2015年全国高考文科数学试题及答案-陕西卷
2015年陕西省高考数学试卷(文科)教师版
2015 年陕西省高考数学试卷（文科）一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求（每题 5 分，共 60分）1．（5 分）（2015?陕西）设会合M={ x| x2=x} ， N={ x| lgx≤ 0} ，则M∪N=（）A．[ 0，1]B．（0，1]C．[ 0，1）D．（﹣∞， 1]【剖析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，而后利用并集运算得答案．【解答】解：由 M={ x| x2=x} ={ 0， 1} ，N={ x| lgx≤0} =（ 0， 1] ，得 M∪N={ 0，1} ∪（0，1] =[ 0，1] ．应选： A．2．（ 5 分）（2015?陕西）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比比以下图，则该校女教师的人数为（）A．93B．123C．137D．167【剖析】利用百分比，可得该校女教师的人数．【解答】解：初中部女教师的人数为110× 70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，应选： C．3．（5 分）（2015?陕西）已知抛物线y2 =2px（ p＞ 0）的准线经过点（﹣ 1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣ 1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【剖析】利用抛物线 y2（＞）的准线经过点（﹣1，1），求得，即可=2px p0=1求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线 y2=2px（ p＞ 0）的准线经过点（﹣ 1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1， 0）．应选： B．，4．（5 分）（2015?陕西）设 f（ x） =，则f（f（﹣2））=（），＜A．﹣ 1B．C．D．【剖析】利用分段函数的性质求解．，【解答】解：∵，，＜∴f（﹣ 2） =2﹣2= ，f（f（﹣ 2）） =f（）=1﹣= ．应选： C．5．（5 分）（2015?陕西）一个几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【剖析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，故该几何体的表面积S=2× π+（2+π）× 2=3π+4，应选： D．6．（5 分）（2015?陕西）“ sin α =cos是α”“cos2 α =0的（”）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件22【剖析】由 cos2α=cosα﹣sinα，即可判断出．22【解答】解：由 cos2α=cosα﹣sin α，∴“sin α=cos是α”“cos2α=0的”充足不用要条件．应选： A．7．（5 分）（2015?陕西）依据如图框图，当输入x 为 6 时，输出的 y=（）A．1B．2C．5D．10【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获取的x 的值，当x=﹣ 3 时不满足条件 x≥0，计算并输出 y 的值为 10．【解答】解：模拟履行程序框图，可得x=6x=3知足条件 x≥ 0， x=0知足条件 x≥ 0， x=﹣3不知足条件 x≥0，y=10输出 y 的值为 10．应选： D．8．（5 分）（2015?陕西）对随意愿量、，以下关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=|| 2D．（）?（） =2﹣2【剖析】由向量数目积的运算和性质逐一选项考证可得．【解答】解：选项 A 恒成立，∵|| =||||| cos＜，＞|，又 | cos＜，＞ | ≤1，∴ || ≤ ||||恒成立；选项B 不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|| ≥||| ﹣||| ；选项C 恒成立，由向量数目积的运算可得（）2=||2；选项D 恒成立，由向量数目积的运算可得（） ?（）=2﹣2．应选： B．9．（5 分）（2015?陕西）设 f（ x） =x﹣sinx，则 f （x）（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【剖析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单一性，从而得出结论．【解答】解：因为 f （x）=x﹣sinx 的定义域为 R，且知足 f（﹣ x）=﹣x+sinx=﹣f （x），可得 f （x）为奇函数．再依据 f ′（ x）=1﹣cosx≥ 0，可得 f（x）为增函数，应选： B．10．（ 5 分）（2015?陕西）设f（ x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（）， q=f（），r=（f （a） +f （b）），则以下关系式中正确的选项是）（A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞ q【剖析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（ lna+lnb），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）= lnab= （ lna+lnb ），q=f（）=ln（）≥ ln（）=p，r= （f（a）+f（b））= （lna+lnb），∴ p=r＜ q，应选： B．11．（ 5 分）（ 2015?陕西）某公司生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产 1 吨每种产品所需原料及每日原料的可用限额如表所示．假如生产一吨甲、乙产品可获取收益分别为 3 万元、 4 万元，则该公司每日可获取最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12 万元B．16 万元C．17 万元D．18 万元【剖析】设每日生产甲乙两种产品分别为x，y 吨，收益为 z 元，而后依据题目条件成立拘束条件，获取目标函数，画出拘束条件所表示的地区，而后利用平移法求出 z 的最大值．【解答】解：设每日生产甲乙两种产品分别为x， y 吨，收益为 z 元，则，，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面地区（暗影部分）即可行域．由 z=3x+4y 得 y=﹣ x+ ，平移直线 y=﹣ x+ 由图象可知当直线y=﹣ x+ 经过点 B 时，直线 y=﹣ x+ 的截距最大，此时 z 最大，解方程组，解得，即 B 的坐标为 x=2， y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每日生产甲乙两种产品分别为2，3 吨，可以产生最大的收益，最大的收益是18万元，应选： D．12．（ 5 分）（2015?陕西）设复数 z=（x﹣ 1） +yi（ x，y∈R），若 | z| ≤ 1，则 y≥x 的概率为（）A．+． +．﹣．﹣B C D【剖析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．【解答】解：复数 z=（x﹣1）+yi（ x，y∈R），若| z| ≤1，它的几何意义是以（ 1，0）为圆心， 1 为半径的圆以及内部部分． y≥ x 的图形是图形中暗影部分，如图：复数 z=（x﹣1）+yi（ x，y∈R），若| z| ≤1，则 y≥x 的概率：=．