简单的排列和组合问题
排列与组合
P77
种方法
P77 − 2 P66 + P55 = 3720
(3)二分法
个数字中任取3个 从1,3,5,7这4个数字中任取 个，从0，2,4 这 个数字中任取 ， 个数字中任取2个 这3个数字中任取 个，可以组成多少个无重复数 个数字中任取 字的五位数？ 字的五位数？
第一类：取0，有
3 1 C4 C2
名同学中选出2名去参加一项 （2）从甲、乙、丙3名同学中选出 名去参加一项 ）从甲、 名同学中选出 活动，有多少种不同的选法？ 活动，有多少种不同的选法？
一、组合的概念
一般地， 个不同的元素中取出m(m≤n) m(m≤n)个元 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合。 一个组合。 排列与组合的联系与区别： 排列与组合的联系与区别： 都是从n个不同的元素中取出m个元素， 1、都是从n个不同的元素中取出m个元素，且m≤n 2、有序问题是排列，无序问题是组合。 有序问题是排列，无序问题是组合。 同一组合只要元素完全相同。 3、同一组合只要元素完全相同。
2 5辆汽车从停车场分五班开出，其中甲车 辆汽车从停车场分五班开出， 辆汽车从停车场分五班开出 必须在乙车之前开出， 必须在乙车之前开出，则发车方案种数为 （c ） A.24
题目分析： 题目分析： 以甲车必须在乙车之前开出为解题关键， 以甲车必须在乙车之前开出为解题关键，考虑甲车和乙车的 开出顺序。 开出顺序。
种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
P41 P44 个五位数。
3 1 ∴ N1 = C4 C2 P41 P44
第二类：不取0，有 C4 C2 种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
小学数学中的简单排列和组合问题解析
小学数学中的简单排列和组合问题解析在小学数学的学习中，排列和组合是一种重要的数学运算，它们涉及到数学中的多种概念和方法。
本文将对小学数学中的简单排列和组合问题进行解析，并介绍相关的概念、方法和应用。
一、排列问题排列是指从若干不同的元素中选取若干个元素进行排列的操作。
排列的顺序很重要，因此不同的排列方式会得到不同的结果。
在小学数学中，常见的排列问题包括：选取若干个元素进行排队、选取若干个元素进行站队等。
1. 排队问题排队问题是指将若干个人或物按照一定的顺序进行排队的操作。
假设有5个人（A、B、C、D、E），要求将他们按照一定的顺序排成一队，求出共有多少种不同的排队方式。
根据排列的性质，我们知道第一个人有5种选择，第二个人有4种选择，以此类推，第五个人有1种选择。
因此，总的排队方式为5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120种。
2. 站队问题站队问题是指将若干个人或物按照一定的顺序进行站队的操作。
假设有5个人（A、B、C、D、E），要求将他们按照一定的顺序站成一列，求出共有多少种不同的站队方式。
与排队问题类似，第一个人有5种选择，第二个人有4种选择，以此类推，第五个人有1种选择。
因此，总的站队方式为5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 120种。
二、组合问题组合是指从若干不同的元素中选取若干个元素进行组合的操作。
组合的顺序不重要，因此相同的元素组合方式只计算一次。
在小学数学中，常见的组合问题包括：从若干个物品中选取若干个进行搭配、从若干个元素中选取若干个进行组队等。
1. 搭配问题搭配问题是指从若干个物品中选取若干个进行搭配的操作。
假设有3个颜色的帽子（红、黄、蓝）、2种颜色的衣服（白、黑）和2种颜色的鞋子（棕、灰），要求从这些物品中选取一个帽子、一件衣服和一双鞋子进行搭配，求出共有多少种不同的搭配方式。
根据组合的性质，我们知道从3个帽子中选取一个的方式有3种选择，从2种衣服中选取一件的方式有2种选择，从2种鞋子中选取一双的方式有2种选择。
小学数学解决简单的排列组合问题
小学数学解决简单的排列组合问题排列组合是小学数学中一个重要的概念，它涉及到对一组元素进行有序或无序排列的问题。
在解决简单的排列组合问题时，我们可以通过确定问题的条件和采用适当的计算方法来求解。
本文将介绍如何解决简单的排列组合问题，包括计算排列数和组合数的方法，以及一些常见的应用。
一、排列的计算方法排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列的方式。
当元素的顺序不同时，它们所组成的排列是不同的。
我们可以通过数学的方法来计算排列数。
