变分法原理与技术
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
变分法的应用
变分法的应用在物理、工程、数学等领域中，变分法是一种非常重要的工具。
变分法可以被用来解决各种数学问题，如微积分、偏微分方程、力学问题和最优化问题等等。
本文将介绍变分法的定义、基本原理、应用以及其在实践中的意义。
一、什么是变分法？变分法是一种数学方法，它通过不断调整函数的形式来寻找一个极值问题的解。
变分法可以用来解决一系列的优化问题，如最优控制问题和最小能量问题等等。
在它最简单的形式中，变分法是一个求解“泛函”的问题：“找到一个函数使得某个固定泛函取得最小值”。
例如，我们想要找到长度为 L 的钢条上的最小弯曲量。
这个问题可以表示成一个泛函：J(y) = ∫[0,L] (y''(x))^2 dx,其中y表示弯曲的函数。
这个泛函是一个带有一个未知函数y的函数J。
我们的任务是找到一个函数y，使得J(y)的值最小。
二、变分法的基本原理变分法的基本原理可以归结为“求解一系列微积分变分问题”。
根据变分法的基本原理，我们可以从微积分和函数分析的角度来理解它。
变分法的原理是基于函数的连续性和光滑性的，即给定一个函数的任意两个点之间的连续性和可微性。
在求解变分问题时，我们首先需要找到一个函数，这个函数满足一些预定的条件。
然后，我们可以对这个函数进行微小的变化，来看看这个函数如何改变。
最后，我们可以通过对这个函数进行积分来得到一个新的函数值。
然后我们可以对这个函数进行微小的变化，得到y(x) → y(x) + εφ(x) (其中，ε很小，φ是一个任意函数)。
在这个情况下，我们可以用函数y(x)的一个小变化y(x) + εφ(x)来重新计算泛函J的值。
这个新的泛函的值可以表示为J(y + εφ) = ∫[0,L] F(x,y,y',y'') φ(x)dx,其中F(x,y,y',y'')为J(y)的一类一阶偏导数，我们需要将其解释为x和y的函数。
然后，通过对泛函J(y+εφ)中的项进行扩展，我们得到：J(y+εφ) = J(y) + ε∫[0,L] (F_yφ + F_{y'}φ' + F_{y''}φ'') dx。
变分法基本原理
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
最优控制问题的变分方法
最优控制问题的变分方法在数学与控制理论中，最优控制问题是研究如何选择最佳的控制策略，以使系统的性能达到最优的问题。
变分方法便是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
一、引言最优控制是控制理论中一个重要的分支，它通过对系统建模和优化理论的应用，旨在找到使系统性能达到最佳的控制策略。
而变分方法，则是解决最优控制问题的一种有效途径。
二、变分法概述变分法是以变分运算为基础的数学方法，在最优控制问题中得到了广泛的应用。
它通过对控制信号进行微小的变分，并得到变分函数的极值来确定最优控制策略。
变分法的基本思想是将最优控制问题转化为求解变分问题，从而得到最优解。
三、变分法的基本原理1. 贝尔曼原理贝尔曼原理是变分法的核心原理之一。
它通过将最优控制问题分解为两个部分，即值函数和最优策略。
通过解反向动态规划方程，可以得到最优策略和值函数。
2. 泛函极值原理泛函极值原理是变分法的另一个重要原理。
它通过对泛函进行变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
在最优控制问题中，泛函可以表示系统性能的指标，如性能函数、代价函数等。
四、变分法的应用变分法在最优控制问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 高维空间中的最优控制在高维空间中的最优控制问题中，变分法能够通过求解变分问题，得到最优控制策略。
2. 动态规划动态规划是最优控制中一个重要的方法，变分法能够通过解反向动态规划方程，得到最优策略和值函数。
3. 时间最优控制时间最优控制问题中，变分法可以通过求解变分问题，得到最优控制策略以及最小时间。
五、总结变分方法是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
它通过对控制信号进行微小的变分，并求解变分问题来得到最优控制策略。
变分法的应用非常广泛，能够解决包括高维空间中的最优控制、动态规划和时间最优控制等问题。
通过变分方法，我们能够有效地求解最优控制问题，并得到系统性能达到最优的控制策略。
最优控制问题的变分方法就是如上所述的一种有效的数学方法。
变分法基本引理
变分法基本引理变分法是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其基本引理为变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
本文将围绕变分法基本引理展开讨论，介绍其基本概念、原理和应用。
一、引言变分法是数学中研究变量函数的极值问题的一种方法。
其基本思想是通过将极值问题转化为一个函数的极值问题，从而求解原问题。
变分法的基本引理是变分法的基础，为后续的推导和应用提供了重要的理论支持。
二、变分法基本引理的概念变分法基本引理是对于函数的变分的一种数学表述。
它指出，如果函数在某一点处取得极值，那么在该点处的变分为零。
换言之，如果一个函数在某一点处的变分不为零，那么该点不是函数的极值点。
