平行线的证明 培优专题过关测试题二
八年级数学上册第七章平行线的证明培优专题训练二
1.我们知道：“在三角形的每个顶角处各取一个外角，它们的和就是这个三角形的外角
和”。
（1）猜想三角形的外角和是多少度？证明你的结论。
（2）如果将三角形三条边都向两边延长，并且在每条线上任取两点连接起来，那么在原三角形外又得到三个新三角形，如图所示，猜想：∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？并用（1）的结论证明你的猜想。
解：（1）360°
证明：∵∠AMN+∠NMS=180°，∠DNS+∠MNS=180°，∠ESM+∠MSN=180°，∠NMS+∠MNS+∠MSN=180°
∴∠AMN+∠DNS+∠ESM =
（180°-∠NMS）+（180°-∠MNS）+（180°-∠MSN）
=180°×3-（∠NMS+∠MNS+∠MSN）=180°×3-180°=360°
（2）360°
证明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AMN+∠DNS+∠ESM=360°
（1） (2)
2.如图所示，∠xOy=90°，点A、B分别在坐标轴Ox、Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，
BE 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点C 。
试问：∠ACB 的大小是否随A 、B 的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随A 、B 的移动发生变化，请给出变化范围。
解：∠C 的大小保持不变．理由：
∵∠ABY=90°+∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ，
∴∠ABE=12∠ABY=12（90°+∠OAB ）=45°+12∠OAB ，
即∠ABE=45°+∠CAB ，
又∵∠ABE=∠C+∠CAB ，
∴∠C=45°，
故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°． 3.如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠AOC=60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方，其中∠OMN=30°。
（1）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图2，使一边OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC ，求∠CON 的度数；150°
（2）将图1中的三角尺绕点O 按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 9秒，27秒 秒时，边MN 恰好与射线OC 平行；在第 12秒，30秒 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC 。
（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角尺绕点O 顺时针旋转至图3，使ON 在∠AOC 的内部，请探究∠AOM 与∠NOC 之间的数量关系，并说明理由．∠AOM-∠NOC=30°
解：（1）∵∠AOC=60° ∴∠BOC=120°
又∵OM 平分∠BOC, ∠COM=∠BOC=60°
∴∠CON=∠COM+90°=150°
（2）①当直线ON与OA重合时，MN恰好与射线OC平行∴∠AOM=90°
由题意得10t=90°，∴t=9
∵∠ONM=60°
∴当∠COM=30°时，MN恰好与射线OC平行
∴∠NOM=270°
由题意得10t=270°，∴t=27
∴t=9或27
②延长NO, ∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°
当直线ON恰好平分锐角∠AOC，∠AOD=∠COD=30°
即顺时针旋转360°时NO延长线平分∠AOC
由题意得10t=300°，t=30
当NO平分∠AOC时，∠NOR=30°
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC
∴10t=120°，∴t=12
∴t=30或12
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°
∴∠AOM=90°-∠AOC, ∠NOC=60°-∠AON
∴∠AOM-∠NOC=(90°-∠AOC)-( 60°-∠AON)=30°
∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系∠AOM-∠NOC=30°
4.已知AM//CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于点B.
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（1）∠A+∠C=90°（2）提示：延长DB交NC于点E
5.已知△ABC,A,B,D三点在一条直线上，过点D作DE//BC交∠ABC的平分线于点E. （1）如图①，当点E恰好在△ABC的AC边上时，求证：∠ADE=2∠DEB ;
（2）如图②，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的关系。
①②
证明：（1）∵DE//BC，∴∠ADE=∠ABC,∠DEB=∠EBC
∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠EBC
∴∠ABE=∠EBC=∠DEB
∴∠ADE=2∠DEB
(2)∠ADE+2∠DEB=180°
6.已知：△ABC 中，∠C >∠B,AE 平分∠BAC.
（1）如图1，AD ⊥BC 于D ，若∠C ＝70°，∠B ＝40°，求∠DAE 的度数；
（2）若△ABC 中，∠B=α，∠C=β（α<β），请根据第一问的结果，大胆猜想 想∠EAD 与α，β之间的数量关系（不必说明理由）；
（3）如图②，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，F 为AE 延长线上一点，过F 作FG ⊥BC 于点G ，∠C ＝80°，∠B ＝40°，请你运用（2）中的结论，求
∠EFG 的度数。
分析：（1）由三角形内角和定理可求得∠BAC 的度数，在Rt △ADC 中，可求得∠DAC 的度数，AE 是角平分线，有∠EAC=12∠BAC ，故∠EAD=∠EAC-∠DAC ；
（2）推出AD ∥FG ，根据平行线性质得出∠EFG=∠DAE ，代入即可．
（3）推出AD ∥FG ，根据平行线性质得出∠EFG=∠DAE ，代入即可．
试题解析：（1）∵在△ABC 中，AE 是∠BAC 的平分线，且∠B=30°，∠C=70°， ∴∠BAE=∠EAC=12（180°-∠B-∠C ）=12（180°-30°-70°）=40°．
在△ACD 中，∠ADC=90°，∠C=70°，
∴∠DAC=90°-70°=20°，
∠DAE=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°．
（2）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠DAE=12×80°- 1
2×40°=20°，
∵AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，
∴∠ADE=∠FGE=90°，∴AD ∥FG ，∴∠EFG=∠DAE=20°；
（3）∠EFG 的度数大小不发生改变，
理由是：∵AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，
∴∠ADE=∠FGE=90°，∴AD ∥FG ，
∴∠EFG=∠DAE=20°．
7．已知△ABC,AB=AC,D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD=AE,设∠BAD=α, ∠CDE=β.
(1)如图1，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上，∠ABC=60°，∠ADE=70°，则α= ；β= .
（2）如图2，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上，则α，β之间有什么关系？说明理由.
（3）是否存在不同与（2）中的α，β之间有什么关系？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可）；若不存在，请说明理由.
解：（1）①∵AD=AE, ∴∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°
又∵AB=AC, ∠ABC=60°，∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°
∴α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°，β=∠AED-∠C=70°-60°=10°
②设∠ABC=x, ∠ADE=y,则∠ACB= x, ∠AED=y
在△ABD 中，α+x=y+β, ∴α=2β
(2)如图2，点E 在CA 的延长线上，点D 在线段BC 上， 设∠ABC=x, ∠ADE=y,则∠ACB= x, ∠AED=y
在△ABD 中，α+x=β−y ；在△DEC 中，x+y+β=180° ∴α=2β-180°
（1） (2) E D C A。
(完整版)平行线习题(含答案)(2)
2019年4月16日初中数学作业学校: ______________ 姓名： _____________ 班级：_______________ 考号：______________一、单选题1. 如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（）A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条【答案】B【解析】【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可.【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条，故选：B.【点睛】本题考查了平行线和相交线的应用，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.2. 下列说法中，正确的个数有（）①在同一平面内不相交的两条线段必平行；②在同一平面内不相交的两条直线必平行；③在同一平面内不平行的两条线段必相交；④在同一平面内不平行的两条直线必相交.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据平面内直线和线段的位置关系判断.详解】解：（1）线段不相交，延长后不一定不相交，错误；（2）同一平面内，直线只有平行或相交两种位置关系，正确；（3）线段是有长度的，不平行也可以不相交，错误；（4）同（2），正确；所以（2）（4）正确．故选：B．【点睛】本题主要考查在同一平面内两直线的位置关系，需要注意（1）和（3）说的是线段．3．下列表示平行线的方法正确的是（）A. ab// cdB. A // BC. a// BD. a// b【答案】D【解析】【分析】根据平行线的表达方法来判断即可得出结论.【详解】解：直线可以用两个大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，故正确的表示方法是D.故答案为：D【点睛】本题主要考查了学生对平行线的表达方法的掌握情况，掌握平行线的表达方法是解题的关键.4 ．在同一平面内，下列说法正确的是（）A ．没有公共点的两条线段平行B ．没有公共点的两条射线平行C.不垂直的两条直线一定互相平行D ．不相交的两条直线一定互相平行【答案】D【解析】【分析】根据平行线的定义，即可求得此题的答案，注意举反例的方法．详解】A. 在同一平面内，没有公共点的两条线段不一定平行，故本选项错误；B. 在同一平面内，没有公共点的两条射线不一定平行，故本选项错误；C. 在同一平面内，不垂直的两条直线不一定互相平行，故本选项错误；D. 在同一个平面内，不相交的两条直线一定互相平行，故本选项正确；【点睛】此题考查了平行线的判定．解题的关键是熟记平行线的定义．5．下列说法不正确的是( )A .过任意一点可作已知直线的一条平行线B. 同一平面内两条不相交的直线是平行线C. 在同一平面内，过一点只能画一条直线与已知直线垂直D. 在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断.【详解】A 中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误B. C. D 是公理，正确.故选A.【点睛】本题考查了平行线的定义和公理，熟练掌握定义和公理是解题的关键.6.在同一平面内，无公共顶点的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相( )A •平行B.垂直C.共线 D.平行或共线【答案】A【解析】【分析】结合图形，由平行线的判断定理进行分析.【详解】如图所示：n n无公共顶点的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行•故选A.【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键7 .下列结论正确的是()A .过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 在同一平面内，不相交的两条射线是平行线D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行【答案】D【解析】【分析】本题可结合平行线的定义，垂线的性质和平行公理进行判定即可.【详解】(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应强调在同一平面内，故本项错误；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故是错误的.(3)在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，射线不一定，故本项错误；(4)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是正确的.故选D.【点睛】本题主要考查了平行线的定义，垂线的性质和平行公理.熟练掌握公理和概念是解决本题的关键.8 .在同一平面内，直线AB与CD相交，AB与EF平行，则CD与EF()A •平行B.相交C. 重合D.三种情况都有可能【答案】B【解析】【分析】先根据题意画出图形，即可得出答案.【详解】如图，•••在同一平面内，直线AB与CD相交于点O, AB // EF,••• CD与EF的位置关系是相交，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能根据题意画出图形是解此题的关键，注意：数形结合思想的应用.9 .下列语句不正确的是（）A .在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行C. 两点确定一条直线D. 内错角相等【答案】D【解析】【分析】根据平行线的公理、推论及平行线的判定，可得答案.【详解】A、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A正确;B、两直线被第三直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行，故B正确；C、两点确定一条直线，故C正确；D、两直线平行，内错角相等，故D错误；故选D.【点睛】本题考查了平行公理及推论，熟记公理、推论是解题关键．10 ．下列说法正确的有（）①两点之间的所有连线中，线段最短；②相等的角是对顶角；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】依据线段的性质、平行公理、两点间的距离以及垂线的定义，即可得到正确结论．【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②相等的角不一定是对顶角，错误；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，正确；④两点之间的距离是两点间的线段的长度，错误；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补，错误. 故选：B．【点睛】本题考查线段的性质、平行公理、两点间的距离以及垂线的定义，解题时注意：平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．11 ．下列说法中正确的是（）A .两条相交的直线叫做平行线B. 在直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行C. 如果a // b, b // c,贝U a不与b平行D. 两条不平行的射线，在同一平面内一定相交【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质进行解题即可,见详解.详解】解：两条不相交的直线叫做平行线，故A 错误,在直线外一点，只能画出一条直线与已知直线平行如果a// b , b // c ,则a // b,平行线的传递性，故C 错误, 射线一端固定，另一端无限延伸，故D 错误， 综上选B. 