(优选)能量原理与变分法
能量原理与变分法
1 M e 2
Ml M Me , EI z
土木工程与力学学院 · 罗文波
7
弹塑性力学
组合变形情况下杆件的变形能： 在所截取的微段内，可 以认为内力为常量。轴 力、剪力、弯矩、扭矩 对微段来说是处于外力 位置。所以
d U dW
整个杆的变形能
1 1 1 1 FN d( l ) M d T d kFQ d 2 2 2 2 2 2 FN d x M 2 d x T 2 d x kFQ d x 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
土木工程与力学学院 · 罗文波
3
弹塑性力学
变形能的计算：
F1、F2 Fn 如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）， 1、 2 n ，那么 产生相应的广义位移（包括角位移）
非线性弹性体的变形能：
U W 0 Fi d i
i 1 n i
线性弹性体的变形能：
1 1 1 U W F1 1 F2 2 Fn n 2 2 2
弹塑性力学
能量原理与变分法
土木工程与力学学院 · 罗文波
弹塑性力学
§12-1 外力功 变形能
外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用 点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相 应位移上所作的功称为外力功。 变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功 的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变 形能。 外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值， 则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和 其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。 即： W U 能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位 移、内力的原理和方法，称为能量法。
第11章 能量原理与变分法
将（11-4）及式（c）代入，得
U x u y v z w yz w v y z z x y （d） zx u w xy v u dxdydz x y z x 对每一项进行分部积分，并应用奥斯特洛格拉斯公式，可得 x u d x d y d z u d x d y d z x x x x x udxdydz x l x udS udxdydz x
U1 U1 U1 x， y， z x y z 11 2 U1 U1 U1 yz， zx， xy yz zx xy 弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，等于相应的形变分量。
第十一章 能量原理与变分法 来自
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5 §11.6 §11.7 §11.8 §11.9 §11.10
弹性体的形变势能 位移变分方程 位移变分法 位移变分法应用于平面问题 应力变分方程 应力变分法 应力变分法应用于平面问题 应力变分法应用于扭转问题 解答的唯一性 功的互等定理
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
代入位移变分方程（11-6）式
X u Y v Z w dxdydz X u Y v Z w dS dxdydz
实际存在的位移，满足位移边界条件、用位移分量表示的平衡微 分方程和应力边界条件、位移变分方程。位移变分方程可以代替平 衡微分方程和应力边界条件。
4. 伽辽金变分方程 根据几何方程，形变分量的变分为
能量原理及其变分法
S V
于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V
变分法原理
变分法原理变分法是数学中一种非常重要的方法，它在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
变分法的核心思想是寻找函数的极值，通过对函数进行微小的变化，来求解极值问题。
在本文中，我们将介绍变分法的基本原理及其在不同领域中的应用。
首先，让我们来看一下变分法的基本原理。
对于一个函数f(x)，我们希望找到它的极值点。
为了简化问题，我们可以假设函数f(x)在一个区间[a, b]上连续且可微。
现在，我们要找到一个函数φ(x)，它在区间[a, b]上也连续且可微，并且满足φ(a)= α，φ(b) = β，其中α和β为给定的常数。
我们定义一个新的函数J(φ) = ∫[a, b] L(x, φ(x), φ'(x)) dx，其中L(x, y, y')为关于x, y, y'的函数。
那么，我们的目标就是找到一个φ(x)，使得J(φ)取得极值。
为了实现这一目标，我们引入变分。
对于φ(x)，我们对它进行微小的变化，即φ(x) + εη(x)，其中ε为一个足够小的正数，η(x)为任意的可微函数，并且满足η(a) = η(b) = 0。
然后，我们计算J(φ(x) + εη(x))关于ε的导数，并令其为0。
通过求解这个方程，我们可以得到一个关于η(x)的方程。
这个方程就是欧拉-拉格朗日方程，它是变分法的基本方程之一。
通过欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到φ(x)满足的微分方程。
解这个微分方程，就可以得到函数φ(x)的表达式。
这个表达式就是我们要找的函数，它使得J(φ)取得极值。
这就是变分法的基本原理。
除了数学中的应用，变分法在物理学中也有着重要的应用。
例如，它可以用来求解拉格朗日力学中的运动方程，以及量子力学中的路径积分。
在工程学中，变分法可以用来求解弹性力学中的边界值问题，以及优化问题中的约束条件。
在经济学中，变分法可以用来求解效用最大化和生产函数最优化等问题。
总之，变分法是一种非常重要的数学方法，它在不同领域中都有着广泛的应用。
能量原理与变分法
最小势能原理
• 内力虚功
物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功
对于整个弹性体
内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变
• 外力虚功
如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变
外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变
