代数史
代数式的概念与运算
代数式的概念与运算代数是数学中一个重要的分支，是研究数和运算关系的一门学科。
代数式是代数中的基本概念之一，它由数和变量经过特定的运算组成，代表了一个数或一类数的规律。
本文将从代数式的概念、代数变量和常数、代数运算等方面展开讨论。
一、代数式的概念代数式是代数中的基本单位，它由数、变量和运算符号所组成，代表了一种数学关系，或表示数的计算过程。
代数式具有一定的运算规则，可以通过代数运算得到新的代数式。
代数式的基本结构如下所示：ax^n + bx^(n-1) + cx^(n-2) + ... + dx^2 + ex + f其中，a、b、c、d、e、f为常数，x为变量，n为整数且大于等于2。
代数式中的每一项由一个系数和一个指数组成，系数可以为常数或变量，指数为整数。
代数式的值取决于其所包含的变量的具体取值。
例如，若代数式为2x + 3，当x取值为1时，代数式的值为5；当x取值为2时，代数式的值为7。
代数式与方程有着密切的关系，方程是由代数式构成，通过等号连接，方程表达了等式两边的代数式相等的关系。
二、代数变量和常数代数式中的变量代表了未知数，它可以是任意实数。
变量用字母表示，常见的代数变量有x、y、z等。
代数式中的常数是已知数，它的值在代数式中是固定的，可以是实数、有理数或无理数。
常数用数字表示，常见的常数有0、1、2等。
三、代数运算代数运算是对代数式进行计算和处理的过程，主要包括四则运算和指数运算。
1. 四则运算四则运算是代数运算中最基础的运算，包括加法、减法、乘法和除法。
四则运算的规则如下：- 加法：将两个代数式相加，系数相同的项合并，并保留相同的指数。
- 减法：将一个代数式减去另一个代数式，可以通过将减数中的每一项的系数变为相反数，然后进行加法运算。
- 乘法：将两个代数式相乘，使用分配律、结合律和交换律等运算规则，可以将代数式化简为简洁的形式。
- 除法：将一个代数式除以另一个代数式，可以通过乘以倒数的方式进行转化为乘法运算。
怎么判断是不是代数式
怎么判断是不是代数式
根据代数式的概念，我们为代数式归纳了5种类型：
1、单独一个数字（数字包括整数、分数、小数），是代数式。
比如6、7/2
2、6.6等
2、数字与数字之间通过运算符号连在一起，是代数式。
比如3+6、6-1/6+8.8等
3、单独一个字母，是代数式。
比如a、b、c等
4、字母与字母之间通过运算符号连在一起，是代数式。
比如a+b、ab、bc-d等
5、数字与字母之间通过运算符号连在一起，是代数式。
比如3+a、6c、8.6a等
用运算符号将数字和字母连在一起的式子，就叫代数式。
单独一个数或一个字母也是代数式。
也就是说，只要满足这个概念的式子，都叫代数式。
代数式知识点
第二章：代数式基础知识点：一、代数式1、代数式：用运算符号把数或表示数得字母连结而成得式子，叫代数式。
单独一个数或者一个字母也就是代数式。
2、代数式得值：用数值代替代数里得字母，计算后得到得结果叫做代数式得值。
3、代数式得分类：二、整式得有关概念及运算1、概念（1)单项式:像ｘ、７、，这种数与字母得积叫做单项式。
单独一个数或字母也就是单项式。
单项式得次数:一个单项式中,所有字母得指数叫做这个单项式得次数.单项式得系数:单项式中得数字因数叫单项式得系数。
（2)多项式：几个单项式得与叫做多项式.多项式得项：多项式中每一个单项式都叫多项式得项。
一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式得次数:多项式里,次数最高得项得次数,就就是这个多项式得次数。
不含字母得项叫常数项。
升（降）幂排列:把一个多项式按某一个字母得指数从小（大)到大(小）得顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列.（３）同类项：所含字母相同，并且相同字母得指数也分别相同得项叫做同类项。
2、运算（1）整式得加减：合并同类项：把同类项得系数相加，所得结果作为系数，字母及字母得指数不变。