【点睛】，属于简单题，熟悉平行线的性质是解题关键【解析】【分析】 根据平行线的传递性即可解题 【详解】解：••• AB // CD ，CD // EF ，••• AB // EF ，（平行线的传递性）故选A. 【点睛】本题考查了平行线的传递性 ，属于简单题，熟悉平行线的性质是解题关键13 •一条直线与另两条平行直线的关系是 （ ）A .一定与两条平行线平行B .可能与两条平行线的一条平行，一条相交C . 一定与两条平行线相交D .与两条平行线都平行或都相交【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交，可知如果一条直线与另 两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交；如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，则它与另一条平行线也平行即可求出本题答案【详解】，正确,// EF ，那么AB 和EF 的位置关系是本题考查了平行线的性质C.垂直D.不能确定【答案】A•••在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交，•••如果一条直线与另两条平行线中的一条相交，则它与另一条平行线也相交，否则与平行公理相矛盾；如果一条直线与另两条平行线中的一条平行，根据平行于同一直线的两条直线平行，则它与另一条平行线也平行.故答案为：D.【点睛】本题考查了平行线的相关知识，熟练掌握平行线的有关性质是本题解题的关键.14．下列说法中，正确的个数为( )①过一点有无数条直线与已知直线平行；②如果a// b, a // c,那么b // c;③如果两线段不相交，那么它们就平行；④如果两直线不相交，那么它们就平行.A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】A【解析】【分析】根据平行线的定义、公理及推论判断即可求出本题答案.【详解】(1) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故错误；(2) 根据平行公理的推论,正确；(3) 线段的长度是有限的,不相交也不一定平行,故错误；(4) 应该是“在同一平面内”,故错误.正确的只有一个,故选A.故答案为：A.【点睛】本题考查了平行公理及推论,平行线,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.15 •已知在同一平面内有一直线AB和一点P,过点P画AB的平行线，可画()A • 1条B. 0条 C. 1条或0条D.无数条【答案】C【解析】【分析】根据平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行可得答案．【详解】如果点P在直线上，过点P画直线与AB的平行线可画0条,如果点P在直线外，过点P画直线与AB的平行线可画1条•故答案为：C.【点睛】本题考查了平行公理及推论，熟练掌握该知识点是本题解题的关键16 .下列说法中，正确的是（）A •平面内，没有公共点的两条线段平行B. 平面内，没有公共点的两条射线平行C. 没有公共点的两条直线互相平行D. 互相平行的两条直线没有公共点【答案】D【解析】【分析】回忆线段之间、射线之间与直线之间的位置关系；对于A，可在纸上画出两条没有公共点的线段，观察两条线段的位置关系；对于B,可在纸上画出两条没有公共点的射线，观察两条线段的位置关系；对于C,思考若两条直线不在一个平面内，是否能够得到两条直线不平行也不相交，对于D，根据平行线的定义可作出判断•【详解】对于A,如图所示，A错误；对于C,如果两条直线不在同一个平面内，不相交也可能不平行，则C错误；对于D，根据平行线的定义可知D正确•故答案为：D.【点睛】本题考查了两条直线的位置关系，直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线的位置关系及相关定义是本题解题的关键•17 ．下面说法正确的是( )A .过两点有且只有一条直线B.平角是一条直线C.两条直线不相交就一定平行D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】【分析】根据直线公理：经过两点有且只有一条直线；角的概念；平行线的定义和平行公理及推论进行判断.【详解】A、由直线公理可知，过两点有且只有一条直线，故本选项正确；B、平角是有公共端点是两条射线组成的图形，故本选项错误；C、同一平面内两条直线不相交就一定平行，故本选项错误；D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误.故选：A .【点睛】本题属于综合题，考查了直线的性质：两点确定一条直线；角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交；平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.18 .下列说法错误的是( )A .对顶角相等B.两点之间所有连线中，线段最短C.等角的补角相等D.过任意一点P,都能画一条直线与已知直线平行【答案】D【解析】【分析】A .根据对顶角的性质判定即可；B. 根据线段的性质判定即可；C. 根据补角的性质判定即可；D .根据平行公理判定即可 .【详解】A .对顶角相等，故选项正确；B. 两点之间连线中，线段最短，故选项正确；C•等角的补角相等，故选项正确；D .过直线外一点P,能画一条直线与已知直线平行，故选项错误•故选D.【点睛】本题分别考查了对顶角、邻补角的性质、线段的性质、余角、补角的关系及平行公理，都是基础知识，熟练掌握这些知识即可解决问题 .二、填空题19 . L i, 12, 13为同一平面内的三条直线，如果11与12不平行，12与13不平行，则11与13的位置关系是_______________ .【答案】相交或平行【解析】【分析】根据关键语句“若？有？不平行,??与?不平行,”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案.【详解】根据题意可得图形：根据图形可知：若？不平行，??与?3不平行，则?3可能相交或平行，故答案为：相交或平行•【点睛】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交20 •小明列举生活中几个例子，你认为是平行线的是_________________ （填序号）.①马路上斑马线；②火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框上下边.【答案】①②③④【解析】【分析】根据平行线的判定进行判断即可•【详解】解：是平行线的是①②③④.故答案为：①②③④【点睛】本题考查了平行线的含义，应结合生活实际进行解答21.如图，用符号表示下列两棱的位置关系.AB ___ A ' B AA ' __________ AB ; AD _____ B ' C【答案】// 丄 //【解析】【分析】根据题意，可由立体图形中的平行线的判定条件，以及垂直的判定条件进行分析，然后填空即可.【详解】解：由图可知，AB// A B', AA丄AB AD// B' C'【点睛】本题主要考查的是直线的位置关系•22 .如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有________ 条.【答案】3【解析】【分析】与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行. 【详解】解：与AB平行的线段是：DC EF;与CD平行的线段是：HG所以与AB线段平行的线段有：EF、HG DC.故答案是：EF、HG DC【点睛】本题考查了平行线•平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.23 .如图所示，用直尺和三角尺作直线AB , CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 ________ .【答案】平行【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行判断.【详解】如图，C 亠丘D根据题意，/ 1与/ 2是三角尺的同一个角,所以/仁/2,所以，AB // CD （同位角相等，两直线平行）故答案为：平行.【点睛】本题考查了平行线的判定熟练掌握同位角相等，两直线平行，并准确识图是解题的关键.24 .在如图的长方体中，与棱AB平行的棱有 ________________________________________;与棱AA'平行的棱有DD , BB , CC解析】【分析】根据平行的定义，结合图形直接找出和棱AB平行的棱，与棱AA平行的棱即可.【详解】由图可知，和棱AB平行的棱有CD , AB', CD；与棱AA 平行的棱有DD ，BB ，CC .故答案为：CD , A B , C D ；DD , BB , CC .【点睛】本题考查了认识立体图形的知识点,熟练掌握平行的定义是本题解题的关键.25．在同一平面内，直线AB 与直线CD 满足下列条件，则其对应的位置关系是（1）___________________________________________________________________ 若直线AB与直线CD没有公共点，则直线AB与直线CD的位置关系为______________________________ ；（2）直线AB 与直线CD 有且只有一个公共点，则直线AB 与直线CD 的位置关系为_______________ 【答案】平行；相交.【解析】【分析】根据“在同一平面内,两条直线的位置关系是：平行或相交.平行没有公共点,相交只有一个公共点”即可推出本题答案.【详解】在同一平面内，直线AB与CD满足下列条件，则其对应的位置关系是：（1）若AB与CD没有公共点，则AB与CD的位置关系是平行；（2 ）若AB与CD有且只有一个公共点，则AB与CD 的位置关系为相交• 故答案为：（1）平行；（2）相交.【点睛】本题考查了直线的位置关系,熟练掌握判定方法是本题解题的关键.三、解答题26 .把图中的互相平行的线段用符号“//”写出来，互相垂直的线段用符号“丄”写出来：【解析】【分析】根据平行线和垂直的定义即可解答.【详解】解：如图所示，在长方体中：互相平行的线段：AB// CD EF// GH MN PQ互相垂直的线段：AB丄EF, AB丄GH CDL EF, CDL GH【点睛】本题考查了平行线和垂直的定义，理解定义是解题的关键•27 .如图，过点0 '分别画AB , CD的平行线.【答案】详见解析•【解析】【分析】把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和O点重合，过O点沿三角板的直角边画直线即可.【详解】解：如图，本题考查了学生利用直尺和三角板作平行线的能力28 •如图，按要求完成作图⑴过点P作AB的平行线EF；(2) 过点P作CD的平行线MN ;(3) 过点P作AB的垂线段，垂足为G.【点睛】【答案】作图见解析【解析】【分析】利用题中几何语言画出对应的几何图形.【详解】如图，本题考查了平行线的作法和作垂线的步骤.29 •我们知道相交的两条直线的交点个数是 1 ;两条平行线的交点个数是0;平面内三条平行线的交点个数是0,经过同一点的三条直线的交点个数是 1 ;依此类推(1) 请你画图说明平面内五条直线最多有几个交点.(2) 平面内五条直线可以有4个交点吗？如果可以，请你画出符合条件的所有图形；如果不可以，请说明理由.(3) 在平面内画出10条直线，使交点个数恰好是31.【答案】(1)平面内五条直线的交点最多有10个，⑵五条直线可以有4个交点，⑶答案不唯一•【解析】【分析】(1)直接让五条直线中的任意两条互相相交即可；(2)不妨先让其中的四条直线相交得到3个交点，然后再使最后一条直线，与其中任意一条相交且与之前的交点不重合即可，接下来自己试着想想还有哪些画法；(3)结合已知，禾U用平行线的性质画出图形即可【详解】解：(1)平面内五条直线的交点最多有 10个，如图①.(2)五条直线可以有4个交点，如图②(a // b// c // d),图③(AD // BC , AB // DC)，图④(a // b).團② 関③(3) 答案不唯一，如图， a / b / c / d / e , f // g // h , l // m.【点睛】此题考查平面内不重合直线的位置关系， 解答时要分各种情况解答, 的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面.30 •如图，在方格纸上：(1)已有的四条线段中，哪些是互相平行的？⑵过点M 画AB 的平行线.⑶过点N 画GH 的平行线.37T~/ 、A7 D 、M / 7~■【答案】(1)AB // CD ； (2)画图见解析；⑶画图见解析【解析】【分析】(1) 根据图形可观察出互相平行的线段.(2) 过点M 画AB 的平行线.(3)过点N 画GH 的平行线.要考虑到可能出现【详解】(1)由图形可得：AB // CD .⑵(3)所画图形如下：本题考查了平行线的判定方法及过一点作平行线的知识, 的判定方法及作图的基本步骤.【点睛】 属于基础题， 主要掌握平行线。
第7章 平行线的证明 北师大版八年级单元测试卷2及答案
第七章平行线的证明测试卷一、填空题（18分）1．命题“任意两个直角都相等”的条件是 ，结论是 ，它是 （真或假）命题．2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为 ．3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D= ．4．如图，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°，则∠3= ．5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为 度．6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE解：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠ （ ）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠ （ ）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（ ）即∠ =∠ （ ）∴∠3=∠ ∴AD∥BE（ ）．二、选择题（12分）7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（ ）A．4对B．8对C．12对D．16对8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（ ）A．∠2=45°B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′9．下列语言是命题的是（ ）A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等．10．下列命题是假命题的是（ ）A．对顶角相等B．﹣4是有理数C．内错角相等D．两个等腰直角三角形相似三、解答题（70分）11．（4分）已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正．（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）12．（6分）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．13．（6分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？14．（6分）如图写出能使AB∥CD成立的各种条件．15．（6分）如图，已知AB∥CD，∠1=∠3，试说明AC∥BD．16．（6分）已知：如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD．17．（6分）如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥c．18．（6分）如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．19．（6分）已知：如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D的度数．20．（6分）已知：BC∥EF，∠B=∠E，求证：AB∥DE．21．（6分）如图，已知AB∥CD，∠A=100°，CB平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC的度数．22．（6分）如图，已知：DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，证明：CF∥DO．参考答案一、填空题（18分）1．命题“任意两个直角都相等”的条件是 两个角都是直角 ，结论是 相等 ，它是 真 （真或假）命题．【考点】命题与定理．【分析】任何一个命题都是由条件和结论组成．【解答】解：“任意两个直角都相等”的条件是：两个角是直角，结论是：相等．它是真命题．【点评】本题考查了命题的条件和结论的叙述．2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为 60° ．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【分析】根据两直线相交，对顶角相等，可推出∠AOC=∠DOB，又根据OE平分∠BOD，∠AOE=150°，可求∠BOE，从而可求∠BOD．