三、变分法基本引理的原理变分法基本引理可以通过泛函导数的概念来理解。
泛函导数是对函数的变分的一种推广，它表示函数在某一点处的变分相对于该点处的微小变动的比率。
根据变分法基本引理，如果一个函数在某一点处的泛函导数为零，那么该点是函数的极值点。
四、变分法基本引理的应用变分法基本引理在实际问题中有着广泛的应用。
以经济学为例，我们可以将经济系统的效用函数看作一个泛函，通过变分法求解该泛函的极值，得到最优的经济决策。
类似地，变分法在物理学中的应用也十分广泛，例如用于求解最短路径、最小作用量和最小曲面等问题。
五、变分法基本引理的思考虽然变分法基本引理在理论和应用上都具有重要的意义，但在实际问题中的应用也面临一定的挑战。
首先，变分法需要对变分进行严格的数学推导，这对于一些复杂的问题来说是一项困难的任务。
其次，变分法在求解极值问题时并不一定能得到全局最优解，而可能仅能得到局部最优解。
六、结论变分法基本引理是变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
通过对变分法基本引理的理论分析和应用示例的介绍，我们可以看到变分法在实际问题中的重要性和应用价值。
在今后的研究和应用中，我们应进一步深化对变分法的理解，不断拓展其应用领域，为解决复杂问题提供更有效的数学工具。
数学物理中的变分方法
数学物理中的变分方法在数学和物理学中，变分方法是一种重要的数学工具，用于研究函数的极值问题。
它的基本思想是将问题转化为求解某个泛函的极值，通过变分运算来找到泛函的极值条件。
变分方法在许多领域中都具有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、力学以及最优控制等。
本文将介绍数学物理中的变分方法的基本原理和应用。
1. 变分运算的基本概念变分运算是对函数进行微小改变，并计算这种改变对泛函的变化量。
我们考虑一个函数f(x)，其中x是自变量。
对函数f进行微小变化，可以表示为f(x+δx)，其中δx是一个无穷小量。
定义变分算子为∂/∂x，它表示对函数f进行微小的变化。
通过计算变分算子作用在函数f上的结果，可以得到泛函的变化量。
2. 泛函的极值条件对于一个泛函J[f]，我们希望找到函数f的一个极值，使得J[f]取得最小或最大值。
为了得到这个极值条件，我们需要求解变分方程。
变分方程的一般形式为：δJ[f] = 0如果函数f满足这个方程，那么它就是泛函J的一个极值。
3. 单变量变分法单变量变分法是变分方法中最简单的一种形式。
它适用于只有一个自变量的函数。
假设我们有一个泛函J[f]，其中f=f(x)，x是自变量。
首先，我们引入辅助函数g(x)，其中g(x)在与f(x)相等的区域内任意变化，在其他区域内为零。
然后，考虑泛函J的一个线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)其中ε是一个无穷小量。
通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]现在，我们需要将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x)。
4. 多变量变分法多变量变分法适用于有多个自变量的函数。
假设我们有一个函数f=f(x1,x2,...,xn)，其中xi是自变量。
类似于单变量情况，我们引入辅助函数g(xi)，并考虑泛函J的线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)同样地，通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]类似于单变量情况，我们将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x1,x2,...,xn)。
数学的变分法
数学的变分法数学的变分方法是一种研究函数变化的数学工具，被广泛应用于数学分析、物理学等领域。
它通过寻找函数的变化率最小值或最大值，揭示了许多自然界和社会现象的规律。
本文将介绍变分法的基本原理和主要应用，以及一些经典的变分问题。
一、变分法的基本原理在介绍变分法之前，我们需要先了解变分和变分算子的概念。
变分是指通过微小的函数偏移来研究一个函数的性质。
而变分算子是对这种微小的函数偏移进行数学上的描述。
变分法的基本思想是通过对一个函数进行变分，得到它的一阶变分和二阶变分，然后利用边界条件和变分的性质，求解出变分方程的解。
具体步骤如下：1. 假设函数的解是一个特定形式的函数表达式，其中包含一个或多个未知的参数。
2. 对这个函数进行变分，得到函数的一阶变分和二阶变分。
3. 将变分代入原方程，得到一个含有未知参数的函数方程。
4. 利用边界条件，求解出未知参数的值。
5. 将参数代入原方程，得到函数的解。
二、变分法的主要应用变分法具有非常广泛的应用领域，下面将介绍其中的几个重要应用。
1. 物理学中的作用量原理作用量原理是变分法在物理学中的重要应用之一。
它通过对作用量进行变分，得到物理系统的基本方程。
作用量原理在经典力学、电磁学、量子力学等领域均有广泛应用，是研究物理系统的基本工具。
2. 凸优化问题凸优化是变分法在应用数学领域的典型应用之一。
它研究如何寻找一个凸函数的最小值或最大值。
变分法可以帮助我们建立凸函数的变分问题，并通过求解变分问题来解决凸优化问题。
