第五讲 正交实验设计与数据处理 PPT课件

其中εr (r=1,2,……,9)相互独立， μ即各次试验结 果理论值μr 的总平均， ai ,bj ,ck (i,j,k=1,2,3) 分别表示因素A,B,C对指标的效应，即
ai =（水平Ai下各次试验结果值μr的平均）－ μ i=1,2,3
bj =（水平Bj下各次试验结果值μr的平均）－ μ j=1,2,3
提出拟考察的试验因素及水平 考虑现有的人力、物力和试验条件，有能力承
担多大规模的试验研究 说明需要观测哪些指标，是定量的还是定性的
或两种兼而有之 选择合适的设计类型并给出全部因素水平组合
的方案
正交试验设计
是解决这类问题的有效方法之一； 正交试验设计的主要工具是正交表，用正交表
安排试验是一种较好的方法，在实践中已得到 广泛的应用 正交试验设计是用一套规格化的表格来安排试 验，这种表格叫做正交表
实际问题很复杂，对试验有影响的因素往往 是多方面的。
在多因素、多水平试验中，若对每个因素的 每个水平都互相搭配进行全面试验，需要做 的试验就会很多。
例如
两个7水平的因素，如果两因素的各个水平都互相搭 配进行全面试验，要做 72＝49次试验，
3个7水平的因素进行全面试验，就要做 73＝343次试验
（B），用碱量（C），选取的水平如下：
因素\水平
1
2
3
温度（A）
80℃ 85 ℃
90 ℃
时间（B）
90分 120分
150分
用碱量（C） 5%
6%
7%
用正交表安排试验的步骤：
首先选择适合试验的正交表，这里是三因素三 水平试验，用L9(34)比较适合，这时只要做9次 试验
把A、B、C三个因素放到L9(34)的任意三列上， 例如放在前三列，把A、B、C对应的 “1”“2”“3”翻译成具体的水平，如表2所 示：
表1 因素水平表
水平 反应温度（A） 反应时间（B） 加酸量（C） 酸的浓度（D）
1
85
90
1:1
10
2
90
120
2:1
15
3
95
150
3:1
20
用正交表安排试验的步骤：
首先选择适合试验的正交表，这里是四因素三水平试 验，用L9(34)比较适合，这时只要做9次试验，每一行 代表一次试验的条件。
把A、B、C、D四个因素放到L9(34)的四列上，每一行 所代表的试验条件，即把A、B、C、D对应的 “1”“2”“3”翻译成具体的水平，如表2所示，并 将试验结果填写入相应的试验序号中，然后进行计算 和分析。
列组成，表示用该表设计试验时最多可安排一 个4水平的因素，4个2水平的因素，需要试验 的总次数为8次 其它如L18(21×37)，L32(81×46×26)等等，都 有类似的含义。
交互作用表
需要考虑因素的交互作用时，许多正交表都配有一张交 互作用表
从交互作用表上可以查出相应正交表中任何两列之间的 交互作用所占的列
171
k1
39
45
51
49
k2
60
60
58
56
k3
63
56
53
57
R
24
15
7
8
说明与结果分析：
K为各因素相同水平的指标之和； 极差R为相同因素不同水平的指标平均值中最大
值与最小值之差；并作出因子水平与R值间关系 图：由图可以看出因子与指标的变化规律，明确 因子影响指标的主次：A>B>C>D
k
正交试验设计与数据分析
试验优化设计Experimental design
以概率论和数理统计为理论基础 经济地、科学地安排试验 正确地分析试验数据 尽快地获得优化方案 一项实用技术
试验的必要性
生产实践中，试制新产品、改革新工艺、寻求 好的生产条件等，这些都需要先做试验
试验需要花费时间、消耗人力、物力 人们希望做试验的次数尽量少，而得到的结果
正交性的优点
保证每个因素的各个水平参加试验的次数一样 多，每两个因素之间实现了完全水平组合试验
因素的各种水平的搭配是均衡的 正交表所需要试验的次数在多因素多水平的完
全组合试验中具有较好的代表性 正交试验中的最优水平组合在完全水平组合试
验中仍是名列前茅
混合水平正交表
水平数不等的正交表，称为混合水平正交表 如L8(41×24)是由一个4水平的列，4个2水平的
正交表简介
是一种特制的表格，每个表都有一个记号，如L9(34)， L8(27)，就是两个最常用的正交表；
