2015年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析

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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)陕西卷

2015年陕西理一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合M={x∣ x2=x}，N={x∣ lgx≤0}，则M∪N=( )A. [0,1]B. (0,1]C. [0,1)D. (−∞,1]2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A. 93B. 123C. 137D. 167+φ)+k．据此函数可3. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6知，这段时间水深（单位：m）的最大值为( )A. 5B. 6C. 8D. 104. 二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n=( )A. 7B. 6C. 5D. 45. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 3πB. 4πC. 2π+4D. 3π+46. “ sinα=cosα”是“ cos2α=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 对任意向量a⃗，b⃗⃗，下列关系式中不恒成立的是( )A. ∣∣a⃗⋅b⃗⃗∣∣≤∣a⃗∣∣∣b⃗⃗∣∣B. ∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣≤∣∣∣∣a⃗∣−∣∣b⃗⃗∣∣∣∣∣C. (a⃗+b⃗⃗)2=∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣2D. (a⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗−b⃗⃗)=a⃗2−b⃗⃗28. 根据框图，当输入x为2006时，输出的y=( )A. 2B. 4C. 10D. 289. 设f(x)=lnx，0<a<b，若p=f(√ab)，q=f(a+b2)，r=12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是( )A. q=r<pB. p=r<qC. q=r>pD. p=r>q10. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A. 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元11. 设复数z=(x−1)+yi(x,y∈R)，若∣z∣≤1，则y≥x的概率为( )A. 34+12πB. 12+1πC. 12−1πD. 14−12π12. 对二次函数f(x)=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A. −1是f(x)的零点B. 1是f(x)的极值点C. 3是f(x)的极值D. 点(2,8)在曲线y=f(x)上二、填空题（共4小题；共20分）13. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．14. 若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2−y2=1的一个焦点，则p=．15. 设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为．16. 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量m⃗⃗⃗=(a,√3b)与n⃗⃗=(cosA,sinB)平行．（1）求A；（2）若a=√7，b=2，求△ABC的面积．18. 如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=π2，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．19. 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010（1）求T的分布列与数学期望ET；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0,b)的直线的距离为12c．（1）求椭圆 E 的离心率；（2）如图，AB 是圆 M ：(x +2)2+(y −1)2=52 的一条直径，若椭圆 E 经过 A ，B 两点，求椭圆 E 的方程．21. 设 f n (x ) 是等比数列 1,x,x 2,⋯,x n 的各项和，其中 x >0，n ∈N ，n ≥2．（1）证明：函数 F n (x )=f n (x )−2 在 (12,1) 内有且仅有一个零点（记为 x n ），且 x n =12+12x nn+1；（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 g n (x )，比较 f n (x ) 和 g n (x ) 的大小，并加以证明．22. 如图，AB 切 ⊙O 于点 B ，直线 AO 交 ⊙O 于 D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为 C ．（1）证明：∠CBD =∠DBA ；（2）若 AD =3DC ，BC =√2，求 ⊙O 的直径．23. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 {x =3+12t,y =√32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为 ρ=2√3sinθ．（1）写出 ⊙C 的直角坐标方程；（2）P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．24. 已知关于 x 的不等式 ∣x +a∣<b 的解集为 {x∣ 2<x <4}．（1）求实数 a ，b 的值；（2）求 √at +12+√bt 的最大值．答案第一部分1. A2. C 【解析】由图可知该校女教师的人数为110×70%+150×(1−60%)=77+60= 137．3. C 【解析】提示：函数y=3sin(π6+φ)+k为y=3sin(π6+φ)+5，这段时间水深的最大值为y=3+5=8．4. B5. D【解析】提示：该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱的一半．6. A7. B8. C 【解析】提示：当x=−2时，结束循环，输出y=3−(−2)+1=10．9. B 【解析】提示：12(lna+lnb)=ln√ab，√ab<a+b2，f(x)=lnx是定义域上的增函数．10. D【解析】提示：设该企业每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，则该企业每天可获得利润为z=3x+4y万元．其中x，y满足约束条件{3x+2y≤12, x+2y≤8, x≥0,y≥0.11. D 【解析】提示：满足题意的复数z在复平面上所对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点，其中满足y≥x的是图中阴影部分．12. A 【解析】由−1是f(x)的零点，得a−b+c=0. ⋯⋯①；由1是f(x)的极值点，得2a+b=0. ⋯⋯②；由3是f(x)的极值，得4ac−b 24a=3. ⋯⋯③；由点(2,8)在曲线y=f(x)上，得4a+2b+c=8. ⋯⋯④．联立①②③解得a=−34；联立②③④解得a=5，从而可判断出错误的结论为−1是f(x)的零点．第二部分13. 5【解析】提示：设数列的首项为a1，则a1+2015=2×1010．14. 2√2【解析】抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2(p>0)，故直线x=−p2过双曲线x2−y2=1的左焦点(−√2,0)，从而−p2=−√2，解得p=2√2．15. (1,1)【解析】因为曲线y=e x在点(0,1)处的切线斜率为1，所以曲线y=1x上点P处的切线斜率为−1，故−1x2=−1，又因为x>0，所以x=1，所以P的坐标为(1,1)．16. 1.2【解析】提示：建立如图所示的直角坐标系，易得抛物线为y=225x2−2．因为原始的最大流量与当前最大流量的比值为相应截面面积的比值，又四边形ABCD的面积为16m2，四边形ABCD中除去阴影部分的面积为∫(2−225x2)5−5dx=403m2，所以所求比值为1.2．第三部分17. （1）因为m⃗⃗⃗∥n⃗⃗，所以asinB−√3bcosA=0．由正弦定理，得sinAsinB−√3sinBcosA=0，又sinB≠0，从而tanA=√3．由于0<A<π，所以A=π3．（2）方法一：由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA，而a=√7，b=2，A=π3，得7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0．因为c>0，所以c=3．故△ABC的面积为12bcsinA=3√32．方法二：由正弦定理，得√7sinπ3=2sinB，从而sinB=√217．又由a>b，知A>B，所以cosB=2√77．故sinC=sin(A+B)=sin(B+π3)=sinBcosπ3+cosBsinπ3=3√2114．所以△ABC的面积为12absinC=3√32．18. （1）在题图①中，因为AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=π2，所以BE⊥AC．即在题图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又因为OA1∩OC=O从而 BE ⊥平面A 1OC ．又 CD ∥BE ，所以 CD ⊥平面A 1OC ．（2）由已知，平面 A 1BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以 ∠A 1OC 为二面角 A 1−BE −C 的平面角，所以 ∠A 1OC =π2．如图，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，因为 A 1B =A 1E =BC =ED =1，BC ∥ED ，所以 B (√22,0,0)，E (−√22,0,0)，A 1(0,0,√22)，C (0,√22,0)，得 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√22,√22,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√22,−√22)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√2,0,0)．设平面 A 1BC 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1)，平面 A 1CD 的法向量 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，平面 A 1BC 与平面 A 1CD 的夹角为 θ，则{n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得 {−x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取 n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,1)； {n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得 {x 2=0,y 2−z 2=0, 取 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,1)；从而cosθ=∣cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗⃗,n 2⃗⃗⃗⃗⃗⟩∣=√3×√2=√63, 即平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值为 √63． 19. （1）由统计结果可得 T 的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）．（2）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．方法一：P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.方法二：P(A)=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09.故P(A)=1−P(A)=0.91．20. （1）过点(c,0)，(0,b)的直线方程为bx+cy−bc=0，则原点O到该直线的距离为d=√b2+c2= bca,由d=12c，得a=2b=2√a2−c2，解得离心率为ca=√32．（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ⋯⋯①依题意，圆心M(−2,1)是线段AB的中点，且∣AB∣=√10．易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y=k(x+2)+1，代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2−4b2=0.设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2−4b21+4k2.由x1+x2=−4，得−8k(2k+1)1+4k2=−4，解得k=12．从而x1x2=8−2b2．于是∣AB∣=√1+(12)2∣x1−x2∣=√52√(x1+x2)2−4x1x2=√10(b2−2).由∣AB∣=√10，得√10(b2−2)=√10，解得b2=3．故椭圆E的方程为x 212+y23=1．