江苏省学物理竞赛讲义-11.1电场强度
《电场强度》 讲义
《电场强度》讲义一、什么是电场强度在我们探讨电场强度这个概念之前，让我们先想象一下这样的场景：当我们把一个电荷放入空间中的某个位置时，它会对周围的空间产生一种“影响力”。
就好像一个人站在人群中，会对周围的人产生某种“作用”一样。
这种电荷产生的“影响力”所分布的区域，我们就称之为电场。
那么，怎么来衡量这个电场的“强弱”呢？这就引出了电场强度的概念。
电场强度，简单来说，就是用来描述电场强弱和方向的物理量。
为了更形象地理解，我们可以把电场想象成一片海洋，而电场强度就像是海洋中的水流速度。
水流速度越大，说明海水流动的力量越强；同样，电场强度越大，说明电场的作用越强。
电场强度的定义是：放入电场中某点的电荷所受到的电场力 F 跟它的电荷量q 的比值，叫做该点的电场强度，用E 表示。
数学表达式为：E ＝F ／ q 。
二、电场强度的单位在国际单位制中，电场强度的单位是牛顿/库仑（N/C）。
这是怎么来的呢？从电场强度的定义式 E ＝ F ／ q 可以看出，电场力 F 的单位是牛顿（N），电荷量 q 的单位是库仑（C），所以电场强度的单位就是牛顿除以库仑，即牛顿/库仑（N/C）。
还有一个常用的单位是伏特/米（V/m）。
这是因为在匀强电场中，电场强度与电势差（电压）和沿电场方向的距离之间存在关系：E ＝ U ／ d ，其中 U 是电势差，单位是伏特（V），d 是沿电场方向的距离，单位是米（m）。
所以，电场强度的单位也可以是伏特/米（V/m）。
这两个单位是等价的，可以通过电场的相关公式进行换算。
三、电场强度的性质1、矢量性电场强度是一个矢量，既有大小，又有方向。
它的方向与正电荷在该点所受电场力的方向相同，与负电荷在该点所受电场力的方向相反。
例如，在一个正点电荷产生的电场中，电场强度的方向是从正电荷指向无穷远；而在一个负点电荷产生的电场中，电场强度的方向是从无穷远指向负电荷。
2、唯一性电场中某一点的电场强度是唯一确定的，它取决于产生电场的电荷分布，与放入该点的试探电荷无关。
高中物理竞赛讲义：电场
专题十一 电场【扩展知识】1．均匀带电球壳内外的电场（1）均匀带电球壳内部的场强处处为零。
（2）均匀带电球壳外任意一点的场强公式为 。
式中r 是壳外任意一点到球心距离，Q 为球壳带的总电量。
2．计算电势的公式（1）点电荷电场的电势若取无穷远处（r =∞）的电势为零，则 。
式中Q 为场源电荷的电量，r 为场点到点电荷的距离。
（2）半径为R 、电量为Q 的均匀带电球面的在距球心r 处的电势 r Q k U （r ≥R ）, （r ＜R ）3．电介质的极化（1）电介质的极化 把一块电介质放在电场中，跟电场垂直的介质的两个端面上将出现等量异号的不能自由移动的电荷（极化电荷），叫做电介质的极化。
（2）电介质的介电常数 电介质的性质用相对介电常数εr 来表示。
一个点电荷Q 放在均匀的无限大（指充满电场所在的空间）介质中时，与电荷接触的介质表面将出现异号的极化电荷q ′（），使空间各点的电场强度（E ）比无介质时单独由Q 产生的电场强度（E 0）小εr 倍，即E 0/E =εr 。
故点电荷在无限大的均匀介质中的场强和电势分别为，。
4．电容器（1）电容器的电容充满均匀电介质的平行板电容器的电容或。
推论：。
平行板电容器中中插入厚度为d1的金属板。
（2）电容器的联接串联：；并联：。
（3）电容器的能量。
【典型例题】1.如图所示，在半径R=1m的原来不带电的金属球壳内放两个点电荷，其电量分别为q1=-3×10-9C和q2=9×10-9C。
它们与金属球壳内壁均不接触。
问距球壳中心O点10m处的场强有多大？2．真空中，有五个电量均为Q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为R、、、、，彼此内切于P点，如图所示。
设球心分别为O1、O2、O3、O4和O5，求O5与O4间的电势差。
3．三个电容器与电动势为E的电源连接如图所示，C3=2C1=2C2=2C。
开始时S1、S2断开，S合上，电源对C1、C2充电，断开S。
然后接通S1，达静电平衡后，断开S1，再接通S2。
高二物理竞赛课件：电场 电场强度
或
E
E
2 x
E
2 y
tg E y E x
例5-2 求电偶极子轴线的延长线和中垂线上的场强。
电偶极子：一对等值异号的点电荷构成的电荷系：
电偶极矩：
P
p ql
r
-q
q
l
(r>>l)
