新建-平行线的性质培优试题
平行线的性质与判定 解答题培优专练(原卷)
平行线的性质与判定解答题培优专练1．（2022春·浙江温州·七年级校考期中）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD 之间.(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．△当△CDE=2△EDM时，求△BED的度数.△如图2，作出△CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求△BED的度数.(2)如图3，△CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当△ABH=2△HBF，1 2∠BED+13∠F=40°时，求△CDE的度数.2．（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF 中，△ACB=△EDF=90°，△ABC=△BAC=45°，△DFE=30°，△DEF=60°．(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分△PEF时，则△DFM=．(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作△FGQ 和△GF A的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求△GHF的度数．(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC 与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）3．（2022春·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分△ADC，BE平分△ABC，直线DE，BE交于点E，△CBN＝120°．(1)若△ADQ＝100°，求△BED的度数；(2)在图1中过点D作△ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究△DEB与△DFE 的关系；(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若△ADQ＝n°，过点D 作△PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求△BED+△DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）4．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，连结AB，且∠ABN=45°．灯A射线自AQ顺时针旋转至AP便立即回转，灯B射线自BM顺时针旋转至BN便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒．(1)若两灯同时转动，在灯B射线第一次转到BN之前，两灯射出的光线交于点C．△如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求∠ABC的度数．△如图2，过C作CD⊥BC交PQ于点D，则在转动过程中，求∠ABC与∠ACD的比值，并说明理由．(2)若灯A射线先转动30秒，灯B射线才开始转动，在灯A射线第一次转到AP之前，B灯转动几秒，两灯的光线互相平行？5．（2021春·浙江衢州·七年级校考期中）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，它们的一边分别与直线AB重合，其中△ONM=30°，△OCD=45°，将图1中的三角板OMN 绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转α°．（0°＜α°＜180°）．(1)当△AOM＝105°时，求旋转角的度数．(2)当两块三角板中至少有一组边互相平行时，求旋转的时间．(3)将图1中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转得到图2，MN与CD相交于点E，若△CEN=β°时，试探究α与β的数量关系，并直接写出结论．6．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分△MPE，QF平分△CQE．（1）如图1，若PE△QE，△EQN＝64°，则△MPE＝°，△PFQ＝°．（2）如图2，求△PEQ与△PFQ之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当PE△QE时，若△APE＝150°，△MND＝110°，过点P作PH△QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值．7．（2022春·浙江嘉兴·七年级校考期中）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使△AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中△OMN＝30°．(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在△BOC的内部，且恰好平分△BOC，求△CON的度数；(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．△在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；△将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在△AOC的内部，请探究△AOM与△NOC 之间的数量关系（直接写出结果）．8．（2022春·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分△AEF交CD于点M，且△FEM＝△FME．(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分△FEG交CD于点H，过点H作HN△EM于点N，设△EHN＝α，△EGF＝β．△当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；△当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．9．（2021春·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）已知直线l1∥l2，直线l3，l4分别与l1，l2交于点B，F和A，E，点P是直线l3上一动点（不与点B，F重合），设△BAP＝△1，△PEF＝△2，△APE＝△3．(1)如上图，当点P在B，F两点之间运动时，试确定△1，△2，△3之间的关系，并给出证明；(2)当点P在B，F两点外侧运动时，试探究△1，△2，△3之间的关系，画出图形，给出结论，不必证明．10．（2022春·浙江衢州·七年级统考期末）已知△ABC与△ADE共顶点A，∠BAC=∠DAE=90∘，顶点B和C在直线l1上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线l2上（点D在点E的左侧），且直线l1∥l2．(1)如图1，顶点A在l1与l2之间，判断△BAD与∠ABC+∠ADE是否相等，并说明理由．(2)如图2，顶点A在l1与l2之间，△ABC的外角平分线与△AED的角平分线交于点F，若∠BAD=70∘，求△BFE的度数．(3)若顶点A在直线l2的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，△ABC的外角平分线与△AED 的角平分线交于点F，记∠BAD=α，∠BFE=β，请探究α与β的数量关系，并直接写出结论．11．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）如图，AB、CD被AC所截，AB∥CD，△CAB＝108°，点P为直线AB上一动点（不与点A重合），连CP，作△ACP和△DCP的平分线分别交直线AB于点E、F．(1)当点P在点A的右侧时△若△ACP＝36°，则此时CP是否平分△ECF，请说明理由．△求△ECF的度数．(2)在点P运动过程中，直接写出△APC与△AFC之间的数量关系．12．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CMN=60∘，射线ME 从MD出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动，此时ME也同时停止运动．其中a，b满足方程组{4a+b=173a−2b=10．(1)求a，b的值；(2)若NF先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为t，当运动过程中ME∥NF时，求t的值；(3)如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P，过点P 作PQ⊥ME于点P，交直线AB于点Q，则在运动过程中，若设∠NME的度数为m，请求出∠NPQ 的度数（结果用含m的代数式表示）．