应选： C．二 .填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分）13．（5 分）（2015?陕西）中位数为 1010 的一组数组成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为5．【剖析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得 a=5故答案为： 514．（ 5 分）（ 2015?陕西）如图，某港口一天 6 时到 18 时的沟渠变化曲线近似满足函数 y=3sin（φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最x+大值为8．【剖析】由图象察看可得： y min=﹣ 3+k=2，从而可求 k 的值，从而可求y max=3+k=3+5=8．【解答】解：∵由题意可得： y min=﹣3+k=2，∴可解得： k=5，∴y max=3+k=3+5=8，故答案为： 8．15．（ 5 分）（2015?陕西）函数 y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【剖析】求出极值点，再联合导数的几何意义即可求出切线的方程．x x【解答】解：依题解：依题意得y′=e+xe ，令y′=0，可得x=﹣1，∴ y=﹣．所以函数 y=xe x在其极点的切方程y=．故答案： y=．16．（ 5 分）（2015?西）察以下等式：1=1+= +1++= + +⋯据此律，第n 个等式可+⋯+=+⋯+．【剖析】由已知可得：第 n 个等式含有 2n ，此中奇数．其等式右后n 的之和．即可得出．【解答】解：由已知可得：第n 个等式含有 2n ，此中奇数．其等式右后n 的之和．∴第 n 个等式：+⋯+=+⋯+，偶数，偶数．三 .解答：解答写出文字明、明程或演算步（共 5 小，共 70 分）17．（ 12 分）（ 2015?西）△ ABC的内角 A，B，C 所的分a， b，c．向量 =（a， b）与 =（cosA， sinB）平行．（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）若 a=，b=2，求△ ABC的面．【剖析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通正弦定理求解A；（Ⅱ）利用 A，以及 a=，b=2，通余弦定理求出c，而后求解△ ABC的面．【解答】解：（Ⅰ）因向量=（ a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以 asinB=0，由正弦定理可知： sinAsinB sinBcosA=0，因 sinB ≠0，所以 tanA=，可得A=；（Ⅱ） a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得 c=3，△ ABC的面积为：=．18．（ 12分）（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD 中， AD∥ BC，∠ BAD=，AB=BC=AD=a，E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE的交点．将△ ABE沿 BE折起到如图 2 中△ A1BE的地点，获取四棱锥 A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明： CD⊥平面 A；1OC（Ⅱ）当平面 A1BE⊥平面 BCDE时，四棱锥 A1﹣BCDE的体积为36，求 a 的值．【剖析】（I）运用 E 是 AD 的中点，判断得出 BE⊥ AC，BE⊥面 A，考虑∥1OC CD DE，即可判断 CD⊥面 A1OC．（ II）运用好折叠以前，以后的图形得出A1O 是四棱锥 A1﹣BCDE的高，平行四2的值．边形 BCDE的面积 S=BC?AB=a，运用体积公式求解即可得出 a【解答】解：（ I）在图 1 中，因为 AB=BC=，E 是AD的中点，=a∠BAD= ，所以 BE⊥AC，即在图 2 中， BE⊥A1O，BE⊥OC，从而 BE⊥面 A1OC，由 CD∥ BE，所以 CD⊥面 A1OC，（ II）即 A1O 是四棱锥 A1﹣ BCDE的高，依据图 1 得出 A1O= AB=a，2∴平行四边形 BCDE的面积 S=BC?AB=a，V==a=a3，由 V= a3=36 ，得出 a=6．19．（ 12 分）（2015?陕西）随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气状况进行统计，结果以下：（Ⅰ）在 4 月份任取一天，预计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从 4 月份的一个晴日开始举行连续2 天的运动会，预计运动会时期不下雨的概率．日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨【剖析】（Ⅰ）在 4 月份任取一天，不下雨的天数是26，即可预计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）求得 4 月份中，前一天为晴日的互邻日期对有16 个，此中后一天不下雨的有 14 个，可得晴日的第二天不下雨的概率，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）在 4 月份任取一天，不下雨的天数是26，以频次预计概率，预计西安市在该天不下雨的概率为；（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴日的互邻日期对有16 个，此中后一天不下雨的有14 个，所以晴日的第二天不下雨的概率为，从而预计运动会时期不下雨的概率为．20．（ 12 分）（ 2015?陕西）如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点 A（ 0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）经过点（ 1，1），且斜率为 k 的直线与椭圆E交于不一样的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2．【剖析】（Ⅰ）运用离心率公式和a， b， c 的关系，解方程可得 a，从而获取椭圆方程；（Ⅱ）由题意设直线 PQ 的方程为 y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可获取结论．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，联合 a2=b2+c2，解得 a=，所以+y2=1；（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ 的方程为 y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，可得（ 1+2k2） x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，设 P（x1，y1），Q（x2， y2）， x1 x2≠0，则 x1+x2=， x1 2，x =且△ =16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞ 0，解得 k＞0 或 k＜﹣ 2．则有直线 AP， AQ 的斜率之和为 k AP+k AQ+==+（﹣）（ +）=2k+（2﹣ k） ?=2k+ 2 k=2k+（2﹣k）?