1.1探索勾股定理
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
1.1探索勾股定理说课课件
研究拓展
• 学生自主操作
• 在给定方格纸中，有一个顶点都在 格点的正方形ABCD，存在一个顶点也 都在格点的直角三角形ABE以其边长AB 为斜边。现分别以三角形的直角边AE、 BE为边长向三角形外作两个正方形，此 时三个正方形的面积有什么关系呢？按 这样的方式又可以作出四个新的小正方 形，这四个小正方形和正方形ABCD的 面积又有什么关系呢？
提出问题
实验探究
教
得出结论
学
例题讲授
过
程
练习反馈
设 计
研究拓展
课堂小结
布置作业
实验探究
• 旧知引出探究方向 • 运算推演进行探究
旧知引出探究方向
a
b
a
a b2 a2 2ab b2
b
运算推演进行探究
直角三角形AOB的两直角边分 别为3和4，三个顶点均在格点上， 分别以三边为边长向三角形外作三 个正方形，试求三个正方形的面积。 （每个方格的边长取“1”）
得出结论
勾股定理（gou-gutheorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边
的平方.
B
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜
c
边为c，那么 a2 b2 c2
a
C
b
A
或表示为 BC2 AC2 AB2
例题讲授
如图，三角形ABC中，AB⊥AC （1）若BC=25，AB=20，求AC的长度； （2）若BC=10，AB:AC=4：3，求三角形 ABC的面积。
学情分析
• 八年级学生具有一定的几何图形视察能力，抽象思维、逻辑 推理能力也有了一定的发展；
• 所授班级学生基础较好，大部分学生求知欲强，学生希望老 师创设可以引发他们思考的问题情境，让他们进行实际操作 ，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会。
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
12 = 144 13 = 169
2 2
2
15 = 225
17 = 289 24 = 576 25 = 625
2 2 2
2
14 = 196
2
如图，由Rt△的三条边分别围成了三个正方形A、B、C，
正方形A中含有 4 个小方格; 所以A的面积为 4 ; 即a2= ; 4 正方形B中含有 4 个小方格; 所以B的面积为 4 ; 即b2= ; 4 正方形C中含有 8 个小方格; 所以C的面积为 8 ; 即c2= 8 ;
1、如图，在Rt △ACB中，∠C=90。 ①若a=3，b=4, 则c =______. 5 12 ②若a=5，c=13, 则b =_____. 10 ③若a=6，b=8, 则c =______. A b C a
c B
④若b=12，c=15, 则a =_____. 9
延伸拓展，格式仿写
-------勾股定理的应用
方法三：
“割”
分割为四个直 角三角形和一 个小正方形
“补”
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积
“拼”
将几个小块拼成 一个正方形，如 图中两块红色 （或绿色）可拼 成一个小正方形
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 左图 右图 B的面积 C的面积
4 16
9 9
13 25
S A S B SC
1、一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆 底部12米处，旗杆折断之前有多高？ 解：由勾股定理得
2+122=225 =152 9
∴旗杆高度=9+15=24 m
延伸拓展，格式仿写
-------勾股定理的应用
1.1.1探索勾股定理(教案)
-掌握勾股定理的证明方法：讲解几何拼贴法和代数推导法两种证明方法，帮助学生理解定理的严谨性。
举例：在直角三角形ABC中，设a、b分别为直角边，c为斜边，则勾股定理可表示为：a² + b² = c²。
4.培养学生的数学文化素养，了解勾股定理的历史背景，感受数学在人类文明发展中的价值，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的概念：勾股定理是指直角三角形中，直角边（即“勾”和“股”）的平方和等于斜边（即“弦”）的平方。重点讲解直角三角形的边长关系，使学生明确勾股定理的核心内容。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
另外，小组讨论的环节也让我看到了学生们的合作精神和解决问题的能力。他们能够积极地参与到讨论中，提出自己的见解，也能倾听同伴的意见。不过，我也观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题，需要我适时地引导他们回到正题上。这可能提示我在设置讨论主题时，需要更加明确和具体，以便学生们能够更有针对性地展开讨论。
此外，我觉得在课程中增加实验操作环节是一个不错的尝试，它能够让学生们通过动手实践来加深对勾股定理的理解。但在操作过程中，我也发现有些学生对于实验的步骤和目的不够清晰，导致实验效果不尽如人意。因此，我需要在下一次的实验前，更详细地解释实验步骤和目的，确保每个学生都能够从实验中获得收获。
1.1探索勾股定理+课件+2023—2024学年北师大版数学八年级上册
4.求直角三角形的一边的关键?
A
B
C
A
B
B
（图中每个小方格代表一个单位面积）
二、勾股定理证明
活动三：直角三角形的两直角边分别为, ，斜边长为，上述猜想
成立吗?请证明
三、勾股定理
话动四:经过刚才的猜想与验证，请用文字语言叙术上述结论.
符号语言如何表示?