13．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）已知AB△CD，(1)如图1，若△ABE＝160°，△CDE＝120°，求△BED的度数；(2)如图2，若BF平分△ABE，DF平分△CDE，则△BFD与△BED有怎样的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若BF平分△ABE，DF平分△CDE，则△BFD与△BED有怎样的数量关系，并说明理由．14．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC=∠CDE= 90°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，∠DCE=∠DEC=45°）按如图△放置，其中点E在直线PQ 上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．(1)求∠DEQ的度数．(2)如图△，若将三角形ABC绕点B以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t(s)(0≤t≤90)．△在旋转过程中，当BG∥CD时，求t的值．△若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），请直接写出当BG∥HK时t的值．15．（2022春·浙江金华·七年级校考期中）（1）如图1，点E在BC上，△A＝△D，△ACB＝△CED．请说明AB∥CD的理由．（2）如图2，AB∥CD，BG平分△ABE，与△EDF的平分线交于H点，若△DEB比△DHB大60°．求△DEB的度数．（3）保持（2）中所求的△DEB的度数不变，如图3，AB∥CD，BM平分△EBK，DN平分△CDE，作BP∥DN，则△PBM的度数是否改变？若不变，请直接写出△PBM的度数；若改变，请说明理由．16．（2022春·浙江湖州·七年级校联考阶段练习）（1）【问题】如图1，若AB∥CD，∠BEP=25°，∠PFC=150°，求∠EPF的度数；（提示：过点P作PQ∥AB）（2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．17．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期末）如图△，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC 上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B=∠E=60°.(1)请说明AE∥BC；(2)将线段AE沿着直线．．AC平移得到线段PQ，连接DQ．△.如图△，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数=_____________；△.在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，∠Q=_____________．18．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），△ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．(1)如图1，直接写出下列答案：△△BAD的度数是；△当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A．(2)如图2，若AM∥BN，求此时对应的旋转时间x的值．(3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P，△如图3，若点P在CD与EF之间，且△APB=126°，求旋转时间x的值；△若旋转时间x<24，求△APB的度数（用含x的代数式表示）．19．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E 为直线AB，CD外一点．(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出△E的度数．(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF 交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．20．（山东省日照市岚山区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）（1）阅读下面材料：已知：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到∠AEC．求证：∠AEC+∠A+∠C=360°．解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：过点E作EF∥AB，则有∠AEF+∠A=180°（______）．△AB∥CD，△EF∥CD（______）．△∠FEC+∠C=180°（______）．△∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,又△∠AEC=∠AEF+∠FEC△∠AEC+∠A+∠C=360°．假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若AB∥CD，E为AB，CD之间一点，则有∠AEC+∠A+∠C=360°（2）已知：直线m∥n，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．△如图2，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求∠ABC的度数；△如图3，当点D在点C的右侧时，设∠ABC=α，∠ADC=β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．21．（江苏省江阴市周庄中学2021-2022学年七年级下学期3月限时作业数学试题）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有△1=△2，△3=△4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．△BAF=110°，△DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．22．（2021春·浙江·七年级阶段练习）如图1，已知AB△CD，△B＝30°，△D＝120°；(1)若△E＝60°，则△F＝；(2)请探索△E与△F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分△BEF，FG平分△EFD，反向延长FG交EP于点P，求△P的度数．23．（2022春·浙江台州·七年级台州市书生中学校考期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，便于夜间查看道路安全情况，如图，灯A射线AM′自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线BQ′自BQ顺时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足√5−a+|b−a+3|=0，假定主道路的两边是平行的，即PQ△MN．(1)求a、b的值；(2)若灯B的射线BQ′先转动30秒，灯A的射线AM′才开始转动，在射线BO′到达BP之前，射线AM′转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)若灯A、B的射线AM′，BQ′同时转动t秒，在射线BQ′到达BP之前，记射线AM′与BQ′交于点H，若两束光束垂直，求t的值．24．（2021春·浙江·七年级专题练习）问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG （△EFG＝90°，△EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现(1)如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若△2＝2△1，求△1的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明△AEF与△FGC之间的数量关系；结论应用(3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则△CFG等于______（用含α的式子表示）．25．（2021春·浙江衢州·七年级浙江省衢州市衢江区实验中学校考开学考试）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图△），其中△A＝30°，△B＝60°，△D＝△E＝45°．