【解答】解：∵AB、CD相交于O，∴∠AOC与∠DOB是对顶角，即∠AOC=∠DOB，∵∠AOE=150°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=30°，又∵OE平分∠BOD，∠AOE=30°，∴∠BOD=2∠BOE=2×30°=60°，∴∠BOD=∠AOC=60°，故答案为：60°．【点评】本题主要考查对顶角的性质以及角平分线的定义、邻补角，解决本题的关键是求出∠BOE．3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D= 50° ．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠D=∠1，代入求出即可．【解答】解：∵∠B=∠2=50°，∴AD∥BC，∴∠D=∠1，∵∠1=50°，∴∠D=50°．故答案为：50°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能推出AD∥BC是解此题的关键．4．如图，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°，则∠3= 55° ．【考点】平行线的判定与性质；余角和补角．【分析】求出∠5的度数，根据∠1与∠3互余和∠3的余角与∠2互补求出∠1+∠2=180°，根据平行线的判定得出l1∥l2，根据平行线的性质求出即可．【解答】解：∵∠4=125°，∴∠5=180°﹣125°=55°，∵∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∴∠1+∠2=180°，∴l1∥l2，∴∠3=∠5=55°，故答案为：55°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能求出l1∥l2是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为 50 度．【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【专题】计算题．【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和作答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BFE=∠C=75°，又∠A=25°，∴∠E=75°﹣∠A=50°．【点评】本题重点考查了平行线的性质及三角形的外角性质，是一道较为简单的题目．6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE解：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠ EAB （ 两直线平行，同位角相等 ）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠ EAB （ 等量代换 ）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（ 等式的性质 ）即∠ BAE =∠ CAD （ 角的和差 ）∴∠3=∠ CAD ∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行 ）．【考点】平行线的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】由平行线的性质可得到∠4=∠EAB，由∠3=∠4可得到∠3=∠EAB，由等式的性质可知∠BAE=∠CAD，从而得到∠3=∠CAD由平行线的判定定理可得到AD∥BE．【解答】解：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠EAB（两直线平行，同位角相等）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠EAB（等量代换）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质）．即∠BAE=∠CAD（角的和差）∴∠3=∠CAD．∴AD∥BE （内错角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查的是平行线的性质和平行线的判定，掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．二、选择题（12分）7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（ ）A．4对B．8对C．12对D．16对【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题．【分析】每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图形进行分解入手可知同旁内角共有对数．【解答】解：直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角；直线AB、CD被GH所截有2对同旁内角；直线CD、EF被GH所截有2对同旁内角；直线CD、GH被EF所截有2对同旁内角；直线GH、EF被CD所截有2对同旁内角；直线AB、EF被GH所截有2对同旁内角；直线AB、GH被EF所截有2对同旁内角；直线EF、GH被AB所截有2对同旁内角．共有16对同旁内角．故选D．【点评】本题考查了同旁内角的定义．注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角．8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（ ）A．∠2=45°B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【分析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．【解答】解：A、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；B、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°，∴∠1的余角等于75°30′，不成立．故选D．【点评】本题主要考查邻补角以及对顶角的概念，和为180°的两角互补，和为90°的两角互余．9．下列语言是命题的是（ ）A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等．【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义解答，命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题，分别判断得出答案即可．【解答】解：根据命题的定义：只有答案D、两直线平行，内错角相等．对事情做出正确或不正确的判断，故此选项正确；故选：D．【点评】本题考查了命题的定义，利用定义得出是解题关键．10．下列命题是假命题的是（ ）A．对顶角相等B．﹣4是有理数C．内错角相等D．两个等腰直角三角形相似【考点】命题与定理．【分析】根据对顶角的性质对A进行判断；根据有理数的分类对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据等腰直角三角形的性质和相似的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、对顶角相等，所以A选项的命题为真命题；B、﹣4是有理数，所以B选项的命题为真命题；C、两直线平行，内错角相等，所以C选项的命题为假命题；D、两个等腰直角三角形相似，所以D选项的命题为真命题．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．三、解答题（70分）11．（4分）已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正．（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）【考点】平行线的判定．【分析】（1）内错角不一定相等，只有在平行线中才能推出相等；（2）根据平行线的判定得出此推理正确．【解答】解：（1）错误：内错角不一定相等，改正：∵∠1和∠2是内错角，DC∥AB，∴∠1=∠2；（2）正确，∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）．【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：内错角相等，两直线平行．12．（6分）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90°．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE，∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．【点评】考查综合运用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识解决问题的能力．13．（6分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？【考点】平行线的判定．【分析】求出∠1=∠5，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠AEG=∠CGN，求出∠FEG=∠HGN，根据平行线的判定得出即可．【解答】解：EF∥GH，理由是：∵∠1=∠2，∠2=∠5，∴∠1=∠5，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠CGN，∵∠3=∠4，∴∠AEG﹣∠3=∠CGN﹣∠4，∴∠FEG=∠HGN，∴EF∥GH．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 14．（6分）如图写出能使AB∥CD成立的各种条件．【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定（平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行）得出即可．【解答】解：AB∥CD的条件为∠7=∠8或∠3=∠4或∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°或∠FAB=∠FDC或∠EDC=∠EAB．【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能熟记平行线的判定定理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．15．（6分）如图，已知AB∥CD，∠1=∠3，试说明AC∥BD．【考点】平行线的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】首先根据两直线平行内错角相等得到∠1=∠2，再根据∠1=∠3得到∠3=∠2，从而判定AC∥BD．【解答】证明：因为AB∥CD，所以∠1=∠2，又因为∠1=∠3，所以∠3=∠2．所以AC∥BD．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是牢记平行线的判定与性质定理． 16．（6分）已知：如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD．【考点】平行线的判定．【专题】证明题．【分析】根据平行线的判定方法得出∠1=∠DBA的位置关系即可得出答案．【解答】证明：∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠DBA，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DBA，∴AB∥CD．【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定得出角之间的关系是解题关键．17．（6分）如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥c．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】求出∠2=∠7，根据平行线的判定推出a∥b，b∥c，即可得出答案．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴a∥b，∵∠2+∠3=180°，∠3+∠7=180°，∴∠2=∠7，∴b∥c，∴a∥c．【点评】本题考查了平行线的判定的应用，能正确根据平行线的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行于同一直线的两直线平行．18．（6分）如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．【专题】证明题．【分析】根据BE∥CF，得∠1=∠2，根据BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，得∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，则∠ABC=∠BCD，从而证明AB∥CD．【解答】证明：∵BE∥CF，∴∠1=∠2．∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD．【点评】此题综合运用了平行线的性质和判定以及角平分线的定义．19．（6分）已知：如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D的度数．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠B=70°，∵BC∥DE，∠C+∠D=180°，∴∠D=110°【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．20．（6分）已知：BC∥EF，∠B=∠E，求证：AB∥DE．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据平行线的性质证得同位角∠E=∠1；然后由等量代换知同位角∠B=∠1；最后根据平行线的判定定理证得结论．【解答】证明：∵BC∥EF，∴∠E=∠1．又∵∠B=∠E，∴∠B=∠1，∴AB∥DE．【点评】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．21．（6分）如图，已知AB∥CD，∠A=100°，CB平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC的度数．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出∠1、∠2，根据平行线的性质即可求出∠ABC．【解答】解：∵AB∥CD，∠A=100°，∴∠ACD=180°﹣∠A=80°，∵CB平分∠ACD，∴∠1=∠2=∠ACD=40°，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠2=40°．【点评】本题考查了平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．22．（6分）如图，已知：DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，证明：CF∥DO．【考点】平行线的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先由垂直的定义可得：∠AED=∠AOB=90°，然后根据同位角相等，两条直线平行，可得：DE∥BO，进而根据两直线平行，内错角相等，可得∠EDO=∠BOD，然后由等量代换可得：∠BOD=∠CFB，进而由同位角相等，两条直线平行可得：CF∥DO．【解答】证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，∴∠AED=∠AOB=90°，∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），∴∠EDO=∠BOD（两直线平行，内错角相等），∵∠EDO=∠CFB，∴∠BOD=∠CFB，∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，难度适中．。
专题训练 平行线培优习题
C. 45° D. 30°
5、如图8所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF=度。
6、如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=_________．
7、（2015•绵阳）如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F=．
14
（
（
15、如图5，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点， 于E， ，交AG于F．
求证： ．
16．如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=度。
专题训练平行线培优习题
一、基础过关
1、（2011四川泸州）如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4 的度数是（ ）
A.4 5°B.55°C.65°D.75°
2、如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°则∠3 = _______________.