1.1 从n个元素中选取m个进行排列当我们需要从n个不同元素中选取m个进行排列时，可以使用以下公式计算排列数：Anm = n! / (n-m)!式中，Anm表示从n个元素中选取m个进行排列的结果，n!表示n 的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
例如，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果为：A53 = 5! / (5-3)!= 5! / 2!= 5*4*3*2*1 / 2*1= 60因此，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果有60种。
1.2 从n个元素中选取所有进行排列当我们需要从n个不同元素中选取所有进行排列时，也可以使用阶乘的方法来计算排列数：An = n!例如，从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果为：A5 = 5!= 5*4*3*2*1= 120因此，从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果有120种。
二、组合的计算方法组合是指从一组元素中选取若干个进行无序排列的方式。
当元素的顺序不重要时，它们所组成的组合是相同的。
我们可以使用组合数来表示从一组元素中选取若干个进行组合的结果。
2.1 从n个元素中选取m个进行组合当我们需要从n个不同元素中选取m个进行组合时，可以使用以下公式计算组合数：Cnm = n! / ((n-m)! * m!)式中，Cnm表示从n个元素中选取m个进行组合的结果。
例如，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果为：C53 = 5! / ((5-3)! * 3)!= 5! / (2! * 3)!= 5*4*3*2*1 / (2*1 * 3*2*1)= 10因此，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果有10种。
小升初数学简单的排列与组合专题复习附答案
小升初数学简单的排列与组合专题复习附答案知识点一：1.排列、组合：排列是把给定个数的元素按照一定的顺序排成一列；组合是把给定个数的元素按任意顺序并成一组。
2.解决排列、组合问题的基本原理：分类计数原理（也称加法原理）与分步计数原理（也称乘法原理）（1）分类计数原理：指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事。
那么各种不同的方法数相加，其和就是完成这件事的方法总数。
（2）分步计数原理：指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。
那么每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这事的方法总数。
知识点二：简单的逻辑推理根据已有的事实，经过分析、推断，就能找到答案，这种解决问题的方法就是逻辑推理。
知识点三：解决问题的策略1.列表法：在解决问题时，可以用表格将条件和问题整理出来，就能发现数量之间的联系，找出规律，顺利解题2.图解法：就是借助图形，通过画线段或直观图，把应用题中抽象的数量关系，直观形象地显示！来，使其一目了然，帮助我们理解题意，明确数量的关系，进而很快地寻找出解题的途径不方法。
3.枚举法：根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地--列举出来，从而解决问题的方法叫做枚举法，也叫做列举法或穷举法。
4.逆推法：从应用题的问题的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着推理，直到解决问题，这种思考方法叫做逆推法，又称为“倒推法”或“还原法”5.假设法：常把问题中的一个未知数假定为已知的，然后根据题目中的已知条件推算，其结果常与题目对应的已知数不符，再加以适当调整，就可以求出结果。
鸡兔同笼问题常用假设法求解，鸡兔同笼问题也称设置问题。
6.替换法：根据两种数量中，某种数值4相等的关系，用一种量替换另一种量来寻得解决问题的思考方法，叫做替换法。
一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）1.（2019·黄埔）把4本不同的书分给4位同学，每人一本，一共有（）种不同的分法。
简单的排列与组合
1 2 3 12 13 21 23 31 32
1
12 13 23
2
21 31 32
3
1
21 12 13
2
31 32 23
3
1
2
3
提示二：把这些两 位数从小到大排列， 密码是第四个数。
欢迎进入数学 乐园！