(1)猜想△BCD与△ACE的数量关系，并说明理由；(2)若△BCD＝4△ACE，求△BCD的度数；(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究△BCD等于多少度时CE△AB，并简要说明理由．26．（2022春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校联考阶段练习）如图，直线MN//PQ，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，△ACB＝△EDF＝90°，△ABC＝△BAC＝45°，△DFE＝30°，△DEF＝60°，此时点A与点E重合．(1)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点E按顺时针方向进行旋转，旋转至DE与BC首次平行，如图2所示，求此时△F AC的度数．(2)对于图1，固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点F正好落在直线MN上，再将△DEF绕点F按顺时针方向进行旋转，如图3所示．△若边EF与边BC交于点G，试判断△BGF﹣△EFN的值是否为定值，若是定值，则求出该定值，若不是定值，请说明理由；△对于图3，固定△ABC的位置不变，将△DEF绕点F顺时针方向以每秒10°的速度进行旋转，当EF与直线MN首次重合时停止运动当经过t秒时，线段DE与△ABC的一条边平行，求满足条件的t的值．27．（2020春·浙江杭州·七年级统考期末）问题情境：如图1，已知AB△CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE△AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．问题迁移：如图3，AD△BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，MA1△NA n，A1−B1−A2−⋯−B n−1−A n是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．28．（2020春·浙江宁波·七年级统考期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．(1)如图，直接写出∠A和∠C之间的数量关系．(2)如图，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C．(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．29．（2021春·浙江金华·七年级统考期末）如图1，在△ABC中，△B＝65°，△BAC＝75°，D 为AC边上一点，分别过点A、D作BC、AB的平行线交于点E．（1）求△E的度数．（2）点P为直线AC上的一个动点，过点P作PF△AE，且PF＝AE，连DF．△如图2，当点P在点C的右侧，且△PFD＝25°时，判断DE与DF的位置关系，并说明理由．△在整个运动中，是否存在点P，使得△PFD＝2△EDF？若存在，请求出△PFD的度数，若不存在，请说明理由．30．（2021春·浙江宁波·七年级统考期末）如图，直线CD//EF，点A，B分别在直线CD，EF上（自左向右分别为点C，A，D和点E，B，F），∠ABF=60°．射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．（1）如图1，直接写出下列答案：△∠BAD的度数是______．△当旋转时间x=______秒时，射线BN过点A．（2）如图2，若AM//BN，求此时对应的旋转时间x的值．（3）若两条射线AM和BN所在直线交于点P．△如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值．△若旋转时间x<24，求∠APB的度数（直接写出用含x的代数式表示的结果）．。
平行线的判定与性质专项训练(20题)(学生版)
平行线的判定与性质专项训练（20题）一、解答题1．已知：如图，∠1=∠C，∠2+∠3=180°.求证：AD∥EF.3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，AF⊥AD，垂足为A.求证：∠1＝∠24．已知AB∥DE，∠1=∠2，若∠C=54°，求∠AEC的度数．5．如图，C为∠AOB平分线上一点，CD//OB交OA于点D．求证：OD＝CD．6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点O为BD上任意一点，过点O的直线分别交AD，BC于M，N两点.求证：∠1＝∠2.7．如图，AB∥CD，∠ABE＝∠DCF.求证：∠E＝∠F.8．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝60°，求∠ACB的度数.9．如图，BE平分∠ABC，EB∥CD，∠ABC＝2∠1.判断直线AD与BC的位置关系，并说明理由.10．已知：∠DEC+∠C=180°，DE平分∠ADF，∠F=∠1．求证：∠B=∠C．11．如图，已知∠1＝∠2，AB∥EF，∠3＝130°，求∠4的度数.12．如图，AB//CD，点C为直线BC，CD的交点，∠B+∠CDE=180°.求证：BC//DE.13．如图，已知AD∥BE，∠1=∠C，请判断∠A与∠E是否相等？并说明理由.14．如图，已知∠ABC=∠1，∠P=∠Q.试说明∠2=∠3.15．如图，已知∠A＝∠F＝40°，∠C＝∠D＝70°，求∠ABD，∠CED的度数．16．如图，A，C，F，D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：BC∥EF.17．如图，∠1=60°，∠2=60°，∠3=100°。
要使AB∥EF,∠4应为多少度？说明理由。
18．如图，已知：AB∥CD，∠BAE=∠DCF，AC，EF相交于点M，有AM=CM．（1）求证：AE∥CF；（2）若AM平分∠FAE，求证：FE垂直平分AC．19．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，∠AED＝∠C，EF//AB．求证：∠B＝∠DEF．20．如图，∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D．求证：AD∥BC．。
(完整版)平行线的性质试题及答案
平行线的性质试题及答案1．如图1，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行(1) (2) (3)2．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定3．如图2，AB∥CD，那么（）A．∠1=∠4 B．∠1=∠3 C．∠2=∠3 D．∠1=∠54．如图3，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°5．如图4，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30° B．60° C．90° D．120°(4) (5)6．如图5，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．7．如图，AB∥CD，AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的角平分线，AE与DF平行吗？•为什么？8．（综合题）如图，已知∠AMB=∠EBF，∠BCN=∠BDE，求证：∠CAF=∠AFD．9．（应用题）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120°，第二次拐的角B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C是多少度？说明你的理由．10．（创新题）（1）如图，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C的度数吗？（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．11．（1）如图6，已知AB∥CD，直线L分别交AB、CD•于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40则∠EGF的度数是（）A．60° B．70° C．80° D．90°(6) (7)（2）已知：如图7，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C•的度数是（）A．135° B．115° C．65° D．35°答案:1．A 2．B 3．D 4．D 5．B6．180°点拨：∵AB∥EF，∴∠B=∠CFG．∵BC∥DE，∴∠E+∠BFE=180°．∵∠GFC=∠BFE，∴∠B+∠E=180°．7．解：平行．∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA（两直线平行，内错角相等）．