=2k﹣2（k﹣ 1）=2．即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2．21．（ 12 分）（ 2015?西） f n（ x）=x+x2+⋯+x n1，x≥ 0， n∈ N，n≥2．（Ⅰ）求 f n′（2）；（Ⅱ）明： f n（x）在（ 0，）内有且有一个零点（a n），且 0＜a n＜（）n．【剖析】（Ⅰ）将已知函数求，取x=2，获取 f n′（ 2）；（Ⅱ）只需明f n（x）在（ 0，）内有增，获取有一个零点，而后f n （a n）形获取所求．【解答】解：（Ⅰ）由已知， f ′n（x）=1+2x+3x2+⋯+nx n﹣1，所以，①2f ′n（2）=2+2×22+3× 23+⋯+n2n，②，23n﹣1n?2n（）n1，① ②得 f ′（2）=1+2+2+2 +⋯+2= 1 n=2n所以．（Ⅱ）因 f（0）= 1＜0，f n（）=1=1 2×≥12×＞0，所以 f n（x）在（ 0，）内起码存在一个零点，又 f ′n（x）=1+2x+3x2+⋯+nx n﹣1＞0，所以 f n（x）在（ 0，）内增，所以 f n（x）在（ 0，）内有且有一个零点a n，因为 f n（ x）=，所以 0=f n（ a n）=，所以＞，故＜＜，所以 0＜＜．三.在 22、23、24 三中任一作答，假如多做，按所做的第一分[修 4-1：几何明]22．（ 10 分）（ 2015?西）如， AB 切⊙ O 于点 B，直 AO 交⊙ O 于 D，E 两点， BC⊥DE，垂足 C．（Ⅰ）证明：∠ CBD=∠ DBA；（Ⅱ）若 AD=3DC， BC=，求⊙ O的直径．【剖析】（Ⅰ）依据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）联合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵ DE是⊙ O 的直径，则∠ BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠ CBD+∠EDB=90°，即∠ CBD=∠ BED，∵AB切⊙ O 于点 B，∴∠ DBA=∠BED，即∠ CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 均分∠ CBA，则=3，∵BC= ，∴ AB=3，AC=，则 AD=3，由切割线定理得AB2=AD?AE，即 AE=，故 DE=AE﹣ AD=3，即可⊙ O 的直径为 3．[ 选修4-4：坐标系与参数方程 ]23．（ 2015?陕西）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．2，把【剖析】（ I ）由⊙ C 的极坐标方程为 ρ=2 sin θ．化为 ρ=2代入即可得出；．（II ）设 P，，又C ，．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】 解：（I ）由⊙ C 的极坐标方程为 ρ=2 sin θ．2 22 ，∴ρ，化为 x +y==2配方为 =3．（ II ）设 P ，，又 C ，．∴| PC| ==≥2 ，所以当 t=0 时， | PC| 获得最小值 2．此时 P （3，0）．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．（ 2015?陕西）已知对于 x 的不等式 | x+a| ＜b 的解集为 { x| 2＜x ＜4}（Ⅰ）务实数 a ，b 的值；（Ⅱ）求+ 的最大值．【剖析】（Ⅰ）由不等式的解集可得 ab 的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式 =+ = + ，由柯西不等式可得最大值．【解答】 解：（Ⅰ）对于 x 的不等式 | x+a| ＜b 可化为﹣ b ﹣a ＜x ＜b ﹣a ， 又∵原不等式的解集为 { x| 2＜x ＜4} ，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+ =+=+ ≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等，∴所求最大值为4。
2015年全国高考文科数学试题及其规范标准答案
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r=（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4） （3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2015年高考文科数学全国卷及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(新 本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷2015·新课标Ⅰ卷 第1页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝｛x |x ＝3n ＋2，n ∈N },B ＝｛6，8，10，12,14｝，则集合A ∩B 中元素的个数为( ）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点A （0,1)，B (3，2)，向量AC →＝（－4，－3)，则向量错误!＝（ )A ．（－7，－4)B ．（7，4）C ．（－1,4）D ．（1，4)3．已知复数z 满足（z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A 。
错误! B.错误! C.错误! D 。
错误!5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为错误!，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合,A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则｜AB |＝( ）A ．3B ．6C ．9D ．12 6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。
62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝（ ) A.172B.错误! C ．10 D ．12 8.函数f (x ）＝cos （ωx ＋φ）的部分图象如图所示，则f （x )的单调递减区间为（ ）A 。
2015年全国高考文科数学试题及答案
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，= （A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1，则a= （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2015年全国高考文科数学试题及答案
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.注意事项:1。
答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0。