3、下列四个图形中 大于 的是（ ）
4、将一副三角板按图中的方式叠放，则∠ 等于
17、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠B=60°，DE⊥AC于点E，已知该梯形的高为 .(1)求证: ∠ACD=30°；(2)DE的长度.
18、如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：BC∥EF．
（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
（D）l1和l2的距离为2
八年级上册第七章 平行线的证明单元检测题(含答案)
第七章平行线的证明检测题时间：100分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列语句中，是命题的为()A．垂线段最短B．延长线段AB到CC．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗2．下列命题是真命题的是()A．同旁内角互补B．三角形的一个外角大于内角C．三角形的一个外角等于它的两个内角之和D．直角三角形的两锐角互余3．命题“同角的余角相等”的条件是()A．两个角是同角B．两个角是余角C．两个角是同角的余角D．两个角相等4．已知△ABC的三个内角度数比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．如图，已知∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠4；②AB∥CD；③AD∥BC.其中正确的有() A．0个B．1个C．2个D．3个第5题图第6题图第7题图6．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝40°，则∠D的度数是()A．40°B．140°C．160°D．60°7．如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD的度数为() A．50°B．65°C．80°D．95°8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°第8题图 第9题图 第10题图9．如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F 是平面上的6个点，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数是( )A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°10．如图，AB ∥EF ，∠C ＝90°，则α，β，γ的关系为( )A ．β＝α＋γB ．α＋β＋γ＝180°C ．β＋γ－α＝90°D ．α＋β－γ＝90°二、填空题(每小题3分，共24分)11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式___________________________．12．已知假命题“两个锐角的和是直角”，请举出一个反例：_____________________________．13．如图，∠1＋∠2＝180°，若∠3＝50°，则∠4＝___________．第13题图 第16题图 第18题图14．在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B －∠C ＝40°，则∠C ＝_________，∠B ＝__________．15．△ABC 的三个外角的度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为________________．16．如图，AB ∥EF ∥CD ，且∠B ＝∠1，∠D ＝∠2，则∠BED 的度数为___________．17．过△ABC 的顶点C 作AB 的垂线，如果该垂线将∠ACB 分为40°和20°的两个角，则∠A ，∠B 中较大的角的度数是_________．18．如图，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线相交于点P ，若∠A ＝60°，则∠P ＝__________．三、解答题(共66分)19．(6分)判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举反例说明．(1)相等的角是对顶角； (2)如果a ＞b ，那么a 2＞b 2.20．(7分)如图，已知直线AB∥CD，EH，FH分别是∠FEB，∠EFD的角平分线．求证：EH⊥FH.21．(7分)如图，已知直线AB∥CD，FH平分∠EFD，FG⊥FH，∠AEF＝62°，求∠GFC的度数．22．(8分)如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝50°，求∠EDC的度数．23．(8分)如图，∠1＝∠C，∠2和∠D互余，BE⊥DF，求证：AB∥CD.24．(9分)求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．(画出图形，写出已知、求证、证明)25．(9分)在△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．26．(12分)(1)如图①，∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？(2)把图①的△ABC沿DE折叠，得到图②，当∠A＝40°时，求∠B＋∠C＋∠1＋∠2.(3)如图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，求∠BDA＋∠CEA的度数，并猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系，并说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列语句中，是命题的为(A)A．垂线段最短B．延长线段AB到CC．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗2．下列命题是真命题的是(D)A．同旁内角互补B．三角形的一个外角大于内角C．三角形的一个外角等于它的两个内角之和D．直角三角形的两锐角互余3．命题“同角的余角相等”的条件是(C)A．两个角是同角B．两个角是余角C．两个角是同角的余角D．两个角相等4．已知△ABC的三个内角度数比为2∶3∶4，则这个三角形是(A)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．如图，已知∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠4；②AB∥CD；③AD∥BC.其中正确的有(B) A．0个B．1个C．2个D．3个第5题图第6题图第7题图6．如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝40°，则∠D的度数是(B)A．40°B．140°C．160°D．60°7．如图，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠CAD＝65°，则∠ACD的度数为(C) A．50°B．65°C．80°D．95°8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为(C)A．50°B．60°C．70°D．80°第8题图第9题图第10题图9．如图，点A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数是(B)A．180°B．360°C．540°D．720°10．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α，β，γ的关系为(D)A．β＝α＋γB．α＋β＋γ＝180°C．β＋γ－α＝90°D．α＋β－γ＝90°二、填空题(每小题3分，共24分)11．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式__如果两个角是对顶角，那么它们相等__．12．已知假命题“两个锐角的和是直角”，请举出一个反例：__∠A＝30°，∠B＝45°，但∠A ＋∠B＝75°≠90°__．13．如图，∠1＋∠2＝180°，若∠3＝50°，则∠4＝__50°__．第13题图第16题图第18题图14．在△ABC中，∠A＝90°，∠B－∠C＝40°，则∠C＝__25°__，∠B＝__65°__．15．△ABC的三个外角的度数比为3∶4∶5，则它的三个外角度数分别为__90°，120°，150°__．16．如图，AB∥EF∥CD，且∠B＝∠1，∠D＝∠2，则∠BED的度数为__90°__．17．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果该垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，则∠A，∠B中较大的角的度数是__70°__．18．如图，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点P，若∠A＝60°，则∠P＝__30°__．三、解答题(共66分)19．(6分)判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举反例说明．(1)相等的角是对顶角；(2)如果a＞b，那么a2＞b2.解：(1)假(2)假反例略20．(7分)如图，已知直线AB ∥CD ，EH ，FH 分别是∠FEB ，∠EFD 的角平分线．求证：EH ⊥FH .解：∵AB ∥CD ，∴∠FEB ＋∠EFD ＝180°，又∵EH 平分∠FEB ，∴∠2＝12∠FEB ，又∵FH 平分∠EFD ，∴∠1＝12∠EFD ，∴∠1＋∠2＝12∠EFD ＋12∠FEB ＝12×180°＝90°，∴∠FHE ＝180°－90°＝90°，∴EH ⊥FH21．(7分)如图，已知直线AB ∥CD ，FH 平分∠EFD ，FG ⊥FH ，∠AEF ＝62°，求∠GFC 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠EFD ＝62°，∵FH 平分∠EFD ，∴∠HFD ＝12×62°＝31°，∴∠GFC ＝180°－90°－31°＝59°22．(8分)如图，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，∠AED ＝50°，求∠EDC 的度数．解：∵DE ∥BC ，∠AED ＝50°，∴∠ACB ＝∠AED ＝50°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝12∠ACB ＝25°，∴∠EDC ＝∠BCD ＝25°23．(8分)如图，∠1＝∠C，∠2和∠D互余，BE⊥DF，求证：AB∥CD.解：∵BE⊥FD，∴∠EGD＝90°，∴∠1＋∠D＝90°，又∠2和∠D互余，即∠2＋∠D ＝90°，∴∠1＝∠2，又∵∠C＝∠1，∴∠C＝∠2，∴AB∥CD24．(9分)求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．(画出图形，写出已知、求证、证明)解：已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：EP∥QF，证明：∵AB∥CD，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠1＝2∠3，即∠1＝∠3，∴EP∥FQ25．(9分)在△ABC中，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且∠ABC＝60°，∠BEC＝75°，求∠DAC的度数．解：∵BE平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABE＝∠EBC＝30°，∴∠C＝180°－∠EBC －∠BEC＝180°－30°－75°＝75°，又∵∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DAC＝90°－∠C＝90°－75°＝15°26．(12分)(1)如图①，∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？(2)把图①的△ABC沿DE折叠，得到图②，当∠A＝40°时，求∠B＋∠C＋∠1＋∠2.(3)如图③是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，求∠BDA＋∠CEA的度数，并猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系，并说明理由．解：(1)根据三角形内角和是180°，可知：∠1＋∠2＝180°－∠A，∠B＋∠C＝180°－∠A，∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C(2)∵∠1＋∠2＋∠BDE＋∠CED＝∠B＋∠C＋∠BDE＋∠CED＝360°，∴∠1＋∠2＝∠B＋∠C，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝140°×2＝280°(3)如果∠A＝30°，则∠BDA＋∠CEA＝360°－(∠B＋∠C＋∠1＋∠2)＝360°－300°＝60°，∴∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为：∠BDA＋∠CEA＝2∠A。
平行线证明题专讲二-含答案
平行线专题二一．解答题（共19小题）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，F为AB边上一点，且∠ADF＝∠CDB，射线DF、CB相交于点E，∠BFE＝∠CBD，求证：AB∥CD．2．如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D、E、H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3＝180°（1）求证：∠CEF＝∠EAD；（2）若DH平分∠BDE，∠2＝α，求∠3的度数．（用α表示）．3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．4．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．5．如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝．②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论（提示：作EF∥AB）．（2）拓展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E 是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系．6．（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n的度数？7．思考：填空，并探究规律如图1，图2，OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°，则图1中∠CED＝°；图2中∠CED＝°；用一句话概括你发现的规律证明：请利用图1，图2证明你发现的规律；应用：已知∠AOB＝80°，∠CED＝x°，OA∥CE，OB∥ED，则x的值为（直接写出答案）．8．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°，（1）问AD与EC平行吗？试说明理由；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1＝70°，试求∠F AB的度数．9．如图，在四边形ABCD中，分别取AB，CD延长线上的一点E和F，连接EF，分别交BC，AD于点G和H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．10．如图，在三角形ABC中，点D、G分别为边BC、AB上的点，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接FG，且∠BFG+∠BDE＝180°．（1）求证：DE∥BF；（2）猜想∠AGF与∠ABC的数量关系，并证明你的猜想．11．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．12．完成下面的证明如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．完成推理过程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（）．∴AB∥CD（）．13．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由；（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么．14．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．15．如图1，已知l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE 分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠1＝70°，∠2＝30°．（1）求∠AEC的度数；（2）如图2，将线段AD沿线段CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．16．如图，∠C＝∠1，∠2与∠D互余，BE⊥DF，垂足为G．