∵AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的平分线，∴∠EAD=12∠BAD，∠FDA=12∠CDA．∴∠EAD=∠FDA．∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）．8．证明：∵∠AMB=∠DMN，又∠ENF=∠AMB，∴∠DMN=∠ENF，∴BD∥CE．∴∠BDE+∠DEC=180°．又∠BDE=∠BCN，∴∠BCN+∠CED=180°，∴BC∥DE，∴∠CAF=∠AFD．点拨：本题重点是考查两直线平行的判定与性质．9．解：∠C=150°．理由：如答图，过点B作BE∥AD，则∠ABE=∠A=120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=150°-120°=30°．∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥CF（平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠C+∠CBE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠C=180°-∠CBE=180°-30°=150°．10．解：（1）如答图5-3-2，过点C作CF∥AB，则∠1=180°-∠B=180°-135°=45°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CF∥AB，DE∥AB，∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠2=∠180°-∠D=180°-145°=35°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠BCD=∠1+∠2=45°+35°=80°．（2）∠B+∠C+∠D=360°．理由：如答图5-3-2过点C作CF∥AB，得∠B+∠1=180°（两直线平行，•同旁内角互补）．∵CF∥AB，DE∥AB，∴CF∥DE（平行于同一条直线的两直线平行）．∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠B+∠1+∠2+∠D=360°．即∠B+∠BCD+∠D=360°．点拨：辅助线CF是联系AB与DE的纽带．11．（1）B （2）C。
平行线的性质
平行线的性质精选题26道一．选择题（共7小题）1．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°2．如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④5．如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°6．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，若∠1＝34°，则∠2的大小为（）A．34°B．54°C．56°D．66°7．如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°二．填空题（共12小题）8．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝度．9．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．若∠E n＝1度，那∠BEC等于度．10．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为．11．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是．12．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为．13．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2＝度．14．如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝度．15．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为．16．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于°．17．如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是．18．如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝．19．将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC的度数为．三．解答题（共7小题）20．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．21．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．22．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．23．已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：（1）∠1+∠2＝；（2）∠1+∠2+∠3＝；（3）∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝．24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠P AB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．25．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a 度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．26．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG ＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．。
北师大版七年级数学下册 2.3.1 平行线的性质 培优训练(含答案)
北师版七年级数学下册2.3.1《平行线的性质》培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1. 如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1＝70°，则∠2的大小是()A．20°B．50° C．70° D．110°2．如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是( )A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4C．∠2＋∠4＝180° D．∠1＋∠4＝180°3. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为() A．50° B．40° C．30° D．25°4. 如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是()A．122° B．85° C．58° D．32°5. 如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3等于()A．40° B．60° C．80° D．100°6. 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为()A．20° B．30° C．45° D．50°7. 如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为()A．40° B．90° C．50° D．100°8. 如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为()A．120° B．100° C．80° D．60°9. 已知∠1与∠2是同旁内角．若∠1＝50°，则∠2的度数是()A．50°B．130°C．50°或130°D．不能确定10．将一个长方形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )A．40° B．50° C．60° D．70°二．填空题（共8小题，3*8=24）11. (淄博中考)如图，直线a∥b，若∠1＝140°，则∠2＝____度；12. 如图，已知直线a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是_______.13. 如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝_________.14．已知如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，∠BMF和∠DNE的角平分线相交于点P，则MP与NP的位置关系是___________.15．