变分原理

变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。

例如：实际上光的传播遵循最小能量原理：在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。

一、举一个例子（泛函）变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。

在理论上和实践上均需要放宽解的条件。

因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。

在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。

Poisson 方程的Neumann 问题设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题(N) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∆-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足01,=+ΓΩ⎰g f d x其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ⨯Γ∙∙-ΓH H .问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数ΩΩ∈Ω=,1)(/)(11i n f ˆv vH v RH ,V v ∈ˆ 可以得到唯一解。

实际上，由定理5.8推出RH v/)(1ˆΩ等价于半范Ω→,1ˆv v. 定义双线性泛函R V V →⨯:V v u v v u u v u v u B ∈∈∈∀∇∇=ˆ,ˆ,ˆ,ˆ),,()ˆ,ˆ（ 和线性泛函V v vv u g fdx vl ∈∈∀+→ΓΩ⎰ˆ,ˆ,,ˆ:. 其右端与v v ˆ∈无关。

因此v ˆ中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)ˆ(ΓΓ-ΩΩ+≤v gvf vl利用范数)(2/1ΓH 定义，有vv v gf v l ˆ,)()ˆ(,1,2/1,0∈∀+≤ΓΓ-Ω， 从而 Γ-Ω+≤,2/1,0'gflV由范数等价性定理，可得V Vvu c v u v uB ˆˆ)ˆ,ˆ(,1,1≤≤ΩΩ 22,1ˆ)ˆ,ˆ(V u u u uB γ≥=Ω 也就是，双线性形式)ˆ,ˆ(v uB 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。

根据Lax-Milgram 定理，问题（N ）的变分问题：⎩⎨⎧∈∀=∈Vv v v u V uN ˆ,ˆ,)ˆ,ˆB ˆ)('（使得求存在唯一的解V u∈ˆ，且有 V V l uγ≤ˆ. 利用商范数等价性定理则有，存在常数0>c ，使得 )(,2/1,0,1Γ-ΩΩ+≤gfc u .问题）'(N 存在唯一解V u∈ˆ，并且对每个u u ˆ∈，它连续依赖于问题()N 的定解条件。

且上式成立.进一步可以证明，如果Γ充分光滑，)(2Ω∈-m H f ，,2),(2/3≥Γ∈-m H g m 那么R H um /)(ˆΩ∈，且 ()Γ-Ω-Ω+≤,2/3,2,m m m gf c u ， u u ˆ∈∀。

二、基本运算法则自变函数的变分)(x y δ是x 的函数，于是可以用x 求导数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-=dx x dy x y x y dx x dy dx x dy x y dx d i i )()()()()()(''δδ 即[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dx x dy x y dx d )()(δδ 因此，变分δ和导数dxd的运算可换，变分的导数等于导数的变分。

同理有：[])()(''''x y x y δδ= [])()(x y x y n n δδ=其它的运算规则如下：()2121)1(∏+∏=∏+∏δδδ ()211221)2(∏∏+∏∏=∏∏δδδ()()()22211221//3∏∏∏-∏∏=∏∏δδδ()∏∏=∏-δδ14n n n()()n n y y δδ=)(5 ()⎰⎰∏=∏21216x x x x dxdx δδ三、 变分原理（线性和自然变分原理）1.线性、自伴随微分算子如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则不仅可以建立它的等效积分形式，并可以利用加权余量法求其近似解； 还可建立与之相等的变分原理，基于它的另一种近似求解方法---Ritz 法。

线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程()0=+b u L ΩinL 为微分算子若L 具有性质：()()()2121u L u L u u L βαβα+=+ 则称L 为线性微分算子。

若()⎰ΩΩvd u L L 内积后，求积；（其中v 为任意函数）对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：()()⎰⎰ΩΩ+Ω=Ωv u t b d v uL vd u L ,..)(*（其中()v u t b ,..为边界项）称*L 为L 的伴随算子若L L =*则称算子是自伴随。

2.泛函的构造Ω∈∀x ()()0=+≡f u L u A Γ∈∀x ()0=u B利用Galertkin （伽辽金）格式()()()0u =Γ+Ω+⎰⎰ΓΩd u B u d f L u T T δδ因为算子是线性、自伴随的，所以：()()()Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰Ωd u L u u L u u L u TT T δδδ2121简单分解 ()Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰ΩΩd u L u u L u u L u T T T )(21)(21δδδ分部积分 ),.(.)(21)(21u u t b d u L u u L u T T δδδ+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰Ω线性算子性质 ),..(.)(21)(21u u t b d u L u u L u T T δδδ+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰Ω 微分的计算性质),.(.)(21u u t b d u L u T δδ+Ω=⎰Ω微分方程的等效积分形式：()()()0T =Γ-Ω+⎰⎰ΩΓd u B u d f u L u Tδδ()()0=Γ-Ω+Ω⎰⎰⎰ΓΩΩd u B u fd u d u L u T T T δδδ整理得到：0=∏δ原问题的泛函()()u t b fd u u L u T T ..21+⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω+=∏⎰Ω变分原理是针对以下积分形式定义的标量泛函而言，()Γ⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅∂∂+Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅∂∂=∏⎰⎰ΓΩd x u u E d x u u F u ,,,,对于未知场函数u ，任意一个微小的变化u δ，使)(u ∏取驻值的u 即为问题的控制方程及边界条件的解。