去括号法则：括号前面就是“＋”号,把括号与它前面得“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面就是“–”号，把括号与它前面得“–"号去掉,括号里得各项都变号。
添括号法则:括号前面就是“+”号,括到括号里得各项都不变;括号前面就是“–”号，括到括号里得各项都变号。
整式得加减实际上就就是合并同类项，在运算时,如果遇到括号,先去括号，再合并同类项。
（2)整式得乘除:幂得运算法则:其中ｍ、n都就是正整数同底数幂相乘:；同底数幂相除:；幂得乘方：积得乘方：。
单项式乘以单项式：用它们系数得积作为积得系数,对于相同得字母，用它们得指数得与作为这个字母得指数；对于只在一个单项式里含有得字母,则连同它得指数作为积得一个因式。
单项式乘以多项式：就就是用单项式去乘多项式得每一项,再把所得得积相加。
什么叫代数式
什么叫代数式
代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
例如：ax+2b，-2/3，b^2/26，√a+√2等。
注意：
1、不包括等于号（=、≡）、不等号（≠、≤、≥、<、>、≮、≯）、约等号≈。
2、可以有绝对值。
例如：|x|，|-2.25|等。
用运算符导（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
数的一切运算规律也适用于代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式。
带有“<（≤）”“>（≥）”“=”“≠”等符号的不是代数式。
代数式是一种常见的解析式，对变数字母仅限于有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）的解析式称为代数式。
代数式知识点总结
代数式知识点总结代数式包括单项式、多项式和分式三种基本形式。
单项式是由一个常数或变量的乘积组成，如3x、-2y²等。
多项式是由多个单项式的和或差组成，如3x²+2xy-5y²等。
分式是由两个多项式的商组成，如x²/(x+y)等。
代数式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法四种。
在代数式中，常用的符号有包括+、-、*、/、^等。
+表示加法，-表示减法，*表示乘法(通常省略)，/表示除法，^表示乘方。
同时，代数式也包括括号。
括号可以改变运算顺序，给予某一部分更高的运算优先级。
在代数式中，变量通常用字母表示，如x、y、z等。
变量代表的是未知数，可以根据具体的数值代入求解。
常数则表示一个固定的数值，如1、2、3等。
系数则表示变量的倍数，如2x中的2即为系数。
运算符有加、减、乘、除、乘方等。
代数式中的运算符遵循特定的运算顺序，乘方优先于乘除法，乘除法优先于加减法。
代数式的理解和运算是代数学习的重点。
在解决实际问题中，代数式可以帮助描述问题，构建数学模型，进而求解问题。
代数式的求解离不开对其形式和性质的理解。
在代数式的运算中，要遵循特定的规则和性质，如结合律、交换律、分配律等。
此外，代数式的因式分解、合并同类项、化简等技巧也是解题的关键。
在代数式的运算中，复杂的式子可以通过分解、合并、化简等方法简化。
因式分解是将复杂的代数式写为简单的乘积形式的过程。
合并同类项是将多项式中相同变量的单项式合并为一个单项式的过程。
化简则是将复杂的式子简化为最简形式的过程。
这些方法在解决代数式运算中起到重要的作用。
总的来说，代数式是代数学中基础而重要的概念。
代数式的理解和运算是代数学习的关键，对于解决实际问题和理解数学规律都具有重要意义。
代数式的基本形式、运算规则、性质和化简方法都需要掌握，并在练习中不断加深理解和掌握技巧。
代数式是代数学习的基石，对提高数学能力和解决实际问题都具有重要作用。
代数式的定义及其基本性质
代数式的定义及其基本性质代数式是由变量、数字和基本运算符组成的表达式。
在代数中，代数式是一种非常重要的形式化工具，它允许我们用符号表示复杂的数学关系。
