变分原理与变分法
变分原理与变分法
变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。
它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。
变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。
变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。
它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。
作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。
换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。
在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。
通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。
变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。
泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。
在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。
这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。
变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。
这个变化就是变分，通常用符号δ表示。
然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。
最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。
在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。
它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。
总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。
它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。
变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。
弹性力学的变分原理
(
f y '
)
0
f
y '
xa 0
f y '
xb 0
( •)
（•）称为自然边界条件
自变函数事先满足旳边界条件称为本质边 界条件。 实例
本章学习要点：建立力学概念
本章包括了非常多旳力学概念，这些概念是有限 元及其他力学分支中普遍用到旳，需对其内涵有 一定了解
公式推导较多、较繁，但
公式旳推导、证明过程了解思绪即可
注意到：
( y) y(x) y(x)
与(*)式比较，可见：
( y) (y)'
即：
（ddyx） ddx（y）
结论：导数旳变分等于变分旳导数，或变分
记号与求导记号能够互换。
三、泛函旳变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 旳增 量能够写成
vε vc ijij
对于线弹性体
vε
vc
1 2
ijij
允 许 位 移
允 许 应 变
允 许 应 力
虚 位 移
虚 应 变
虚 应 力
§11-3 广义虚功原理
虚
虚
功
位
应
互
移
力
等
原
原
原
理
理
理
§11-3 广义虚功原理
一、真实位移、真实应力和真实应变
ui 真实位移，满足：
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
j
u
k j ,i
)
uik ui
x V x Su
k ij
变分原理与变分法
变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数，这类函数可以是数学上的对象，也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础，通过对泛函进行变分计算，求取泛函的极值。
在变分原理中，被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下：1.建立泛函：根据具体的问题，建立一个泛函表达式，其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算：对建立的泛函进行变分计算，即对泛函中的待求函数及其导数进行变动，求出泛函的变分表达式。
3.边界条件：根据具体问题的边界条件，对变分表达式进行求解，得到泛函的变分解。
4.极值问题：根据泛函的变分解，通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用：变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如，拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外，在量子力学和场论中，变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用：在工程学中，变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如，在结构力学中，通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中，变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用：变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如，在函数极值问题中，变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之，变分原理与变分法是一种强有力的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法，可以更好地解决求极值问题，进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此，深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
变分法原理
变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。
在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。
首先，让我们来看一下变分法的基本原理。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。
为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。
现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。
我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。
那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。
为了实现这一目标，我们引入变分。
