2015、2016高考试题概率统计专题
2016山东高考冲刺卷概率统计大题(文)
空气污染指数
空气质量
空气污染指数
空气质量
0--50
优
201--250
中度污染
51--100
良
251--300
中度重污染
101--150
轻微污染
＞300
重污染
151----200
轻度污染
我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天．
（II）在本次训练中，从两班中分别任选一名同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数多于乙班同学的概率.
甲厂:
分组
[29.86，29.90）
[29.90，29.94）
[29.94，29.98）
[29.98，30.02）
[30.02，30.06）
）
频数
15
30
125
198
77
35
20
乙厂：
分组
[29.86，29.90）
[29.90，29.94）
[29.94，29.98）
[29.98，30.02）
[30.02，30.06）
[30.06，30.10）
[30.10，30.14）
频数
40
70
79
162
59
55
35
（1）根据以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
甲厂
乙厂
合计
优质品
非优质品
合计
附： ， 。
（2）先用分层抽样的方法从乙厂抽取5个零件，求从这5个零件中任意抽取两件，至少有一件优质品的概率。
(完整word版)统计与概率高考题(文科)
统计与概率【小题训练】1.(2018全国卷Ⅰ，T3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2.(2018全国卷Ⅱ，T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5C ．0.4D ．0.33．(2018全国卷Ⅲ，T5)某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.74．（2017新课标Ⅰ，T2）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．1x ，2x ，…，n x 的平均数B ．1x ，2x ，…，n x 的标准差C ．1x ，2x ，…，n x 的最大值D ．1x ，2x ，…，n x 的中位数5．（2017新课标Ⅰ，T4）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π6．（2017新课标Ⅱ，T11）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．15C．310D．257．（2017新课标Ⅲ，T3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳8．（2016全国I卷，T3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A．13B．12C．23D．569．（2016全国II卷，T8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A．710B．58C．38D．31010.（2016年全国III 卷，T4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个11．（2016全国III 卷，T5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18 C ．115 D ．130 12．（2016年北京，T6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A ．15 B ．25 C ．825 D ．92513．（2016年北京，T8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 14．（2015新课标1，T4）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 A ．310 B ．15 C ．110 D ．12015．（2015新课标2，T3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关16．（2015北京，T4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为A．90 B．100 C．180 D．300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计430017．(2018全国卷Ⅲ，T14)某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．18、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区户家庭，得到如下统计数据表：收入（万元）支出（万元）根据上表可得回归直线方程，据此估计，该社区一户收入为万元家庭年支出为（）A.万元B.万元C.万元D.万元大题题型题型一：回归分析1、社会在对全日制高中的教学水平进行评价时,常常将被清华北大录取的学生人数作为衡量的标准之一.重庆市教委调研了某中学近五年(年-年)高考被清华北大录取的学生人数,制作了如下所示的表格(设年为第一年).年份(第年)人数(人)(1)试求人数关于年份的回归直线方程;(2)在满足(1)的前提之下,估计年该中学被清华北大录取的人数(精确到个位);(3)教委准备在这五年的数据中任意选取两年作进一步研究,求被选取的两年恰好不相邻的概率.参考公式:.题型二统计图1、某服装店对过去天其实体店和网店的销售量(单位:件)进行了统计,制成频率分布直方图如下:(1)若将上述频率视为概率,已知该服装店过去天的销售中,实体店和网店销售量都不低于件的概率为,求过去天的销售中,实体店和网店至少有一边销售量不低于件的天数;(2)若将上述频率视为概率,已知该服装店实体店每天的人工成本为元,门市成本为元,每售出一件利润为元,求该门市一天获利不低于元的概率;(3)根据销售量的频率分布直方图,求该服装店网店销售量中位数的估计值(精确到).2、某工厂有工人名，记岁以上（含岁）的为类工人，不足岁的为类工人，为调查该厂工人的个人文化素质状况，现用分层抽样的方法从两类工人中分别抽取了人、人进行测试.（1）求该工厂两类工人各有多少人？（2）经过测试，得到以下三个数据图表：图一：分以上两类工人成绩的茎叶图（茎、叶分别是十位和个位上的数字）①先填写频率分布表（表一）中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；②该厂拟定从参加考试的分以上（含分）的类工人中随机抽取人参加高级技工培训班，求抽到的人分数都在分以上的概率.题型三独立性分析年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会议第十二届全国委员会第四次会议，分别于年月日和月日在北京开幕。
2016概率论与数理统计题库附答案
概率论与数理统计习题集第一章 随机事件及其概率一、填空题1、袋中有a 只白球，b 只红球，k 个人（k a b ≤+）依次在袋中取一只球，在不放回抽样下，求第2个人取到白球的概率_______.2、设B A ,是两个事件，已知1()4P A =，1()2P B =，1()8P AB =，则()P AB =_______.3、袋中装有10只球，其编号为1,2,,10 .从中任取3只球，则取出的球中最大号码为5的概率是_______.4、设A 与B 为两个事件，()0.4P A B ⋃=，则()P AB =____.5、设A 与B 为两个互不相容的事件，()0.4,()0.5P A P B ==，则()P AB =____.6、某一治疗方法对一个患者有效的概率为0.9，今对3个患者进行了治疗，对各个患者的治疗效果是相互独立的，则对3个患者的治疗中，至少有一人是有效的概率_____.7、设B A ,两事件相互独立，6.0)(=⋃B A P ，4.0)(=A P ，则=)(B P _________.8、3个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,,543则三人能同时译出密码的概率是________.9、设事件B A ,相互独立，()0.3,()0.18P A P AB ==，则()P B =_______. 