q g Q g Q Q g Q Q Q g Q g I i i i i i Q CR i i ∆=⋅∂∂=∆∆=→∆ =⋅=t Q 11λ0.0001×50=0.005=⋅=t Q 22λ0.00015×50=0.0075=⋅=t Q 33λ0.0002×50=0.01=⋅=t Q 44λ0.00023×50=0.0115结构重要度:125.0,125.0,375.0,375.04321====I I I I 关键重要度:009.0,009.0,592.0,394.04321====CR CR CR CR I I I I 首先改进2部件13. 已知最小割集为(1,2),(1,3),(2,3),(4,5)设q1=q2=q3=0.001,q4=q5=0.0001,求顶事件的概率(比较精确结果与独立近公结果)和部件概率重要度.14. 建立下列网络的故障树,并求出全部最小割集与路集?第7章故障树分析（FTA）解:最小割集: (E,F),(C,D),(A,B),(C,B),(C,F)最小路集: (A,C,E),(B,D,F),(B,C,E), (B,C,F),13第7章故障树分析（FTA）14。