在本文中，我们将简要介绍代数式的定义及其基本性质。
一、代数式的定义代数式是由变量、数字和基本运算符组成的表达式。
变量是代数式中最基本的构建块，它们可以表示任何数量的未知数。
数字和基本运算符（加、减、乘、除）则用于描述变量之间的数学关系。
例如，下面是一个代数式的示例：2x + 3y - 4在这个代数式中，变量 x 和 y 分别乘以 2 和 3，然后减去 4。
这个代数式的值取决于变量 x 和 y 的值。
二、代数式的基本性质1. 代数式的值可以根据变量的值进行计算代数式描述的是变量之间的数学关系，因此它的值是取决于变量的值的。
例如，对于上面的代数式，如果 x = 2，y = 3，那么它的值就是 2x + 3y - 4 = 2(2) + 3(3) - 4 = 9。
2. 代数式可以进行基本运算代数式可以进行加、减、乘、除等基本运算。
例如，对于上面的代数式，可以对它进行整体加减、因式分解、乘法分配律等运算。
3. 代数式可以用多个变量表示代数式可以用多个变量表示，例如，下面的代数式就用了三个变量：xyz + 2(x + y) - 3z这个代数式描述了变量 x、y 和 z 之间的复杂数学关系。
4. 代数式可以用形式化的符号表示代数式可以用形式化的符号表示，这使得我们可以用一个简单的形式来描述复杂的数学关系。
这种形式化符号的表示方法是数学中的一个非常重要的发明，它使得我们能够准确地描述和分析数学问题。
总之，代数式是数学中的重要组成部分，它允许我们用符号表示复杂的数学关系，并进行基本运算。
在学习代数的过程中，我们需要深入理解代数式的定义及其基本性质，以便更好地理解和解决数学问题。
代数式的概念
代数式的概念代数式是数学中的一个重要概念，它是由数字、字母、运算符号和括号组成的符号表达式。
在数学中，代数式用来表示数学关系和运算过程。
本文将介绍代数式的定义、基本要素和常见运算规则。
一、代数式的定义和基本要素代数式是由数字、字母、运算符号和括号组成的符号表达式，可以包含加法、减法、乘法、除法等运算符号。
其中，字母通常用来表示未知数或变量。
代数式可以是一个数、一个字母、一个字母与一个数的乘积，或者多个代数式之间的运算组合。
在代数式中，数字和字母是基本要素。
数字表示具体的数值，而字母则表示未知数或变量，代表一类数。
字母可以是任何一个字母，如x、y、a、b等。
代数式中的运算符号有加法、减法、乘法、除法等，它们用来表示不同的数学运算操作。
括号在代数式中用来改变运算顺序或表示分组。
二、代数式的常见运算规则1. 加法和减法规则：代数式中的加法和减法运算遵循交换律和结合律。
交换律指加法和减法运算可以按任意顺序进行，结果不变；结合律指多个代数式相加（或相减）时，可以先将其中几个代数式相加（或相减），然后再与剩余的代数式相加（或相减）。
例如，a + b + c = c + b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法和除法规则：代数式中的乘法和除法运算遵循分配律、交换律和结合律。
分配律指乘法对加法的分配关系，即a × (b + c) = a × b + a × c；交换律指乘法和除法运算可以按任意顺序进行，结果不变；结合律指多个代数式相乘（或相除）时，可以先将其中几个代数式相乘（或相除），然后再与剩余的代数式相乘（或相除）。
例如，a × (b × c) = (a × b) × c，a ÷ (b ÷ c) = (a ÷ b) ÷ c。
3. 括号运算规则：代数式中的括号可以用来改变运算顺序或表示分组。
代数式
整式练习一
下列各式中正确的是( A. B. a 2 a3 a 6 2 3 C. 3a 9a 6 D. a3 a5 a8 )
整式练习二
计算：
(a
2
a 2 aa 2 2a 2 3)
整式练习三
计算： 1、
a b c
2
2 2 2 2 2、 (2a b 2) 2 2a 3b
a b
2
1 p q2 2
）
2、代数式 a2－ 的正确解释是（ A、a 与 b 的倒数的差的平方 B、a 与 b 的差的平方的倒数 C、a 的平方与 b 的差的倒数 D、a 的平方与 b 的倒数的差