10、设C B A ,,为事件，B A ,至少有一个发生，但C 不发生的事件可以表示为_______.11、甲、乙两人分别独立破译某个密码，设甲、乙单独译出的概率是0.4，0.7，则密码能译出的概率是_______.12、设C B A ,,为事件，B A ,发生，但C 不发生的事件可以表示为_______. 二、选择题1、向指定的目标射三枪，以321,,A A A 分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”，则“只击中第一枪”用321,,A A A 表示为_______.（A ） 1A (B) 321A A A (C) 321A A A (D) 321A A A ⋃⋃2、设事件A ，B ，()0,()0,P A P B >>且A B ⊂，则下列命题正确的是_____. (A)()()()P A B P A P B ⋃=+ (B)()()()P AB P A P B =(C)()()()P A P A B P B =(D)()()()P A B P A P B -=- 3、设A ，B 是任意两个事件，则()P A B -=_____. (A)()()P A P B - (B)()()()P A P B P AB -+ (C)()()P A P AB - (D) ()()()P A P B P AB +-4、设A 与B 互不相容，0)(,0)(>>B P A P ，则___________一定成立.（A ） )(1)(B P A P -= （B ） 0)(=B A P （C ） 1)(=B A P （D ） 0)(=AB P 5、向指定的目标射击三枪，若以321,,A A A 分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”，则“至少击中一枪”用321,,A A A 表示为_________. （A ）1A （B ）321A A A ⋃⋃ （C ）321A A A （D ）321A A A6、设事件A 与B 互不相容，()0P B >，则_______一定成立.（A ） ()0P B A > （B ）()()P A B P A = （C ）()0P A B = （D ）()()()P AB P A P B = 7、从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为_______.（A ） 121 （B ）1221 （C ）821 （D ）13218、设A 与B 是两个事件，已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B ==⋃=，则()P AB =_______.（A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.5 （D ）09、设事件A 与B 相互独立，()0>A P ，()0P B >，则_______一定不成立.（A ） ()0P B A > (B) ()()P A B P A = (C) ()0P A B = (D) ()()()P AB P A P B =10、设每次试验成功的概率是)10(<<p p ，则3次重复独立试验都失败的概率为_______.（A ） 3p (B) 3)1(p - (C))1()1(22p p p p -+- (D) 1-3p11、设事件A 与B 互不相容，0)(,0)(>>B P A P ，则_______一定成立.（A ） )(1)(B P A P -= (B) 1)(=B A P (C) 1)(=B A P (D) 1)(=AB P12、设A 与B 是两个事件，已知()0.5,()0.7,()P A P B P A B ==⋃=，则()AB P =_______.（A ） 0.1 (B) 0.3 (C)0.5 (D) 0.4三、综合计算题1、计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各台打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04.已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？ 2、一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的患者有85%给出了正确结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎.已知人群中有10%的人患有关节炎.问一名被检验者经检验，认为他没有患关节炎，而他却患有关节炎的概率？3、某地区居民的肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病），现某人的检验结果为阳性，问他真的患肝癌的概率是多大.4、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1，0.2，0.3，从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求这件产品为正品的概率.若取出的产品为正品，它是甲厂生产的概率是多少.5、一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率.通讯线 通讯量的份额 无误差的讯息的份额 1 0.4 0.9998 2 0.3 0.9999 3 0.1 0.9997 4 0.20.99966、甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率.7、假设有同种零件两箱，第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。
概率统计试题和答案
概率统计试题和答案题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下统计与概率1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD( B ) A．14B．π8C．12D．π42.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， 表示抽到的二等品件数，则D X = 1.96 。
4.（2016年全国I 理14）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案）5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B )（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345.（2016年全国2理10）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为( C )（A ） （B ） （C ） （D ） 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为[]0,12n 1x 2x nx 1y 2y n y ()11,x y ()22,x y (),n n x y m π4nm 2n m 4m n 2m n50C。
高三数学《概率统计(文科)》练习
