3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 公开课获奖课件
化成只含有tan、 tan 的形式呢？
探究3： 通过什么途径可以把上面的式子
化成只含有tan、 tan 的形式呢？
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式：
tan( ) tan[ ( )]
探究4： 两角差的正切公式：
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•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
)、T(
称为
)
和角公式.
将S(
)、C(
)、T(
称为
)
差角公式.
讲解范例：
例1. 已知sin 3 , 是第四象限角,
5
求sin ,cos , tan
4 4 4 的值.
讲解范例：
思考：
在本题中,sin cos ,
4 4
那么对任意角 ,此等式成立吗？若成
tan( ) tan[ ( )] tan tan( ) 1 tan tan( )
探究4： 两角差的正切公式：
tan( ) tan[ ( )] tan tan( ) 1 tan tan( )
tan tan 1 tan tan
和角公式、差角公式:
将S(
)、C(
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
立你能否证明？
练习： 教材P.131第1、2、3、4题.
讲解范例：
例2. 已知tan( ) 2 , tan 1 ,
5 4 4
求tan 的值.
4
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
(1) sin 72o cos 42o cos 72o sin42o; (2) cos 20o cos 70o sin 20o sin70o;
探究2： 两角和的正切公式：
探究2： 两角和的正切公式： tan( ) sin( )
cos( )
探究2： 两角和的正切公式： tan( ) sin( )
cos( ) sin cos cos sin
cos cos sin sin
探究3：
通过什么途径可以把上面的式子
2
2
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
2
2
sin cos cos sin
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )]
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：陈震
复习引入 1. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
复习引入 1. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
2. sin cos?
讲授新课
问题：
由两角差的余弦公式，怎样得到 两角差的正弦公式呢？
1 tan15o (3) 1 tan15o .
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
(1) sin 72o cos 42o cos 72o sin42o; (2) cos 20o cos 70o sin 20o sin70o;
1 tan15o (3) 1 tan15o .
探究1： 两角和与差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin cos cos sin
探究1： 两角和与差的正弦公式： S( ) : sin( ) sin cos cos sin S( ) : sin( ) sin cos cos sin
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蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
练习.教材P.131第5题.
课堂小结
本节我们学习了两角和与差正弦、 余弦和正切Байду номын сангаас式，我们要熟记公式， 学会灵活运用.
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2. 《习案》作业三十.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了or z。 最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
探究3： 通过什么途径可以把上面的式子
化成只含有tan、 tan 的形式呢？
tan( ) tan tan 1 tan tan
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式：
tan( ) tan[ ( )]
探究4： 两角差的正切公式：
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蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
)、T(
称为
)
和角公式.
将S(
)、C(
)、T(
称为
)
差角公式.
讲解范例：
例1. 已知sin 3 , 是第四象限角,
5
求sin ,cos , tan
4 4 4 的值.
讲解范例：
思考：
在本题中,sin cos ,
4 4
那么对任意角 ,此等式成立吗？若成
tan( ) tan[ ( )] tan tan( ) 1 tan tan( )
探究4： 两角差的正切公式：
tan( ) tan[ ( )] tan tan( ) 1 tan tan( )
tan tan 1 tan tan
和角公式、差角公式:
将S(
)、C(
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
立你能否证明？
练习： 教材P.131第1、2、3、4题.
讲解范例：
例2. 已知tan( ) 2 , tan 1 ,
5 4 4
求tan 的值.
4
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
(1) sin 72o cos 42o cos 72o sin42o; (2) cos 20o cos 70o sin 20o sin70o;
探究2： 两角和的正切公式：
探究2： 两角和的正切公式： tan( ) sin( )
cos( )
探究2： 两角和的正切公式： tan( ) sin( )
cos( ) sin cos cos sin
cos cos sin sin
探究3：
通过什么途径可以把上面的式子
2
2
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin( ) cos[ ( )] cos[( ) ]
2
2
cos( )cos sin( )sin
2
2
sin cos cos sin
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )]
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：陈震
复习引入 1. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
复习引入 1. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
2. sin cos?