符号说明： L——正交表 L下角的9、8——正交表的行数
括号里的3、2——因素所取的水平数， 指数4、7——正交表的列数
表内的数字1、2、3——因素的水平
二水平的正交表还有L16(215)、L12(211)， 三水平的正交表还有L18(37)，L27(313)， 四水平的正交表还有L16(45)等等。
对试验结果进行方差分析
设9次试验结果以y1,y2,……,y9表示，我们假定yr ＝μr +εr (r=1,2,……,9)r的结构式为
y1 ＝μ+a1 +b1 +c1 + ε1 y2 ＝μ+a2 +b2 +c2 + ε2
…… …… …… y9 ＝μ+a9 +b9 +c9 + ε9
（1）
εr ～N(0, σ2 ) r=1,2,……,9
表2 试验方案与结果
列号 1
2
3
4
试验 A
B
C
号
11 111 21 222 31 333 42 123 52 231 62 312 73 132 83 213 93 321
列号 1
2
3 指标
试验 A
B
C （转
号
化率）
1 1(80) 1(90) 1 (5) 31(%) 2 1(80) 2(120) 2 (6) 54 3 1(80) 3(150) 3 (7) 38 4 2(85) 1(90) 2 (6) 53 5 2(85) 2(120) 3 (7) 49 6 2(85) 3(150) 1 (5) 42 7 3(90) 1(90) 3 (7) 57 8 3(90) 2(120) 1 (5) 62 9 3(90) 3(150) 2 (6) 64
适用于需要考察的交互作用不多、也不太复杂 的多因素试验研究的场合；
通过方差分析鉴别各因素对试验指标的影响。
正交试验设计步骤
首先要根据试验目的，确定要观察的因素 确定每个因素的水平 然后选用适当的正交表安排试验。
例一
为提高某化工酸洗过程中产品的收率，选择了四个有 关因素：反应温度（A）、反应时间（B），用酸量 （C）和酸浓度(D)，由生产实践经验及专业知识选取 的水平如下：
6个7水平的因素进行全面试验，要做 76＝117649次试验
试验次数多，要花费大量的人力、物力，还 要用相当长的时间
由于时间长，条件改变，还会使试验失效 长期的实践表明，要得理想的结果，并不需
要做全面试验。尤其对那些试验费用很高， 或具有破坏性的试验，更不要做全面试验
应当在不影响试验效果的前提下，尽可能减少 试验次数
（1）每个因素 hij {1,2, , k} i 1,2, , n j 1,2, , m ； （2）任一列中每个不同元素出现的次数都等
于 n；
k
（3）H中任意二列同行上的有序数偶： （1,1）…（1,k），（2,1）…（k,1）… （k,k），出现的次数都等于n/k2。
正交表的特点（或性质）-正交性
试验设计的意义
根据专业知识和统计学知识，制定出一个包含多因素 多水平有机组合的试验计划；
清楚地表达出每次试验涉及到各因素的哪个水平，各 种水平组合下是否需要做重复试验，全部试验共需进 行多少次；
是试验的行动指南； 使试验过程有据可查、有章可循，并能有效地、科学
地解决试验研究中的复杂问题。
试验设计的基本步骤
表2 试验方案与结果
列号 1
2
3
4
试验 A
B
C
D
号
1 11 11
2 12 22
3 13 33
4 21 23
5 22 31
6 23 12
7 31 32
8 32 13
9 33 21
列号 试验 号
1
2 3 4 5 6 7 8 9
1 A
1(85) 1 1
2(90) 2 2
3(95) 3 3
2 B
1(90) 2(120) 3(150)
每列中不同数字出现的次数是相等的，如 L9(34)中不同的数字是1,2,3，它们各出现3次。 (n/k)
在任意两列中，将同一行的两个数字看成有 序数对出现的次数也是相等的，如L9(34)，有 序数对共有9个： (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3 ,3)，它们各出现一次。(n/k2)
123
选定最优方案为A3B2C2D3，并验证该方案。