如图是某次考古挖掘出的一个四边形残缺的玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A＝115°，∠D ＝110°.已知在四边形ABCD中，AD∥BC，则∠B＝______，∠C＝_______.16．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于_________.17．如图，已知C点在B点的北偏西60°的方向上，B点在A点的北偏东30°的方向上，则∠ABC的度数是_________．18．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为_________.三．解答题（共6小题，46分）19．(6分) 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2的度数．20．(6分) 如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，试说明AE平分∠CAD.21．(7分) 如图，已知∠DAB＝65°.(1)写出∠1的内错角；(2)写出∠C的同旁内角；(3)当∠B的为多少度时，AE∥BC?22．(7分) 如图，AB∥CD，三角形EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．23．(10分)(1)如图1，图2，OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°，求图1中∠CED的度数和图2中∠CED＝的度数，用一句话概括你发现的规律.(2)已知∠AOB＝80°，∠CED＝x°，OA∥CE，OB∥ED，用你发现的规律求x的值．24．(10分) 如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°.求∠BPC的度数．参考答案1-5CBBCC 6-10 DBDDD11. 4012. 60°13．40°14. MP⊥NP15. 65°，70°16．75°17. 90°18．64°19. 解：∵直线AB∥CD，∴∠1＝∠3＝54°，∵BC平分∠ABD，∴∠3＝∠4＝54°，∴∠2的度数为180°－54°－54°＝72°20. 解：因为AE∥BC(已知)，所以∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)，∠EAC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．因为∠B＝∠C(已知)，所以∠DAE＝∠EAC(等量代换)．所以AE平分∠CAD(角平分线的定义)．21. 解：(1)∠1的内错角是∠C(2)∠C的同旁内角是∠B和∠ADC(3)∵当AE∥BC时，有∠DAB＋∠B＝180°，∴∠B＝180°－∠DAB.又∵∠DAB＝65°，∴∠B＝115°22. 解：因为在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°，所以∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.因为GE平分∠FGD，所以∠EGF＝∠EGD＝55°.因为AB∥CD，所以∠EHB＝∠EGD＝55°.又因为∠EHB＝180°－∠AHE＝∠EFB＋∠E，所以∠EFB＝∠EHB－∠E＝55°－35°＝20°.23. 解：(1)∵OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°，∴在图1中∠CED＝30°，∴在图2中∠CED＝150°，故可得到的规律为：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．(2)∵∠AOB＝80°，OA∥CE，OB∥ED，设∠CED＝x°，∴x的值为80或10024. 解：过点P作PM∥AB，如图②所示．因为AB∥CD，PM∥AB，所以PM∥CD.所以∠4＝180°－∠2＝180°－25°＝155°.因为AB∥PM，所以∠3＝180°－∠1＝180°－32°＝148°.所以∠BPC＝360°－∠3－∠4＝360°－148°－155°＝57°.。
(完整版)平行线的性质-练习(答案)
1.3 平行线的性质1．选择题：（1）下列说法中，不正确的是（）A．同位角相等，两直线平行; B．两直线平行，内错角相等;C．两直线被第三条直线所截,同旁内角互补; D．同旁内角互补,两直线平行（2)如图1所示，AC平分∠BCD，且∠BCA=∠CAD=12∠CAB，∠ABC=75°，则∠BCA等于（ • ） A．36° B．35° C．37.5° D．70°(1） (2） (3）（3）如图2所示，AD⊥BC于D，DG∥AB，那么∠B和∠ADG的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对（4）如图3,直线c与直线a、b相交,且a∥b，则下列结论：①∠1=∠2；②∠1=∠3;③∠3=∠2中，正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个（6）如图5,AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）3．填写理由:（1)如图9所示,∵ DF∥AC（已知），∴∠D+______=180°（__________________________）∵∠C=∠D（已知），∴∠C+_______=180°（_________________________）∴ DB∥EC（_________）．（2）如图10所示，∵∠A=∠BDE（已知）, （9）∴ ______∥_____（__________________________）∴∠DEB=_______（_________________________）∵∠C=90°（已知）,∴∠DEB=______(_________________________)∴ DE⊥______（_________________________）4．如图所示，已知AD、BC相交于O,∠A=∠D,试说明一定有∠C=∠B．5．如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，则一定有DE∥FB，它的根据是什么？6．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF,MG交CD于G,求∠1的度数．7。
平行线的性质_练习(含答案)
5.3 平行线的性质一、选择题:1.如图1所示,AB ∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( )A.5个B.4个C.3个D.2个DCBA 1EDBAOF E D C BA(1) (2) (3)2.如图2所示,已知DE ∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=72°,∠ACB=40°,•那么∠BDC 等于( )A.78°B.90°C.88°D.92°3.如图3所示,CD ∥AB,OE 平分∠AOD,OF ⊥OE,∠D=50°,则∠BOF 为( ) A.35° B.30° C.25° D.20°4.如图4所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( )A.180°B.360°C.540°D.720°FE DCBAG FED C BA1(4) (5)5.如图5所示,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( )• A.6个 B.5个 C.4个 D.3个6.下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;•③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④7.若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相( ) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交二、填空题:1.如图6所示,如果DE ∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是______;如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是________.F E DCBA(6) (7)2.如图7所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________.DCBADCA12(8) (9)3.如图8所示,AB ∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=•_______. 三、训练平台:1. 如图9所示,AD ∥BC,∠1=78°,∠2=40°,求∠ADC 的度数.2. 如图所示,AB ∥CD,AD ∥BC,∠A 的2倍与∠C 的3倍互补,求∠A 和∠D 的度数.