将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理
称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和
变形可能态
➢ 在物体内位移与应变满足几何方程
➢ 在位移边界Su上，满足位移边界条件
ud=
vd=
wd=
变形协调
静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的 受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系
静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调 变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程
使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是 位移的函数。
若位移及与之相应的应力与应变满足： （1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件）， （2）位移边界条件， （3）平衡微分方程， （4）静力边界条件， 则该位移就是问题的解，即为真实位移。
仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移 原理。 故 求解弹性力学问题又可叙述为： (1)在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场 。 或者 (2) 真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位 移原理。
➢ 从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零， 即在真实状态总势能取极值。
➢ 对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值， ➢ 最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位
移，就是真实的位移。
弹塑性力学能量原理与变分法
U = U ( y ( x) ) = y1 − y = δy
U max
δU = 0
1
函数 y 也有一增量： Δy 泛函 U 也有一增量：
（2）球下落问题 球从位置1下 落至位置2，所需 时间为T，
ΔU = U [ y1 ( x)] − U [ y ( x)] = δU
f ( x)
函数的增量δy 、泛函的增量 δU 等 称为变分。 研究自变函数的增量与泛函的增量 间关 系称为变分问题。 当
[
]
（e）
Vε = ∫∫∫ vε dxdydz
2 2 = 1 ∫∫∫ (σ x +σ y + σ z2 ) − 2 μ (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) 2E 2 2 2 + 2(1 + μ )(τ yz + τ zx + τ xy ) dxdydz
[
]
（11-1） 将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
（a）以位移为基本未知量， 得到最小势（位）能原理等。—— 位移法 （b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。 —— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量， 得到 广义（约束）变分原理。 求解方法： —— 混合法 里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。
§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
单向拉伸： 外力所做的功： P P l0
W = 1 PΔl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下， 其它能量损失很小，所外力功全部转化 杆件的形变势能（变形能） Vε ：
变分法(能量原理)
y
y
yz
z
) v ( zx
x
zy
y
z
z
)
w
dV
( xl xym xzn) u ( yxl ym yzn) v ( zxl zym zn) w dS
S
(Px u Py v Pz w) dS
S
V
(
x x
xy y
xz z
X ) u ( yx x
y y
yz z
Y ) v ( zx x
zy y
z z
Z
)
w
A1
B1
B1
0
A1
0
0
B1
Eab
2(1
2
)
(
A1
B1
)
q1ab
Eab
2(1
2
)
(
B1
A1
)
q2
ab
A1
q1
E
q2
B1Βιβλιοθήκη q2E
q1
u
q1
q2
E
x
v
V
S
( X u Y v Z w)dV (Px u Py v Pz w)dS
V
S
由于虚位移而产生的虚变形能为：
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
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n
Z
wd
d(l )
1 M d
2
1T d
2
1 2
kFQ
d
FN2 d x M 2 d x T 2 d x kFQ2 d x
整个杆的变形能 2EA 2EIz 2GI p 2GA
U
l
FN2 d x 2EA
l
M2 d x 2 EI z
T2d
l 2GI
x
p
l
kFQ2 d 2GA
x
注意：对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于
e
T
Me
,
Tl GI p
W
1 2
Me
M
Me
,
Ml EI z
变形能
U FN2 l 2EA
U FQ2l 2GA
U T 2l 2GI p
U M 2l 2 EI z
组合变形情况下杆件的变形能：
在所截取的微段内，可
以认为内力为常量。轴
力、剪力、弯矩、扭矩
对微段来说是处于外力
位置。所以
dU
dW
1 2 FN
弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时
通常不计轴力和剪力的影响。
思考：变形能的计算能不能用叠加原理
M M1 M2
U ? U1 U2
M1
U1
M
2 1
dx
2EI
M2
U2
M 22dx 2EI
能量原理与变分法
静力平衡
材料质点（微单元体） 变形几何 物理关系
偏微分方程
整个变形体的能量
求：各杆的变形能。
(c)
(a)
(b)
Ua Ub Uc ?