（1）延长线上的场强:
E
q
4 0 r l
22
q
E 4 0 r l 22
EP
E E
q
4 0
2rl r4
1 1 l 2 4r2
2
2ql
4 0 r 3
p
2 0 r 3
r
-q
O
q E－ P E＋
l
（2）中垂线上的场强：
q
E E 4 0 r2 l 2 4 2
E＋
EP 2E cos
ql
4 0
r2 l2
32
4
E
P
E－ r
ql
4 0 r 3
p
4 0 r 3
－q
O
l
q
dV
dq dV
体分布
dS
dq dS
面分布
dl
dq dl
线分布
E
dE
dq q 40r 2
rˆ
矢量积分
用积分法计算场强的解题步骤:
10 选择电荷元 dq;(视为点电荷)
20 建立坐标系,写出dq 与座标变量的关系，写出p点 处 dE 的大小
dq
dE 4 0r 2
30 画出p点处 dE 的方向
Fn q
n i 1
Fi q
n i 1
Ei
n
高中物理竞赛名校冲刺讲义—第五章静电场：第二节电场强度教案设计
2021 高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛讲义第五章 静电场§ 电场强度一、静电场1 定义 相对于观察者静止的电荷在周围空间激发的电场。
电 场电荷电荷2 性质(1)力的性质：对处于电场中的其他带电体有作用力；(2)能量的性质：在电场中移动其他带电体时，电场力要对它作功。
二、电场强度1 定义 电场中某点处的电场强度的大小等于位于该点处的单位检验电荷所受的力的大小，其方向与正检验电荷受力方向相同。
r rFEq 0N C 1 V m 12 单位3 电场力电荷在电场中受力v vFqEE三、点电荷的电场强度q 0·p求点电荷 q(源电荷 )在 p 点(场点 )产生的电场 解： 在 p 点放一检验电荷 q 0 ，r由库仑定律和场强定义，有q 0 受力F1 qq 0 r? qr 2 r 04p 点场强v v1q vvFvEq 04 π 0 r 2 r 0E+-E四、电场强度的叠加原理q 1vvr 1F 3vvF 2由力的叠加原理得 q 0 所受合力q 2r 2vvq 3r 3r 1v vv vvF 1F F 1 F 2 LF n故q处总电场强度vv vvvF F 1F 2F nEq 0q 0q 0Lq 0电场强度的 叠加原理v v vvE E 1 E 2L E n点电荷系电场中任意一点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。
这一规律称为场强叠加原理。
vq 1v 0q 2 vLq 1 v 0E2r 142 r 242r n40 r10 r20 rnnq i v 0Qp1 42 r ii 0 ri·dE连续带电体的场强?r场强积分法dq解题步骤：1〕把Q 无限多电荷元 dq(图中是点电荷 )2〕 由 dqdE (由电荷元的场强公式 )·v 1 d q v 0 d E4 π 0r 2 r3〕由 dE E = dE (利用场强叠加 原理 )求点 P 处电场强度v v 1d q rvEd E4 π 0r2电荷密度体电荷密度：单位体积的带电量面电荷密度：单位面积的带电量线电荷密度：单位长度的带电量例：电荷线密度d q dld l qv1dl v0dE 4 π0r 2rv1dl v0E4 πr2rl0五、电场强度计算举例例 5－ 1 求电偶极子的电场强度。
《电场强度讲座》PPT课件
E 2 0
E
E
E
E
(2)两平行无限大带电平面（ , ）的电场
E
E
E
E
E
+
E E E
=
0
0
两平面间 两平面外侧
求电场的基本方法：
用点电荷（或典型电荷）电场公式和场强叠加 原理
E qr 4 0 r 3 ; E Ei
xdq dE 40 (r 2 x 2 ) 3 / 2
dr
x dE
p
o
r
2x R rdr x 1 2 E 2 1/ 2 2 2 3 / 2 0 2 ( R x ) 0 40 (r x )
讨论：
x E 1 2 2 0 ( R x 2 )1/ 2
1. 当 R
<< x
2
2 x R 1/ 2 1 1 ( R ) 2 ( R 2 x 2 )1/ 2 (1 x 2 ) 2 x
q R 可视为点电荷的电场 E 2 40 x 4 0 x 2
2. 当 R
E 无限大均匀带电平面的场强，匀强电场 2 0
>>
x
(1) 无限大带电平面产生与平面垂直的均匀电场
dE R (3)由 0 得 x dx 2 处 E 取极大值.