方法二：由（1）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ⋯⋯②依题意，点A，B，关于圆心M(−2,1)对称，且∣AB∣=√10．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12+4y12=4b2，x22+4y22=4b2，两式相减并结合 x 1+x 2=−4，y 1+y 2=2，得−4(x 1−x 2)+8(y 1−y 2)=0.易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x 1≠x 2，所以 AB 的斜率 k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12．因此直线 AB 的方程为 y =12(x +2)+1，代入 ② 得 x 2+4x +8−2b 2=0. 所以 x 1+x 2=−4，x 1x 2=8−2b 2．于是∣AB∣=√1+(12)2∣x 1−x 2∣=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10(b 2−2). 由 ∣AB∣=√10，得 √10(b 2−2)=√10，解得 b 2=3．故椭圆 E 的方程为 x 212+y 23=1．21. （1）F n (x )=f n (x )−2=1+x +x 2+⋯+x n −2,则 F n (1)=n −1>0．F n (12)=1+12+(12)2+⋯+(12)n−2=1−(12)n+11−12−2=−12n <0,所以 F n (x ) 在 (12,1) 内至少存在一个零点．又 Fʹn (x )=1+2x +⋯+nx n−1>0，故 F n (x ) 在 (12,1) 内单调递增，所以 F n (x ) 在 (12,1) 内有且仅有一个零点 x n ．因为 x n 是 F n (x ) 的零点，所以 F n (x n )=0，即1−x nn+11−x n−2=0,故 x n =12+12x n n+1．（2）方法一：由题设，g n (x )=(n+1)(1+x n )2．设ℎ(x )=f n (x )−g n (x )=1+x +x 2+⋯+x n−(n +1)(1+x n )2,x >0.当 x =1 时，f n (x )=g n (x )．当 x ≠1 时，ℎʹ(x )=1+2x +⋯+nx n−1−n (n +1)2⋅x n−1. 当 x >1 时，ℎʹ(x )<x n−1+2x n−1+⋯+nx n−1−n (n +1)2⋅x n−1=n (n +1)2⋅x n−1−n (n +1)2⋅x n−1=0. 当 0<x <1 时，ℎʹ(x)>x n−1+2x n−1+⋯+nx n−1−n(n+1)2⋅x n−1=n(n+1)2⋅x n−1−n(n+1)2⋅x n−1=0.所以ℎ(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减．所以ℎ(x)<ℎ(1)=0，即f n(x)<g n(x)．综上所述，当x=1时，f n(x)=g n(x)；当x≠1时，f n(x)<g n(x)．方法二：由题设，f n(x)=1+x+x2+⋯+x n，g n(x)=(n+1)(1+x n)2,x>0．当x=1时，f n(x)=g n(x)．当x≠1时，用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x)．①当n=2时，f2(x)−g2(x)=−12(1−x)2<0，所以f2(x)<g2(x)成立．②假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即f k(x)<g k(x)．那么，当n=k+1时，f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=(k+1)(1+x k)2+x k+1=2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)−2x k+1+(k+1)x k+k+12=kx k+1−(k+1)x k+12.令ℎk(x)=kx k+1−(k+1)x k+1(x>0)，则ℎʹk(x)=k(k+1)x k−k(k+1)x k−1=k(k+1)x k−1(x−1).所以当0<x<1时，ℎʹk(x)<0，ℎk(x)在(0,1)上递减；当x>1时，ℎʹk(x)>0，ℎk(x)在(1,+∞)上递增．所以ℎk(x)>ℎk(1)=0，从而g k+1(x)>2x k+1+(k+1)x k+k+12．故f k+1(x)<g k+1(x)，即n=k+1时不等式也成立．由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)<g n(x)．综上所述，当x=1时，f n(x)=g n(x)；当x≠1时，f n(x)<g n(x) .22. （1）因为DE为⊙O直径，所以∠BED+∠EDB=90∘，又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB=90∘，从而∠CBD=∠BED．又AB切⊙O于点B，得∠DBA=∠BED，所以 ∠CBD =∠DBA ．（2）由（1）知 BD 平分 ∠CBA ，则 BA BC =AD CD =3．又 BC =√2，从而 AB =3√2．所以 AC =√AB 2−BC 2=4，所以 AD =3．由切割线定理，得 AB 2=AD ⋅AE ，即 AE =AB 2AD =6，故 DE =AE −AD =3，即 ⊙O 的直径为 3．23. （1）由 ρ=2√3sinθ，得 ρ2=2√3ρsinθ，从而有 x 2+y 2=2√3y ，所以 x 2+(y −√3)2=3．（2）设 P (3+12t,√32t)，又 C(0,√3)，则 ∣PC∣=√(3+12t)2+(√32t −√3)2=√t 2+12，故当 t =0 时，∣PC∣ 取得最小值，此时，点 P 的直角坐标为 (3,0)．24. （1）由 ∣x +a∣<b ，得 −b −a <x <b −a ，则 {−b −a =2,b −a =4, 解得 {a =−3,b =1.（2） √−3t +12+√t=√3√4−t +√t≤√[(√3)2+12][(√4−t)2+(√t)2]=2√4−t +t =4,当且仅当√4−t √3=√t 1，即 t =1 时等号成立，故 (√−3t +12+√t)max =4．。

普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理数答案解析(正式版)(原卷版).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+6.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=-8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（）A ．28B ．10C ．4D ．29.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)12811.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ．15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为． 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与 ()cos ,sin n =A B 平行．（I ）求A ；（II ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T （分钟）25 30 35 40 频数（次） 20 30 40 10（I ）求T 的分布列与数学期望ET ；（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ， ()0,b 的直线的距离为12c ．（I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求12at bt ++的最大值．。

2015年陕西高考理科数学试题及答案

2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（） A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．|?|||||a b a b ≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22(a b)(a b)a b +-=-8.根据下边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（）A ．28B ．10C ．4D ．29.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（） A ．q r p =< B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（） A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p=15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．18.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：()I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20.已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． ()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21.设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．22.如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ；()II 若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．23.在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题 1.答案：A 解析过程：由==⇒=2{x }{0,1},M xx M=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x所以0,1MN ⎡⎤=⎣⎦，选A2.答案：B解析过程：由图可知该校女教师的人数为，选B3.答案：C 解析过程：试题分析：由图像得，当时，求得，当时，，选C4.答案：B 解析过程：二项式(1)nx +的展开式的通项是1r rr n T C x +=，令2r =得2x 的系数是2n C ，因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n N +∈，所以6n =，选C 5.答案：D 解析过程：试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为，选 6. 答案：A11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16x π+Φ=-min 2y =5k =sin()16x π+Φ=max 3158y =⨯+=21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D解析过程：ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0所以sin cos 或sin =-cos αααα=，选A 7.答案：B 解析过程：因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确，选B8.答案：C 解析过程：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：．不满足条件，停止运行，所以输出的，故选 B ．9.答案：B 解析过程：()ln p f ab ab ==，()ln22a b a bq f ++==， 11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>，所以q p r >=，故选C10.答案：D 解析过程：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥23110y =+=x y 34z x y =+由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D 11.答案：D解析过程：如图可求得，，阴影面积等于若，则的概率是，故选B ． 12.答案：A 解析过程：假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b ac a=-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A 二、填空题 13.答案：5 解析过程：设数列的首项为，则，32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242ππ⨯-⨯⨯=-||1z ≤y x ≥211142142πππ-=-⨯1a 12015210102020a +=⨯=所以，故该数列的首项为 14.答案：22 解析过程：抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-，双曲线221x y -=的一个焦点1(2,0)F -，因为抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，所以22p-=-，解得22p = 15.答案：（1,1）解析过程：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是 16.答案：1.2 解析过程：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，15a =5xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x'=-1y x=P 02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-2011x -=-21x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,1()11010222162⨯+-⨯⨯=22x py =0p >()5,22225p ⨯=解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题 17.