四、勾股定理应用
课堂小结
1.勾股定理是么?
2.勾股定理对于锐角三角形、钝角三角形成立吗?
北师大版八年级上册数学
1.1探索勾股定理
1
勾股定理
2
勾股定理证明
3
勾股定理应用
学习目标
1.掌握勾股定理的内容 (运算能力）
ห้องสมุดไป่ตู้
2.会通过测量、数格子、拼图等验证勾股定理 （几何直观)(推理
能力）
3.能从实际问题中抽象出直角三角形模型，能运用勾股定理解决
简单的实际问题(模型观念) (应用意识)
实例引入
门框尺寸:6 × 8木板尺寸: 9 × 12,长方形薄木板能否从门框内通
过?为什么?
判断木板能否通过门框的依据是什么?
请将实际问题转化为数学问题.
一、勾股定理猜想
二、勾股定理验证
活动二：观察如下网格图，直角三角形三边的平方分别是多少?
满足上述猜想吗?
如何计算斜边的平方？
分割法
补图法
C
C
A
2024-2025学年北师版初中数学八年级(上)教案第一章勾股定理1.1探索勾股定理(第2课时)
第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的证明及应用教学目标教学反思1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.教学重难点重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.教学过程导入新课教师提出问题：1.勾股定理的内容是什么？（指名学生回答）2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理.设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣.探究新知一、预习新知让学生自主预习课本第5页.提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确.设计意图：通过让学生自己动手作图、验证不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解.二、合作探究验证勾股定理为了计算上图中大正方形的面积，小明对这个大正方形进行了适当割补后得到了下面两个图.问题1：你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？ 学生先独立思考，再小组交流得到答案(a +b )2和2ab +c 2. 问题2：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 学生：(a +b )2 = 2ab +c 2，化简后得到a 2+b 2 = c 2. 从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法.教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？问题3：图2中小正方形的边长是多少？问题4：你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？ 问题5：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理.图2中小正方形边长是b －a ，(b －a)2和c 2－2ab 都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到(b －a)2= c 2－2ab ，化简后得到a 2+b 2 = c 2.从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图. 设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容.前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2 2如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a ，b ，c 不满足a 2+b 2 = c 2，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识.巩固练习证明：∵ S 梯形ABCD = S △ABE +S △BCE +S △EDA ，教学反思又∵ S 梯形ABCD =12(a +b )2，S △BCE = S △EDA = 12ab ，S △ABE = 12c 2，∴ 12(a +b )2 = 2×12ab +12c 2，∴ a 2+b 2= c 2，即勾股定理得证． 典型例题 【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．222.a +b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a +b ， ∴ 它们的面积相等．左边大正方形面积可表示为a 2+b 2+12ab ×4， 右边大正方形面积可表示为c 2+12ab ×4. ∵ a 2+b 2+12ab ×4 = c 2+12ab ×4，∴ a 2+b 2 = c 2.【总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．典型例题【例2】如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M ，O ，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km ，该沿江高速公路的造价预计是多少？【问题探索】总造价计算公式是解决此题目的关键，总造价 = 每千米造价×千米数.【解】在Rt △OMN 中，根据勾股定理得 MN 2+ON 2 = OM 2， ∴ 302+402 = OM 2， ∴ OM = 50 km. 同理O Q = 130 km ，∴ 造价为（50+130）×5 000 = 900 000（万元）. 答：造价预计是900 000万元. 【总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价．教学反思课堂练习1.若等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为()A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm22.放学以后，小丽和小红从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家.若小丽和小红行走的速度都是40 m/min，小丽走了15 min回到家，小红走了20 min回到家，则小丽家和小红家间的距离为()A．600 m B．800 mC．1 000 m D．不确定3.直角三角形两直角边长分别为8 cm，15cm，则斜边上的高为______.4.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______.5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．参考答案1.D2.C3.12017cm 4.2.5 m5.解：如图作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP+BP = AP+PB′ = AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km)．由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62，∴AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.课堂小结(学生总结，老师点评)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.验证方法：两种证法.布置作业1.（必做题）习题1.2第1，3题2.（选做题）第4题板书设计1 探索勾股定理教学反思第2课时勾股定理的证明及应用1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.两种证明方法.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
探索勾股定理（一）
一、活动探究 观察下面两幅图：
（1）填表：
（2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．
（3）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积
（4）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？
用符号表示为：
变形公式：（1）___________________________ ( 2 ) 二、勾股定理的简单应用
1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，
树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？
2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度
3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方
4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+
基础训练:
1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．
2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ．
?225
100x
17a b
c
a
b
c C
B
3．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（π不取 近似值）
4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．
5．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的
速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．
提高训练
6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．
7．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和 是
cm 2．
8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 2 9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为 S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．
（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定
10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的 路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往 西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则 登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km ．
3
2
1
S S S 3
2
1
6埋宝藏点
7cm
D
A
C
B 25
7
知识拓展
11．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
8
6C
B
A
D E。