求证：AB∥CD．17．如图，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，AE与DF平行吗？为什么？18．如图，已知：∠C＝∠DAE，∠B＝∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．19．如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，BF与CF相交于F （1）如图①，若∠F＝30°，求∠E的度数；（2）如图②，若设∠F＝α，∠E＝β，请你猜想α与β之间的关系（直接写出结果不用说明理由）；（3）在图③中，（2）中α与β之间的关系是否仍然成立？若成立说明理由，若不成立写出它们之间的关系，并说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，F为AB边上一点，且∠ADF＝∠CDB，射线DF、CB相交于点E，∠BFE＝∠CBD，求证：AB∥CD．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠E，∵∠ADF＝∠CDB，∴∠E＝∠CDB，∵在△CBD中，∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，在△EFB中，∠E+∠EBF+∠EFB＝180°，∵∠CBD＝∠EFB，∴∠EBF＝∠C，∴AB∥CD．2．如图，直线AB和直线BC相交于点B，连接AC，点D、E、H分别在AB、AC、BC上，连接DE、DH，F是DH上一点，已知∠1+∠3＝180°（1）求证：∠CEF＝∠EAD；（2）若DH平分∠BDE，∠2＝α，求∠3的度数．（用α表示）．【解答】解：（1）∵∠3+∠DFE＝180°，∠1+∠3＝180°∴∠DFE＝∠1，∴AB∥EF，∴∠CEF＝∠EAD；（2）∵AB∥EF，∴∠2+∠BDE＝180°又∵∠2＝α∴∠BDE＝180°﹣α又∵DH平分∠BDE∴∠1＝∠BDE＝（180°﹣α）∴∠3＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．【解答】证明：（1）∠D═∠C+∠E（图）∠D═∠C+∠DEC（图2）过点E作MN∥AC，∴∠C═∠CEN．又∵AC∥BD，∴MN∥BD，∴∠D═∠DEN又∵∠DEN═∠DEC+∠CEN，．∴∠D═∠C+∠DEC（2）如图所示，AP与CD，CD与BM分别相交于点E、F两点，∵BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP，∴∠MBD＝∠MBA＝∠ABD，∠MCP＝∠MCD═∠PCE．又∵AB∥CD，∴∠D+∠DBA＝180°．又∵AP∥BD，∴∠AED+∠D＝180°，∵∠DBA＝∠AED，又∵∠AED＝∠PEC∴∠CEP＝∠DBA∴∠MBA═∠CEP．又∵∠ABF＝∠BFD，∠BFD＝∠CFM，∴∠ABF＝∠CFM＝∠ABD＝∠CEP．又∵△CEP中，∠P＝100°∴∠PCE+∠PEC＝180°﹣100°＝80°，∴∠CEP+∠PCE＝（∠PCE+∠PEC）＝×80°＝40°，∴∠MCF+∠MFC＝40°，∴∠M＝180°﹣（∠MCF+∠MFC）＝180°﹣40°＝140°．4．已知直线CD⊥AB于点O，∠EOF＝90°，射线OP平分∠COF．（1）如图1，∠EOF在直线CD的右侧：①若∠COE＝30°，求∠BOF和∠POE的度数；②请判断∠POE与∠BOP之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图2，∠EOF在直线CD的左侧，且点E在点F的下方：①请直接写出∠POE与∠BOP之间的数量关系；②请直接写出∠POE与∠DOP之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE＝30°，∴∠COF＝90°+30°＝120°，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝∠COF＝60°，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE＝30°；②CD⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠COE+∠BOE＝∠BOE+∠BOF＝90°，∴∠BOF＝∠COE，∵OP平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝∠COP﹣∠COE，∠BOP＝∠POF﹣∠BOF，∴∠POE＝∠BOP；（2）①∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∵PO平分∠COF，∴∠COP＝∠POF，∴∠POE＝90°+∠POF，∠BOP＝90°+∠COP，∴∠POE＝∠BOP；②∵∠POE＝∠BOP，∠DOP+∠BOP＝270°，∴∠POE+∠DOP＝270°．5．如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠AEC＝70°．②若∠A＝25°，∠C＝40°，则∠AEC＝65°．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论（提示：作EF∥AB）．（2）拓展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E 是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系．【解答】解：（1）①如图1，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵∠A＝20°，∠C＝50°，∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝50°，∴∠AEC＝∠1+∠2＝70°；故答案为：70°；②同理可得，∴∠AEC＝∠1+∠2＝65°；故答案为：65°；③猜想：∠AEC＝∠EAB+∠ECD．理由：如图1，过点E作EF∥CD，∵AB∥DC∴EF∥AB（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠ECD（两直线平行，内错角相等），∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠EAB+∠ECD（等量代换）．（2）当点E位于区域Ⅰ时，∠EMB+∠END+∠MEN＝360°，理由：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BME+∠MEF＝180°，∠DNE+∠NEF＝180°，∴∠EMB+∠END+∠MEN＝360°；当点E位于区域Ⅱ时，∠EMB+∠END＝∠MEN，理由：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BMN＝∠FEM，∠DNE＝∠FEN，∴∠EMB+∠END＝∠MEF+∠NEF＝∠MEN．6．（1）如图①，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1的度数？（2）如图②，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2的度数？（3）如图③，若AB∥CD，求∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3的度数？（4）如图④，若AB∥CD，猜想∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n的度数？【解答】解：（1）如图①，过E1作E1F∥AB，则E1F∥CD，∴∠B+∠1＝180°①，∠D+∠1＝180°②，①+②得∠B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠B+∠D+∠E1＝360°；（2）如图②，分别过E1，E2作E1F∥AB，E2G∥AB，则E1F∥E2G∥CD，∴∠1+∠B＝∠2+∠3＝∠4+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2＝∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠D＝540°＝3×180°；（3）如图③，分别过E1，E2，E3作E1F1∥E2F2∥E3F3∥AB，则E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，∴∠B+∠BE1E2＝180°，∠E2E1F1+∠E1E2F2＝180°，∠E3E2F2+∠E2E3F3＝180°，∠DE3F3+∠D＝180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+∠E3＝720°；（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）•180°，∴∠B+∠D+∠E1+∠E2+…+∠E n＝（n+1）•180°．7．思考：填空，并探究规律如图1，图2，OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°，则图1中∠CED＝30°；图2中∠CED＝150°；用一句话概括你发现的规律两直线平行，同位角相等证明：请利用图1，图2证明你发现的规律；应用：已知∠AOB＝80°，∠CED＝x°，OA∥CE，OB∥ED，则x的值为80或100（直接写出答案）．【解答】解：思考：∵OA∥EC，OB∥ED，∠AOB＝30°∴图1中∠CED＝30°∴图2中∠CED＝150°故可得到：两直线平行，同位角相等应用：∵∠AOB＝80°，OA∥CE，OB∥ED，设∠CED＝x°，∴x的值为80或100．故答案为：30，150，两直线平行，同位角相等，80或100．8．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°，（1）问AD与EC平行吗？试说明理由；（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠1＝70°，试求∠F AB的度数．【解答】解：（1）AD∥EC．理由如下：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥EC；（2）∵DA平分∠BDC∴∠ADC＝∠BDC＝∠1＝×70°＝35°，∴∠2＝∠ADC＝35°，又∵CE⊥AE，AD∥EC，∴∠F AD＝∠AEC＝90°，∴∠F AB＝∠F AD﹣∠2＝90°﹣35°＝55°．9．如图，在四边形ABCD中，分别取AB，CD延长线上的一点E和F，连接EF，分别交BC，AD于点G和H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F．【解答】证明：∵∠1＝∠AHE，∠1＝∠2∴∠AHE＝∠2∴AD∥BC∴∠ADF＝∠C∵∠A＝∠C∴∠A＝∠ADF∴AB∥CD∴∠E＝∠F10．如图，在三角形ABC中，点D、G分别为边BC、AB上的点，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接FG，且∠BFG+∠BDE＝180°．（1）求证：DE∥BF；（2）猜想∠AGF与∠ABC的数量关系，并证明你的猜想．【解答】证明：（1）∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，∴∠CED＝∠EFB＝90°，∴DE∥BF；（2）∠AGF＝∠ABC，理由如下：∵DE∥BF，∴∠BDE+∠DBF＝180°，∵∠BFG+∠BDE＝180°．∴∠BFG＝∠DBF，∴FG∥BC，∴∠AGF＝∠ABC11．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG＝90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．【解答】解：（1）如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAG＝∠BDG，∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，∴∠AGB＝∠BDG+∠PBG＝90°，∴∠MAG+∠PBG＝90°；（2）2∠AHB﹣∠CBG＝90°或2∠AHB+∠CBG＝90°，证明：①如图，当点C在AG上时，∵MN∥PQ，∴∠MAC＝∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB＝∠BDC+∠DBC＝∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC＝2∠MAH，∠DBC＝2∠DBH，∴∠ACB＝2（∠MAH+∠DBH），同理可得，∠AHB＝∠MAH+∠DBH，∴∠ACB＝2（∠MAH+∠DBH）＝2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB＝∠CBG+90°，∴2∠AHB＝∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG＝90°；②如图，当点C在DG上时，同理可得，∠ACB＝2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB＝90°﹣∠CBG，∴2∠AHB＝90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG＝90°；（3）（2）中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG＝270°；2∠AHB﹣∠CBG＝270°．①如图，当点C在AG上时，由MN∥PQ，可得：∠ACB＝360°﹣∠MAC﹣∠PBC＝360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB＝∠MAH+∠PBH，∴∠ACB＝360°﹣2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB＝90°+∠CBG，∴360°﹣2∠AHB＝90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG＝270°；②如图，当C在DG上时，同理可得，∠ACB＝360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB＝∠MAH+∠PBH，∴∠ACB＝360°﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB＝90°﹣∠CBG，∴360°﹣2∠AHB＝90°﹣∠CBG，∴2∠AHB﹣∠CBG＝270°．12．完成下面的证明如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．完成推理过程BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（角平分线的定义）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC＝2∠β（角平分线的定义）∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）∵∠α+∠β＝90°（已知），∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．13．如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF．（1）AE与FC会平行吗？说明理由；（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？（3）BC平分∠DBE吗？为什么．【解答】解：（1）平行．理由如下：∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°（邻补角定义），∴∠1＝∠CDB，∴AE∥FC（同位角相等两直线平行）；（2）平行．理由如下：∵AE∥CF，∴∠C＝∠CBE（两直线平行，内错角相等），又∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠CBE，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；（3）平分．理由如下：∵DA平分∠BDF，∴∠FDA＝∠ADB，∵AE∥CF，AD∥BC，∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD，∴∠EBC＝∠CBD，∴BC平分∠DBE．14．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，∴∠3＝25°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠3＝25°．15．如图1，已知l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在l2上，连接AD，BC．AE，CE 分别是∠BAD，∠BCD的平分线，∠1＝70°，∠2＝30°．（1）求∠AEC的度数；（2）如图2，将线段AD沿线段CD方向平移，其他条件不变，求∠AEC的度数．