如果每两个人握一次手，三个人共握几次手？
3次 1次 2次
第一关
有几种穿法？
第二关
数 学 乐园
欢迎你们的到来,为 了考考你们的智慧， 请你们先想办法把这 把密码锁打开。
1
2
Байду номын сангаас
3
提示一：这把锁的 密码是由1、2、3 三个数字中的两个 数字组成的两位数。
要求：
1、同桌合作，一人摆数字卡片， 一人把摆好的数记录下来，先商 量一下谁摆，谁记。 2、完成后，小组讨论，并派代表 汇报，你们是怎么摆的。
读书 书读
读好 书
好读
共六种
从数学乐园回到家中有几条路可走？ 哪条路最近呢？
A——1 A——2 A——3 B——1 B——2 B——3 1 有6条路可以走， 其中A——2最近。
数学乐园
Α
2
家
3
Β
•
生活中原来有这么多数学问题。只 要你细心观察，做生活的有心人，就能 发现更多有趣的数学问题，你会发现数 学知识在生活中的用处真大。
如果每两个人拥抱一次，四个人拥抱 几次呢？（要求：不遗漏，不重复）
1
2
3
4
第三关
0
2
3
能摆成几个两位数？
0 2 3
不是两位数
四个
用“读、好、书”三个字组 成句子,一共有几种读法？
简单的排列组合问题解决
简单的排列组合问题解决排列组合是组合数学中的一个重要分支，涉及到对对象的不同排列或组合情况进行计算和分析。
在实际生活和问题求解中，经常会遇到排列和组合的情况，掌握排列组合的基本原理和应用方法对解决问题具有重要意义。
本文将介绍一些简单的排列组合问题及其解决方法。
一、排列组合的基本概念1. 排列（Permutation）排列是指从一组对象中，按照一定的顺序，选取若干个对象组成一个序列。
对于一个由n个不同对象组成的集合，从中选择m个对象进行排列，可以通过以下公式计算排列数：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从n到1的连乘。
排列数P(n,m)表示从n个对象中选取m个对象进行排列的情况数。
2. 组合（Combination）组合是指从一组对象中，不考虑顺序，选取若干个对象组成一个组合。
对于一个由n个不同对象组成的集合，从中选择m个对象进行组合，可以通过以下公式计算组合数：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)组合数C(n,m)表示从n个对象中选取m个对象进行组合的情况数。
二、排列组合问题的解决方法1. 排列问题的解决方法排列问题可以通过以下步骤进行解决：Step 1: 确定问题中的条件和要求，明确需要计算的排列数。
Step 2: 将问题转化为数学表达式，应用排列数的计算公式进行计算。
Step 3: 计算并得出最终结果。
例如，有5个人要站成一排，求可能的站队方式。
根据排列的定义，此问题可以表示为计算5个不同对象的全排列，即P(5,5)。
根据排列数的计算公式，有：P(5,5) = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120所以，可能的站队方式有120种。
2. 组合问题的解决方法组合问题可以通过以下步骤进行解决：Step 1: 确定问题中的条件和要求，明确需要计算的组合数。
Step 2: 将问题转化为数学表达式，应用组合数的计算公式进行计算。
Step 3: 计算并得出最终结果。
简单的排列组合问题
简单的排列组合问题排列组合问题是概率论中经常会遇到的基本问题，通过对排列组合问题的学习，有助于我们更深入地理解概率论的相关概念。
本文将从什么是排列组合的基本概念入手，介绍排列组合如何求解以及应用排列组合的一些实际问题。
一、什么是排列组合排列和组合是两种基本的计数方法。
排列和组合的区别在于是否考虑对象的顺序。
如果考虑对象的顺序，那么我们称之为排列，否则，我们称之为组合。
举个例子，如果我们有3个球（红球、绿球、蓝球），那么我们可以用多少种方式从中选择两个球呢？我们可以按照以下两种方式来考虑：1. 排列：红绿、红蓝、绿红、绿蓝、蓝红、蓝绿（考虑了顺序，所以有6种）2. 组合：红绿、红蓝、绿蓝（不考虑顺序，所以有3种）通过上面的例子，我们可以发现，在排列和组合中，计算方法是不同的，而且在解决实际问题中，我们需要根据问题的具体情况来判断是使用排列还是组合。
二、如何求解排列组合对于排列组合问题，我们可以通过公式进行求解。
在排列问题中，假设有n个不同的物体，要从中选取k个物体，且顺序不同，那么排列的总数为A(n,k) = n! / (n - k)!，其中“!”表示阶乘。
在组合问题中，假设有n个不同的物体，要从中选取k个物体，且顺序不同，那么组合的总数为C(n,k) = n!/[(n-k)!k!]举个例子，如果我们有4张卡片，分别写有A、B、C、D四个字母，那么从中任选2张卡片，可以组成多少个不同的排列和组合呢？首先，根据排列公式，可以得到排列的总数为A(4,2) = 4!/(4-2)! = 12。