文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率()()1,0∈AP（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取_____名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_______ .4.已知一组数据5.5,4.5,1.5,8.4,7.4，则该组数据的方差是_____．5.若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的标准差为____.6.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如右图：则这组数据的中位数是________．7.某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43009.（2015全国Ⅱ文）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]频 数2814106（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.（2014安徽文）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()d b c a d c b a bc d a n K ++++-=22满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意()02k K P ≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.87911.（2014全国Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85,95）[95,105）[105,115）[115,125] 频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_______ .14.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_______ .15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______ .16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________ .17.（2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为_________ .18.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品的概率为_________ .19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40,45） [45,50]人数 25 a b（Ⅰ）求正整数a ，b ，N 的值；（Ⅱ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.20.（2016全国Ⅰ文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A.31B.21C.32D.4321.（2016全国Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.107 B.85 C.83 D.103 22.在区间[-2,3]上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为_____ .23.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_______ .24.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________ .25.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（ ）A .1ˆ-=x yB .1ˆ+=x yC .x y 2188ˆ+= D .176ˆ=y26.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下：根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年 份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程a t b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）175175176177177广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954况，并预测该地区2016年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程a t b yˆˆˆ+=中，t b y atn tyt n y t b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==.28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：乙校：（1）计算y x ,的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：由列联表中数据计算()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22；临界值表：29.一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）根据上表数据作散点图，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）.附：回归直线的方程是：a x b y ˆˆˆ+=，其中()()()x b y ax x y y x x b ni ini iiˆˆ,ˆ121-=---=∑∑==； 90,93==y x ，()()()30,4051251=--=-∑∑==y y x x x x ii ii i .30.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机分组（岁） 频数 频数[20,25) 5 0.050 [25,30) 200.200 [30,35) a0.350[35,40) 30 b[40,45] 10 0.100 合计1001.000摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________ .33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.A,两地区分别随机调查了20个用户，得到用34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；。
广东历年高考——9概率统计小题
历年广东高考之——概率统计小题9.概率统计(2007年高考广东卷第8题)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） Ａ．310Ｂ．15Ｃ．110Ｄ．112【解析】从五个球中任取两个共有=10种，而1+2=3，2+4=6，1+5=6，取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为103。
答案：A(2008年高考广东卷第11题)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。
产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是_______。
【解析】20(0.06510)13⨯⨯=,故答案为13. (2009年高考广东卷第12题)某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。
若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37. 40岁以下年龄段的职工数为2000.5100⨯=,则应抽取的人数为4010020200⨯=人. 【答案】37, 20 (2010年高考广东卷第12题)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x （单位：万元）与年平均支出Y （单位：万元）的统计资料如下表所示：根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.答案：13 ˆ3yx =- (2011年高考广东卷第13题)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线形回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ．解析：小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii nii x x y y b x x ==--++++-===-+-+++-∑∑，0.47a y bx =-=∴线性回归方程0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y =∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53 答案：0.5；0.53(2012年高考广东卷第13题)由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为______________________．(从小到大排列)【解析】不妨设1234x x x x ≤≤≤得：231234144,84x x x x x x x x +=+++=⇒+=2222212341(2)(2)(2)(2)420,1,2i s x x x x x =⇔-+-+-+-=⇒-=①如果有一个数为0或4；则其余数为2，不合题意 ②只能取21i x -=；得：这组数据为1,1,3,3(2014年高考广东卷第6题)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本， 则分段的间隔为（ ）A ．20B ．25C ．40D ．50 解析：本题考查系统抽样的特点。