3. 经典的变分问题变分法在数学中的一个重要应用是解决一些经典的变分问题，比如著名的布拉赫罗恩极小曲面问题。
这个问题是在确定一个特定边界条件下，找到曲面的形状使其表面积最小。
三、经典的变分问题经典的变分问题是对变分法应用的经典案例，下面将介绍其中的两个。
1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，描述了微观粒子的运动行为。
通过对薛定谔方程进行变分，可以得到微观粒子的能量本征值和能量本征态。
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中南大学 信息科学与工程学院 韩华 2008.03
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中南大学信息科学与工程学院自动 化系
1
第二章
变分法及其在最优控制中的应用
第二章 变分法及其 在最优控制中的应用
2.1 变分法简介 2.2 泛函的变分 2.3 欧拉方程 2.4 横截条件 2.5 泛函局部极值的充分条件 2.6 等式约束条件下的变分问题 2.7 利用变分法求解最优控制问题 小结
t1 t2
( t )]dt J [ x( t )] [ p( t ) x( t ) q( t ) x
t1
t2
J[ x(t )] x(t ) t 2
都满足上述两个条件，故均为线性泛函。
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
at b
显然，式（2.1.5）定量地表示两个函数之间的零阶相近度，而 式（2.1.6）定量地表示两个函数之间的k阶相近度。
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
泛函的连续性
如果对于任意给定的正数，可以找到这样一个>0， 当 d[x(t)，x0(t)] < （2.1.7）
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
现实生活中的许多现象可以表达为泛函求极值问题， 称为变分问题。 变分法是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函 数的普通微积分相对。
什么叫泛函？
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2.1
2、二次型泛函
连续泛函如果满足下列条件： （1） J[x1(t)]+ J[x2(t)]=1/2[J[x1(t)+x2(t)]+ J[x1(t)-x2(t)]] （2） J[cx(t)]=c2J[x(t)] 就称为*****二次型泛函*****。例如
1 1 J xT ( t f )Fx( t f ) xT ( t )Qx( t )dt 2 2 t0
Δ xi A(t a,x a) Δ ti 图 2－ 1
B(t b,x b)
x(t)
当曲线方程x=x(t)（满足x(ta)= xa ， x(tb)= xb ）给定后，可算出它在A、B两点 o 间的弧长为： n n 2 (t ) x i J ti 2 xi 2 (t ) 1 t i t i 2 i 1 i 1
o
图2－4 注意：一阶相近的两个函数，必然是零阶相近，反之不成立。
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t1
t2
t
第二章
变分法及其在最优控制中的应用
k阶接近：
当
(k ) (t ) x 0 (t ) , x( k ) (t ) x0 x(t ) x0 (t ) , x (t )
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
四、泛函的常见形式
1、线性泛函 连续泛函如果满足下列条件： （1） J[x1(t)+ x2(t)]= J[x1(t)]+ J[x2(t)] （2） J[cx(t)]=cJ[x(t)]
其中，c是任意常数，就称为线性泛函。例如
( t )]dt J [ x(t )] [tx( t ) (sin t ) x
d2 y dy a 1 ( )2 dx dx 2 y(0) y0 y (0) 0
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
解此方程并适当选取参数，得
1 y (e ax e ax ) 2a
即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，雅可比· 贝努利 随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所 有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”， 有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！
是关于x(t)的二次型泛函，其中F、Q均为对称矩阵。
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链 线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。 惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经 由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出 答案。 到1691年，也就是雅可比· 伯努利提出悬链线问题的第二年， 莱布尼兹、惠更斯（62岁）与约翰· 伯努利各自得到了正确答 案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求 解一个二阶常微分方程