具体的排列方式为AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC。
其次，根据组合公式，可以得到组合的总数为C(4,2) = 4!/[(4-2)!2!]= 6。
具体的组合方式为AB、AC、AD、BC、BD、CD。
通过以上例子，我们可以看到，在排列组合问题中，计算公式相对简单，但是需要注意区分排列和组合，才能得到正确的答案。
常见的一些排列、组合模式和解法
66P 55P 55P !666616⋅=⋅P P !6!76677-=-P P )(28807204!646614种=⨯=⋅=⋅P P 常见的一些排列、组合模式和解法（一）优待排列：参加排列的某个特殊元素需优先照顾，排列在某些特殊位置上，例如该元素一定要排列在队首、队尾或中间等；或者要求该元素不能排在某些特殊位置上。
这种排列称为优待排列。
[例] 7个人并坐照相，⑴如果某一人必须坐在中间，有几种坐法？⑵如果某两人必须坐在两端（左右不限）有几种坐法？⑶如果某一人不能坐在中间，也不能坐两端，有多少种坐法？解：⑴某人必须坐在中间，他就固定不变了，剩下的实际是6个人的全排列： 即：= 6! = 720（种）⑵设甲坐在左端、乙坐在右端，这样甲、乙就固定不变了，这时是剩余5个人的全排列，即 种坐法，又因甲、乙两人可互换位置，因此：2 = 240（种）⑶若某一人不能坐在中间的情况：解法一： 解法二：若某一人即不能坐中间，也不能坐两端：解优待排列问题的关键是抓住某个特殊元素（往往有些特殊要求）优先加以安排处理，然后再考虑其它一般元素的处理，从而解决问题。
[思考] 分配5个人分别担任5种不同的工作，如果甲不能担任第一种工作，同时乙66P 22P 55P 不能担任第5种工作，问有多少种分法？33*41*41P P P（二）集团排列：参加排列的几个元素要求排在一起，称之为集团排列问题。
[例] 7个人并坐照相，如果某两人必须坐在一起，有多少种坐法？解：因某两人必须坐在一起，不妨把这两人看作是一个人，这样原问题转化为6个人的全排列，有 种坐法，再考虑这两人的排列有种坐法。
解集团排列问题的关键是将要求排列在一起的元素看作一个元素（整体或集团），参加其它元素的排列，然后，再考虑这个整体内部的排列数。
（三）间隔排列：若参加排列的元素要求相互间隔，即一个隔一个地排列，则称之为间隔排列。
[例] 某校绿化组买来各不相同的5棵梧桐树和3棵白玉兰种成一行，以美化校园，要求3棵白玉兰不能相邻，问有多少种不同的种法？解：若用“□”表示梧桐树，用“※”表示白玉兰可插入位置，则有※ □ ※ □ ※ □ ※ □ ※ □ ※梧桐树的种植没有限制，有种种法；而白玉兰不能相邻种植，只能在“※”位置种埴：间隔排列的解法一般是先把无限制条件的元素作全排列，然后再在它们之间、之前、之后的空档处，插入不能相邻的元素，这样就把问题转化为排列、组合的基本问题。
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•
每两个动物 握一次手， 三个动物， 一共握3次手。
为什么三个数字能组成6个两位数，而三个人只能握三次手呢？
12
13
21 23
31
12
超级密码锁
32
3个小动物排队买票，有几种排法？
第一位
第二位
第三位
电话号码： 31092 9 3 最后两个数字是由1、3、9组成的 两位数，猜一猜，小老虎家的电话 号码可能是多少呢？
我们每两个握一 次手，三个动物 一共要握几次手？
小朋友你今天和老师一起学习愉快 吗？你有什么收获？与老师和同学们 一起分享一下吧！
人教新课标二年级数学上册
---简单的排列组合问题(1)
1、与同桌团结协作，探讨数学问题。 2、大胆的向大家发表自己的见解。
密码锁
密码是1和2组 成的两位21
这个两位数是1和2 组成的最大两位数. 密码是多少呢？
21
学习新知：
超级密码锁
这把锁的密码是 由1、2、3这三个 数字其中的两个 摆成的两位数 。
提升练习
幸运大抽奖
抽奖箱里有1，4，9，7四个 数字，随机抽2个数字组成2 位数就是中奖号码，中奖号 码可能会是几呢？
从数学城堡经商场到学校有几种走法？
A B
数学城堡
商场
C
学校
• 1、2、3能 组成下面6 个两位数。 • 12 13 • 21 23 • 31 32
摆数交换位 置会变成另 外个数，而 握手交换位 置也不变。
超级密码锁
摆一摆：
1、想一想：用1、2、3组成两位数，每个两 位数的十位数和个位数不能一样，按顺序 的摆，能组成几个两位数？ 2、同桌合作，先讨论按什么顺序摆，然后一 人摆，一人负责记录所摆的数。 3、合作完之后，同桌坐端正并举手示意。
这把锁的密码是 由1、2、3这三个 数字其中的两个 摆成的最小的两 位数 。