答案：（I ）；（II ）．解析过程：（I ）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为2sin sin3B=，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+sin()3B π=+sin coscos sin33B B ππ=+=254p =2252x y =2225y x =()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰161.2403=3π//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=2222cos a b c bc A 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c3c ∆133bcsinA 22所以ABC ∆的面积为133sin 2bc A = 18.答案：（I ）证明见解析；（II ）解析过程：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，BAD=，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE 平面又CD BE ，所以CD 平面. (II)由已知，平面平面BCDE ，又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以得，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取， 6∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12222(,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B 22BC(,,0),122A C(0,,)CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ1110n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n 2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22200x y z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =从而，即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案：()I T 的分布列为：ET=32（分钟）()II解析过程：以频率估计概率得T 的分布列为从而（分钟） (II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故.20.答案：()I ()II22x y +=1123 解析过程：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，12cos |cos ,|n n θ=〈〉==1BC A 1CD A 30.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T 121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc则原点O 到直线的距离，由，得，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且. 易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得设则由，得解得. 从而.于是. 由，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2)依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且. 设则，，两式相减并结合得.bc d a==12d c 2222a b a c 3c a 22244x y b |AB |10(2)1y k x 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 124x x 28(21)4,14k k k 12k 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 22244x y b |AB |101122(,y ),B(,y ),A x x 2221144x y b 2222244x y b 12124,y 2,x x y 1212-4()80x x y y易知，AB 不与x 轴垂直，则，所以AB 的斜率因此AB 直线方程为，代入(2)得所以，. 于是. 由，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 21.答案：（I ）证明见解析；（II ）当时，，当时，，证明见解析．解析过程：（I ）则所以在内至少存在一个零点. 又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点，所以，12x x ≠12121k .2ABy y x x 1(2)12yx 224820.x x b 124x x 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2()()212,n n n F x f x x x x (1)10,n F n 1211111112()1220,12222212n n n n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭n x 1()120n n F x x nx -'=++>1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭n x n x ()n F x ()=0n n F x即，故. (II)解法一：由题设，设当时,当时, 若, 若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时解法二由题设，当时,当时, 用数学归纳法可以证明. 当时, 所以成立. 假设时，不等式成立，即. 那么，当时，11201n n nx x 111=+22n n n x x 11().2nn n x g x 211()()()1,0.2nn n n n x h x f x g x x x x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-01x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22n n n n n n x x 1x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-11110.22n n n n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 211()1,(),0.2n n n n n x f x x xx g x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2n 2221()()(1)0,2f x g x x 22()()f x g x (2)n k k =≥()()k k f x g x +1n k. 又令，则所以当,,在上递减；当,,在上递增. 所以，从而故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为, 则，，所以, 令当时, ,所以. 当时, 而，所以，.若, ,, 当,,, 从而在上递减,在上递增.所以， 111k+1k 11()()()2k k k k k k x f x f x x g x x x 12112k k x k x k 11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x 1()11(x 0)k k k h x kx k x ()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-01x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0kh x '>()k h x (1,)+∞()(1)0k k h x h 1k+1211()2k k x k x k g x 11()()k k f x g x +1n k 2n ≥()()n n f x g x k a k b k1,2,, 1.n 111a b 11n n n a b x ()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n ---=-=+->≤≤1x =k k a b ()()n n f x g x 1x ≠()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥01x 11nk x ()0k m x '<1x 11n k x ()0km x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m所以当又,，故综上所述，当时, ；当时 22.答案：()I 见解析()II 直径为3解析过程：（Ⅰ）因为是的直径，则，又，所以，又切于点，得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则，又，从而，由，解得，所以，由切割线定理得，解得，故，即的直径为3.23.答案： ()I 22（-3x y +=()II （3,0）解析过程：（1）由，得，从而有，所以（2）设，又，则 24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． ()I 求实数a ，b 的值；()II答案：()I a=-3,b=1()II 4解析过程：（Ⅰ）由，得，01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA AD BC CD ==BC=AB =222AB BC AC =+4AC =3AD =2AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=O ρθ=2sin ρθ=22x y +=(223x y +-=132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C PC ==x a b +<b a x b a --<<-由题意得，解得；，时等号成立，故24b a b a --=⎧⎨-=⎩3,1a b =-==+≤4===1t =min 4=。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(陕西卷)(含答案全解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。

15年高考真题——理科数学(陕西卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西）卷数学（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|M x x x ==，{}|lg 0N x x =≤，则M N = （）（A ）[]0,1 （B ）(]0,1 （C ）[)0,1 （D ）(],1-∞2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )4．二项式()()1n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = ( )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )（A ）3π （B ）4π （C ）24π+ （D ）34π+6．“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( ) （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是( )（A ）||||||a b a b ⋅≤ （B ）||||||a b a b -≤-（C ）()22||a b a b +=+ （D ）()()22a b a b a b +-=- 8．根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y = ( )（A ）28 （B ）10 （C ）4 （D ）29．设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，2a b q f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12r f a f b =+⎡⎤⎣⎦，则下列关系式中正确的是（）（A ）q r p =< （B ）q r p => （C ）p r q =< （D ）p r q => 10．某企业生产甲、乙两种产品均需用,A B 两种原料。

已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）（A ）12万元（B ）16万元（C ）17万元（D ）18万元 11．设复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（）（A ）3142π+ （B ）1142π- （C ）112π- （D ）112π+ 12．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）（A ）1-是()f x 的零点（B ）1是()f x 的极值点（C ）3是()f x 的极值（D ）点()2,8在曲线()y f x =上二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________。

2015理科数学(陕西卷)