2 R 2
E
o
2 R 2
x
例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
解：由例3均匀带电圆环轴线上一点的电场
xq E 2 2 3/ 2 4 0 ( R x )
x 2rdr 2 2 3/ 2 40 (r x )
2018年高一物理竞赛完整讲义(word版)含答案解析第11讲 带电粒子运动.教师版
第11讲 带电物体在电场中的运动1. 电场中的能量2. 自能，互能，电场能本讲的主要例题只是通过带电粒子运动把整个电场一章的内容做一次复习。
知识点睛一.电势能 1.电势能的差静电力是保守力，可引入电势能的概念。
由保守力作功和势能增量的关系有： ΔEp a →b = -(W b - W a )q 0在电场中a 、b 两点电势能之差等于把q 0自a 点移至b 点过程中电场力所作的功。
电势能应属于q 0和产生电场的源电荷系统共有。
2.电势能选标准点(势能零点)，在电场中某点a 的电势能为即把q 0自a →“标准点”的过程中电场力作的功。
所以电势能的定义为：0q E a a p ϕ=3.连续电荷分布的静电能对于一个有限体积的带电体，我们姑且不考虑其微观结构而只注意其静电性质，那么可以说，这一带电体之所以能够结合在一起，是需要外力维持的。
我们设想下面的过程来说明如何构成一个有限大小的带电体。
开始的时候，所有的电荷都位于无穷远处，我们人为地将一个个电荷从无穷远处极缓慢地移动到指定的位置，那么，在这个极缓慢的过程中我们对电荷所施加的力与电荷所受的的静电力想必是大小相等而方向相反的，我们所作的功就应该等于电荷的电势能的增量。
不断地重复这一过程，直到最终组成我们所要的有限大小的带电体，在整个过程中，我们所作的功就是静电体系的静电能。
这样，从功能原理的角度我们重新解释了静电能。
下面通过一个简单的例子来说明书这一过程。
我们来计算一个半径为R 的均匀带电球体的电势能。
现在让我们从功能原理的角度考虑这个问题。
如图所示，为了构造一个半径为R 的带电球体，我们就要准静态地把电荷从无穷远处搬运到适当的位置，并组成球形。
假设在某个时候我们已经构成了如图所示的情形，即已经有了一个半径为r 的带电球体，接下来我们要继续从无穷远处搬运电荷，并将搬来的电荷均匀地分布在这个球体上。
我们每次搬运的电荷都是很少的，设电荷密度为ρ，那么每次搬运的电荷量可以表示为dr rρπ24，而球本讲提纲表面的电势为rr 23441πρπε⋅，无穷远处的电势为零，故在某一次的搬运过程中我们所作的功即为电量为dr r ρπ24的电荷的电势能的改变，它就是dr r rr 2243441πρπρπε⋅⋅最后我们要组成半径为R 的带电球，于是该球体的电势能就是对上式的积分，即dr r rr W R2243441πρπρπε⋅⋅=⎰=41πε522513)4(R ρπ 可以将电荷密度ρ表示为334R Q π，这里Q 是这个球体的带电量，于是上式化为RQ W 204153πε=这便是半径为R 带电量为Q 的均匀球体的静电能。
高中物理竞赛辅导讲义-11.1电场强度
11.1电场强度一、静电场中的导体 1、静电平衡状态2、静电屏蔽二、场强叠加原理某点的总场强等于各场源电荷在该点产生的场强的矢量和。
例1：如图，带电荷量为+Q 的均匀带电圆环的圆心为O ，半径为R ，P 为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，OP=L ，P 点的场强为多少？3222()kQL E L R =+例2、如图，半径为R 的半圆形绝缘线上、下1/4圆弧上分别均匀带电+q 和-q ，求圆心处的场强。
例2、如图所示，在半径为R 、体电荷密度为ρ的均匀带电球体内部挖去半径为R '的一个小球，小球球心O '与大球球心O 相距为a ，证明空腔内电场均匀。
【解析】把挖去空腔的带电球看作由带电大球(R,ρ)与带异号电的小球(R ′,-ρ)构成.由公式求出它们各自在O ′的电场强度，再叠加即得'O E .这是利用不具有对称性的带电体的特点，把它凑成由若干具有对称性的带电体组成，使问题得以简化,这种思想在万有引力中同样用到.在小球内任取一点P ，用同样的方法求出E p ，比较E p 和'O E ，即可证明空腔内电场是均匀的.采用矢量表述，可使证明简单明确.由公式可得均匀带电大球（无空腔）在O ′点的电场强度E 大球，343kQa E k a R πρ==大球，方向为O 指向O ′.显然，均匀带异号电荷的小球在球心O ′点的电场强度为零,即:所以O ′处的场强为43E E E k a πρ=+=大小如错误！未找到引用源。