5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A={x｜x=3n+2,n ∈N｝,B=｛6，8，12，14｝，则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1)，B（3，2），向量AC=（—4,—3），则向量BC=（A）（—7，—4) （B)(7,4）（C）（—1，4) (D）（1,4）（3)已知复数z满足（z—1)i=i+1，则z=(A）—2—I (B)-2+I （C)2-I (D）2+i(4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为(A)103(B）15（C）110（D)120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点,则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12(6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?"其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛 C。
2015年全国高考文科数学试题及答案
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1(B) 2(C) 4(D) 8（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(课标全国Ⅰ)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ文科数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,文1)已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N },B={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A .5 B .4 C .3 D .2 答案:D解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A ∩B={8,14}.故选D .2.(2015课标全国Ⅰ,文2)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC =(-4,-3),则向量BC=( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4) 答案:A解析:∵AB=OB −OA =(3,2)-(0,1)=(3,1),AC =(-4,-3), ∴BC=AC −AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 3.(2015课标全国Ⅰ,文3)已知复数z 满足(z-1)i =1+i,则z=( ) A .-2-i B .-2+i C .2-i D .2+i 答案:C解析:∵(z-1)i =1+i,∴z=1+i i +1=(1+i )(-i )-i2+1=1-i +1=2-i . 4.(2015课标全国Ⅰ,文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A .3 B .1C .1 D .1 答案:C解析:从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为1.5.(2015课标全国Ⅰ,文5)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( ) A .3 B .6 C .9 D .12答案:B解析:∵抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),∴E 的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E 的方程为x 22+y 2b2=1(a>b>0),∴c=2.∵c =1,∴a=4.∴b 2=a 2-c 2=12,于是椭圆方程为x 216+y 212=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A (-2,3),B (-2,-3),∴|AB|=6. 6.(2015课标全国Ⅰ,文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.∵米堆底部的弧长为8尺,∴1 4·2πR=8,∴R=16π.∵h=5,∴米堆的体积V=1×1πR2h=1×π×162×5.∵π≈3,∴V≈320(立方尺).∴堆放的米约有320≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,文7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.17B.19C.10D.12答案:B解析:∵公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)=4×4(a1+a4),即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=1.∴a10=a1+9d=1+9=19.8.(2015课标全国Ⅰ,文8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A. kπ-1,kπ+3,k∈ZB.2kπ-14,2kπ+34,k∈ZC. k-14,k+34,k∈ZD.2k-1,2k+3,k∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2×54-14=2,所以2π=2,解得ω=π.所以f(x)=cos(πx+φ).由图像可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f3=cos3π+φ =-1, 解得3π+φ=2kπ+π(k∈Z), 解得φ=2kπ+π4(k∈Z).令k=0,得φ=π4,所以f(x)=cos πx+π4.令2kπ≤πx+π≤2kπ+π(k∈Z),解得2k-14≤x≤2k+34(k∈Z).所以函数f(x)=cos πx+π4的单调递减区间为2k-14,2k+34(k∈Z).结合选项知选D.9.(2015课标全国Ⅰ,文9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A .5B .6C .7D .8答案:C解析:由于S=1,n=0,m=12,t=0.01,则S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01;S=1,m=1,n=2,S>0.01;S=1,m=1,n=3,S>0.01; S=116,m=132,n=4,S>0.01; S=132,m=164,n=5,S>0.01; S=1,m=1,n=6,S>0.01; S=1128,m=1256,n=7,S<0.01,结束循环,此时输出的n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,文10)已知函数f (x )= 2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( ) A .-74B .-54C .-34D .-14答案:A解析:∵f (a )=-3,∴当a ≤1时,f (a )=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立. 当a>1时,f (a )=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=14-2=-74. 11.(2015课标全国Ⅰ,文11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,文12)设函数y=f (x )的图像与y=2x+a 的图像关于直线y=-x 对称,且f (-2)+f (-4)=1,则a=( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 答案:C解析:设(x ,y )是函数y=f (x )图像上的任意一点,它关于直线y=-x 的对称点为(-y ,-x ),由已知得点(-y ,-x )在曲线y=2x+a 上,∴-x=2-y+a ,解得y=-log 2(-x )+a ,即f (x )=-log 2(-x )+a.