2015年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后，先按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后，将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共12小题，每小题5分，共60分).1.(2015陕西，理1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案：A解析：解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0，1}.解lg x≤0，得0＜x≤1，故N＝(0，1].故M∪N＝[0，1]，选A．2.(2015陕西，理2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93 B．123 C．137 D．167答案：C解析：由题图知，初中部女教师有110×70%＝77人;高中部女教师有150×(1－60%)＝60人.故该校女教师共有77+60＝137(人).选C．x+3.(2015陕西，理3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6φ+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：C解析：因为sinπ6x+φ ∈[－1，1]，所以函数y＝3sinπ6x+φ +k的最小值为k－3，最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k－3＝2，解得k＝5.所以y的最大值为k+3＝5+3＝8，故选C．4.(2015陕西，理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝() A．7 B．6 C．5 D．4答案：B解析：(x+1)n的展开式通项为T r+1＝C n r x n－r.令n－r＝2，即r＝n－2.则x2的系数为C n n−2＝C n2＝15，解得n＝6，故选B．5.(2015陕西，理5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个半圆柱，圆柱的底面半径r＝1，高h＝2.所以几何体的侧面积S1＝C底·h＝(π×1+2)×2＝2π+4.几何体的底面积S2＝12π×12＝12π.故该几何体的表面积为S＝S1+2S2＝2π+4+2×π2＝3π+4.故选D．6.(2015陕西，理6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由cos 2α＝0，得cos2α－sin2α＝0，即cos α＝sin α或cos α＝－sin α.故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.7.(2015陕西，理7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a+b)2＝|a+b|2D．(a+b)·(a－b)＝a2－b2答案：B解析：A项，a·b＝|a||b|cos＜a，b＞≤|a||b|，所以不等式恒成立;B项，当a与b同向时，|a－b|＝||a|－|b||;当a与b非零且反向时，|a－b|＝|a|+|b|＞||a|－|b||.故不等式不恒成立;C项，(a+b)2＝|a+b|2恒成立;D项，(a+b)·(a－b)＝a2－a·b+b·a－b2＝a2－b2，故等式恒成立.综上，选B．8.(2015陕西，理8)根据下边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝()A．2B．4C．10D．28答案：C解析：由算法框图可知，每运行一次，x的值减少2，当框图运行了1 004次时，x＝－2，此时x＜0，停止循环，由y＝3－x+1可知，y＝3－(－2)+1＝10，故输出y的值为10，故选C．9.(2015陕西，理9)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f(，q＝f a+b2，r＝12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜p B．p＝r＜qC．q＝r＞p D．p＝r＞q答案：B解析：因为0＜a＜b，所以a+b2＞ab.又因为f(x)＝ln x在(0，+∞)上单调递增，所以f a+b2＞f(ab)，即p＜q.而r＝12(f(a)+f(b))＝12(ln a+ln b)＝12ln(ab)＝ln，所以r＝p，故p＝r＜q.选B．10.(2015陕西，理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元答案：D解析：设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元.则由题意知3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0，利润函数z＝3x+4y.画出可行域如图所示，当直线3x+4y－z＝0过点B时，目标函数取得最大值.由 3x +2y ＝12，x +2y ＝8，解得 x ＝2，y ＝3.故利润函数的最大值为z ＝3×2+4×3＝18(万元).故选D ．11.(2015陕西，理11)设复数z ＝(x －1)+y i(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y ≥x 的概率为( ) A ．34+12π B ．12+1π C ．12－1πD ．14－12π答案：D解析：由|z|≤1，得(x －1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1，0)为圆心，半径r ＝1的圆及其内部，y ≥x 表示直线y ＝x 左上方部分(如图所示).则阴影部分面积S ＝14π×12－S △OAC ＝14π－12×1×1＝π4－12.故所求事件的概率P ＝S 阴S 圆＝π4−12π×12＝14－12π.12.(2015陕西，理12)对二次函数f (x )＝ax 2+bx+c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上答案：A解析：f'(x )＝2ax+b.若A 正确，则f (－1)＝0，即a －b+c ＝0， ① 若B 正确，则f'(1)＝0，即2a+b ＝0， ②若C 正确，则f'(x 0)＝0，且f (x 0)＝3，即f −b2a ＝3，即c －b 24a ＝3.③若D项正确，则f(2)＝8，即4a+2b+c＝8.④假设②③④正确，则由②得b＝－2a，代入④得c＝8，代入③得8－4a 24a＝3，解得a＝5，b＝－10，c＝8.此时f(x)＝5x2－10x+8，f(－1)＝5×(－1)2－10×(－1)+8＝5+10+8＝23≠0，即A不成立.故B，C，D可同时成立，而A不成立.故选A．第二部分(共90分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.(2015陕西，理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为.答案：5解析：由题意知，1 010为数列首项a1与2 015的等差中项，故a1+2 0152＝1 010，解得a1＝5.14.(2015陕西，理14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝.答案：2解析：双曲线x2－y2＝1的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).抛物线的准线方程为x＝－p2.因p＞0，故－p2＝－2，解得p＝22.15.(2015陕西，理15)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为.答案：(1，1)解析：曲线y＝e x在点(0，1)处的切线斜率k＝y'＝e x|x＝0＝1;由y＝1x ，可得y'＝－1x2，因为曲线y＝1 x (x＞0)在点P处的切线与曲线y＝e x在点(0，1)处的切线垂直，故－1x P2＝－1，解得x P＝1，由y＝1x，得y P＝1，故所求点P的坐标为(1，1).16.(2015陕西，理16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案：1.2解析：以梯形的下底为x轴，上、下底边的中点连线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2，则抛物线过点(5，2)，故2＝25a，得a＝225，故抛物线的方程为y＝225x2.最大流量的比，即截面的面积比，由图可知，梯形的下底长为6，故梯形的面积为(10+6)×22＝16，而当前的截面面积为2502−225x2d x＝22x−23×25x3|05＝403，故原始流量与当前流量的比为16403＝1.2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西，理17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m ＝(a，)与n＝(cos A，sin B)平行.(1)求A;(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.(1)解：因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0.由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0.又sin B≠0，从而tan A＝3.由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得a2＝b2+c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4+c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bc sin A＝332.解法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B，从而sin B＝217.又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝277.故sin C＝sin(A+B)＝sin B+π3＝sin B cosπ3+cos B sinπ3＝32114.所以△ABC的面积为12ab sin C＝332.18.(本小题满分12分)(2015陕西，理18)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB ＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②.图①图②(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图②中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B22，0，0 ，E − 22，0，0 ，A 1 0，0， 22 ，C 0， 22，0 ，得BC ＝ − 22， 22，0 ，A 1C ＝ 0， 22，− 22，CD ＝BE ＝(－，0，0). 设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，则n 1·BC ＝0，n 1·A 1C ＝0，得 −x 1+y 1＝0，y 1−z 1＝0，取n 1＝(1，1，1);n 2·CD ＝0，n 2·A 1C ＝0，得 x 2＝0，y 2−z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos<n1，n2>|＝3×263，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.19.(本小题满分12分)(2015陕西，理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解：(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET＝25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1＝32(分钟).(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一：P(A)＝P(T1+T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)+P(T1＝30，T2≤40)+P(T1＝35，T2≤35)+P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5＝0.91.解法二：P(＝P(T1+T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)+P(T1＝40，T2＝35)+P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西，理20)已知椭圆E：x2a +y2b＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图，AB 是圆M ：(x+2)2+(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程. (1)解：过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx+cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝b 2+c 2bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2−c 2，解得离心率ca ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝ 10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x+2)+1，代入①得，(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2＝－8k (2k +1)1+4k ，x 1x 2＝4(2k +1)2−4b 21+4k .