第二部分 代数式的值
定义：用数值代替代数式中的字母，按照代数 式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值
2 3m 1 3 1 5 2 n 1 y 和 x y 已知 3 x 是同类项， 4
则5m+3n的值为
若单项式 A、-3 B、-1
是同类项，则的值是 C、 D、3
x
m2 n
8 5 m n 2 y 与 x y 是同类项，试求（m 2n） 3(m n) 5(m 2n) 2 m n的值 9
二、分式的运算
①分式的加减： ②分式的乘除： ③分式的乘方：
分式练习一
当x取何值时，分式 分式的值等于零？
有意义？
分式练习二
计算：
x 2 x 4 x 6 x 8 x 1 x 3 x 5 x 7
分式练习之举一反三
已知x=-2时，分式 无意义； 当x=4时，分式值为0，则a+b=
4
二、整式之加减
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代数史代数是慷慨的，它提供给人们的常常比人们要求的还要多。
达朗贝尔过去的三个世纪中，代数在两条轨道上延续：一条是走向更高层的抽象理论，另一条是走向具象的计算方法。
约翰.塔巴克前言1．重视难点。
数学的难点表现在什么地方？表现在如下三个方面：其一是概念，数学概念是从实际事物中抽象出来的，含义精确。
正确地学好概念是学好数学的关键。
另一个难点是符号。
可以说，数学是符号的科学。
其深远意义还在于，它为其他科学，如物理学、化学等科学提供了简明语言。
数学符号的作用在于它们给出了抽象概念的简单的具体化身，而且还给出了非常简单的实现各种运算的可能性。
第三难点是抽象。
数学的抽象远远超过其他科学，数学的抽象度是逐步提高的。
在教学中，我们应当突出重点，分散难点，或化解难点，以利学生的理解。
2．传授理解。
对代数学来说，理解什么？我们认为，有两件事情是重要的：一件是理解代数的基本思想，一件是掌握代数的基本方法。
我们知道，代数是研究“运算”的科学。
运算有两层含义：一是运算对象，一是运算或变换的规则。
但是，运算对象在不断扩充，运算的含义也在变化和加深。
§1. 中学代数的主要内容中学代数主要完成了那些成果呢？1．从数值运算过渡到符号运算。
算术的特点是数值运算，代数的特点是符号运算。
中学代数实现了从数值运算到符号运算的过渡，沿着抽象思维的道路走上了数学的更高级的阶段。
但是，在中学代数中，符号代表的仍然是数。
2．二元、三元一次线性方程组的解。
三元一次线性方程组的一般形式是333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa=++=++=++为了求解线性方程组，我们采用逐次消去一些未知量的方法以简化方程组，这就是实施了下面的变换：1）互换两个方程的位置；2）把某一方程两边同乘一常数；3）某一方程加上另一方程的常数倍。
这些变换称为初等变换。
这样，在代数里第一次出现了变换的概念。
一个简单而重要的事实是，线性方程组经过一系列初等变换,变成一个新的方程组，新的方程组与原方程组同解,即，在初等变换下，方程组的解保持不变，或者说，解是初等变换下的不变量。
由此，代数方程组给两个重要的概念：变换与不变量。
由线性方程组的理论自然地引出了2、3阶矩阵和2、3阶行列式的概念，这2些知识为将来学习线性代数做了准备。
3．求解一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是。
02=++cbxax设方程的根是，我们有如下的重要结果：21,xx求根公式。
aacbbx2422,1−±−=公式指出,借助系数的代数运算——四则运算与开方运算可以表示方程根。
一个自然的问题是,这种公式可以推广到任意高次方程吗?或者，任意高次方程的根通过系数的代数运算得到吗？答案是,这种公式限于5次以下的方程。
韦达定理——根与系数的关系：，。