∴f (-2)+f (-4)=-log 22+a+(-log 24)+a=1, 解得a=2.第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,文13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 答案:6解析:∵a n+1=2a n ,即an +1n=2,∴{a n }是以2为公比的等比数列. 又a 1=2,∴S n =2(1-2n )1-2=126.∴2n =64,∴n=6.14.(2015课标全国Ⅰ,文14)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图像在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a= . 答案:1解析:∵f'(x )=3ax 2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f (1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a +2-71-2=5-a , ∴5-a=3a+1,解得a=1.15.(2015课标全国Ⅰ,文15)若x ,y 满足约束条件 x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为 .答案:4解析:画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由 x -2y +1=0,x +y -2=0解得 x =1,y =1,即点A 的坐标为(1,1).由z=3x+y ,得y=-3x+z.作出直线l 0:y=-3x ,并平移,当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大. 所以z max =3×1+1=4.16.(2015课标全国Ⅰ,文16)已知F 是双曲线C :x 2-y 2=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,6 ).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案:12 6解析:设双曲线的左焦点为F 1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF 1|,∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF 1|)+|AF|=|PA|+|PF 1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使△APF 的周长最小,则应使|PA|+|PF 1|最小,即P ,A ,F 1三点共线. ∵A (0,6 ),F 1(-3,0),∴直线AF 1的方程为x -36 6=1,即x=2 6-3. 将其代入x 2-y 2=1得y 2+6 6y-96=0,解得y=2 6或y=-8 6(舍去), 因此点P 的纵坐标为2 6. ∴S △APF =S △AF 1F −S △PF 1F =12·|F 1F|·y A -12·|F 1F|·y P=1×6×6 6−1×6×2 6=12 6. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B=2sin A sin C. (1)若a=b ,求cos B ; (2)设B=90°,且a= ,求△ABC 的面积. 解:(1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac.又a=b ,可得b=2c ,a=2c.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac=14.6分(2)由(1)知b 2=2ac. 因为B=90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac ,得c=a= 2. 所以△ABC 的面积为1.12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文18)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD. (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC=120°,AE ⊥EC ,三棱锥E-ACD 的体积为 63,求该三棱锥的侧面积. 解:(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BE.故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面BED. 5分(2)设AB=x ,在菱形ABCD 中,由∠ABC=120°,可得AG=GC= 32x ,GB=GD=x2.因为AE ⊥EC ,所以在Rt △AEC 中,可得EG= 32x.由BE ⊥平面ABCD ,知△EBG 为直角三角形,可得BE= 2x. 由已知得,三棱锥E-ACD 的体积 V E-ACD =13×12AC ·GD ·BE= 624x 3= 63.故x=2.9分从而可得AE=EC=ED=所以△EAC 的面积为3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+2 5.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.8888表中w i = i ,w =1∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i -u )(v i -v )∑i =1n(u i -u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i -w )(y i -y )∑i =18(w i -w )2=108.8=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. 12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x-2)2+(y-3)2=1交于M ,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM ·ON=12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 解:(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点,所以 1+k <1.解得4- 7<k<4+ 7.所以k 的取值范围为4- 73,4+ 73. 5分(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k2,x 1x 2=71+k2.7分OM ·ON =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8.由题设可得4k (1+k )1+k2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文21)设函数f (x )=e 2x -a ln x. (1)讨论f (x )的导函数f'(x )零点的个数; (2)证明:当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2e 2x -a (x>0).