由x 1+x 2＝－4，得－8k (2k +1)1+4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2|＝52(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB|＝ 10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12+4y 12＝4b 2，x 22+4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1+x 2＝－4，y 1+y 2＝2，得－4(x 1－x 2)+8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1−y 2x 1−x 2＝12.因此，直线AB 的方程为y ＝12(x+2)+1，代入②得，x 2+4x+8－2b 2＝0.所以x 1+x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2| ＝ 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.21.(本小题满分12分)(2015陕西，理21)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在 12，1 内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12+12x n n +1; (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明.(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1+x+x 2+…+x n －2，则F n (1)＝n －1＞0，F n 12 ＝1+12+ 12 2+…+ 12n －2 ＝1− 12 n +11−1－2＝－12＜0，所以F n (x )在 12，1 内至少存在一个零点.又F n '(x )＝1+2x+…+nx n －1＞0，故F n (x )在 12，1 内单调递增，所以F n (x )在 12，1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1−x nn +11−x n －2＝0，故x n ＝12+12x n n +1. (2)解法一：由假设，g n (x )＝(n +1)(1+x n )2.设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1+x+x 2+…+x n －(n +1)(1+x n )2，x ＞0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x ).当x ≠1时，h'(x )＝1+2x+…+nxn －1－n (n +1)x n −12. 若0＜x ＜1，h'(x )＞x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 若x ＞1，h'(x )＜x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1 ＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 所以h (x )在(0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，所以h(x)＜h(1)＝0，即f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).解法二：由题设，f n(x)＝1+x+x2+…+x n，g n(x)＝(n+1)(x n+1)2，x＞0.当x＝1时，f n(x)＝g n(x).当x≠1时，用数学归纳法可以证明f n(x)＜g n(x).①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－12(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立.②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即f k(x)＜g k(x).那么，当n＝k+1时，f k+1(x)＝f k(x)+x k+1＜g k(x)+x k+1＝(k+1)(1+x k)2+x k+1＝2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)－2x k+1+(k+1)x k+k+12＝kx k+1−(k+1)x k+12，令h k(x)＝kx k+1－(k+1)x k+1(x＞0)，则h k'(x)＝k(k+1)x k－k(k+1)x k－1＝k(k+1)x k－1(x－1).所以，当0＜x＜1时，h k'(x)＜0，h k(x)在(0，1)上递减;当x＞1时，h k'(x)＞0，h k(x)在(1，+∞)上递增.所以h k(x)＞h k(1)＝0，从而g k+1(x)＞2x k+1+(k+1)x k+k+12.故f k+1(x)＜g k+1(x)，即n＝k+1时不等式也成立.由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)＜g n(x).解法三：由已知，记等差数列为{a k}，等比数列为{b k}，k＝1，2，…，n+1.则a1＝b1＝1，a n+1＝b n+1＝x n，所以a k＝1+(k－1)·x n−1n(2≤k≤n)，b k＝x k－1(2≤k≤n)，令m k(x)＝a k－b k＝1+(k−1)(x n−1)n－x k－1，x＞0(2≤k≤n)，当x＝1时，a k＝b k，所以f n(x)＝g n(x).当x≠1时，m k'(x)＝k−1n·nx n－1－(k－1)x k－2＝(k－1)x k－2(x n－k+1－1).而2≤k≤n，所以k－1＞0，n－k+1≥1.若0＜x＜1，x n－k+1＜1，m k'(x)＜0;若x＞1，x n－k+1＞1，m k'(x)＞0，从而m k(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以m k(x)＞m k(1)＝0.所以当m＞0且m≠1时，a k＞b k(2≤k≤n)，又a1＝b1，a n+1＝b n+1，故f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，AB切☉O于点B，直线AO交☉O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．(1)证明：∠CBD＝∠DBA;(2)若AD＝3DC，BC＝2，求☉O的直径.(1)证明：因为DE为☉O直径，则∠BED+∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED．又AB切☉O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA．(2)解：由(1)知BD平分∠CBA，则BABC ＝ADCD＝3，又BC＝，从而AB＝3.所以AC＝ AB2−BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB 2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即☉O直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西，理23)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3+12t，y＝32t(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，☉C的极坐标方程为ρ＝2θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2+y2＝2，所以x2+(y－2＝3.(2)设P3+12t，32t ，又C(0，3)，则|PC|＝3+12t2+32t−32＝2+12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0).24.(本小题满分10分)(2015陕西，理24)选修4—5：不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解：(1)由|x+a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则−b−a＝2，b−a＝4，解得a＝－3，b＝1.(2)−3t+12+t＝34−t+t ≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]＝24−t+t＝4，当且仅当4−t3t1，即t＝1时等号成立.故(+t)max＝4.。

2015高考数学真题陕西理科解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题解析1．解析依题意{0,1}M =，{|01}N x x =<…，所以{|01}M N x x =剟.故选A ．评注考查集合的意义及其运算． 2．解析 ()1100.715010.67760137+⨯+⨯-=+=.故选B ．评注考查饼状图的意义.3．解析根据图像可知，函数最低点为2，即π3sin()6y x k ϕ=++的最小值为2，所以min 32y k =-+=，解得5k =，π3sin()56y x ϕ=++，所以max 358y =+=.故选C. 评注考查三角函数的图像以及从图像中获取相关信息的能力.4．解析根据二项式定理，2x 的系数应该为22C C 15n n n -==，得()1152n n -=，所以6n =. 故选C.评注考查二项式定理中最基本的内容. 5．解析还原三视图为立体图如图所示，所以S S S S S =+++下表面上前后22111π1π122π22222=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯3π4=+.故选D. 评注考查三视图还原立体图. 6. 解析当sin cos αα=时，()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=+-=，即sin cos cos 20ααα=⇒=；当cos 20α=时，有()()cos sin cos sin 0αααα+-=，所以cos sin 0αα+=或cos sin 0αα-=. 即cos 20α=不能推出sin cos αα=.故选A. 评注考查三角函数恒等变形以及命题相关. 227．解析解法一： cos θ⋅=⋅⋅⋅…a b a b a b ，A 正确；()22+=+a b a b ，B 正确；()()22+-=-a b a b a b ，D 正确；()22222222--⇔--⇔-⋅+-⋅+…剟a b a b a b a b a a b ba ab b⇔⋅⋅…a b a b ，矛盾，B 不正确.故选B.解法二：从几何上考虑.如图所示，由三角形两边之差小于第三边得，-<-a b a b ，B 不正确.故选B.评注考查向量运算的多方面知识.8．解析该程序在循环体内不断自减2，跳出这个循环的标准是当该数小于0. 因为20062100420-⨯=-<，此时()23110y --=+=.故选B.评注读懂程序框图的含义并能解决简单的算法问题. 9．解析解法一：依题意,()()()()111ln ln ln 222p ab a b f a f b r ===+=+=, ln2a bq p +=>=,所以p r q =<.故选C. 解法二：令1,9a b ==,ln3p ==,19ln ln 52q +==，()1ln1ln 9ln 32r =+=，所以p r q =<.故选C.评注对数函数基本性质的考查，并结合基本不等式.10．解析设每天生产甲x 吨，生产乙y 吨，则32122800x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩…………，目标函数34z x y =+.画出可行域如图所示，目标函数的最大值在端点()2,3A 处取得，所以max 324318z =⨯+⨯=.故选D. 11．解析由||1z …()22111x y ⇒-+.所以y x …表示如图所示的阴影部分，所以2211π1111142π142πS P S ⨯-⨯⨯===-⨯阴总.故选B.评注考查复数的基本概念与知识，并与几何概型相结合，具备一定的新颖性.12．解析观察四个选项会发现B,C 这两个选项是“配套”的，所以以此为切入点，假设B,C 正确，即(1,3)为2y ax bx c =++的顶点.由于抛物线开口向下时，D 肯定错；抛物线开口向上时，A 肯定错. 由此说明A 与D 中必有一个错误.假设A 正确，则有20333,240a b a b c b a a b c +=⎧⎪++=⇒==-⎨⎪-+=⎩=，与条件a 为整数矛盾，说明A 错误. 故选A.8评注考查学生的逻辑推理能力、观察能力.若直接假设，会有验算4次的可能，这在高考中时间上是不允许的.13．解析当项数2n k =时，中位数11101022k k na a a a +++===，所以121010202020155n a a =⨯-=-=；当项数21n k =-时，中位数110102nk a a a +===，所以121010202020155n a a =⨯-=-=. 综上所述，首项为5.14.解析 221x y -=的焦点坐标为()，抛物线22(0)y px p =>准线方程为2p x =-，所以2pp -==. 评注考查双曲线、抛物线的基本概念.15．解析因为()0,1在e x y =上，所以在()0,1处切线的斜率()10e '1xx k ===.设001,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1y x =在P 处的切线斜率022011'x x k x x =⎛⎫==-⎪⎝⎭. 因为121k k =-，所以020111x x -=-⇒=±. 又因为0x >，所以01x =，P 的坐标为()1,1. 评注考查曲线的切线方程的求法. 16．解析 ()11062162S =+⨯=总. 建立平面直角坐标系如右图，设抛物线()22022y a x ax =--=-.因为过点()5,0，所以2205225a a =⋅-⇒=，所以抛物线为22225y x =-. 所以52355522402d 225753S x x x x --⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰阴，所以16486404053S S ===总阴. 17.