专题10 概率与统计 原卷版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解
专题10 概率与统计【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ====D. 14230.3,0.2p p p p ====2.（2020·山东卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120种 B. 90种 C. 60种D. 30种3.（2020·山东卷）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A. 62% B. 56% C. 46%D. 42%4.（2020·天津卷）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 365.（2020·天津卷）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．6.（2020·浙江卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．7.（2020·江苏卷）已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.8.（2020·江苏卷）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.9.（2020·新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【2019年】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.82．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是（ ）则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【2018年】1．【2018·全国Ⅱ卷】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115D ．1182．【2018·全国Ⅰ卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半3．【2018·全国Ⅲ卷】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.34．【2018·浙江卷】设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P12p- 122p 则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小 B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小5．【2018·全国Ⅰ卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 36．【2018·江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为______________．7．【2018·江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为______________． 【2017年】1．【2017·全国Ⅲ卷】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳2．【2017·全国Ⅰ卷】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．【2017·山东卷】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518 B ．49 C ．59D ．7912．【2017·浙江卷】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1–p i ，i =1，2．若0<p 1<p 2<12，则A ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ<2()D ξB ．1()E ξ<2()E ξ，1()D ξ>2()D ξC ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ<2()D ξD ．1()E ξ>2()E ξ，1()D ξ>2()D ξ4．【2017·山东卷】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ．160 B ．163 C ．166D ．1705．【2017·全国Ⅱ卷】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______________．6．【2017·江苏卷】记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是______________．7．【2017·江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______________件． 【2016年】1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）342.【2016高考新课标3理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在0C ︒以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于20C ︒的月份有5个3.【2016高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） （A ）56（B ）60（C ）120（D ）1404.【2016高考新课标2理数】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n5.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .7.【2016年高考四川理数】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 .328.【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.10.【2016高考山东理数】在[1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22x y相交”发生(5)9的概率为.。
【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题7 概率与统计 第2讲 概率、随机变量及其分布列 理