当a ≤0时,f'(x )>0,f'(x )没有零点,当a>0时,因为e 2x 单调递增,-ax单调递增, 所以f'(x )在(0,+∞)单调递增.又f'(a )>0,当b 满足0<b<a 4且b<14时,f'(b )<0,故当a>0时,f'(x )存在唯一零点.6分(2)由(1),可设f'(x )在(0,+∞)的唯一零点为x 0,当x ∈(0,x 0)时,f'(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,f'(x )>0. 故f (x )在(0,x 0)单调递减,在(x 0,+∞)单调递增,所以当x=x 0时,f (x )取得最小值,最小值为f (x 0).由于2e 2x 0−ax 0=0, 所以f (x 0)=a 0+2ax 0+a ln2≥2a+a ln 2.故当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2.12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点E. (1)若D 为AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (2)若OA= 3CE ,求∠ACB 的大小.解:(1)连结AE ,由已知得,AE ⊥BC ,AC ⊥AB.在Rt △AEC 中,由已知得,DE=DC ,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE 是☉O 的切线. 5分(2)设CE=1,AE=x ,由已知得AB=2 3,BE= 12-x 2. 由射影定理可得,AE 2=CE ·BE , 所以x 2= 12-x 2,即x 4+x 2-12=0.可得x= 3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积. 解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.5分(2)将θ=π代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 ρ+4=0,解得ρ1=2 2,ρ2= 2. 故ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解:(1)当a=1时,f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1; 当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为 x 23<x <2 . 5分(2)由题设可得,f (x )= x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 2a -13,0 ,B (2a+1,0),C (a ,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得2(a+1)2>6,故a>2. 所以a 的取值范围为(2,+∞). 10分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案.
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC=（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4） （3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知错误！未找到引用源。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案.
绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，= （A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1，则a= （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
2015年高考(全国Ⅰ卷)文科数学试题及解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学试题解析1. 解析 当3214n +…，得4n ….由32x n =+，当0n =时，2x =；当1n =时，5x =；当2n =时，8x =；当3n =时，11x =；当4n =时，14x =. 所以{}8,14AB =，则集合A B 中含元素个数为2.故选D .2. 解析 BA =()03,12--=()3,1--，()()34,137,4BC BA AC =+=----=--.故选A.3. 解析 由题意可得i 1i i 12i z =++=+，12i2i iz +==-.故选C. 4. 解析 由211=，222224,39,416,525====， 可知只有()3,4,5是一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，其基本事件有：()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5，()()()1,3,4,1,3,5,1,4,5， ()()()()2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，共10种.则从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率110P =.故选C. 5. 解析 28y x =的焦点为()2,0，准线方程为2x =-. 由E 的右焦点与28y x =的焦点重合，可得2c =.又12c a =，得4a =，212b =，所以椭圆E 的方程为2211612x y +=. 当2x =-时，()22211612y -+=，得3y =±，即6AB =.故选B. 6. 解析 由l r α=，得816332lr α===. 21116320354339V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 故堆放的米约有3201.62229÷≈（斛）.故选B.7. 解析 解法一：由844S S =，1d =，知()()118814418144122a a --⎡⎤+⨯=+⨯⎢⎥⎣⎦， 解得112a =.所以()10119101122a =+-⨯=.故选B. 解法二：由844S S =，即()()1814442a a a a +=⨯+，可得8142a a a =+. 又公差1d =，所以817a a =+，则427a =，解得472a =. 所以1041962a a =+=.故选B. 8. 解析 由图可知511244T =-=，得2T =，2ππTω==. 画出图中函数()f x 的一条对称轴0x x =，如图所示. 由图可知034x =，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 可得3π2ππ4k ϕ+=+，则()π2π4k k ϕ=+∈Z ，得()πcos π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由π2ππ2ππ4k x k ++剟，得()f x 的单调递减区间为132244k xk -+剟. 故选D.9. 