对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。
然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。
通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。
这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。
通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。
解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。
这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。
这就是变分法的基本原理。
除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。
例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。
在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。
在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。
总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。
变分法的应用
变分法的应用在物理、工程、数学等领域中，变分法是一种非常重要的工具。
变分法可以被用来解决各种数学问题，如微积分、偏微分方程、力学问题和最优化问题等等。
本文将介绍变分法的定义、基本原理、应用以及其在实践中的意义。
一、什么是变分法？变分法是一种数学方法，它通过不断调整函数的形式来寻找一个极值问题的解。
变分法可以用来解决一系列的优化问题，如最优控制问题和最小能量问题等等。
在它最简单的形式中，变分法是一个求解“泛函”的问题：“找到一个函数使得某个固定泛函取得最小值”。
例如，我们想要找到长度为 L 的钢条上的最小弯曲量。
这个问题可以表示成一个泛函：J(y) = ∫[0,L] (y''(x))^2 dx,其中y表示弯曲的函数。
这个泛函是一个带有一个未知函数y的函数J。
我们的任务是找到一个函数y，使得J(y)的值最小。
二、变分法的基本原理变分法的基本原理可以归结为“求解一系列微积分变分问题”。
根据变分法的基本原理，我们可以从微积分和函数分析的角度来理解它。
变分法的原理是基于函数的连续性和光滑性的，即给定一个函数的任意两个点之间的连续性和可微性。
在求解变分问题时，我们首先需要找到一个函数，这个函数满足一些预定的条件。
然后，我们可以对这个函数进行微小的变化，来看看这个函数如何改变。
最后，我们可以通过对这个函数进行积分来得到一个新的函数值。
然后我们可以对这个函数进行微小的变化，得到y(x) → y(x) + εφ(x) (其中，ε很小，φ是一个任意函数)。
在这个情况下，我们可以用函数y(x)的一个小变化y(x) + εφ(x)来重新计算泛函J的值。
这个新的泛函的值可以表示为J(y + εφ) = ∫[0,L] F(x,y,y',y'') φ(x)dx,其中F(x,y,y',y'')为J(y)的一类一阶偏导数，我们需要将其解释为x和y的函数。
然后，通过对泛函J(y+εφ)中的项进行扩展，我们得到：J(y+εφ) = J(y) + ε∫[0,L] (F_yφ + F_{y'}φ' + F_{y''}φ'') dx。
变分法基本引理
变分法基本引理变分法是数学中一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
其基本引理为变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
本文将围绕变分法基本引理展开讨论，介绍其基本概念、原理和应用。
一、引言变分法是数学中研究变量函数的极值问题的一种方法。
其基本思想是通过将极值问题转化为一个函数的极值问题，从而求解原问题。
变分法的基本引理是变分法的基础，为后续的推导和应用提供了重要的理论支持。
二、变分法基本引理的概念变分法基本引理是对于函数的变分的一种数学表述。
它指出，如果函数在某一点处取得极值，那么在该点处的变分为零。
换言之，如果一个函数在某一点处的变分不为零，那么该点不是函数的极值点。
三、变分法基本引理的原理变分法基本引理可以通过泛函导数的概念来理解。
泛函导数是对函数的变分的一种推广，它表示函数在某一点处的变分相对于该点处的微小变动的比率。
根据变分法基本引理，如果一个函数在某一点处的泛函导数为零，那么该点是函数的极值点。
四、变分法基本引理的应用变分法基本引理在实际问题中有着广泛的应用。
以经济学为例，我们可以将经济系统的效用函数看作一个泛函，通过变分法求解该泛函的极值，得到最优的经济决策。
类似地，变分法在物理学中的应用也十分广泛，例如用于求解最短路径、最小作用量和最小曲面等问题。
五、变分法基本引理的思考虽然变分法基本引理在理论和应用上都具有重要的意义，但在实际问题中的应用也面临一定的挑战。
首先，变分法需要对变分进行严格的数学推导，这对于一些复杂的问题来说是一项困难的任务。
其次，变分法在求解极值问题时并不一定能得到全局最优解，而可能仅能得到局部最优解。
六、结论变分法基本引理是变分法的核心思想，是变分法的基础和出发点。
通过对变分法基本引理的理论分析和应用示例的介绍，我们可以看到变分法在实际问题中的重要性和应用价值。
在今后的研究和应用中，我们应进一步深化对变分法的理解，不断拓展其应用领域，为解决复杂问题提供更有效的数学工具。
变分法数值求解
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
薛定谔方程
H n E n (７)
在归一化条件下 * d 1 (8)
对波函数作一微小的变动
n
n
n
,
* n
* n
* n
(9)
则归一化条件变为
(
* n
* n
)(
n
n )d
1
即
[ n* n
n
* n
]d
n
2
d
(10)
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
那么具体是怎样选择试探波函数了？下面我们来分 析一下。
首先题中给出的势场V（x)=g|x|，满足
V(x)=V(-x),这样哈密顿量
H
2
2m
d2 dx2
|
x|
在宇称变换P下不变，一维定态问题的束缚态并不简
并，应有确定的宇称，其中基态无节点必为偶宇称
态。
再根据节点交错定理和宇称交错定理，第一激发态有一个节 点为奇宇称态。此外，由于势函数没有奇异性，束缚定态的 波函数还应该满足波函数以及一阶导数连续的条件。
2
E 2m
a
a
d 2
dx2
dx (7)
得
E()
3 4
112 36 60 2 8 28
2 ma 2
(8)
例题—无限深势阱
变分法求解
3、取极值 E() 0 ( 9)
得两根 1 1.2207500 , 2 8.317712
代入E得
E(1) 1.233719
2 ma 2
1.0000147
(1)薛定谔方程的变分原理
经典力学中
变分原理 => 哈密顿方程 S 0
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-这些自变函数应满足的条件(如:边界条件及其受约束的条件等）。
c.除了个别特殊情况外，一般情况下增加一个条件会使泛函极值及相应的自变函数变化性质发生变化。如：极小值可能变大;极大值可能变小;非极值的驻值可能成为极值。
若干背景知识
①泛函的驻值问题可以转化为等价的微分方程问题，变分法的理论计算就是完成这类工作。本章内容沿袭此方法，是要把问题的理论基础讲明确。
ａ.
b.