第2讲概率、随机变量及其分布列一、选择题1.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:甲、乙两人都有3种选择,共有3×3=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况,所以甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P==,故选A.2.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为 ( D )(A)(B)(C)(D)解析:设事件“甲或乙被录用”为事件A,则表示甲、乙都未被录用,由古典概型,P()==, 所以P(A)=1-=.3.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是( C )(A)(B)(C)(D)解析:用X表示发芽的粒数,独立重复试验服从二项分布B（3,）,P(X=2)=（）2（）1=.4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,1),若P(ξ>3)=0.023,则P(1≤ξ≤3)等于( D )(A)0.046 (B)0.623 (C)0.977 (D)0.954解析:因为ξ～N(2,1),P(ξ>3)=0.023,所以由正态分布的对称性可知P(1≤ξ≤3)=1-2P(ξ>3)=1-2×0.023=0.954,所以选D.5. 如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( A )(A)1- (B)-1 (C)2-(D)解析:依题意,有信号的区域面积为×2=,矩形的面积为2,所求概率为P==1-.则E(6X+8)的值为( B )(A)13.2 (B)21.2 (C)20.2 (D)22.2解析:由随机变量的期望公式可得E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2,E(6X+8)=6E(X)+8=6×2.2+8=21.2.7. 如图,△ABC和△DEF都是圆内接正三角形,且BC∥EF,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在△ABC内”,用B表示事件“豆子落在△DEF内”,则P(B|A)等于( D )(A)(B)(C)(D)解析:如图,作三条辅助线,根据已知条件得这些小三角形都全等,所以P(B|A)===.故选D.8.(2015湖北卷)设X～N(μ1,),Y～N(μ2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( C )(A)P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)(B)P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)(C)对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)(D)对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)解析:由题图可知μ1<0<μ2,σ1<σ2,所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1),故A错;P(X≤σ2)>P(X≤σ1),故B错;当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t),而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),所以P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正确,D错.9.如果X～B(20,p),当p=且P(X=k)取得最大值时,k的值为( C )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11解析:当p=时,P(X=k)=()k·()20-k=·()20,显然当k=10时,P(X=k)取得最大值.10.已知袋中装有标号为1,2,3的三个小球,从中任取一个小球(取后放回),连取三次,则取到的小球的最大标号为3的概率为( B )(A)(B)(C)(D)解析:P==,故选B.11. 如图,在网格状小地图中,一机器人从A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走1格到相应顶点,已知向上的概率是,向右的概率是,问6秒后到达B(4,2)点的概率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:根据题意,从A到B相当于6次试验中4次向右走,2次向上走,因此所求概率为()2·()4=,故选D.12.若a,b∈(0,2),则函数f(x)=ax3+2x2+4bx+1存在极值的概率为( A )(A)(B)(C) (D)解析:f′(x)=ax2+4x+4b,函数f(x)=ax3+2x2+4bx+1存在极值,则Δ=42-4a×4b>0,所以ab<1,又=2ln 2,所以函数有极值的概率为=.二、填空题13.(2015广东卷)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .解析:因为X～B(n,p),所以E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得n=90,p=.答案:14.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.解析:十个数中任取七个不同的数共有种情况,七个数的中位数为6,那么6只有处在中间位置,有种情况,于是所求概率P==.答案:15.(2014浙江卷)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)= . 解析:设P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=y,则得表格如下:由分布列的性质得+x+y=1,①又E(ξ)=0×+1×x+2y=1,②①、②联立,解得x=且y=.所以D(ξ)=(1-0)2×+(1-1)2×+(1-2)2×=.答案:16.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数,则X的数学期望为. 解析:根据题意,5名志愿者被随机分配到A,B,C,D四个不同岗位,每个岗位至少一人,共有=240种,而X=1,2,则P(X=1)===,P(X=2)===,故E(X)=1×+2×=.答案:三、解答题17.(2014湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解:(1)依题意,p1=P(40<X<80)==0.2,p2=P(80≤X≤120)==0.7,p3=P(X>120)==0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=()4+4×()3×=0.9477.(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×1=5000.②安装2台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10000,因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下所以,E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.③安装3台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,3综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.18.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解:(1)当需求量n<16时,卖出n枝,剩(16-n)枝,当需求量n≥16时,16枝全卖出.所以y=(n∈N).(2)由题意知,日需求量n与对应概率如表①由题意知X=60,70,80,且P(X=60)=P(n=14)=0.1,P(X=70)=P(n=15)=0.2,P(X=80)=P(n≥16)=0.7,所以X的分布列为X的数学期望E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.②答案一:花店一天应购进16枝.