讲授新课
问题：
由两角差的余弦公式，怎样得到 两角差的正弦公式呢？
1 tan15o (3) 1 tan15o .
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
(1) sin 72o cos 42o cos 72o sin42o; (2) cos 20o cos 70o sin 20o sin70o;
1 tan15o (3) 1 tan15o .
探究1： 两角和与差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin cos cos sin
探究1： 两角和与差的正弦公式： S( ) : sin( ) sin cos cos sin S( ) : sin( ) sin cos cos sin
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蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
练习.教材P.131第5题.
课堂小结
本节我们学习了两角和与差正弦、 余弦和正切Байду номын сангаас式，我们要熟记公式， 学会灵活运用.
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2. 《习案》作业三十.
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了or z。 最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件
由勾股定理，可得
y
P1P22=P1Q2+QP22
N2(0, y2)
∟
.
P2(x2, y2)
=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2
=(x1–x2)2+(y1–y2)2, 由此得到平面内
M1(x1, 0)
.∟
O
∟∟ ∟
M2(x2, 0)
x
Q
P1(x1, y1), P2(x2, y2)
P1(x1, y1) N1(0, y1)
本课小结： 在这节课中，我们研究了两个角的
和与差的正弦、余弦和正切公式，这些 公式在今后有大量的应用，应熟练地、 灵活地掌握。
(例3就是反过来用公式的例子).
再见
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2 3 2 1 6 2;
2 2 22
4
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、
余弦和正切的值.
tan15°= scions1155°°
6 6
2 2 3; 2
或 tan15°=tan(45°–30°)
tan45tan30 1tan45tan30
1 3
3
3
11 3 3
3
3 2 3; 3
+ sin2α+2sinα sinβ+ sin2β， 2–2cos(α+β) =2–2cosα cosβ +2sinα sinβ，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 公开课一等奖课件
通过什么途径可以把上面的式子
化成只含有tan、 tan 的形式呢？
探究3：
通过什么途径可以把上面的式子
化成只含有tan、 tan 的形式呢？
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式：
和角公式、差角公式: 和角公式. 差角公式.
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究2： 两角和的正切公式：
探究2： 两角和的正切公式：
探究2： 两角和的正切公式：
探究3：
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2. 《习案》作业三十.
撸撹撺挞撼撽挝擀擃 掳擅擆擈擉擌擎擏擐 擑擓携擖擗擘擙擛擜 擝擞擟抬擢擤擥举擨
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3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：陈震
复习引入 1. 两角差的余弦公式：
复习引入 1. 两角差的余弦公式：
2.
讲授新课
问题：
由两角差的余弦公式，怎样得到 两角差的正弦公式呢？
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
讲解范例：
例1.
讲解范例：
思考：
练习： 教材P.131第1、2、3、4题.
讲解范例：
例2.ห้องสมุดไป่ตู้
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
化成只含有tan、 tan 的形式呢？
探究3：
通过什么途径可以把上面的式子
化成只含有tan、 tan 的形式呢？
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式：
探究4： 两角差的正切公式：
和角公式、差角公式: 和角公式. 差角公式.
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究2： 两角和的正切公式：
探究2： 两角和的正切公式：
探究2： 两角和的正切公式：
探究3：
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2. 《习案》作业三十.
撸撹撺挞撼撽挝擀擃 掳擅擆擈擉擌擎擏擐 擑擓携擖擗擘擙擛擜 擝擞擟抬擢擤擥举擨
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3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
主讲老师：陈震
复习引入 1. 两角差的余弦公式：
复习引入 1. 两角差的余弦公式：
2.
讲授新课
问题：
由两角差的余弦公式，怎样得到 两角差的正弦公式呢？
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
探究1： 两角和与差的正弦公式：
讲解范例：
例1.
讲解范例：
思考：
练习： 教材P.131第1、2、3、4题.