解析 由程序框图可知， 第一次循环为：1110.0122S =-=>， 11224m ==，011n =+=；第二次循环为：1110.01244S =-=>，18m =，2n =； 第三次循环为：1110.01488S =-=>，116m =，3n =； 第四次循环为：1110.0181616S=-=>，132m =，4n =；第五次循环为：1110.01163232S =-=>，164m =，5n =； 第六次循环为：1110.01326464S =-=>，1128m =，6n =； 第七次循环为：1110.0164128128S =-=…，1256m =，7n =. 此时循环结束，输出7n =.故选C.10. 解析 当1a …时，()1223a f a -=-=-，即121a -=-，无解；当1a >时，()()2log 13f a a =-+=-，即()322log 13log 2a +==， 得18a +=，所以7a =，符合1a >. 综上可知，7a =.则()()()1176671224f a f f ---=-=-=-=-.故选A. 11. 解析 由几何体的视图，还原其立体图形，并调整其摆放姿势，让半圆柱体在下方，半球在上方，如图所示.224π22π2π2r S r r r r r =+++=2245π1620πr r +=+，得2r =.故选B.12. 解析 设(),x y 为()f x 图像上一点，则(),x y 关于y x =-的对称点为(),y x --， 代入2x a y +=，得2y ax -+-=，①对①两边取以2为底的对数，得()2log x y a -=-+，即()2log y x a =---⎡⎤⎣⎦. 又()()241f f -+-=，即()()22log 2log 41a a ----=， 得()121a a ---=，得2a =.故选C. 13. 解析 由12n n a a +=，得12n na a +=，即数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. ()()11212126112n n n a q S q--===--，得6n =.14. 解析 由题意可得()12f a =+，()131f a '=+，2r所以切线方程为()()()2311y a a x -+=+-.又过点()2,7，即()()723121a a --=+-，解得1a =. 15. 解析 画出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示.联立()1122y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，得()1,1B . 由图可知当直线3y x =-经过点()1,1B 时，z 取得最大值.max 134z =+=.16. 解析 设双曲线的左焦点为1F ，连接AF ，与双曲线左支交于点P ，连接PF .则此P 点即为使得APF △周长最小时的点P ，如图所示.证明如下：由双曲线的定义知，122PF PF a -==.所以12PF PF =+. 又APF C AF AP PF =++△， 所以12APF C AF AP PF =+++△，所以当点A ，P ，1F 在同一条直线上时，周长取得最小值. 由题意可得1AF所在直线方程为)3y x =+， 同理可得AF的直线方程为)3y x =--.联立)22318y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(2,P -. 则(),d P AF ==又15AF ==，所以1152PAF S =⨯=△17. 解析 （1）由正弦定理得，22b ac =.又a b =，所以22a ac =，即2a c =.则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅. （2）解法一：因为90B ∠=，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-，即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =.又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<， 则290A ∠=，得45A ∠=.所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==，所以112ABC S ==△. 解法二：由（1）可知22b ac =，①因为90B ∠=，所以222a cb +=，②将②代入①得()20a c -=，则a c ==，所以112ABC S ==△. 18. 解析 （1）因为BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥. 又ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.又因为BD BE B =，BD ，BE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED . （2）在菱形ABCD 中，取2AB BC CD AD x ====， 又120ABC ∠=，所以AG GC ==，BG GD x ==. 在AEC △中，90AEC ∠=，所以12EG AC ==， 所以在Rt EBG △中，BE =，所以31122sin120232E ACD V x x x x -=⨯⨯⋅⋅⋅==，解得1x =. 在Rt EBA △，Rt EBC △，Rt EBD △中，可得AE EC ED===所以三棱锥的侧面积1122322S =⨯⨯=+侧19. 解析 （1）由散点图变化情况选择y c =+.。
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2015年全国高考文科数学试题及答案-陕西卷2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）. 1. 设集合2{|}M x xx ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．167（高中部）（初中部）男男女女60%70%3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)4. 设1,0()2,0xx x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ）A ．1-B ．14C ．12D ．325. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要7. 根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =（ ）A ．1B ．2C ．5D ．108. 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是12. 设复数(1)z x yi=-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ）A ．3142π+B ． 112π+C ．1142π-D ． 112π- 二.填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.15、函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________. 16、观察下列等式：1－1122=1－1111123434+-=+ 1－1111111123456456+-+-=++ …………据此规律，第n个等式可为______________________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a =与(cos ,sin )n A B =平行. （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若2a b ==求ABC ∆的面积.18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值.19.