当花店一天购进17枝玫瑰花时,用Y表示当天的利润(单位:元),则Y=55,65,75,85.P(Y=55)=P(n=14)=0.1,P(Y=65)=P(n=15)=0.2,P(Y=75)=P(n=16)=0.16,P(Y=85)=P(n≥17)=0.54.所以E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4,D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 综上知D(X)<D(Y)且相差较大,虽然E(X)<E(Y)但相差不大,所以一天购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小,且平均获利基本相同,故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花,理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元)则Y的分布列为Y的期望为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.可知E(Y)>E(X),故购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润,故花店一天应购进17枝玫瑰花.互斥事件与相互独立事件的概率训练提示:(1)注意相互独立事件与互斥事件的区别.(2)独立重复试验中概率的计算.1.甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.6,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率;(2)求经过两次考试后,至少有一人被该高校预录取的概率.解:(1)分别记“甲、乙、丙三个同学笔试合格”为事件A1,A2,A3;E表示事件“恰有一人通过笔试”,则P(E)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38.即恰有一人通过笔试的概率是0.38.(2)分别记“甲、乙、丙三个同学被该高校预录取”为事件A,B,C,则P(A)=0.6×0.6=0.36,P(B)=0.5×0.6=0.3,P(C)=0.4×0.75=0.3.事件F表示“甲、乙、丙三个同学中至少有一人被该高校预录取”.则表示甲、乙、丙三个同学均没有被该高校预录取,即=,于是P(F)=1-P()=1-P()P()P()=1-0.64×0.7×0.7=0.6864.2.某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.(1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).解:(1)依题意知X～B(4,),P(X=0)=()0(1-)4=,P(X=1)=()1(1-)3=,P(X=2)=()2(1-)2=,P(X=3)=()3(1-)1=,P(X=4)=()4(1-)0=.所以X的分布列为(2)设A i表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”i=1,2.B i表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,A=A1∪B1∪A1B1∪A2B2,所求的概率P(A)=P(A1)+P(B1)+P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P()+P()P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.离散型随机变量的均值与方差训练提示:求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差,按定义求解.(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差,可直接用X的均值、方差的性质求解.(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),利用它们的均值、方差公式求解.3.(2015重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.故E(X)=0×+1×+2×=(个).4.柴静的《穹顶之下》发布后,各地口罩市场受其影响生意火爆,A市场虽然雾霾现象不太严重,但经抽样有25%的市民表示会购买口罩,现将频率视为概率,解决下列问题:(1)从该市市民中随机抽取3位,求至少有一位市民会购买口罩的概率;(2)从该市市民中随机抽取4位,X表示愿意购买口罩的市民人数,求X的分布列及数学期望. 解:(1)依题意可得,任意抽取一位市民会购买口罩的概率为,从而任意抽取一位市民不会购买口罩的概率为.设“至少有一位市民会购买口罩”为事件A,则P(A)=1-()3=1-=,故至少有一位市民会购买口罩的概率为.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(X=0)=()4=,P(X=1)=()3×==,P(X=2)=()2×()2==,P(X=3)=()1×()3==,P(X=4)=()4=,E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1,或因为X～B(4,),所以E(X)=np=1.5. 现有一游戏装置如图,小球从最上方入口处投入,每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下.游戏规则为若小球最终落入A槽,得10张奖票;若落入B槽,得5张奖票;若落入C 槽,得重投一次的机会,但投球的总次数不超过3次.(1)求投球一次,小球落入B槽的概率;(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.解:(1)由题意可知投一次小球,落入B槽的概率为()2+()2=.(2)投一次小球,落入A槽的概率为()2=,落入B槽的概率为,落入C槽的概率为()2=.X的所有可能取值为0,5,10,P(X=0)=()3=,P(X=5)=+×+()2×=,P(X=10)=+×+×()2=,E(X)=0×+5×+10×=.日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.(2)若视频率为概率,求六月份西瓜日销售额的期望和方差;(3)在日最高气温不高于32 ℃时,求日销售额不低于5千元的概率. 解:(1)由已知得P(t≤32)=0.9,所以P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1,所以Z=30×0.1=3,Y=30-(6+12+3)=9.(2)P(t≤22)==0.2,P(22<t≤28)==0.4,P(28<t≤32)==0.3,P(t>32)==0.1,所以六月份西瓜日销售额X的分布列为所以E(X)=2×0.2+5×0.4+6×0.3+8×0.1=5,D(X)=(2-5)2×0.2+(5-5)2×0.4+(6-5)2×0.3+(8-5)2×0.1=3. (3)因为P(t≤32)=0.9,P(22<t≤32)=0.4+0.3=0.7,所以由条件概率得P(X≥5|t≤32)=P(22<t≤32|t≤32)===.。
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2015、2016高考试题概率、统计专题1.（2015北京卷16）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅱ) 如果25(Ⅲ) 当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）2.（2015福建卷16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(I)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(II)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.3.（2015湖北卷20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．4.（2015湖南卷18）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.5.（2015陕西卷19）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（I）求T的分布列与数学期望(II) 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．6.（2015四川卷17）某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（I）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（II）某场比赛前。