解析（1）由//m n 可知，cos a A由正弦定理，得sin cos sin A BA B==tan A ⇒π3A ⇒=（2）由余弦定理，得2222147cos 2222b c a c A bc c+-+-=? ´3c =.所以ABC S =△11πsin 23sin 223bc A =⨯⨯⨯=. 评注综合考查三角恒等变形、正余弦定理和向量知识.18. 解析（1）因为1AB AE ==,所以ABE △为等腰三角形，所以1AO BE ^. 同理可证CO BE ⊥.因为1AO CO O =，所以BE ⊥平面1AOC . 因为//ED BC 且=ED BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以//EB CD . 所以CD ⊥平面1AOC . （2）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，1OA 为z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.则1((B C A E D则12(),22A B =-(22BC =- 设平面1A BC 的法向量为1(,,1)x y n =，则()1111201,1,120BCx y A B x ⎧⋅=-=⎪⎪⇒=⎨⎪⋅=-=⎪⎩n n n .同理，1(22A D =-,(CD = 设平面1ACD 的法向量2(,,1)w z n =，所以 221200120CD w z A D ⎧⋅=-==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⋅=-=⎪⎩n n ，得2(0,1,1)=n ，从而平面1A BC 与平面1ACD 夹角的余弦值为1212cos α⋅===⋅n n n n . 评注考查立体几何的基本位置关系与数量关系.将折叠放入题目中，体现出生活化的气息.19．解析（1）以频率估计概率得T 的分布列为所以250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.（2）设12,T T 分别表示往返所需时间，设事件A 表示“从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，则()()1212()(25)45(30)40P A P T P T P T P T ==+=剟()()1212(35)35(40)30P T P T P T P T +=+=剟 0.210.310.40.90.10.50.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.20．解析（1）解法一：如图所示，由面积法可知1112222△MNP S bc a c a b ==⋅⇒=，所以c e a ===.解法二：直线经过 ()(),0,0,c b 两点，由截距式得直线方程为1x yc b+=，由点到直线的距离12d c ==⇒e =解法三：过点()(),0,0,c b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O到直线的距离bc d a==，由12d c =，得2a b ==e = （2）由题意知，()2,1-是弦AB的中点，且||AB =设1122(,),(,),A x y B x y 则2211224144x y b b +=，① 2222224144x y b b+=，② ①-②得，12121111242422AB AB AB y y k k k +⋅=-⇒⋅=-⇒=-. 因此AB 方程为111(2)222y x y x -=+⇒=+.222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩224820.x x b ++-= 所以124x x +=-，21282x x b =-.所以12|||AB x x =-==. 23b ⇒=.所以椭圆方程为221123x y +=.21．解析（1）证明：2111111()()2120222222n nn n F f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1(1)11...1210n n F n +=+++-=->个，所以由零点定理知，()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.又1()120n n F x x nx -'=++>，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上只能有一个零点n x .又n x 是()n F x 的零点，则 2120nn n n x x x +++-=11121n n nx x +-⇒⋅=⇒-11122n n n x x +=+. 综上所述，命题成立.（2）解法一：由题设，()()11().2nn n x g x ++=设()()211()()()1,0.2n n n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'>+++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<+++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-=所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <.解法二：由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <.①当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. ②假设(2)n k k =…时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111111()()()2kk k k k k k k x f x f x xg x xx++++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11+121111()22k k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(0)k k k h x kxk x x +=-++>，则()()11()(1)11(1)k k k k h x k k x k k x k k x x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1+1211()2k k k x k x k g x +++++>即11()()k k f x g x ++<.即+1n k =时，不等式也成立.所以，对于一切2n …的整数，都有()()n n f x g x <. 解法三：由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,, 1.k n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2)n k x a k k n n-=-⋅剟,1(2),k k b x k n -=剟令()()111()1,0(2).n k k k k k x m x a b x x k n n---=-=+->剟当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(1)11n k k n k k k m x nx k x k x x n----+-'=--=--. 而2k n 剟，所以10k ->，11n k -+…. 若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,若1x >,11n k x -+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=，所以当,01(2),k k x x a b k n >≠>剟且时又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x <. 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <. 解法四： ()21nn f x x x x =++++，()()()112nnx n g x +?=. 考虑不等式()()()1100,1,2,,k n kx xk n --⋅-=…10k n k n x x x -⇔--+…1kn k nx x x …-?+. 所以 0110111n n n n n n x x x x x x x x x -⎧++⎪++⎪⎨⎪⎪++⎩………，将其全部累加得，()()()22111n n x x x n x …++++++()()21112nnn x x x x …++?+++，即()()n n f x g x ….解法五：考虑指数函数()1xy a a =>，则0121122...n n n a a a a OD AC A C A C ++++=++++.而()()011221 (2)nnna a n OD A B A B A B ++=++++.由图易知，()()001212nn a a n aa a a ++>++++；当1a <时，同理可证明()()01212nn a a n aa a a ++>++++；当1a =时，有()()001212nn a a n aa a a ++=++++.综上所述，()()001212n n a a n a a a a …++++++，将a 换成x 即为()()n n f x g x ….22．解析（1）因为90CBD BDE ∠+∠=︒,E EDB ∠+∠=90，所以E CBD ∠=∠又AB 切O 于点B ，得DBA E ∠=∠ ，所以CBD E DBA ∠=∠=∠.（2）因为CBD DBA ∠=∠，由角平分线定理， 1=3BC CD BA DA =,所以3BA BC =在Rt △ABC中，4AC =，所以1==14CD CA . 由射影定理22221BC BC EC CD EC CD =⋅⇒===，所以213ED EC CD =+=+=，即O 的直径为3.23．解析（1）由2sin ρθρθ=⇒=，从而有(2222+,+3x y x y ==所以. （2）设132P t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，又(C ，PC = 所以当0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的直角坐标为()3,0.24．解析（1）由||x a b +<⇒b a x b a --<<-E A所以2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得31a b =-⎧⎨=⎩.（2）[]22211233t t ⎡⎤++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦…412163⨯=,44，当1t =时取等号.。

2015年陕西省高考数学试卷(理科)教师版

2015 年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12 小题，每题5分，共 60分1．（5 分）（2015?陕西）设会合 M={ x| x2=x} ， N={ x| lgx≤ 0} ，则 M ∪N=（）A．[ 0，1]B．（0，1]C．[ 0，1）D．（﹣∞， 1]【剖析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，而后利用并集运算得答案．【解答】解：由 M={ x| x2=x} ={ 0， 1} ，N={ x| lgx≤0} =（ 0， 1] ，得 M∪N={ 0，1} ∪（0，1] =[ 0，1] ．应选： A．2．（ 5 分）（2015?陕西）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比比以下图，则该校女教师的人数为（）A．93B．123C．137D．167【剖析】利用百分比，可得该校女教师的人数．【解答】解：初中部女教师的人数为110× 70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，应选： C．3．（5 分）（2015?陕西）如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ） +k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【剖析】由题意和最小值易得k 的值，从而可得最大值．【解答】解：由题意可适当sin（ x+φ）取最小值﹣ 1 时，函数取最小值 y min=﹣3+k=2，解得 k=5，∴y=3sin（ x+φ） +5，∴当当 sin（φ）取最大值1时，x+函数取最大值 y max，=3+5=8应选： C．）n（ n∈ N+）的睁开式中 x2的系数为 15，4．（5 分）（2015?陕西）二项式（ x+1则 n=（）A．7B．6C．5D．4【剖析】由题意可得==15，解对于 n 的方程可得．【解答】解：∵二项式（ x+1）n（ n∈ N+）的睁开式中 x2的系数为 15，∴ =15，即=15，解得 n=6，应选： B．5．（5 分）（2015?陕西）一个几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【剖析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）× 2=3π+4，应选： D．6．（5 分）（2015?陕西）“ sin α =cos是α”“cos2 α =0的（”）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件22【剖析】由 cos2α=cosα﹣sinα，即可判断出．22【解答】解：由 cos2α=cosα﹣sin α，∴“sin α=cos是α”“cos2α=0的”充足不用要条件．应选： A．7．（5 分）（2015?陕西）对随意愿量、，以下关系式中不恒成立的是（）．|≤| |||B．|| ≤|||﹣| ||A |．（）2| 2．（）?（）=2﹣2C=|D【剖析】由向量数目积的运算和性质逐一选项考证可得．【解答】解：选项 A 恒成立，∵ || =||| || cos＜，＞| ，又 | cos＜，＞ | ≤1，∴ || ≤ ||| | 恒成立；选项 B 不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥||| ﹣| ||；选项 C 恒成立，由向量数目积的运算可得（）2=|| 2；选项 D 恒成立，由向量数目积的运算可得（） ?