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期1 2 3 4 5 6 7 8 911112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期1617181922122232425262728293天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ的斜率之和为2.21. 设2()1,, 2.n nf x x xx n N n =+++-∈≥（Ⅰ）求(2)nf '；（Ⅱ）证明：()nf x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为na ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑.22. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O于点B ，直线AO 交O于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C .（Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠ （Ⅱ）若3,2AD DC BC ==，求O的直径.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(3x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为3ρθ=.（Ⅰ）写出C的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 24. 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << （Ⅰ）求实数,a b 的值； （Ⅱ）求12at bt+.参考答案一、选择题：1.A2.C3.B4.C5.D6.A7.D8.B9.B 10.C 11.D 12.C 二、填空题：13.5 14.8 15.1y e=- 16.111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++ 三、解答题： 17．解：（Ⅰ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =由于0A π<< 所以3A π=（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A=+-，而2a b ==，3A π=， 得2742cc=+-，即2230cc --=因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，得2sin sin3Bπ=从而sin 7B =又由a b >，知A B >，所以cos B = 故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 22ab C =. 18.解：（Ⅰ）在图1中，因为1,2AB BC AD a E ===是AD 的中点， 2BAD π∠=，所以BE AC ⊥即在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥， 从而BE ⊥平面1A OC ，又//CD BE ， 所以CD ⊥平面1A OC（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE = ，又由（Ⅰ），1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，由图1知，122A O AB ==，平行四边形BCDE 的面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为2311133V S AO a =⨯⨯=⨯=由36a =6a =19.解：（Ⅰ）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是1315（Ⅱ）称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等），这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.20.解：（Ⅰ）由题意知1c b a==，结合222ab c =+，解得a =所以，椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知0∆>， 设()()1122,P x y Q x y ，12x x≠ 则1212224(1)2(2),1212k k k k x xx x k k --+==++，从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.21.解：（Ⅰ）解法一：由题设1()12n nf x x nx -'=+++，所以1(2)1222n nf n -'=+⨯++ ① 则 22(2)12222nnf n '=⨯+⨯++ ②①-②得21(2)12222n nnf n -'-=++++-2122(1)2112n n n n -=-⋅=---，所以 (2)(1)21nnf n '=-+ 解法二：当1x ≠时，1()11n n x x f x x+-=--，则12(1(1))(1)()()(1)n n n n x x x x f x x +-+-+-'=-可得12(1(1)2)22(2)(1)21(12)n n n n n f n +--++-'==-+-（Ⅱ）因为(0)10f =-<222133222()112120233313nn n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以()nf x 在2(0,)3内至少存在一个零点， 又1()120n nf x x nx -'=+++>所以()nf x 在2(0,)3内单调递增， 因此，()nf x 在2(0,)3内有且只有一个零点na ，由于1()11nn x f x x-=--， 所以10()11nn n n na f a a -==-- 由此可得1111222n nn a a +=+>故1223na<<所以111112120222333n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22.解：（Ⅰ）因为DE 是O的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 从而CBD BED ∠=∠ 又AB 切O于点B ，得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBCCD==，又BC =，从而AB =，所以4AC ==所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE=⋅即26AB AE AD==，故3DE AE AD =-=， 即O的直径为3.23.解：（Ⅰ）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +-=（Ⅱ）设132P t ⎛⎫+⎪⎝⎭，又C ，则PC ==故当0t =时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0). 24.解：（Ⅰ）由x a b +<，得b a x b a --<<-则24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b =-=+=≤4===1t=时等号成立，故max4 =。