特性1：计算U时不 能用叠加原理。
P1
Na P1
Ua
P12l 2EA
P2
Nb P2
Ub
P22l 2EA
P1
P2
Nc P1 P2
Uc
(P1 P2 )2 l 2EA
对于 杆C
先加 P1
l1
P1l EA
1 2
P1l1
再加P2
l2
P2l EA
x
s y
y
s zy
z
vd
s xz
x
s yz
y
s z
z
w
d
d
S Su
Xud Yvd Zwd
d
x
s x
u
d
v s d
xy
w s d
xz
y
ysxu d
s y
vd
s y
z
w
d
z
u s d
zx
v s d
zy
s z
w
d
d
xs
d x
ys
d y
zs
d z
s
xy
Uc
1 2
P1l1
1 2
P2l2
P1l2
P12l P22l P1P2l 2EA 2EA EA
特性2：U 只与载荷的最终数值有关； 与加载方式无关。
杆件在基本变形情况下的变形能：
变形形式
外力功
位移与力的 关系
W 1 Fl 2
FN
F
,
l
FN l EA
W 1 F
2
FQ
F
,
FQl GA
W
1 2
M
静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调 变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程
可能功原理
外力（体力和面力，包括反力）在变形可能的位移上所做功 ＝ 内力（应力）在变形可能的应变上所做功
S(X,Y,Z)
u d, vd,wd
(X,Y,Z) s
ij
Su
d ij Su (ud=u,v d=v,wd=w)
弹塑性力学
（优选）能量原理与变分法
土木工程与力学学院 ·罗文波
§12-2 外力功和变形能的计算
外力功的计算：
F
F
F
o
F1 A
1
M2
B
2
在线弹性范围内:
W F 2
F ——广义力
——广义位移
梁为非弹性体时：
W
0
1
F1
d
1
0
M2 d
梁为弹性体时：
W
1 2
F11
1 2
M 2 2
变形能的计算：
如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）F，1、F2 Fn
s x
syx
s zx
X
0
x y z
s xy
s y
s zy
Y
0
x y z
s xz
s yz
s z
Z
0
x y z
➢ 在静力边界上满足静力边界条件
sz l
s yx
m
szx n
X
szy
l
s y
m
s zy
n
Y
s xz
l
s yz
m
s z
n
Z
➢ 在位移边界上，其反力由上式给出
变形可能状态
➢ 在物体内位移与应变满足几何方程
zsXxuudAdxxYzsyvvAdydyZzwsAwzzd
ddnd d
Axl Aym Azn d
xs
d x
s d
yy
zs
d z
s
xy
d xy
s
yz
d yz
s
zx
d zx
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S Su
s x
l
ysxm
s zx
n
-
X
ud
xsyl
s ymΒιβλιοθήκη s zynY
vd
xszl
s yz
m
s z
1 2
P2l2
P1l2
Uc
1 2
P1l1
1 2
P2
l2
P1l2
Ua Ub P1l2
(a)
(b)
(c)
Uc
(P1 P2 )2 l 2EA
P1
P2
P1
P2
对于
先加 P1
l1
P1l EA
1 2
P1l1
杆C
再加P2
l2
P2l EA
1 2
P2l2
P1l2
P12l P22l P1P2l 2EA 2EA EA
产生相应的广义位移（包括角位移）1、2n ，那么 非线性弹性体的变形能：
线性弹性体的变形能：
U
W
n i 0
Fi d i
i 1
U
W
1 2
F11
1 2
F2
2
1 2
Fn
n
克拉比隆（ Clapeyron ）原理：弹性体的变形能等于广义力与其 相应广义位移乘积之半的总和。
例：现有a，b，c三根杆，已知其长度l 和刚度EA 相等，
Xud Yvd Zwd d Xud Yvd Zwd d
S Su
xs
d x
ys
d y
zs
d z
s
xy
d xy
s
yz
d yz
s
zx
d zx
d
证明:
Xud Yvd Zwd d Xud Yvd Zwd d
S Su
s x
x
s y
x
y
s zx
z
u d
s xy
d xy
s
yz
d yz
s
zx
d zx
d
S Su
Xud Yvd Zwd
d
S
Su
s x
d x
s x
u
d
s xy
v
d
ys
d y
s xz
w
d
l
s d
zz
s
xy
d xy
ysxu d
s y
z
s y
散vd 度 y定szw理d m
d d
sd
yz zx zx
S Su
积分方程（能量的变分为零）
变分法
变分法与微分方程的描述，两者可以转化 变分法是有限元方法的基础
静力可能状态
➢ 物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用，
➢
在静力边界S上受面力(X ，Y ，Z )作用
S( X, Y,
外力与内力(应力） 处处（物体内和边界上） 满足平衡。
(X,Y,Z ) Su
➢ 在物体内满足平衡微分方程
dx
ud x
d xy
ud y
vd x
dy
v d x
d yz
v d z
w d y
d z
w d z
d zx
w d x
ud z
➢ 在位移边界Su上，满足位移边界条件
ud= u
vd= v
wd= w
变形协调
静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的 受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系