(b)所示，在小球内任取一点P ，设从O 点到O ′点的矢量为a ，O ′P 为b ，OP 为r.则P 点的电场强度p E 为:p E E E =+大球小球⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b k r k ρπρπ3434 a k b r k ρπρπ34)(34=-=可见：0p E E =因P 点任取，故球形空腔内的电场是均匀的.例3、求无限长均匀带电直线周围的场强（直线上电荷线密度为λ）并证明：均匀带电的半径为R 的半圆环在圆心处的场强，等效于距离圆心R 处的无限长均匀带电直线产生的场强（两者电荷线密度相同） 半球面与无限大平板是否也有类似的等效关系？例4、真空中一对相距为l 的带等量异号电荷的点电荷系统，在考虑此系统在空间某点的场强时，观察点与电荷间的距离远大于l ，则这样的电荷体系称为电偶极子，并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，将电量q 与两点电荷间距l 的乘积定义为电偶极矩。
高中物理奥林匹克竞赛专题——电场强度(共33张PPT)
y E
EB
E E
1 4πε0
q r 2
e
1 4πε0
q r 2
e
e e
r rr r
E
r y r
. q e e q
-
O
+
x
r0
r r r
y2 ( r0 2
E E y r0
E E
1 4πε0 1
4πε0
)2 p rp3 y3
13
例3：
X
真空中有一电荷均匀分布的细直棒, 带电量为Q(Q＞
i
Qi ri2
ei
F Fi
i
E
F
Fi
q0 i q0
Q1
e1
Q2
r1 e2 r2
P
e3
r3
q0
EF33 EF22
Q3
EF11
6
电荷连续分布的电场
dE
1 4πε0
dq r2
er
E dE
1 er dq
4πε0 r 2
电荷体密度 dq ρdV
E
V
1 4πε0
ρer r2
电荷线密度 dq λdl
E
1 l 4 πε0
λer r2
dl
dl
r
dE P
9
五 电偶极子的电场强度
电偶极子的轴 r0 电偶极矩(电矩) p qr0
q
q
-
r0
+
10
（1）轴线延长线上一点的电场强度
E
1 4πε0
q (x r0
2)2 i
1 q E 4πε0 (x r0 2)2 i
Ex
dEx
高中物理竞赛 电场竞赛自招内容讲解 电场强度叠加原理
电 场 强 度 叠 加 原 理1．点电荷的场强：电荷Q ，空间r 处204r r Q q F E πε=＝2．点电荷系：在点电荷系Q 1，Q 2，…，Q n 的电场中，在P 点放一试验电荷q 0，根据库仑力的叠加原理，可知试验电荷受到的作用力为∑=i F F，因而P 点的电场强度为 ∑∑∑===i ii E qF qF qF E＝即 ∑∑304rrQ E E i i πε ＝＝ 点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和。
这就是电场强度的叠加原理。
3．连续分布电荷激发的场强将带电区域分成许多电荷元d q ，则⎰⎰=0204r r dq E d E πε＝其中，对于电荷体分布，d q =ρd v ， ⎰⎰⎰v r r dv E 0204 περ＝ 对于电荷面分布，d q =σds ，0204r r ds E s⎰⎰πεσ＝ 对于电荷线分布，d q =λd l ，⎰l r rdl E 0204πελ＝其中体密度 dVdQV Q V =∆∆→∆lim＝ρ 单位C/m 3； 面密度 dSdQS Q S =∆∆→∆lim＝σ 单位C/m 2； 线密度 dldQl Q l =∆∆→∆lim＝λ 单位C/m 。
五、 电场强度的计算：1．离散型的：∑∑304rrQ E E i i πε ＝＝ 2．连续型的：⎰⎰=0204r r dq E d Eπε＝空间各点的电场强度完全取决于电荷在空间的分布情况。
如果给定电荷的分布，原则上就可以计算出任意点的电场强度。
计算的方法是利用点电荷在其周围激发场强的表达式与场强叠加原理。
计算的步骤大致如下：● 任取电荷元d q ，写出d q 在待求点的场强的表达式；● 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； ● 进行积分计算；● 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向； ● 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。
例1． 电偶极子（Electric Dipole ）的场强。
江苏省南京物理竞赛讲义-11.2电势
11.2电势一、电势叠加原理某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。
二、几种常见电场的电势1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）rkQ =ϕ 2、半径为R 的均匀带电薄球壳壳外：r kQ =ϕ 壳内：RkQ=ϕ例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。
（2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。