•D CBA3. 如图所示,已知AB ∥CD,∠ABE=130°,∠CDE=152°,求∠BED 的度数.EDCBA4.如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.ba3412四、提高训练:1. 如图所示,已知直线MN 的同侧有三个点A,B,C,且AB ∥MN,BC ∥MN,试说明A,•B,C 三点在同一直线上.NMA2. 如图所示,把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG 的度数.NMG F EDC BA五、探索发现:六、 如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.PDCBA P DCBAP DCB A PDCB A(1) (2) (3) (4)六、中考题与竞赛题:1.(2002.河南)如图a 所示,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_______.GF EDCBA 12FEDCB A12(a) (b)2.(2002.哈尔滨)如图b 所示,已知直线AB,CD 被直线EF 所截,若∠1=∠2,•则∠AEF+∠CFE=________.答案:一、1.C 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.B二、1.∠AED ∠BDE 两直线平行,同旁内角互补 DF AC 内错角相等,两直线平行2.150°3.60° 40°三、1.∠ADC=118° 2.∠A=36°,∠D=144° 3.∠BED=78° 4.∠4=120°四、1.解:如图所示,过B点任作直线PQ交MN于Q,∵AB∥MN,∴∠PBA=∠MQP,•又∵BC∥MN,∴∠PBC=∠PQN,又∵∠PQM+∠PQN=180°,∴∠ABC=180°,∴A,B,C三点在同一直线上.2.∠DEG=100°五、(1)∠P=360°-∠A-∠C,(2)∠P=∠A+∠C,(3)∠P=∠C-∠A,(4)∠P=∠A-∠C(说明略).六、1.54° 2.180°N M。
人教版七年级数学下册 5.3.1 平行线的性质 培优训练(含答案)
人教版七年级数学下册5.3.1《平行线的性质》培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，已知a∥b，∠1＝58°，则∠2的大小是( )A．122°B．85°C．58°D．32°2. 如图，已知AB∥CD，∠2＝120°，则∠1的度数是()A．30°B．60°C．120°D．150°3．如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是( )A．20°B．25°C．30°D．50°4．如图，直线ll∥l2，直角三角板的直角顶点C在直线l1上，一锐角顶点B在直线l2上，若∠1＝35°，则∠2的度数是( )A．65°B．55°C．45°D．35°5．如图，AB∥CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是( )A．65°B．105°6．如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为( )A．52°B．54°C．64°D．69°7．如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是( )A．74°B．76°C．84°D．86°8．如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是( )A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4C．∠2＝∠3 D．∠1＝∠39．如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2＋∠3＝( )A．150°B．170°C．200°D．210°10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次的拐角∠A＝120°，第二次的拐角∠B＝150°，第三次的拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是( ) A．120°B．130°C．150°D．165°11. 如图，若AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是_________．12．如图，∠1＝∠2，∠A＝75°，则∠ADC＝_____．13．如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1＝50°，则∠2的度数为________．14．如图，直线a、b被c所截，且a∥b，∠1＝120°，则∠2＝________．15. 如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝110°，则∠4＝________．16．将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1＝30°，则∠2的大小是________．17．已知∠1的两边分别与∠2的两边平行，若∠1＝40°，则∠2＝___________．18. 如图，AB∥CD，∠B＝160°，∠D＝120°，则∠E＝________三．解答题（共6小题，46分）19．(6分) 如图，已知∠1＝120°，∠2＝120°，∠3＝100°，求∠4的度数．20．(6分) 如图，∠1＝∠3，∠B＝∠C，试说明：∠A＝∠D.21．(6分) 如图，已知∠1＝∠2，∠D＝55°，求∠B的度数．22．(6分) 已知，如图，AB∥CD，∠ABE＝∠DCF，请说明∠E＝∠F的理由．23．(6分) 如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．24．(8分) 如图，已知CD 平分∠ACB ，∠EDC ＝12∠ACB ，∠DCB ＝30°，求∠AED 的度数．25．(8分) 如图，已知AD ⊥BC 于点D ，GE ⊥BC 于点E ，∠1＝∠G ，试说明：AD 平分∠BAC.参考答案1-5CBBBC 6-10 CBADC11. ∠1＝∠312. 105°13. 50°14. 60°15．70°16．60°17. 40°或140°18. 40°19. 解：∵∠1＝∠2＝120°，∴a∥b，∴∠3＋∠5＝180°.∵∠4＝∠5，∴∠3＋∠4＝180°.∵∠3＝100°，∴∠4＝80°20. 解：∵∠1＝∠3，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AF∥DE，∴∠D＝∠CFA，又∵∠B＝∠C，∴AB∥CD，∴∠A＝∠CFA，∴∠A＝∠D21. 解：∵∠1＝∠2，∠2＝∠EQD，∴∠1＝∠EQD，∴AB∥CD.∴∠B＋∠D＝180°.∵∠D＝55°，∴∠B＝125°.22. 解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD．∵∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF，∴∠E＝∠F．∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°， ∴∠2＝∠4，∴EF ∥AB ，∴∠3＝∠ADE ， 又∵∠3＝∠B ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠C24. 解：∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB ＝2∠DCB. 又∵∠DCB ＝30°，∴∠ACB ＝2×30°＝60°， ∴∠EDC ＝12 ∠ACB ＝30°，∴∠EDC ＝∠DCB ＝30°，∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ACB ＝60° 25. 解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°， ∵GE ⊥BC ，∴∠GEB ＝90°，∴∠ADB ＝∠GEB ＝90°，∴AD ∥EG ， ∴∠1＝∠BAD ，∠G ＝∠CAD. ∵∠1＝∠G ，∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴AD 平分∠BAC。