abxx−=+21acxx=21公式指出,可以用方程的根来表达方程式的系数。
这种表示法可以推广吗？即，对任意高次方程，都有相应的公式吗？答案是，对任意次方程都有相应的公式成立。
n4．数学归纳法。
初等代数中引入了数学归纳法，这是整个代数学中最基本的方法之一，因为代数中的许多定理是通过归纳手段得到的。
见下例：例1。
自然数的求和公式：。
2)1(321+=++++nnn例2．自然数平方的求和公式：。
)12)(1(613212222++=++++nnnn要证明这些公式需要用数学归纳法。
这些公式都是对任意成立的，而有无穷多个，不可能一一验证。
用数学归纳法却可以通过 有限 来解决 无限 的问题。
nn5. 数系的结构。
一．加法的法则。
1．加法结合律：；cbacba++=++)()(2．加法交换律：；abba+=+3．存在数0，对一切实数，有；aaa=+04．对一切实数，存在实数，使。
ab0=+ab二．乘法的法则。
1．乘法结合律：；cabbca)()(=2．乘法交换律：baab=3．存在数1，对一切实数，有；aaa=⋅14．对一切非零实数，存在实数，使。
ab1=ab三．加法与乘法的分配律：对容易实数有cba,,。
acabcba+=+)(3用抽象的语言说，全体实数构成一个集合，这个集合内有加法和乘法两种运算，这两种运算遵循上述九条法则。
中学代数就是以它为基础展开的。
认识到这一点对学习代数中较深入的知识是至关重要的。
因为近世代数的主要内容是集合,以及集合上的代数运算,并且在同构下进行考察.小结。
初等代数为学生将来学习更高级的数学做了很好的准备。
它完成了三项任务：1．实现了从数值运算到符号运算的过渡；2．开启了变换的思想，暗示了不变量的存在；3．引入了数学归纳法，给出了通过“有限”来解决“无限”问题的一种方法。
4．给出了研究数系结构的实例，为进一步研究代数结构做了准备。
§2. 代数史——三个不同的时期什么是代数？它的基本问题是什么？要回答这些问题，需要进行历史的考察。
代数学是数学中的一个历史悠久的重要分支，它的研究对象、方法和中心问题都经历了重大的变化。
代数学的发展分为三个不同的时期。
在三个不同的时期内，人们将三个很不相同的东西理解为代数学。
1. 代数学的诞生。
第一个时期要追溯到公元9世纪。
阿拉伯数学家穆罕默德. 阿里. 花拉子米最重要的著作是《代数学》，英文”algebra”一词就来自此书。
而中文“代数”一词则是清朝著名数学家李善兰（1811——1882）首创的译名，并一直沿用到今天。
花拉子米的著作对代数思想和符号的建立有重要影响.15世纪结束时,开始使用现代符号”+”和”—“,接着又有幂和根式的符号,并且出现了括号. 16世纪末,字母表示法诞生。
法国数学家韦达首先用拉丁字母表示问题中的常数和变数.大多数当代使用的代数符号在17世纪中叶已经知道了,它标志着代数学”史前时期”的结束.从这个时期起，数学家把代数看成是字母计算，关于字母构成的公式的变换以及代数方程等的科学。
在这一时期，数学家们的研究并不局限于解方程，许多其他课题也引起他们的兴趣。
例如，各种代数式的运算和因式分解，二项式的展开公式，构造各种有用的恒等式，各种级数的求和，特别是前个自然数的方幂和等等，都进入代数学的研究范围。
n 2．代数方程式论。
18和19世纪,代数学处理的主要问题是一元次方程的求根问题.在19世纪中叶，谢尔的两卷代数问世了。
在这部书里，代数被定义为，代数方程式论。
这是关于代数的第二个观念。
n我们在中学里已经熟悉了一次方程与二次方程的解法。
三次方程和四次方程的解法要困难得多，直到十六世纪初，才由意大利数学家所解决。
意大利的贡献。
意大利的数学家、力学家、军事学家塔尔塔利亚（Niccolo Tartaglia 约1499——1557），原名丰塔钠，以发现三次方程的解法而著称。
他给出了解形如03=++qpxx的任何三次方程的解法。
米兰的数学和物理教授卡尔达诺（Gerolamo Cardano 1501——1576）在得知塔尔塔利亚的发明后，就要求塔尔塔利亚将秘诀告诉他，并立下誓言：永不泄露。