244kQ k R k R R Rσπϕπσ===例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势kQ Rϕ=例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。
如果让球壳接地。
那么金属球的电势变为多少？例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。
例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律.（1）内球带q +，外球壳带Q +.（2）内球带q +，外球壳不带电.（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.【解析】如错误!未找到引用源。
所示，根据叠加原理:(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此：内球1123q q Q qU k k k R R R +=-+外球233()()q q k Q q k Q q U kk r r R R ++=-+= 上式中23R r R << 电势差121212q qU U U k k R R =-=- 腔内23()q q k Q q U kk r R R +=-+内 (R 1<r<R 2) aO壳外33()()q q k Q q k Q q U k k r r R R ++=-+=外 (r>R 3) (2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此：内球1123q q q U k k k R R R =-+ 外球233q q q q U kk k k r r R R =-+= 上式中23R r R << 电势差121212q qU U U k k R R =-=- 腔内23q q kqU k k r R R =-+内 (R 1<r<R 2) 壳外q q kq kqU kk r r r r=-+=外 (r>R3) （3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷. 内球112q qU k k R R =-电势差121212q qU U U k k R R =-=- 腔内2q qU k k r R =-内 (R 1<r<R 2) 壳外0q qU kk r r=-=外 （r ＞R 3） （4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:123''(')0q q k Q q k k R R R --++= 解得:12122313QR R q R R R R R R '=+-内球:10U = 外球:2223'''q q Q q U kk k R R R -=-++ 21122313()kQ R R R R R R R R -=+-21U =腔内:23'inside q q Q q U k k k r R R ''-=-++21122313(1)kQR RR R R R R R r =-+- (R 1<r<R 2)壳外:3'outside q q Q q U k k k r r R ''-=-++321122313()()kQR R R R R R R R R r -=+- （r ＞R 3）例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知2321ROO OO OO ===．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r的P 1、P 2点处分别放置带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=．1．求q 3的电势能．2．将带有电量q 1、q 2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q 3的电势能为多少？1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为1q -、2q -和3q -的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量321q q q ++．由静电屏蔽可知，点电荷q 1及感应电荷（1q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 2及感应电荷（2q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 3及感应电荷（3q -）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321q q q ++作球对称分布．