【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，∴EF∥l2，∵l1∥l2，∴∠BCD＝∠α，∵∠1＝70°，∴∠BCD＝70°，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠ECD＝×70°＝35°，∵EF∥l2，∴∠FEC＝∠ECD＝35°，∵l1∥l2，∴∠BAD+∠2＝180°，∵∠2＝30°，∴∠BAD＝150°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝×150°＝75°，∵EF∥l1，∴∠BAE+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝105°，∴∠AEC＝105°+35°＝140°；（2）如图2，过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，∴EF∥l2，∵l1∥l2，∴∠BCD＝∠1，∵∠1＝70°，∴∠BCD＝70°，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠ECD＝×70°＝35°，∵EF∥l2，∴∠FEC＝∠ECD＝35°，同理可求∠AEF＝15°，∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝50°．16．如图，∠C＝∠1，∠2与∠D互余，BE⊥DF，垂足为G．求证：AB∥CD．【解答】证明：∵∠C＝∠1，∴CF∥BE，∴∠3＝∠EGD，∵BE⊥DF，∴∠EGD＝90°，∴∠3＝90°，∴∠C+∠D＝90°，∵∠2+∠D＝90°，∴∠C＝∠2，∴AB∥CD．17．如图，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，AE与DF平行吗？为什么？【解答】解：AE∥DF，理由如下：∵AB∥CD（已知），∴∠BAD＝∠ADC（两直线平行，内错角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠BAD﹣∠1＝∠ADC﹣∠2，即∠EAD＝∠ADF（等式的性质），∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）．18．如图，已知：∠C＝∠DAE，∠B＝∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．【解答】解：AB∥DF（2分）理由：∵∠C＝∠DAE，（已知）∴AD∥BC，（内错角相等，两直线平行）（2分）∴∠D＝∠DFC，（两直线平行，内错角相等）∴∠B＝∠D，（已知）∴∠B＝∠DFC，（2分）∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．（2分）19．如图，已知AB∥DC，BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，BF与CF相交于F （1）如图①，若∠F＝30°，求∠E的度数；（2）如图②，若设∠F＝α，∠E＝β，请你猜想α与β之间的关系（直接写出结果不用说明理由）；（3）在图③中，（2）中α与β之间的关系是否仍然成立？若成立说明理由，若不成立写出它们之间的关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图①过点F作FM∥AB，过点E作EN∥AB．∵AB∥DC，∴FM∥CD，EN∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∠ABE＝∠5，∠DCE＝∠6∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠3+∠4＝∠1+∠2＝（∠5+∠6），即∠BFC＝∠BEC．∵∠BFC＝30°，∴∠BEC＝60°；（2）β＝2α．理由：如图②，过点F作FM∥AB，过点E作EN∥AB．同（1）可得∠BFC＝∠BEC，∵∠BFC＝α，∴∠BEC＝2∠BFC＝2α，即β＝2α；（3）不成立．如图③，过点F作FM∥AB，∵AB∥DC，∴FM∥CD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵BF平分∠ABE，CF平分∠DCE，∴∠EBF＝∠1＝∠3，∠ECF＝∠2＝∠4，∴∠EBF+∠ECF＝∠1+∠2＝α，∵α+β+（∠EBF+∠ECF）＝360°，∴α+β+α＝360°，即2α+β＝360°．。
2020年北师大版八年级数学上册 平行线的证明 单元测试卷二(含答案)
2020年北师大版八年级数学上册平行线的证明单元测试卷二一、填空题1．命题“任意两个直角都相等”的条件是______，结论是______，它是______（真或假）命题．2．已知，如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠BOD且∠AOE=150°，∠AOC的度数为______．3．如图，如果∠B=∠1=∠2=50°，那么∠D=______．4．如图，直线l1、l2分别与直线l3、l4相交，∠1与∠3互余，∠3的余角与∠2互补，∠4=125°，则∠3=______．5．如图，已知AB∥CD，∠C=75°，∠A=25°，则∠E的度数为______度．6．如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE解：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠______（______）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠______（______）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（______）即∠______=∠______（______）∴∠3=∠______∴AD∥BE（______）．二、选择题7．如图，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有（）A．4对B．8对C．12对D．16对8．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（）A．∠2=45° B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′9．下列语言是命题的是（）A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等．10．下列命题是假命题的是（）A．对顶角相等B．﹣4是有理数C．内错角相等D．两个等腰直角三角形相似三、解答题11．已知如图，指出下列推理中的错误，并加以改正．（1）∵∠1和∠2是内错角，∴∠1=∠2，（2）∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）12．已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．13．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试问EF是否与GH平行？14．如图写出能使AB∥CD成立的各种条件．15．如图，已知AB∥CD，∠1=∠3，试说明AC∥BD．16．已知：如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求证：AB∥CD．17．如图，已知直线a，b，c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：a∥c．18．如图，已知BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证：AB∥CD．19．已知：如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B=70°，求∠D的度数．20．已知：BC∥EF，∠B=∠E，求证：AB∥DE．21．如图，已知AB∥CD，∠A=100°，CB平分∠ACD，求∠ACD、∠ABC的度数．22．如图，已知：DE⊥AO于点E，BO⊥AO于点O，∠CFB=∠EDO，证明：CF∥DO．参考答案1．解：“任意两个直角都相等”的条件是：两个角是直角，结论是：相等．它是真命题．2．答案为：60°．3．答案为：50°．4．答案为：55°．5．50°．6．解：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠EAB（两直线平行，同位角相等）∵∠3=∠4（已知）∴∠3=∠EAB（等量代换）∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质）．即∠BAE=∠CAD（角的和差）∴∠3=∠CAD．∴AD∥BE （内错角相等，两直线平行）．7．D．8．D．9．D．10．C．11．解：（1）错误：内错角不一定相等，改正：∵∠1和∠2是内错角，DC∥AB，∴∠1=∠2；（2）正确，∵∠1=∠2，∴AB∥CD（两直线平行，内错角相等）．12．证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DFE，∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．13．解：EF∥GH，理由是：∵∠1=∠2，∠2=∠5，∴∠1=∠5，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠CGN，∵∠3=∠4，∴∠AEG﹣∠3=∠CGN﹣∠4，∴∠FEG=∠HGN，∴EF∥GH．14．解：AB∥CD的条件为∠7=∠8或∠3=∠4或∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°或∠FAB=∠FDC或∠EDC=∠EAB．15．证明：因为AB∥CD，所以∠1=∠2，又因为∠1=∠3，所以∠3=∠2．所以AC∥BD．16．证明：∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠DBA，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DBA，∴AB∥CD．17．证明：∵∠1=∠2，∴a∥b，∵∠2+∠3=180°，∠3+∠7=180°，∴∠2=∠7，∴b∥c，∴a∥c．18．证明：∵BE∥CF，∴∠1=∠2．∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，即∠ABC=∠BCD，∴AB∥CD．19．解：∵AB∥CD，∴∠C=∠B=70°，∵BC∥DE，∠C+∠D=180°，∴∠D=110°20．证明：∵BC∥EF，∴∠E=∠1．又∵∠B=∠E，∴∠B=∠1，∴AB∥DE．21．解：∵AB∥CD，∠A=100°，∴∠ACD=180°﹣∠A=80°，∵CB平分∠ACD，∴∠1=∠2=∠ACD=40°，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠2=40°．22．证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，∴∠AED=∠AOB=90°，∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），∴∠EDO=∠BOD（两直线平行，内错角相等），∵∠EDO=∠CFB，∴∠BOD=∠CFB，∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．。
《平行线的性质》证明题练习
《平行线的性质》证明题练习第一篇：《平行线的性质》证明题练习《平行线的性质》证明题练习一、基础过关:1．如图1，a∥b，a、b被c所截，得到∠1=∠2的依据是（）A．两直线平行，同位角相等B．两直线平行，内错角相等C．同位角相等，两直线平行D．内错角相等，两直线平行(1)(2)(3)2．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．无法确定3．如图2，AB∥CD，那么（）A．∠1=∠4B．∠1=∠3C．∠2=∠3D．∠1=∠54．如图3，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°5．如图4，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°图５ C D(4)(5)6．如图5，AB∥EF，BC∥DE，则∠E+∠B的度数为________．7.如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB得∥（）；（2）由∠CAD =∠ACB得∥（）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得∥（）10．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠（已知），AC∥ED（）；（2）∵∠2 =∠（已知），∴AC∥ED（）；B D图８C（3）∵∠A +∠= 180°（已知），∴AB∥FD（）；（4）∵∠2 +∠= 180°（已知），∴AC∥ED（）；二、综合创新: 8．（综合题）如图，已知∠AMB=∠EBF，∠BCN=∠BDE，求证：∠CAF=∠AFD．10．（创新题）（1）如图，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，你能求出∠C的度数吗？（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．11．（1）如图6，已知AB∥CD，直线L分别交AB、CD•于点E、F，EG平分∠BEF，若∠EFG=40°，则∠EGF的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°(6)(7)（2）已知：如图7，AB∥DE，∠E=65°，则∠B+∠C•的度数是（）A．135°B．115°C．65°D．35°三、培优: 12．（探究题）如图，在折线ABCDEFG中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=•∠5，•延长AB、GF交于点M．试探索∠AMG与∠3的关系，并说明理由．13．（开放题）已知如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，那么∠A与∠C，∠B与∠D的大小关系如何？请说明你的理由．一、探索平移的性质1.(1)在图1中，画图：把线段AB向左平移4格，得到线段A’B’.(2)线段AB与A’B’叫做对应线段，平移后对应线段之间的位置和数量有什么关系？，(3)点A通过平移得到点A’，点A与点A’是一组对应点.同样的，点B与B’ 是另一组图1AB对应点.用红线画出连结各组对应点的线段AA’与BB’，线段AA’与BB’之间的位置和数量有什么关系？，2.(1)在图2中，画图：把△ABC向右平移4格，得到△A’B’C’.(2)对应线段AB与A’B’、BC与B’C’、AC与A’C’ 之间的数量与位置有什么关系？，(3)点A与A’是一组对应点，点B与B’、点C与C’是对应点.用红线画出连结各组对应点的线段AA’与BB’，线段AA’与BB’之间的位置和数量有什么关系？，；再用红线画出连结各组对应点的线段CC’，线段AA’与CC’之间的位置和数量有什么关系？，；线段AA’、BB’、CC’之间的位置和数量有什么关系？结论：如果两条直线平行，那么其中一条直线上的任意两点到的距离相等，这个距离称为.图2ABC如果两条直线平行，那么其中一条直线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长就是平行线间的距离.平行线间的距离处处相等.三、应用平移解决实际问题1.在长40m、宽30m的长方形地块上，修建如下的宽1m的道路，余下部分种菜，求菜地的面积.(1)如图6，有3条道路.(2)如图7，一条道路是平行四边形.(3)如图8，道路弯曲.图6图图解：2.如图9，由两个边长为6的正方形拼成一个长方形.求图中阴影部分的面积.图9第二篇：平行线性质证明题1、如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 o，求∠AGD。
难点详解鲁教版(五四制)七年级数学下册第八章平行线的有关证明专题测试试卷(精选含详解)