tf
( t ), t ]dt J [ x( t )] L[ x( t ), x
t0
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变分法及其在最优控制中的应用
二、泛函宗量的变分
泛函J[x(t)]的宗量x(t)的变分 是指在同一函数类中的两个函数 间的差：
x
x (t)
x 0(t)
泛函的变分
一、泛函的定义
如果变量J对于某一函数类中的每一个函数x(t)，都 有一个确定的值与之对应，那么就称变量J为依赖于函 数x(t)的泛函，记为：J=J[x(t)]。
x(t ) R n , J R 函数 泛函 x(t ) J x(t ) tx x(t ) J ; x(t )又称为泛函的宗量
x(t ) x(t ) x0 (t ) （2.1.1）
0 t1 图2－2 t2
t
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
三、泛函的连续性
函数相近 零阶相近
当函数x(t)与x0(t)之差的绝对值，即: ∣x(t)-x0(t)∣, t1 t t2 (2.1.2) 对于x(t)的定义域中的一切t（ t1 t t2 ）都很小时，称函数 x(t)与函数x0(t)是相近的，也称为零阶相近。如图2-3所示。
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.3 函数的不定积分
y x ( )d
0 t
不是泛函。
泛函的上述概念，可以推广到含有几个函数的泛函的情况：
J [ x (t ) y (t )]dt
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而 泛函的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛 函理解为“函数的函数”。
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.1
函数的定积分
1.连续时间系统：
J x( t )dt
0
1
是泛函 吗？
t1 t t 2 (2.1.4)
都很小时，称函数x(t)与函数x0(t)是k 阶相近的。
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
函数间距离
•
在不同的函数空间，函数间的距离也不同。 在函数空间C[a，b]（在区间[a，b]上连续的函数的全体构成的 函数空间）中，通常采用下式定义距离：
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
有趣的是，在1690年约翰· 伯努利的哥哥雅可比· 伯努利曾提 出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem),向数学 界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂 下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项 链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的 蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链 线（catenary）。
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
从例2.1.2可以知道，连接A、B两点的曲线之弧长的泛函，其 2 是未知函数导数的函数。在一般情况下，被 被积函数 1 x ( t )的函数。所以最 积函数是自变量t，未知函数x(t)及其导数 x 简单的一类泛函可表示为：
x
x (t)
x 0(t)
o
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t1
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图 2－ 3
t2
t
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
一阶相近
当函数 x(t)与 x0(t)之差的绝对值以及它们的一阶导 0 ( t ) 之差的绝对值，即 ( t )和 x 数 x (t ) x 0 (t ) t1 t t 2 (2.1.3) x(t ) x0 (t ) , x 都很小，称函数x(t)与函数x0(t)是一阶相近的，如图2-4 所示。 x (t) x x 0(t)
2. 离散系统
J x 2 (i ) 2u2 (i )
i 1
q
都是泛函。因为变量J的值是由函数的选取而确定的。
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第二章
变分法及其在最优控制中的应用
例2.1.2 在平面上连接给定两点A(ta，xa) x 和B(tb，xb)的曲线的弧长J是一个泛函，如 图2-1所示。