当球外P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为()321q q q ++，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．O 3处的电势由位于P 点处的Q 、导体球表面的电荷()321q q q ++及空腔3表面的感应电荷（3q -）共同产生．无论()321q q q ++在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是R ，因而在O 点产生的电势为R q q q k321++， Q 在O 点产生的电势为RQk 2，这两部分电荷在O 3点产生的电势U '与它们在O 点产生的电势相等，即有⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='R q q q Q k R Q R q q q k U 22222321321 （1）因q 3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q -在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O 3点产生的电。
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11.1电场强度
一、静电场中的导体
1、静电平衡状态
2、静电屏蔽
二、场强叠加原理
某点的总场强等于各场源电荷在该点产生的场强的矢量和。
例1：如图，带电荷量为+Q 的均匀带电圆环的圆心为O ，
半径为R ，P 为垂直于圆环平面的对称轴上的一点，
OP=L ，P 点的场强为多少？
3
222()kQL
E L R =+
例2、如图，半径为R 的半圆形绝缘线上、下1/4圆弧上分别
均匀带电+q 和-q ，求圆心处的场强。
例2、如图所示，在半径为R 、体电荷密度为ρ的均匀带电
球体内部挖去半径为R '的一个小球，小球球心O '与大球球心O 相距为a ，证
明空腔内电场均匀。
【解析】把挖去空腔的带电球看作由带电大球(R,ρ)与带异号电的小球(R ′,-ρ)构成.由公式求出它们各自在O ′的电场强度，再叠加即得'O E .这是利用不具
有对称性的带电体的特点，把它凑成由若干具有对称性的带电体组成，使问题得以简化,这种思想在万有引力中同样用到.
在小球内任取一点P ，用同样的方法求出E p ，比较E p 和'O E ，即可证明空腔
内电场是均匀的.采用矢量表述，可使证明简单明确.
由公式可得均匀带电大球（无空腔）在O ′点的电场强度E 大球
，
343
kQa E k a R πρ==大球，方向为O 指向O ′. 显然，均匀带异号电荷的小球在球心O ′点的电场强度为零,即:
所以O ′处的场强为43E E E k a πρ=+=大小
如错误!未找到引用源。
(b)所示，在小球内任取一点P ，设从O 点到O ′点的
矢量为a ，O ′P 为b ，OP 为r .则P 点的电场强度p E 为:
p E E E =+大球小球 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b k r k ρπρπ3434 a k b r k ρπρπ34)(34=-=
可见：0p E E =
因P 点任取，故球形空腔内的电场是均匀的.
例3、求无限长均匀带电直线周围的场强（直线上电荷线密度为λ）
并证明：均匀带电的半径为R 的半圆环在圆心处的场强，等效于距离圆心R 处的无限长均匀带电直线产生的场强（两者电荷线密度相同）
半球面与无限大平板是否也有类似的等效关系？
例4、真空中一对相距为l 的带等量异号电荷的点电荷系统，在考虑此系统在空间某点的场强时，观察点与电荷间的距离远大于l ，则这样的电荷体系称为电偶极子，并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，将电量q 与两点电荷间距l 的乘积定义为电偶极矩。
试讨论电偶极子产生的电场。
【解析】(1)设两电荷连线中垂面上有一点P ，该点到两电荷连线的距离为r ，则P 点的场强如图10- 1所示，其中
O O a r
图10- 1
42
2
l r q
k E E +==-+ 4242cos 22
2
22l r l l r q
k E E +⋅+==+θ 3232
2)4(r ql k l r ql k ≈+=
图10- 2
(2)若P '为两电荷延长线上的一点，P '到两电荷连线中点的距离为r ，如图10- 2所示，则
,2,222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+l r q k E l r q
k E
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+222121l r l r kq E E E
q +r -
⊥P '。