七年级数学下册第八章平行线的有关证明专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°，那么这个“特征三角形”的最大内角的度数是（）A．80°B．90°C．100°D．120°2、下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线叫做平行线B．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C．平角是一条直线D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线∠等于（）3、如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中αA ．105°B ．115°C ．120°D ．135°4、如图，点E 在CB 的延长线上，能判定AB CD ∥的是（ ）A ．14∠=∠B ．23∠∠=C ．A ABE ∠=∠D ．180A ABC ∠+∠=︒5、如图，△ABC 的角平分线 CD 、BE 相交于F ，∠A =90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG =2∠DCB ；②CA 平分∠BCG ；③∠ADC =∠GCD ；④∠DFB =12∠CGE ．其中正确的结论是（ ）A ．只有①③B ．只有②④C ．只有①③④D ．①②③④6、如图点E 在BC 的延长线上，则下列条件中，不能判定AB ∥CD 的是（ ）A ．∠1＝∠2B ．∠B ＝∠DCEC ．∠3＝∠4D ．∠D +∠DAB ＝180°7、如图，AB 和CD 相交于点O ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12∠=∠B ．1B ∠=∠C ．2D ∠>∠ D ．A D B C ∠+∠=∠+∠8、下列命题，是真命题的是（ ）A ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B ．邻补角的角平分线互相垂直C ．相等的角是对顶角D ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥9、下列说法中不正确的是（ ）A ．平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离10、如图，在ABC 中，∠A ＝55°，∠B ＝45°，那么∠ACD 的度数为（）A ．110B ．100C ．55D ．45第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB ∥CD ，M 在AB 上，N 在CD 上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_______．2、如图，已知AD ∥CE ，∠BCF ＝∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若∠AFC 的余角等于2∠ABC 的补角，则∠BAH 的度数是______．3、如图，△ABC 中，∠B ＝20°，D 是BC 延长线上一点，且∠ACD ＝60°，则∠A 的度数是____________ 度．4、如图，已知长方形纸带ABCD ，AB CD ∥，AD BC ∥，90C ∠=︒，52DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在H 、G 的位置，则下列结论中，正确的序号是_______．①52BFE ∠=︒；②52BMG ∠=︒；③76AEG ∠=︒；④76BFH ∠=︒．5、如图，已知直线a 、b 被直线l 所截，a ∥b ，且∠1＝（3x +16）°，∠2＝（2x ﹣11）°，那么∠1＝___度．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知一角的两边与另一个角的两边分别平行，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．（1）如图1所示，AB EF ∥，BC DE ∥，则1∠与2∠的关系是 ；（2）如图2所示，AB EF ∥，BC DE ∥，则1∠与2∠的关系是 ；（3）经过上述探索，我们可以得到一个结论（试用文字语言表述）： ；（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30，则这两个分别是多少度？2、如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，AD ⊥BC 于D ，且AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．3、如图，已知P ，A ，B 三点，按下列要求完成画图和解答．(1)作直线AB ；(2)作射线PA ，PB ，用量角器测量APB ∠=______°．(3)利用网格过点A 作PB 的平行线AC ；(4)过点P 画PD AB ⊥于点D ；(5)根据图形回答：在线段PA ，PB ，PD 中，PD 的长度最短．理由：______．4、如图，AD 、AE 、AF 分别是ABC 的高线、角平分线和中线．(1)若20ABC S =，CF =4，求AD 的长．(2)若∠C =70°，∠B =26°，求∠DAE 的度数．5、如图，已知12∠=∠，A F ∠=∠，试说明C D ∠=∠的理由．解：把1∠的对顶角记作3∠，所以13∠=∠（对顶角相等）．因为12∠=∠（已知），所以23∠∠=（ ），所以 ∥ （ ）．（请继续完成接下去的说理过程）-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最大内角即可．【详解】解：由题意得：α=2β，α=60°，则β=30°，180°-60°-30°=90°，故选B ．【点睛】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．2、B【解析】【分析】根据平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质依次判断．【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故选项A错误；过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故选项B正确；平角是角的两边在同一直线上的角，故选项C错误；过同一平面内三点中任意两点，能画出1条或3条直线故选项D错误；故选：B．【点睛】此题考查语句的正确性，正确掌握平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质是解题的关键．3、A【解析】【分析】根据直角三角板各角的度数和三角形外角性质求解即可．【详解】解：如图，∠C=90°，∠DAE=45°，∠BAC=60°，∴∠CAO=∠BAC－∠DAE=60°－45°=15°，∠=∠C+∠CAO=90°+15°=105°，∴α故选：A．【点睛】本题考查三角板中的度数计算、三角形的外角性质，熟知三角板各角度数，掌握三角形的外角性质是解答的关键．4、B【解析】【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．【详解】 A. 14∠=∠，AD BC ∴∥，故该选项不符合题意；B. 23∠∠=，AB CD ∴∥，故该选项符合题意；C. A ABE ∠=∠，AD BC ∴∥，故该选项不符合题意；D. 180A ABC ∠+∠=︒，AD BC ∴∥，故该选项不符合题意；故选B【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】解：①∵EG//BC，∴∠CEG＝∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；③∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，（∠ABC+∠ACB）＝135°，∴∠AEB+∠ADC＝90°+12∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∠CGE，故本选项正确．∴∠DFB＝45°＝12故正确的是①③④故选：C．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．6、C【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．【详解】解：A、正确，符合“内错角相等，两条直线平行”的判定定理；B、正确，符合“同位角相等，两条直线平行”的判定定理；C、错误，若∠3=∠4，则AD∥BE；D、正确，符合“同旁内角互补，两条直线平行”的判定定理；故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，比较简单．7、B【解析】【分析】根据两直线相交对顶角相等、三角形角的外角性质即可确定答案．【详解】解：选项A、∵∠1与∠2互为对顶角，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；选项B、∵∠1＝∠B+∠C，∴∠1＞∠B，故选项B符合题意；选项C、∵∠2＝∠D+∠A，∴∠2＞∠D，故选项C不符合题意；选项D 、∵1A D ∠+∠=∠，1B C ∠+∠=∠，∴A D B C ∠+∠=∠+∠，故选项D 不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质、平行线的性质和三角形内角和、外角的性质，能熟记对顶角的性质是解此题的关键．8、B【解析】【分析】利用平行线的性质、邻补角的定义及性质、对顶角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B 、邻补角的角平分线互相垂直，正确，是真命题，符合题意；C 、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；D 、平面内，若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、邻补角的定义及性质、对顶角的定义等知识，难度不大．9、B【解析】【分析】根据点到直线的距离、垂直的性质及平行线的判定等知识即可判断．【详解】A、平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故说法正确；B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此说法正确；D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，这是点到直线的距离的定义，故此说法正确．故选：B【点睛】本题主要考查了垂直的性质、点到直线的距离、平行线的判定等知识，理解这些知识是关键．但要注意：平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；这两个性质的前提是平面内，否则不成立．10、B【解析】【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：由三角形的外角的性质可知，∠ACD＝∠A+∠B＝100°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．二、填空题1、540°【解析】【分析】首先过点E、F作EG、FH平行于AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．【详解】如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，故答案为：540°．【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．2、60°##60度【解析】【分析】设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，由题意知∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，由AD∥CE可得AD∥FN∥BM∥CE，有∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°由于∠F的余角等于2∠B的补角，可知90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），进行求解可得x的值，进而可求出∠BAH的值．【详解】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD∵AD∥CE∴AD∥FN∥BM∥CE∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°∵∠AFC的余角等于2∠ABC的补角∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y）解得：x＝30∴∠BAH＝60°故答案为：60°．【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，余角、补角等知识．解题的关键在于正确的表示角度之间的数量关系．3、40【解析】【分析】直接根据三角形外角的性质可得结果．【详解】解：∵∠B ＝20°，∠ACD ＝60°，∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD =∠B +∠A ，∴602040A ACD B ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：40．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键4、①③④【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可判断①，根据平行线的性质，折叠性质，利用角的和差判断④，根据平角定义及折叠性质可判断②，根据平角定义可判断③．【详解】解：四边形ABCD 是长方形，90C D ∴∠=∠=︒，AD BC ∥，52DEF ∠=︒，52BFE DEF ∴∠=∠=︒，①正确； AD ∥BC180∴∠+∠=︒DEF EFC ，180128EFC DEF ∴∠=︒-∠=︒，由折叠得，DEF GEF ∠=∠，EFC EFH ∠=∠，90G D ∠=∠=︒，90C H ∠=∠=︒，1285276BFH EFH EFB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，④正确；180∠+∠+∠=︒，H BFH HMC∴∠=︒-︒-︒=︒，180907614HMC∠=∠，BMG HMCBMG∴∠=︒，②错误；14∠+∠+∠=︒，AEG GEF DEF180AEG∴∠=︒-︒-︒=︒，③正确．180525276故答案为：①③④．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．5、121【解析】【分析】根据两直线平行同旁内角互补列方程求解．【详解】解：∵a//b，∴∠1+∠2＝180°，（3x+16）+（2x﹣11）=180，解得x=35，∴∠1＝(3×35+16)°=121°，故答案为：121．【点睛】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，根据题意列出方程求出x是解答本题的关键．三、解答题1、（1）12∠=∠；（2）12180∠+∠=︒；（3）一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补；（4）70︒，110︒【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可求出∠1=∠2；（2）根据两直线平行，内错角相等及同旁内角互补可求出∠1+∠2=180°；（3）由（1）（2）可得出结论；（4）由（3）可列出方程，求出角的度数．【详解】解：（1）如图1． ∥AB EF ，13∠∠∴=． ∥BC DE ，32∴∠=∠．12∠∠∴=．故答案为：12∠=∠．（2）∥AB EF ，1∴∠=∠BGE ． ∥BC DE ，2180BGE ∴∠+∠=︒．12180∴∠+∠=︒．故答案为：12180∠+∠=︒．（3）由（1）、（2）得：一角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补．∠=∠-︒．（4）这两个角分别是1∠、2∠，且12230∠+∠=︒，1218022302180∴∠-︒+∠=︒．∴∠=︒．270∴∠=⨯︒-︒=︒．127030110∴这两个角分别为70︒、110︒．图1 图2【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．2、20°【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，最后根据∠EAD=∠BAD-∠BAE代入数据进行计算即可得解．【详解】解：∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE=12∠BAC=12×60°=30°，∵∠B=40°，AD⊥BC，∴∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并准确识图，观察出∠EAD=∠BAD-∠BAE 是解题的关键．3、 (1)见解析(2)作图见解析，90︒(3)见解析(4)见解析(5)垂线段最短【解析】【分析】（1）根据题意作直线AB；（2）根据题意作射线PA，PB，用量角器测量APB∠；（3）根据网格的特点找到点C，作直线AC；（4）过点P画PD AB⊥于点D；（5）根据垂线段最短作答即可(1)如图所示(2)如图所示=︒用量角器测量APB∠90故答案为：90︒(3)如图所示，根据网格的特点将点A向右平移2个单位，向下平移1个单位得到点C，作直线AC；(4)如图所示(5)PD最短，理由：垂线段最短【点睛】本题考查了画直线，射线，平行线，垂线，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．4、 (1)AD=5(2)∠DAE=22°．【解析】【分析】（1）根据角平分线和三角形的面积公式即可解答；（2）根据角平分线、三角形的高线结合三角形内角和定理即可解答．(1)解：∵AF是△ABC的中线，CF=4，∴BC=2CF=8．∵S△ABC=12×BC×AD=20，∴AD=5；(2)解：∵∠C=70°，∠B=26°．∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−26°−70°=84°．∵AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．∴∠EAC=12∠BAC=42°，∴∠DAC=90°−70°=20°，∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=42°−20°=22°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、中线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．5、等量代换；BD ；CE ；同位角相等，两直线平行；见解析【解析】【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【详解】解：把1∠的对顶角记作3∠，所以13∠=∠（对顶角相等）．因为12∠=∠（已知），所以23∠∠=（等量代换），所以//BD CE （同位角相等，两直线平行），所以4C ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又因为A F ∠=∠，所以//DF AC （同位角相等，两直线平行），所以4D ∠=∠（两直线平行，内错角相等），所以C D ∠=∠（等量代换）．故答案为：等量代换；BD ；CE ；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键．解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．。