可是他没有遵守诺言，1545年出版《大术》（Ars magna）一书，将三次方程的解法公诸于世。
这激怒了塔尔塔利亚，导致一场争吵，结果不欢而散。
4三次方程的解的公式虽然应该叫做塔尔塔利亚公式，但直到现在为止，仍然叫做卡尔达诺公式。
三次方程解出之后，四次方程很快被费拉里（Lodovico Ferrart 1522——1565）解出。
三次方程和四次方程的解出具有重大意义：1。
文艺复兴时代的数学第一次超过了古代的成就。
这就鼓舞了后面的数学家用根式解五次以上的代数方程。
2．解三次方程引出了复数。
沉寂时期。
在随后的年代里，人们试图遵循三、四次方程求解方法的思路去寻求五次以上方程的解法，但都遭到失败，以致在17，18世纪期间代数学处于沉寂的状况。
这个时期的一个重要成果是吉拉尔（Albert Girard 1590——1633）于1629年提出的代数基本定理，但他没有给出证明。
证明是200年后高斯给出的。
一元高次方程是一个较难的课题。
在这个课题屡遭挫折的同时，数学家们在较容易的多元线性方程组的研究中取得了进展。
苏格兰数学家麦克劳林（Maclaurin Colin 1698——1746）和日本数学家关孝和（1642——1708）分别提出了行列式的概念。
瑞士数学家克莱姆（Cramer Gabriel 1704——1752）在1750年研究如何由一条代数曲线上已知点的坐标来确定该曲线方程的系数时，给出了元联立线性方程组的公式，即克莱姆法则。
这样，线性代数就诞生了。
n拉格郎日的工作。
到18世纪，数学家们又开始攻5次以上的代数方程。
法国数学家拉格郎日是第一位认识到五次以上的方程不可代数求解的数学家。
他在1770——1771年所发表的长文《关于代数方程解法的思考》中讨论了二次、三次和四次代数方程的一切解法，而后被迫得出结论，这些解法对五次以上的方程看来是不可能的。
他确实给出了洞察时成功而失败的道理。
这种洞察力为阿贝尔和伽罗瓦所利用。
4≤n4>n 阿贝尔的发现。
1824年，天才的挪威数学家阿贝尔（Abel Niels Henrik 1802——1829）证明了：如果方程011=+++−nnn axax的次数，并且系数看成是字母，那么任何一个由这些系数组成的根式不可能是方程的根。
5≥n n aaa,,,21原来一切伟大的数学家三个世纪以来用根号去解五次或更高次数的方程所以不能成功，其原因是这个问题根本没有解。
然而这并不是问题的全部，代数方程的理论的最美妙之处仍然留在前面。
问题在于有多少种特殊形式的方程能用根式求解，而这些方程又恰恰有多方面的应用。
例如，二项方程就可用根式求解。
于是，用根号解方程的问题在新的基础上提出来了：找出方程能用根号解出的充分与必要的条件。
ax p=伽罗瓦理论。
这个问题是由天才的法国数学家埃. 伽罗瓦（E.Galois 1811——1832）解决的。
他在21岁时与人决斗而死。
决斗前夜，他写了绝笔信，整理了他的数学手稿，概述了他得到的主要成果。
伽罗瓦的工作是在拉格郎日、阿贝尔等人的工作启发下完成的。
他的最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题：给出了方程能用根号解出的充分与必要的条件。
5而且由此发展了一整套关于群和域的理论。
为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。
这个理论的大意是，每个方程对应一个域，即含有方程全部根的域，称为这个方程的伽罗瓦域。
这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这个方程的伽罗瓦群。
伽罗瓦域的子域和伽罗瓦群的子群有一一对应关系。
当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群时，这方程是根式可解的。
伽罗瓦理论有两个重要推论：1．五次以上一般代数方程是根式不可解的。
2．古代三大几何学难题是不可解的。
代数学从伽罗瓦起不再是以解方程为主体，而是以全新的概念作为研究对象。