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平行线的性质及其应用考点·方法·破译１.掌握平行线的性质,正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系; 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3.灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明,确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用．经典·考题·赏析【例１】如图,四边形AB ＣD 中，ＡＢ∥C Ｄ, ＢC ∥A Ｄ，∠Ａ【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行,内错角相等; 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥ＣD BC ∥AD ∴∠A ＋∠Ｂ=1８０° ∠B +∠Ｃ=1８0°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝３８° ∴∠C ＝3８° 【变式题组】０1.如图,已知ＡD ∥ＢＣ,点E 在BD 的延长线上,若∠A ＤＥ＝155°，则∠ＤＢC 的度数为( )Ａ.1５5° ﻩB ．50°ﻩ C .45° ﻩD .25°02.（安徽)如图，直线l 1 ∥ ｌ2,∠1＝55°，∠２＝6５°,则∠3为( ) A ． 50° B ． 55° Ｃ. 60° Ｄ．65°03.如图，已知ＦC ∥A Ｂ∥D Ｅ，∠α:∠D ：∠B ＝２: 3: 4, 试求∠α、∠Ｄ、∠B 的度数.【例2】如图,已知AB ∥ＣＤ∥EF ，GC ⊥CF ,∠B ＝60°,∠EFC ＝45°,求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合,可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BC Ｄ ∠F ＝∠FCＤ(两条直线平行，内错角相等)又∵∠Ｂ＝60° ∠EFC =４5° ∴∠B ＣD =60° ∠F ＣD =4５° 又∵ＧＣ⊥CF ∴∠GCF ＝９0°(垂直定理） ∴∠GCD =9０°－４5°=４5° ∴∠B ＣＧ=6０°－45°＝15° 【变式题组】EA FGD CB01.如图,已知AF ∥BC , 且AF 平分∠ＥAB ,∠B =48°，则∠Ｃ的的度数=__＿__＿_____＿__＿02.如图,已知∠ABC +∠A ＣB =1２0°,B Ｏ、ＣO 分别∠AB Ｃ、∠A ＣＢ，D Ｅ过点Ｏ与BC平行,则∠BOC ＝______＿＿_＿_０3．如图,已知A Ｂ∥ MP ∥CD , ＭN 平分∠AMD ，∠A ＝4０°,∠D =50°,求∠ＮＭP 的度数.【例3】如图,已知∠1＝∠２，∠C =∠Ｄ. 求证:∠A ＝∠Ｆ.【解法指导】 因果转化,综合运用.逆向思维:要证明∠A ＝∠Ｆ,即要证明ＤF ∥AC ． 要证明D Ｆ∥AC , 即要证明∠Ｄ＋∠ＤBC ＝180°,即：∠C +∠ＤBC =１80°；要证明∠C ＋∠DB Ｃ =180°即要证明DB ∥EC. 要证明DB ∥ＥC 即要 证明∠1=∠3.证明:∵∠1=∠2，∠2＝∠３（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴D Ｂ∥EC (同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C =180°(两直线平行,同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠ＤBC +∠Ｄ＝180° ∴ＤF ∥AC (同旁内角,互补两直线平行)∴∠Ａ=∠Ｆ（两直线平行,内错角相等）【变式题组】0１．如图，已知ＡＣ∥ＦG ,∠1=∠2，求证：DE ∥FG02.如图,已知∠1＋∠2＝18０°,∠３=∠B. 求证：∠AED =∠ＡCBABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图）BAMCDN P （第3题图）C DAB EF1 32 G B3 C A 1D 2E F （第1题图）A 2CF 3 E D1B（第2题图）DA2 E1 B C BF E A CD０３．如图,两平面镜α、β的夹角θ，入射光线ＡO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线Ｏ′Ｂ平行 于α,则角θ等于＿________.【例4】如图,已知EG ⊥BC ,A Ｄ⊥BC ，∠１＝∠３．求证:ＡD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的,仔细分析条件给我们带来的结论,对于不能直接直接得出结论的条件,要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1=∠3)证明:∵EG ⊥ＢC ,AD ⊥B Ｃ ∴∠EG Ｃ＝∠ADC ＝9０° (垂直定义)∴E Ｇ∥ＡＤ(同位角相等,两条直线平行) ∵∠1＝∠3 ∴∠3=∠BAD（两条直线平行，内错角相等） ∴ＡD 平分∠BAC (角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若A Ｅ⊥ＢC 于E ，∠1=∠2,求证：DC ⊥ＢC.02.如图,在△ＡBC 中,CE ⊥A Ｂ于E ,DF ⊥ＡB 于Ｆ, A Ｃ∥E Ｄ,CE 平分∠A ＣB ． 求证:∠ＥＤF ＝∠BD Ｆ.3．已知如图,AB ∥ＣD ,∠B =4０°，ＣN 是∠BCE 的平分线． CM ⊥C Ｎ,求：∠BC Ｍ的度数.A D M CN E B 31 A B G D CEα β P B C D A∠P ＝α＋β3 21γ 4 ψD α βE B C A FHγ α BCA【例5】已知，如图，ＡＢ∥EF ，求证：∠ＡＢC +∠BCF ＋∠CFE =360° 【解法指导】从考虑３60°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角．构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作ＣD ∥A Ｂ即把已知条件ＡB ∥ＥF 联系起来，这是关键.【证明】：过点Ｃ作ＣD ∥A Ｂ ∵CD ∥ＡＢ ∴∠１＋∠AＢC ＝180°(两直线平行,同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥ＥＦ(平行于同一条直线的两直线平行) ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行, 同旁内角互补） ∴∠ABC ＋∠１＋∠2+∠CFE ＝１80°+180°=360° 即∠A ＢC ＋∠B ＣF +∠ＣＦE ＝360° 【变式题组】０1.如图，已知,AB ∥CD ,分别探究下面四个图形中∠ＡP Ｃ和∠ＰAB 、∠ＰCD 的关系,请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴________________________＿＿__ ⑵___________＿＿＿＿____＿___＿__＿_⑶__＿_＿＿________________＿_＿___ ⑷＿＿＿___＿_＿__＿_＿___＿_＿____＿_＿_【例６】如图,已知，ＡB ∥ＣD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ-∠β=180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路．【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB. ∵A Ｂ∥EH ∴∠α＝∠1(两直线平行,内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥F Ｇ(平行于同一条直线的两直线平行)∴∠2=∠3 又∵ＡB ∥CD ∴FG ∥C Ｄ（平行于同一条直线的两直线平行)∴∠ψ+∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)∴∠α＋∠γ+∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4-ψ-∠1－∠２＝∠4＋ψ=１80°【变式题组】01．如图, AB ∥E Ｆ,∠C =90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是( ) A . ∠β＝∠α＋∠γﻩ Ｂ．∠β+∠α+∠γ=1８0°C .ﻩ∠α＋∠β－∠γ＝90°ﻩD ．∠β+∠γ－∠α=90°BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD ⑴⑵⑶⑷F E D 2 1 AB CFD E B C A B CAA ′l B ′C ′02.如图,已知,ＡB ∥C Ｄ，∠ＡBE 和∠ＣDE 的平分线相交于点Ｆ，∠E ＝1４0°,求∠B ＦD的度数．【例７】如图,平移三角形AB Ｃ,设点A 移动到点A /,画出平移后的三角形A /Ｂ／C /． 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定,找,移,连． ⑴定:确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点． ⑶移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA ／ ②过点B 作AA ／的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B ／就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接Ａ/B /,B/Ｃ／，C /A ／就得到平移后的三角形A /B /C ／．