c.泛函中的可变化函数称为自变函数，或称宗量（arｇument），x或y仅是积分变量,是被积函数的定义域。(被积函数是复合函数概念的推广）
③要说清楚一个泛函的极值问题，应注意:
ａ．应把泛函本身讲清楚(即写出它的形式）;
b.还必须讲明白自变函数的性质,如:
-独立的自变函数的个数(导函数并不独立);
②从近似解的角度出发,直接求解泛函的驻值，比解微分方程更加方便,也更为实用。特别计算机技术的发展，带来了大规模数值计算的可能性(有限元的思想基础）。
③经Ｅｕler,Lagｒanｇe,Dirｉchlet,Hiｌberｔ,Beｒnoulli等数学先驱的卓越工作，完成了①的系统方法。
④但把微分方程问题转换为泛函问题还很不成熟。在物理、力学中,即先猜想一个泛函的驻值问题,再校对是否与原微分方程问题等价。
③光线折射遵循时间最短的途径（Ｆerｍaｔ）;
Sｕmｍary:实际上光的传播遵循最小能量原理；
在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法(求解约束方程系统极值的数学方法）,是计算泛函驻值的数学理论
数学上的泛函定义
定义:数学空间（集合）上的元素(定义域)与一个实数域间（值域)间的(映射)关系
③圆周问题
问题：在长度一定的闭曲线中，什么曲线所围成的面积最大。
作法:
i.假设所考虑的曲线用参数形式表示:
x=x(ｓ),y=y(s)
s为参数。取ｓ１为曲线上的某一定点,则坐标表示x１=ｘ(s１），ｙ1=y(ｓ１),因曲线是封闭的,必存在一个s2点使ｘ2=x(ｓ2),ｙ2＝y(s２)与点s1(x1,y1）重合。
ｉｉ．该封闭曲线的周长：L=
该曲线所围成的面积：R=
iｉｉ.转换R的表达式
由Green公式：
取Ｐ=- ,Ｑ＝ ,则：
∴
泛函驻值的提法:等周问题即是在满足端点条件ｘ(s1）=x(s2),y(s1)=y(ｓ２）
及周长一定 条件下,寻找一个曲线函数 使泛函R取驻值。
④Discuｓsiｏn
悬索线问题:已知空间中Ａ,B两点及一条长度L> 的悬索,单位长的质量为ｍ。假设绳索的长度是不变的,并忽略绳索的弯曲刚度,把此绳索的两端挂在A，B两点,求在平衡状态下绳索的形状。
要求:列出悬索线应满足的泛函式及泛函驻值提法。
提示:绳索在平衡状态下,其势能应为最小值。
1．2变分法(泛函驻值的计算方法)
关于计算固体力学中的泛函、泛函极值的提法
①这里所研究的泛函一般用积分显式表达，并不等于所有泛函都能用显式积分表达。
②所要研究的泛函都可表示成在一定区间或一定区域内的函数及其导数（或偏导数)的积分形式,即：
作法：
i.通过Ａ和B作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。Ｂ点坐标(a,b）,设曲线为y=ｙ（x),并已知：x=0,ｙ= 0;ｘ＝a,y＝b
ii．建立泛函：
设P(ｘ,ｙ)是曲线上的点,P点的速度由能量守恒定律求得:
命ｄs为曲线弧长的微分，有：
重物从Ａ点滑到B点的总时间：
T=
泛函驻值提法:在0≤x≤a的区间内找一个函数y（x）使其满足端点几何条件并使T取最小值。
⑤泛函驻值的计算（数值）先驱工作中以Ritｚ,Gaｌｅrkiｎ,Treft著名。
关于变分法的一个预备定理
若f(x)在[a,b]上连续,若对任意满足(a)=(ｂ)=0的连续函数x都有
则f(x）在[a,b]上处处为零。
反证法:设x0为[ａ,b]中的点,在x0点f(x０)≠0，可取f（x0)>0，
∵f(ｘ)在区间上连续,必存在ｘ0的一个充分小邻域上f(ｘ)＞0,x0-<x<x0+
, 并使泛函:
取极值。
计算 方法1：
昼/夜，日／月,阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体；
对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称／相似原理;
对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Eｘaｍｐleｓ:
①光线最短路径传播;
②光线入射角等于反射角,光线在反射中也是光传播最短路径(Ｈeron）;
特征描述法:{J： }
Exaｍｐlｅs：
①矩阵范数:线性算子（矩阵）空间数域
‖A‖1= ; ;
②函数的积分:函数空间数域
Ｎote：泛函的自变量是集合中的元素（定义域);值域是实数域。
Discusｓiｏn:
①判定下列那些是泛函:
; ；３ｘ+5y=２;
②试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例
1 弹性地基梁的系统势能
又∵ｘ为任意连续函数满足边界条件，可取ｘ也在该邻域内大于零,而在该邻域外恒等于零。所以有
矛盾！即 必须为零;同理可证小于零情况。
该定理可推广多元变量的函数问题。
１.2.1定积分 的驻值(变分)问题
目的:通过简单泛函的极值分析，获得建立变分法的基本概念、计算步骤（把变分解转化成微分方程）
问题:在自变量x的区间[a，ｂ]内决定一个函数y(x),使它满足边界条件：
变分原理与变分法
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第一章变分原理与变分法
1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）
一、大自然总是以可能最好的方式安排一切,似乎存在着各种安排原理:
i.梁的弯曲应变能:
ii.弹性地基贮存的能量:
iiｉ.外力位能:
ｉv.系统总的势能：
泛函的提法:有一种梁的挠度函数（与载荷无关),就会有一个对应的系统势能。
泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w(x）B,Ａ高于B，要求在两点间连接一条曲线，使得有重物从Ａ沿此曲线自由下滑时,从A到Ｂ所需时间最短（忽略摩擦力)。