（）= 2﹣2．应选： B．8．（ 5 分）（ 2015?陕西）依据如图框图，当输入 x 为 2006 时，输出的 y=（）A．2B．4C．10D．28【剖析】模行程序框，挨次写出每次循获取的x 的，当x= 2 不足条件x≥0，算并出y 的10．【解答】解：模行程序框，可得x=2006，x=2004足条件 x≥ 0， x=2002足条件 x≥ 0， x=2000⋯足条件 x≥ 0， x=0足条件 x≥ 0， x=2不足条件 x≥0，y=10出 y 的 10．故： C．9．（5 分）（2015?西） f （x） =lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f （a） +f （b）），以下关系式中正确的选项是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞ q【剖析】由意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（ lna+lnb），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）= lnab= （ lna+lnb ），q=f（）=ln（）≥ ln（）=p，r= （f（a）+f（b））= （lna+lnb），∴ p=r＜ q，应选： B．10．（ 5 分）（ 2015?陕西）某公司生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产 1 吨每种产品所需原料及每日原料的可用限额如表所示．假如生产一吨甲、乙产品可获取收益分别为 3 万元、 4 万元，则该公司每日可获取最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12 万元B．16 万元C．17 万元D．18 万元【剖析】设每日生产甲乙两种产品分别为x，y 吨，收益为 z 元，而后依据题目条件成立拘束条件，获取目标函数，画出拘束条件所表示的地区，而后利用平移法求出 z 的最大值．【解答】解：设每日生产甲乙两种产品分别为x， y 吨，收益为 z 元，则，，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面地区（暗影部分）即可行域．由 z=3x+4y 得 y=﹣ x+ ，平移直线 y=﹣ x+ 由图象可知当直线y=﹣ x+ 经过点 B 时，直线 y=﹣ x+ 的截距最大，此时 z 最大，解方程组，解得，即 B 的坐标为 x=2， y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每日生产甲乙两种产品分别为2，3 吨，可以产生最大的收益，最大的收益是18万元，应选： D．11．（ 5 分）（2015?陕西）设复数 z=（x﹣ 1） +yi（ x，y∈R），若 | z| ≤ 1，则 y≥x 的概率为（）A．+． +．﹣．﹣B C D【剖析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．【解答】解：∵复数 z=（x﹣ 1） +yi（ x，y∈R）且 | z| ≤1，∴ | z| =≤ 1，即（x﹣1）2+y2≤ 1，∴点（ x，y）在（ 1， 0）为圆心 1 为半径的圆及其内部，而 y≥x 表示直线 y=x 左上方的部分，（图中暗影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率 P==应选： D．12．（ 5 分）（2015?陕西）对二次函数f（ x） =ax2+bx+c（a 为非零整数），四位同学分别给出以下结论，此中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣ 1 是 f（ x）的零点B．1 是 f（x）的极值点C．3 是 f（x）的极值D．点（ 2， 8）在曲线 y=f（x）上【剖析】可采纳清除法．分别考虑A，B，C，D 中有一个错误，经过解方程求得a，判断能否为非零整数，即可获取结论．【解答】解：可采纳清除法．若 A 错，则 B，C，D 正确．即有 f （x）=ax2+bx+c 的导数为 f ′（x）=2ax+b，即有 f ′（1）=0，即 2a+b=0，①又 f（1）=3，即 a+b+c=3②，又 f（ 2）=8，即 4a+2b+c=8，③由①②③解得， a=5， b=﹣10，c=8．切合 a 为非零整数．若 B 错，则 A，C，D 正确，则有 a﹣b+c=0，且 4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不可立；若 C 错，则 A，B，D 正确，则有 a﹣b+c=0，且 2a+b=0，且 4a+2b+c=8，解得 a=﹣不为非零整数，不可立；若 D 错，则 A， B， C 正确，则有 a﹣b+c=0，且 2a+b=0，且，解得=3a=﹣不为非零整数，不可立．应选： A．二、填空题，共 4 小题，每题 5 分，共 20 分13．（5 分）（2015?陕西）中位数为 1010 的一组数组成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为5．【剖析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得 a=5故答案为： 514．（ 5 分）（2015?陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则 p= 2．【剖析】先求出 x2﹣y2=1 的左焦点，获取抛物线y2=2px 的准线，依照 p 的意义求出它的值．【解答】解：双曲线 x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，），故抛物线2的准线0y =2px为 x=﹣，∴ = ，∴ p=2，故答案为： 2 ．15．（5 分）（ 2015?陕西）设曲线 y=e x在点（ 0，1）处的切线与曲线y= （x＞ 0）上点 P 的切线垂直，则P 的坐标为（1，1）．【剖析】利用 y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，从而求得切点坐标．【解答】解：∵ f'（x）=e x，∴f'（ 0） =e0=1．∵y=e x在（ 0， 1）处的切线与 y= （x＞ 0）上点 P 的切线垂直∴点 P 处的切线斜率为﹣ 1．又 y'=﹣，设点 P（x0，y0）∴﹣=﹣1，∴x0=± 1，∵ x＞ 0，∴ x0=1∴y0=1∴点 P（1，1）故答案为：（ 1， 1）16．（ 5 分）（2015?陕西）如图，一横截面为等腰梯形的沟渠，因泥沙堆积，致使沟渠截面界限呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与目前最大流量的比值为 1.2 ．【剖析】成立直角坐标系，求出抛物线方程，而后利用定积分求出泥沙堆积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．【解答】解：如图：成立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（ 5，2），可得 a=，所以抛物线方程： y=，横截面为等腰梯形的沟渠，泥沙堆积的横截面的面积为：2×=2（）=，等腰梯形的面积为：=16，目前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与目前最大流量的比值为：=1.2．故答案为： 1.2．三、解答题，共 5 小题，共 70 分17．（ 12 分）（ 2015?陕西）△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a， b，c．向量 =（a， b）与 =（cosA， sinB）平行．（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）若 a=，b=2，求△ ABC的面积．【剖析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，经过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用 A，以及 a=，b=2，经过余弦定理求出c，而后求解△ ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（ a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以 asinB﹣=0，由正弦定理可知： sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为 sinB ≠0，所以 tanA=，可得A=；（Ⅱ） a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得 c=3，△ ABC的面积为：=．18（．12 分）（2015?陕西）如图，在直角梯形 ABCD中，AD∥ BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E 是 AD 的中点， O 是 AC与 BE的交点，将 ABE沿 BE折起到 A1BE的位置，如图 2．（Ⅰ）证明： CD⊥平面 A1OC；（Ⅱ）若平面 A1 BE⊥平面 BCDE，求平面 A1BC与平面 A1CD夹角的余弦值．【剖析】（Ⅰ）依据线面垂直的判断定理即可证明：CD⊥平面 A1OC；（Ⅱ）若平面 A1BE⊥平面 BCDE，成立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面 A1CD夹角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在图 1 中，∵ AB=BC=1，AD=2，E 是 AD 的中点，∠ BAD= ，∴BE⊥AC，即在图 2 中， BE⊥OA1，BE⊥OC，则 BE⊥平面 A1OC；∵ CD∥BE，∴ CD⊥平面 A1OC；（Ⅱ）若平面 A1 BE⊥平面 BCDE，由（Ⅰ）知 BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠ A1OC为二面角 A1﹣BE﹣ C 的平面角，∴∠ A1OC= ，如图，成立空间坐标系，∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ ED∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），=（﹣，，0），=（ 0，，﹣），，，设平面 A1 BC的法向量为=（x，y，z），平面 A1CD的法向量为=（ a， b， c），则得，令 x=1，则 y=1， z=1，即（，，），= 111由得，取 =（0，1，1），则 cos＜，＞ === ，∴平面 A1与平面1夹角的余弦值为．BC A CD19．（ 12 分）（ 2015?陕西）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T 只与道路通情况相关，其容量200 的本行，果以下：T（分）25303540数（次）40608020（1）求 T 的散布列与数学希望 ET；（2）唐教授从老校区出，前去新校区做一个 50 分的座，束后立刻返回老校区，求唐教授从走开老校区到返回老校区共用不超120 分的概率．【剖析】（1）由果可得 T 的率散布，以率估概率得T 的散布列，能求出 T 的散布列与数学希望ET．（II） T1， T2分表示往、返所需， T1，T2的取互相独立，且与 T 的散布列同样．事件 A 表示“唐教授共用不超 120 分”，因为座50 分，事件 A 于“唐教授在途中的不超 70 分”．由此能求出唐教授从走开老校区到返回老校区共用不超120 分的概率．【解答】解：（1）由果可得T 的率散布T（分）25303540率0.20.3 0.40.1以率估概率得T 的散布列T25 303540P0.20.3 0.40.1从而 ET=25×0.2+30× 0.3+35× 0.4+40× 0.1=32．（分）⋯（4 分）（ II） T1， T2分表示往、返所需，T1，T2的取互相独立，且与T 的分布列同样．事件 A 表示“唐教授共用不超 120 分”，因为座 50 分，所以事件 A 于“唐教授在途中的不超 70 分”．P（A）=P（T1+T2≤70）=P（T1=25， T2≤45） +P（T1=30，T2≤40）+P（T1=35， T2≤35）+P（ T1=40，T2≤30）=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5× 0.1=0.91．⋯（10 分）20．（ 12 分）（ 2015?西）已知E：+（＞＞）的半焦距c，原=1 a b0点 O 到经过两点（ c， 0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆 E 的离心率；（Ⅱ）如图， AB 是圆 M ：（x+2）2+（y﹣1）2= 的一条直径，若椭圆 E 经过 A、B 两点，求椭圆 E 的方程．【剖析】（Ⅰ）求出经过点（ 0， b）和（ c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，联合离心率公式计算即可获取所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2，①设出直线AB 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，联合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得 b2=3，即可获取椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）经过点（ 0， b）和（ c，0）的直线方程为 bx+cy﹣ bc=0，则原点到直线的距离为 d== c ，即为，a=2be= ==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M （﹣ 2， 1）是线段 AB 的中点，则 | AB| =，易知 AB 与 x 轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设 A（x1，y1），B（x2， y2），则 x1+x2=．