讲解范例：
例2.ห้องสมุดไป่ตู้
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第一课时)》示范公开课教学PPT课件
目标检测
1
已知
sin θ
15 17
，θ是第二象限角，求
cos
θ
π 3
的值．
答案：15 3 8 ． 34
2 已知 π α π β 3π ，且 sin α 2 ，cos β 3 ，
2
2
3
4
求cos(α β) 的值．
答案：3 5 2 7 ． 12
敬请各位老师提出宝贵意见 ！
新知探究
问题5 结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任 意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和 一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱 导公式与公式之间的关系吗？试一试． 差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的余弦值的恒等变换问题， 第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称， 将求任意角的三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能， 这些功能是 C(αβ) 不具备的．
1 2 3 2 2 6；
22 2 2
4
新知探究
例2 借助公式 C(αβ) ，解答以下题目：
（1）计算cos 15°的值；
（2）已知
sin α
4 5
，α
π ，π 2
，cos
β
5 13
，β是第三象限角，
求 cos(α β) 的值．
解：
（2）因为
α
π 2
，π
，故
cos
α
1 sin2 α 3 ， 5
＝PA．
新知探究
追问2 你能证明这个等量关系吗？
可以借助圆的旋转对称性证明 A1P1＝AP ，进而得到A1P1＝AP；
可以借助圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形OA1P1全等， 进而得到AP＝A1P1； 或者直接利用圆的旋转对称性证明线段A1P1端点
课件7：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
例 2 求下列各式的值：
1＋tan (1)1－tan
75°； 75°
(2)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(3)tan 70°－tan 10°－ 3tan 70°tan 10°
解：(1)方法 1：原式＝1t－ ant4a5n°4＋5°ttaann7755°°＝
tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
A.－ 3
B. 3
C.－
3 3
3 D. 3
【解析】tanta2n02°t0a°n－(－ta5n05°0)－° 1＝ttaann2500°°t－ant5a0n°2＋0°1＝tan130°
＝ 3.故选 B.
3．(2014 年贵州模拟)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40° ＝________.
得csoins((αα＋－ββ))＝scions ααccooss
β＋cos β＋sin
αsin αsin
ββ＝1t＋antαan＋αttaannββ＝1－3 3
＝－23.
规律总结
1．公式 Tα ± β 中 α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z)． 2．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的常用变形： (1)1t－antαan＋αttaannββ＝tan(α＋β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα(＋α＋taβn)β；
(3)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (4)tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β.
()
1
1
A.5
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件(人教版必修4)
• 3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正 切公式
• 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式并能利用公式进行化简求值．(重点) • 2．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征和 符号规律．(易混点) • 3．能正用、逆用、变形用公式进行化简求值．(难点)
• 一、两角和的余弦公式 cos αcos β－sin αsin β • cos(α＋β)＝ C(α＋β) ，使用的条件为α，β∈R.
2
∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α 5 3 1 11 4 3 3 － ＝ 14 ×7－ 14 × 7 ＝ 2 .
• 【题后总结】充分观察和分析问题中已知角与未知角之间 的关系，将未知角用已知角表示出来，从而将未知角的三 角函数值转化为已知角的三角函数值，这是一种角的变换， 在三角求值问题中有着广泛的应用．解题时需注意角的范 围对三角函数值的制约，必要时还需根据三角函数值缩小 角的范围，从而确定角的大小．在开方运算时，要利用角 的范围确定根号前的正负符号．
• 1．若本例条件不变，求sin αsin β的值． 4 解：由 cos(α＋β)＝5，
4 得 cos αcos β－sin αsin β＝5.① 4 4 由 cos(α－β)＝－5得 cos αcos β＋sin αsin β＝－5.② 4 ②～①得 2sin αsin β＝－2×5， 4 ∴sin αsin β＝－5.
【题后总结】三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包 括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其 中角的变换是最基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)]，α＝2[(β＋α)－(β－α)]等．
• 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式并能利用公式进行化简求值．(重点) • 2．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征和 符号规律．(易混点) • 3．能正用、逆用、变形用公式进行化简求值．(难点)
• 一、两角和的余弦公式 cos αcos β－sin αsin β • cos(α＋β)＝ C(α＋β) ，使用的条件为α，β∈R.