原问题微分方程和边界条件的等效积分的Galerkin 提法等效于泛函取驻值。

反之泛函取驻值则等效于微分方程和边界条件。

这里泛函可以通过等效积分的Galerkin 提法得到。

这种变分原理称为自然变分原理。

例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中最小能力耗散原理，称为自然变分原理。

例如，最小位能原理 体系的总位能：应变能：Ω=Ω⎰⎰ΩΩd Ud T σε21外力势能：Γ-Ω-⎰⎰ΓΩd T u u T T势能泛函：Γ-Ω-Ω=∏⎰⎰⎰ΓΩΩd T u d f u d u T T T σε21)(最小位能原理真实位移u 是体系总位能取极小值，即：()0=∏u δ 其中：()Lu u =ε D L u D ==εσ近似解 []a N N N Na a N u u n ni i i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅===≈∑=211n n a N a N a N +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=2211其中：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⋅⋅⋅⋅⋅n a a a 1 n a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1待定参数向量（未知）N N N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1 试探函数矩阵（事先选定）对三维问题：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=i i i i N N N N 00000泛函：()ds T N a fdV N a DLNdVa LN a S T T V T T T VT⎰⎰⎰--=∏σ21变分：02211=∂∏∂+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∂∏∂+∂∏∂=∏n na a a a a a δδδδ n a a a δδδ⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,相互对立所以，01=∂∏∂a ， 02=∂∏∂a ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 0=∂∏∂n a 或 0=∂∏∂a 由：0=∂∏∂a得到矩阵形式 F Ka = 其中()DLNdV LN K TV ⎰= ds T N dV f N F S TVT ⎰⎰+=σ共有3Xn 个方程若n N N ⋅⋅⋅⋅⋅1为完备的函数系列 则，∞→n 时，u收敛于精确解， 若n 为有限项，则u 为近似解。

上述方法为Ritz 法Ritz （里兹）法------基于变分原理的近似解法 1. 求解步骤：1） 假设近似解：i ni i a N u u ∑==≈1i a 为待定参数，满足强制边界条件。

2） 将u 代入()u∏ 泛函)(u ∏的极值问题（求函数u ），转化为求多元（n a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1）函数的极值问题。

()0=∂∏∂i a u ⇒ i i i F a K = 3） 求解线性代数方程组⇒ i a ⇒ u 的近似解2. 解的收敛性1） 连续性要求i N 满足1-m C 阶连续性 2） 完备性要求i N 取自完备的函数序列关于强制边界条件与自然边界条件 若微分算子是线性自伴随的，Galerkin 法的等效积分形式 → 问题泛函 → 近似场函数u应满足强制边界条件假如微分算子是2m 阶0至m-1阶导的边界条件称为强制边界条件 m 至2m-1阶导的边界条件称为自然边界条件 未知场函数无需事先满足自然边界条件关于解的下限性u u u δ+= ， δεεε+= ， δσσσ+=()TdS u fdV u dV D u S T V T VT p ⎰⎰⎰--=∏σεε21()()()()T d S u u f d Vu u dV D T S T V T V⎰⎰⎰+-+-++=σδδδεεδεε21()()PP P VT V S T V T T u v S T V T T P dVD TdS u fdV u dV D TdS u fdV u dV D u ∏∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+--=∏22121δδδεδεδδδεεεεσσ ()()u u p P P ∏≥∏→>∏ 02δ所以真解是泛函取最小极值。

最小余能原理：真解使得系统的总余能最小。

考虑平衡方程：()()()00===Γ∈∀=+≡Ω∈∀T n u B x f L u A x T σσ其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x z yz x y zy xn n n n n n n n n n 000000000系统的总余能应变余能：Ω=Ω=⎰⎰ΩΩd C d W U kl ij ijkl σσσσ21余势能：dS p u i S i u⎰-余能泛函：()dS p u d C Si i kl ij ijkl C ⎰⎰-Ω=∏Ωσσσ21则有：0=-Ω⎰⎰ΩdS u p d US i i ij ij δεδσ即，所有可能应力中，真解使系统的余能取极小值。