x1x2=，由 M 为 AB 的中点，可得 x1+x2﹣，得﹣，解得k=，= 4= 4从而 x1 2﹣2，于是 | AB| =1﹣x2| =?x =82b?| x== ，解得 b2=3，有 E 的方程+ =1．21．（ 12 分）（2015?西） f n（ x）是等比数列 1，x，x2，⋯， x n的各和，其中 x＞0，n∈ N， n≥ 2．（Ⅰ）明：函数 F n（ x）=f n（x）2 在（，1）内有且有一个零点（ x n），且 x n= + x；（Ⅱ）有一个与上述等比数列的首、末、数分同样的等差数列，其各和 g n（ x），比 f n（x）和 g n（x）的大小，并加以明．【剖析】（Ⅰ）由 F n（x）=f n（ x） 2=1+x+x2+⋯++x n2，求得 F n（ 1）＞ 0，F n（）＜0．再由数判断出函数F n（x）在（，1）内增，获取 F n（ x）在（，1）内有且有一个零点x n，由 F n（x n） =0，获取；（Ⅱ）先求出，结构函数 h（ x）=f n（ x）g n（x）=1+x+x2+⋯++x n ，当 x=1 ， f n（x）=g n（x）．当 x≠1 ，利用数求得h（ x）在（ 0，1）内增，在（ 1，+∞）内减，得到 f n（ x）＜ g n（x）．【解答】明：（Ⅰ）由 F n（ x） =f n（x） 2=1+x+x2+⋯+x n2，F n（1）=n 1＞0，F n（） =1+＜．∴ F n（x）在（，1）内起码存在一个零点，又＞，∴ F n（ x）在（，1）内增，∴F n（x）在（， 1）内有且有一个零点 x n，∵ x n是F n（x）的一个零点，∴ F n（x n） =0，即，故；（Ⅱ）由，，h（x） =f n（ x） g n（x）=1+x+x2+⋯+x n，x＞0．当 x=1 ， f n（x）=g n（x）．当 x≠1 ，．若 0＜x＜1，h′（x）＞=．若 x ＞ 1 ， h′（ x）＜=．∴h（ x）在（ 0，1）内增，在（ 1，+∞）内减，∴h（ x）＜ h（ 1）=0，即 f n（x）＜ g n（ x）．上，当x=1 ， f n（x） =g n（ x）；当 x＞0 且 x≠1 ， f n（x）＜ g n（ x）．四、修，在22、 23、24 中任一作答，假如多做按第一分．修 4-1：几何明22．（ 10 分）（ 2015?西）如， AB 切⊙ O 于点 B，直 AO 交⊙ O 于 D，E 两点， BC⊥DE，垂足 C．（Ⅰ）明：∠ CBD=∠ DBA；（Ⅱ）若 AD=3DC， BC=，求⊙ O的直径．【剖析】（Ⅰ）依据直径的性即可明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）合割定理行求解即可求⊙O 的直径．【解答】明：（Ⅰ）∵ DE是⊙ O 的直径，∠ BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠ CBD+∠EDB=90°，即∠ CBD=∠ BED，∵AB 切⊙ O 于点 B ，∴∠ DBA=∠BED ，即∠ CBD=∠DBA ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 BD 均分∠ CBA ，则=3，∵ BC= ，∴ AB=3 ，AC=，则 AD=3，由切割线定理得 AB 2=AD?AE ，即 AE= ，故 DE=AE ﹣ AD=3，即可⊙ O 的直径为 3．五、选修 4-4：坐标系与参数方程23．（ 2015?陕西）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为 ρ=2 sin θ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．【剖析】（ I ）由⊙ C 的极坐标方程为 ρ=22，把sin θ．化为 ρ=2代入即可得出；．（II ）设 P，，又C ，．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I ）由⊙ C 的极坐标方程为 ρ=2 sin θ．2，化为2 2，∴ρx +y==2配方为 =3．（ II）设 P，，又 C，．∴| PC| ==≥2 ，所以当 t=0时， | PC| 获得最小值 2．此时 P（3，0）．六、选修 4-5：不等式选讲24．（ 2015?陕西）已知对于 x 的不等式 | x+a| ＜b 的解集为 { x| 2＜x＜4}（Ⅰ）务实数 a，b 的值；（Ⅱ）求+的最大值．【剖析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab 的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式 =+ =+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）对于 x 的不等式 | x+a| ＜b 可化为﹣ b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为 { x| 2＜x＜4} ，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当= 即 t=1时取等，∴所求最大值为4。

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2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．解答：解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．点评：本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．167考点：收集数据的方法．专题：计算题；概率与统计．分析：利用百分比，可得该校女教师的人数．解答：解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C．点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．解答：解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min=﹣3+k=2，解得k=5，∴y=3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max=3+5=8，故选：C．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）A．7B．6C．5D．4考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意可得==15，解关于n的方程可得．解答：解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，∴=15，即=15，解得n=6，故选：B．点评：本题考查二项式定理，属基础题．5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．解答：解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．解答：解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，属基础题．8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（）A．2B．4C．10 D．28考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．解答：解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．解答：解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P==故选：D．点评：本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上考点：二次函数的性质．专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．解答：解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．考点：等差数列．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得首项的方程，解方程可得．解答：解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px中p的意义．15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：利用y=e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．解答：解：∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（5分）（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=，所以抛物线方程：y=，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2×=2（）=，等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．故答案为：1.2．点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面A1CD夹角的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，∴BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，∴∠A1OC=，如图，建立空间坐标系，∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），=（﹣，，0），=（0，，﹣），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），由得，取=（0，1，1），则cos＜＞===，∵平面A1BC与平面A1CD为钝二面角，∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P（A）=1﹣P（）=0.91．解答：解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T的分布列为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91点评：本题考查了频率=频数÷样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题．20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21．（12分）（2015•陕西）设f n （x ）是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2．（Ⅰ）证明：函数F n （x ）=f n （x ）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x n ），且x n =+x ；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n （x ），比较f n （x ）和g n （x ）的大小，并加以证明．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由F n （x ）=f n （x ）﹣2=1+x+x 2+…++x n ﹣2，求得F n （1）＞0，F n （）＜0．再由导数判断出函数F n （x ）在（，1）内单调递增，得到F n （x ）在（，1）内有且仅有一个零点x n ，由F n （x n ）=0，得到；（Ⅱ）先求出，构造函数h （x ）=f n （x ）﹣g n （x ）=1+x+x 2+…++x n ﹣，当x=1时，f n （x ）=g n （x ）．当x ≠1时，利用导数求得h （x ）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f n （x ）＜g n （x ）．解答：证明：（Ⅰ）由F n （x ）=f n （x ）﹣2=1+x+x 2+…++x n ﹣2，则F n （1）=n ﹣1＞0，F n （）=1+．∴F n （x ）在（，1）内至少存在一个零点，又，∴F n （x ）在（，1）内单调递增，∴F n （x ）在（，1）内有且仅有一个零点x n ， ∵x n 是F n （x ）的一个零点，∴F n （x n ）=0，即，故；（Ⅱ）由题设，，设h （x ）=f n （x ）﹣g n （x ）=1+x+x 2+…++x n ﹣，x ＞0．当x=1时，f n （x ）=g n （x ）．当x ≠1时，．若0＜x ＜1，h ′（x ）＞=．若x ＞1，h ′（x ）＜=．∴h （x ）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减， ∴h （x ）＜h （1）=0，即f n （x ）＜g n （x ）．综上，当x=1时，f n （x ）=g n （x ）；当x ≠1时，f n （x ）＜g n （x ）．点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n 项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）（2015•陕西）如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA ；（Ⅱ）若AD=3DC ，BC=，求⊙O 的直径．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA ；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．解答：证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不等式选讲24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．解答：解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．。