2
∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α 5 3 1 11 4 3 3 － ＝ 14 ×7－ 14 × 7 ＝ 2 .
• 【题后总结】充分观察和分析问题中已知角与未知角之间 的关系，将未知角用已知角表示出来，从而将未知角的三 角函数值转化为已知角的三角函数值，这是一种角的变换， 在三角求值问题中有着广泛的应用．解题时需注意角的范 围对三角函数值的制约，必要时还需根据三角函数值缩小 角的范围，从而确定角的大小．在开方运算时，要利用角 的范围确定根号前的正负符号．
• 1．若本例条件不变，求sin αsin β的值． 4 解：由 cos(α＋β)＝5，
4 得 cos αcos β－sin αsin β＝5.① 4 4 由 cos(α－β)＝－5得 cos αcos β＋sin αsin β＝－5.② 4 ②～①得 2sin αsin β＝－2×5， 4 ∴sin αsin β＝－5.
【题后总结】三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包 括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其 中角的变换是最基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)]，α＝2[(β＋α)－(β－α)]等．
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A必修4 (1)
解析答案
类型二 逆用公式化简与求值
2 例2 (1)sin(70°－x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)＝ 2 .
解析 ∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°， (25°－x)＋(155°＋x)＝180°， ∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
＝
cos 20°
＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)若 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β便可得到.
公式 简记符号
cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β Cα＋β
使用条件
方法一
原式＝2cosπ3sin
类型二 逆用公式化简与求值
2 例2 (1)sin(70°－x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)＝ 2 .
解析 ∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°， (25°－x)＋(155°＋x)＝180°， ∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
＝
cos 20°
＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)若 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β便可得到.
公式 简记符号
cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β Cα＋β
使用条件
方法一
原式＝2cosπ3sin
课件9：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点 辅助角公式的应用 探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角 与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、 易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记 符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_
两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件1
同名积，符号反。
s in () s inc o s c o ss in
s in ( ) s in c o s c o s s in
异名积，符号同。 tan(α +β )=tanα +tanβ
1-tanα tanβ
tan(α -β )=tanα -tanβ 1+tanα tanβ
换元
诱导
公式 (α＋β)
(α-β) 公式
S(α+β)
弦切关系
T(α-β)
弦切关系
T(α+β)
2. 余弦： 同名积 符号反
正弦： 异名积 符号同 正切： 符号上同 下不同
3. 公式应用：
作业
课本P137 习题3.1
5，6，7，8，9，10
例2：已知 、是锐角， sin且 4 3，
7
cos()11，求 sin的值
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、
2009、12、24
一、复习：
两角差的余弦公式
cos ()co cso ssin sin
C 简记： ()
同名积，符号反。
cos()?
二、公式的推导
用代
cos()cos[()]
co csos)(sinsin()
两角和的正切公式：
tan()sc
s in () s inc o s c o ss in
s in ( ) s in c o s c o s s in
异名积，符号同。 tan(α +β )=tanα +tanβ
1-tanα tanβ
tan(α -β )=tanα -tanβ 1+tanα tanβ
换元
诱导
公式 (α＋β)
(α-β) 公式
S(α+β)
弦切关系
T(α-β)
弦切关系
T(α+β)
2. 余弦： 同名积 符号反
正弦： 异名积 符号同 正切： 符号上同 下不同
3. 公式应用：
作业
课本P137 习题3.1
5，6，7，8，9，10
例2：已知 、是锐角， sin且 4 3，
7
cos()11，求 sin的值
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、
2009、12、24
一、复习：
两角差的余弦公式
cos ()co cso ssin sin
C 简记： ()
同名积，符号反。
cos()?
二、公式的推导
用代
cos()cos[()]
co csos)(sinsin()
两角和的正切公式：
tan()sc
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关