【变式题组】01.如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21c ｍ,作出平移后的图形．0２.如图,已知三角形ABC 中，∠Ｃ=90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△AB Ｃ沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ＡBC 与△A ／Ｂ/Ｃ/的重叠部分的面积.03.原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着B Ｃ方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位:厘米)B B /AA /C C /西 B 30°A北东 南演练巩固 反馈提高01．如图,由Ａ测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°ﻩﻩB ．南偏东60° ﻩ Ｃ.北偏西3０° D ．北偏西６0°0２．命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直．其中的真命题的有( ) A ．1个ﻩﻩB .2个 C ．3个 Ｄ．4个 03．一个学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是( ） A ．第一次向左拐30°,第二次向右拐3０° B ．第一次向右拐5０°，第二次向左拐130°Ｃ.第一次向左拐50°,第二次向右拐1３０°ﻩD .第一次向左拐６0°,第二次向左拐1２0° ０4.下列命题中，正确的是( )A .对顶角相等 ﻩB . 同位角相等C .内错角相等ﻩﻩD ．同旁内角互补 05．学习了平行线后,小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法,是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知,小敏画平行线的依据有（ )①两直线平行，同位角相等；②两直线平行,内错角相等；③同位角相等,两直线平行;④内错角相等，两直线平行． A .①②ﻩﻩB ．②③ﻩ Ｃ.③④ ﻩD .①④06.在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路,从Ａ地测得Ｂ地的走向是南偏东５2°.现A 、Ｂ两地要同时开工,若干天后,公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ） Ａ．北偏东52°ﻩ B .南偏东５２°C ．西偏北５2°D .北偏西３8° 0７.下列几种运动中属于平移的有( )①水平运输带上的砖的运动;②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动(忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动． A ．1种ﻩ Ｂ．2种 C ．3种 D .4种0８.如图,网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置．平移这个图案,使它正好位于左上角的位置（不能出格)09.观察图,哪个图是由图⑴平移而得到的( ）10.如图,AD ∥BC ,ＡＢ∥CD ,AE ⊥BC ，现将△AB Ｅ进行平移. 平移方向为射线AD 的方向． 平移距离为线段BC 的长,则平移得到的三角形是图中( )图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角;⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补,两直线平行.12.把下列命题改写成“如果……那么……”的形式,并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角; ⑵两个锐角的和是锐角； ⑶直角都相等.１３.如图,在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A ＝1２0°,第二个拐弯处∠B ＝１50°，第三个拐弯处∠C ,这时道路CE 恰好和道路ＡD 平行,问∠C 是多少度？并说明理由.DEAB C ED B CEDAB CEDAB C EDABC150°120°DBCE湖4321ABEFC D4P231A BEFC D１４.如图，一条河流两岸是平行的,当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成６4°角．当小船行驶到河中F点时,看B点和Ｄ点的视线ＦB、FD恰好有∠1=∠２,∠3=∠４的关系. 你能说出此时点F与码头B、Ｄ所形成的角∠BＦD的度数吗？１５．如图，ＡB∥CD，∠1＝∠２,试说明∠E和∠F的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△AB Ｃ各边都被分成五等分,这样在△AB内能与△DEF 完成重合的小三角形共有２５个,△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有( )个02.如图,一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B BO 方向匀速滚来,运动员立即从A 去拦截足球.相同，点的平移)03.如图,长方体的长AB =4ｃm ,宽BC ＝３ｃm ,高AA 1＝２ｃm . 将AC 平移到Ａ1C 1的位置上时,平移的距离是__＿____＿___,平移的方向是_＿＿＿_____＿＿. 0４.如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b );将线段Ａ１Ａ2向右平移１个单位得到B 1Ｂ2,得到封闭图形A １A ２B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现Ａ1A 2 A 3向右平移1个单位得到B １Ｂ2B 3,得到封闭图形A １A ２ A ３B 3B 2Ｂ１ ［即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线,同样的向右平移１个单位,从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积Ｓ１＝＿______＿, S 2＝_＿＿_＿___, S ３=________.⑶联想与探究:如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白部分草地面积是多少?CB 1AA 1C 1D 1BD.B . OF E B A CG D０5．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜１８０°），被称为一次操作,若５次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．7２0°ﻩ B ．108°或144° C ．14４° D ．720°或1４4°０６．两条直线a 、b 互相平行,直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、Ａ１0，直线ｂ上顺次有10个点B 1、B ２、…、B 9,将ａ上每一点与ｂ上每一点相连可得线段．若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ) Ａ．90 ﻩ B .1620 ﻩ C .6４80ﻩ Ｄ.2０0607.如图,已知AB ∥ＣD ,∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ,ＥＧ⊥ＥＦ. 求∠BEG 和∠ＤEG ．０8.如图,AB ∥CD ，∠ＢA Ｅ=30°,∠DCE =60°,EF 、EG 三等分∠AE Ｃ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线?为什么?０9.如图，已知直线ＣB ∥ＯＡ,∠Ｃ=∠OA Ｂ＝100°,Ｅ、F 在C Ｂ上，且满足∠ＦＯＢ＝∠A ＯＢ,O Ｅ平分∠ＣOF ． ⑴求∠EO Ｂ的度数；⑵若平行移动A Ｂ，那么∠O ＢC ：∠ＯＦC 的值是否随之发生变化？若变化,找出变化规律;若不变，求出这个比值.⑶在平行移动ＡＢ的过程中，是否存在某种情况,使∠OEC ＝∠OB Ａ?若存在,求出其度数；若不存在，说明理由．FEBACGD 100°⑶⑷F E B C----10.平面上有5条直线,其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36°,请说明理由．11．如图,正方形ＡBC Ｄ的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12.如图将面积为a 2的小正方形和面积为b ２的大正方形放在一起,用添补法如何求出阴影部分面积？A B C D。