初中数学平行线证明专题训练含答案
平行线证明专题训练一．选择题（共16小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．若∠BOC＝130°，则∠A的度数为（）A．100°B．90°C．80°D．70°2．下列命题为假命题的是（）A．直角都相等B．对顶角相等C．同位角相等D．同角的余角相等3．下列命题中：正确的说法有（）①成轴对称的两个图形一定全等；②直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线；③一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题是真命题的是（）A．如果a＞b，a＞c，那么b＝cB．相等的角是对顶角C．一个角的补角大于这个角D．一个三角形中至少有两个锐角5．如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（）即可．A．∠1＝∠2B．∠1＝∠DFE C．∠1＝∠AFD D．∠2＝∠AFD 6．如图，已知∠1＝∠2，则有（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ABC＝∠ADC D．AB⊥CD7．如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．36°B．72°C．50°D．46°8．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝80°，则∠C＝（）A．85°B．75°C．65°D．55°9．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15°B．25°C．35°D．50°10．图中，∠2的度数是（）A．110°B．70°C．60°D．40°11．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE是高，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠EAD 的度数为（）A．30°B．10°C．40°D．20°12．如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．75°13．如图，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°14．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它属于假命题的反例是（）A．a＝2，b＝1B．a＝﹣1，b＝﹣2C．a＝﹣2，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝1 15．能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例可以是（）A．a＝2，b＝﹣2B．a＝2，b＝3C．a＝﹣2，b＝﹣2D．a＝﹣2，b＝﹣3 16．如图，下列条件中能得到AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1＝∠4D．∠2＝∠3二．填空题（共3小题）17．如图，△ABC中，∠A＝80°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是_____．18．如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠AOB＝_____．19．如图，把一张三角形纸片（△ABC）进行折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为DE，点D，点E分别在AB和AC上，DE∥BC，若∠B＝75°，则∠BDF的度数为_____．三．解答题（共8小题）20．已知：如图∠B＝40°，∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC，求∠DAC的度数．21．如图，在下列解答中，填写适当的理由或数学式：（1）∵AD∥BE，（已知）∴∠B＝∠_____．（_____）（2）∵∠E+∠_____＝180°，（已知）∴AC∥DE．（_____）（3）∵_____∥_____，（已知）∴∠ACB＝∠DAC．（_____）22．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AD是∠BAC的角平分线，AE是高，求∠EAD的度数．23．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）证明：∵∠1＝∠2（已知）∠1＝∠3（_____）∴∠2＝∠3（等量代换）∴BD∥_____（_____）∴∠4＝_____（_____）又∵∠A＝∠F（已知）∴AC∥_____（_____）∴∠4＝_____（_____）∴∠C＝∠D（等量代换）24．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为_____；（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数_____；（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．25．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）26．（1）如图，在三角形纸片ABC中．∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，折痕为MN．如果∠1＝17°，求∠2的度数；（2）小明在（1）的解题过程中发现∠1+∠2＝2∠C，小明的这个发现对任意的三角形都成立吗？请说明理由．27．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．试说明：∠A＝∠F．请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵∠AGB＝∠DGF（_____）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（_____）∴_____∥_____（_____）∴∠D＝_____（_____）∵∠D＝∠C（已知）∴_____＝∠C（_____）∴_____∥_____（_____）∴∠A＝∠F（_____）平行线证明专题训练参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．解：在△OBC中，∠OBC+∠OCB＝180﹣∠BOC＝180﹣130＝50°，又∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．∴∠ABC+∠ACB＝2∠OBC+2∠OCB＝2（∠OBC+∠OCB）＝100°∴∠A＝180﹣（∠ABC+∠ACB）＝180﹣100＝80°故选：C．2．解：A、直角都相等，是真命题；B、对顶角相等，是真命题；C、两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题；D、同角的余角相等，是真命题；故选：C．3．解：①成轴对称的两个图形一定全等，故符合题意；②直线l经过线段AB的中点且垂直线段，则l是线段AB的垂直平分线，故不符合题意；③一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，故符合题意；④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角的角平分线所在的直线．故不符合题意故选：B．4．解：A、如果a＞b，a＞c，不能判断b，c的大小，原命题是假命题；B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；C、一个角的补角不一定大于这个角，原命题是假命题；D、个三角形中至少有两个锐角，原命题是真命题；故选：D．5．解：∵EF∥AB，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠DFE，∴∠2＝∠DFE，∴DF∥BC，故选：B．6．解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故选：B．7．解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝36°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，则∠1﹣∠2＝72°．故选：B．8．解：∵∠A＝35°，∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣80°＝65°，故选：C．9．解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．故选：C．10．解：∵∠1＝60°+20°＝80°，∴∠2＝180°﹣60°﹣80°＝40°，故选：D．11．解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠B+∠C+∠BAC＝180°∴∠BAC＝80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD＝40°∵AE⊥BC，∠C＝60°∴∠AEC＝90°，∠CAE＝30°∴∠EAD＝10°，故选：B．12．解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，∴∠A＝60°；故选：C．13．解：∵∠A＝75°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣300°＝60°．故选：D．14．解：对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它属于假命题的反例是a＝﹣1，b＝﹣2，a＞b，但（﹣1）2＜（﹣2）2，故选：B．15．解：能说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的一个反例是a＝2，b＝﹣2，a2＝b2，但a＝﹣b，故选：A．16．解：A，∠1＝∠2不能判定两条直线平行；不符合题意；B，∠3＝∠4不能判定两条直线平行，不符合题意；C，∠1＝∠4可以判定AD∥BC，不符合题意；D，∠2＝∠3可以判定AB∥CD，根据内错角相等，两条直线平行，符合题意．故选：D．二．填空题（共3小题）17．解：∵△ABC中，∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵△ABC的两条角平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+ACB）＝×100°＝50°，∴∠BPD＝∠PBC+∠PCB＝50°；故答案为：50°．18．解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°．∵△ABC的三条角平分线交于一点，∴BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠ABC＝25°，∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°故答案为125°19．解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝75°，又∵∠ADE＝∠EDF＝75°，∴∠BDF＝180°﹣75°﹣75°＝30°，故答案为30°．三．解答题（共8小题）20．解：∵∠B＝40°，∴∠B＝∠BAD＝40°，∴∠ADC＝80°，∴∠C＝∠ADC＝80°，∴∠DAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°．21．解：（1）∵AD∥BE，（已知）∴∠B＝∠F AD．（两直线平行，同位角相等）（2）∵∠E+∠ACE＝180°，（已知）∴AC∥DE．（同旁内角互补，两直线平行）（3）∵AD∥BE，（已知）∴∠ACB＝∠DAC．（两直线平行，内错角相等）故答案为：（1）F AD；两直线平行，同位角相等；（2）ACE；同旁内角互补，两直线平行；AD；BE；两直线平行，内错角相等．22．解：∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝×80°＝40°，∵AE是高，∴∠BEA＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°．23．解：∵∠1＝∠2（已知）∠1＝∠3（对顶角相等）∴∠2＝∠3（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠4＝∠C（两直线平行，同位角相等）又∵∠A＝∠F（已知）∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）∴∠4＝∠D（两直线平行，内错角相等）∴∠C＝∠D（等量代换）；故答案为：对顶角相等；CE；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；DF；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，内错角相等．24．解：（Ⅰ）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，∴∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°＝120°；故答案为：120°；（Ⅱ）同理，若∠A＝100°，则∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝140°，故答案为140°；（Ⅲ）同理，若∠A＝α，则∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+．25．证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1＝∠CGD（对顶角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠CGD+∠2＝180°（等量代换），∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠BFD＝∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．26．解：（1）∵△ABC中，∠A＝64°，∠B＝76°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣76°＝40°，∵∠1＝17°，∴∠CNM＝，在△CMN中，∠CMN＝180°﹣∠C﹣∠CNM＝180°﹣40°﹣81.5°＝58.5°，∴∠2＝180°﹣2∠CMN＝180°﹣2×58.5°＝63°．（2）由题意可知：2∠CNM+∠1＝180°，2∠CMN+∠2＝180°，∴2（∠CNM+∠CMN）+∠1+∠2＝360°，∵∠C+∠CNM+∠CMN＝180°，∴∠CMN+∠CMN＝180°﹣∠C，∴2（180°﹣∠C）＝360°﹣（∠1+∠2），∴∠1+∠2＝2∠C．27．解：∵∠AGB＝∠DGF（对顶角相等）∠AGB＝∠EHF（已知）∴∠DGF＝∠EHF（等量代换）∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）∴∠D＝∠CEF（两直线平行，同位角相等）∵∠D＝∠C（已知）∴∠CEF＝∠C（等量代换）∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）故答案为：对顶角相等；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；∠CEF；两直线平行，同位角相等；∠CEF；等量代换；DF；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．。
(压轴题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测题(含答案解析)(2)
【点睛】
本题考查一系列性质，解题时需要注意一些性质或定理成立的前提条件，若遗失前提条件，则不成立．
10．C
解析：C
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；
②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；
③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；
=180°-（∠EAC+∠ECA）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）
=180°-（x+y+60°）
=90°
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意整体思想的运用．
2．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，
∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，
∵∠EAB=20°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．
本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．