正交试验的方差分析
直观分析不能给出误差的大小，也不能知道结 果的精度；
方差分析能够反应数据的波动性，即数据的分 散性，方差大小表明数据变化的显著程度，也 表明因素对指标影响大小。
例二
为提高某化工产品的转化率，选择 了三个 有关因素：反应温度（A）、反应时间
1 2 3 1 2 3
3 C
1(1:1) 2(2:1) 3(3:1)
2 3 1 3 1 2
4 D
1(10) 2(15) 3(20)
3 1 2 2 3 1
正交实验结果分析
对试验结果的分析：直观分析 方差分析
表2 正交试验直观分析计算结果
1
1
1
1
1
A1B1C1D1 22
2
1
2
2
2
A1B2C2D2 52
A
B
C
D
因素
1 23 123 123
123
选定最优方案为A3B2C2D3，并验证该方案。
正交试验直观分析：
看出因子与指标的变化规律； 明确因子影响指标的主次：A>B>C>D 选定最优方案,取务因子中有最高指标的水
平组合
k
A
B
C
D
因素
1 23 123 123
ck =（水平Ck下各次试验结果值μr的平均）－ μ k=1,2,3
且满足
3
3
3
ai bj ck 0
i1
j 1
k 1
要检验的假设为：
H01： a1 = a2 = a3 = 0 H02： b1 = b2 = b3 = 0 H03： c1 = c2 = c3 = 0
令
y
1 9
9 r 1
yr
其中
6
)2
3(a3
7
8 3
9
)2
SB
3(b1
1
4 3
7
)2
3(b2
2
5 3
8
)2
3(b3
3
6 3
9
)2
SC
3(c1
1
6 3
8
)2
3(c2
2
4 3
9
)2
3(c3
3
5 3
7
)2
SA——反映了因素A各水平效应引起的差异，它正好 等于正交表L9(34)中第一列各水平的偏差平方和S1；
SB——反映了因素B各水平效应引起的差异，它正好 等于正交表L9(34)中第二列各水平的偏差平方和S2；
尽可能好
完整的试验应包括三个方面：
第一，试验的设计 第二，试验的实施 第三，试验结果的分析
试验设计的概念
即试验的最优化设计，是研究如何合理而有效 地获得数据资料的方法。
其主要内容就是讨论如何合理地安排试验、取 得数据，然后进行综合的科学分析，以达到尽 快获得最优方案的目的。
是数理统计学的应用方法之一。
3
1
3
3
3
A1B3C3D3 43
4
2
1
2
3
A2B1C2D3 58
5
2
2
3
1
A2B2C3D1 61
6
2
3
1
2
A2B3C1D2 61
7
3
1
3
2
A3B1C3D2 55
8
3
2
1
3
A3B2C1D3 70
9
3
3
2
1
A3B3C2D1 64
K1
117
135
153
147
K2
180
183
174
168
K3
189
168
159
1 9
9
r
r 1
于是9次试验结果的总偏差平方和为：
9
ST ( yr y)2 r 1
经过初等的代数运算，可以得到如下的分解式：
ST S A SB SC SE
其中
（2）
SA
3(
y1
y2 3
y3
y)2
3(
y4
y5 3
y6
y)2
3(
y7
y8 3
y9
y)2
3(a1
1
2 3
3
)2
3(a2
4
5 3
SC——反映了因素C各水平效应引起的差异，它正 好等于正交表L9(34)中第三列各水平的偏差平方和S3；
比如对L8(27)，由相应的交互作用表可以查到L8(27)中第 1,2两列的交互作用应占第3列，而第1,4两列的交互作 用应占第5列，第2,4两列的交互作用应占第6列等等。 而三水平正交表中任意两列的交互作用都占有两列。
正交试验设计应用范围
常常用来解决二水平或三水平或二、三水混合 水平的多因素设计问题；
正交表L9(34)
试验号\ 列号
1
2wk.baidu.com
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
正交表记法
一般正交表记为Ln(mk)， n——是表的行数，是要安排的试验次数； k——表中列数，表示因素的个数； m——是各因素的水平数。
Ln(Km)是一个n行m列矩阵