从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.7.（2015天津卷16）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (I) 设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II) 设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.8.（2016北京卷16） A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：（I ） 试估计C 班的学生人数；（II ） 从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III ）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）9、（2016山东卷19）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.10.（2016天津卷16））某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.2015、2016高考试题概率、统计专题参考答案1.（2015北京卷）解：设时间1A 为“甲是A 组的第i 个人”，时间1B 为“乙是B 组的第i 个人”，i=1,2， (7)由题意可知111()()7P A P B ==, i=1,2，…，7. （Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是：5675673()()()()7P A A A P A P A P A =++=（Ⅱ）设时间C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C=41516171526272736676A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B .因此4151617152()()()()()()P C P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272736676()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++=1041()P A B =1041()()P A P B =1049（Ⅲ）a =11或a =182.（2015福建卷）解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P （A ）=56´45´34=12p （2）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又61)1(==X P ，615165)2(=⨯==X P ，325465)3(=⨯==X P 所以X 的分布列为：所以.2336261)(=⨯+⨯+⨯=X E3.（2015湖北卷） 解：（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=． 当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．第3题解答图1 第3题解答图2 第3题解答图33311(1)10.30.973.p p =--=-=当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为4.（2015湖南卷）解：（Ⅰ）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝. 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，C=1B +2B . 因P （1A ）=410=25，P(2A )=510=12，所以P （1B ）=P(12A A )=P(1A )P(2A )=25⨯12=15， P （2B ）=P （12A A +12A A ）=P （12A A ）+P （12A A ）=P （1A ）(1- P(2A ))+(1- P （1A ）)P(2A )=25⨯(1-12)+(1-25)⨯12=12，故所求概率为P(C)= P(1B +2B )=P （1B ）+ P （2B ）=15+12=710.（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X~B （3，15）.于是： P(X=0)=003314()()55C =64125，P(X=1)=112314()()55C =48125，P(X=2)=221314()()55C =12125，P(X=3)=330314()()55C =1125故X 的分布列为X 的数学期望为 E （X ）=3⨯5=5.5.（2015陕西卷）解：（I以频率估计概率得T 从而 250.23ET =⨯+（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”. 解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +==0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.6.（2015四川卷）解：（I ）由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为=P 333433661100C C C C = 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100-=. （II ）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.1333461(1)5C C P X C ===， 2233463(2)5C C P X C ===， 3133461(3)5C C P X C ===， 所以X因此，X 的期望为()()()1(1)2233E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=2513532511=⨯+⨯+⨯= 7.（2015天津卷）解：（I ）由已知，有：22222333486()35C C C C P A C +==，所以，事件A 发生的概率为635. （II ）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.45348()(1,2,3,4).k kC C P X k k C -=== 所以，随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 8.（2016北京卷）解：（I ）由题意，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名，根据分层抽样的方法， C 班的学生人数估计为：40208100=⨯（II ） 设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1 =i ，事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1 =j ， 由题意可知，5,2,1,51)( ==i A P i ，8,2,1,81)( ==j C P j8,2,1,5,2,1,4018151)( ===⨯=j i C A P j i设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，有3323133222122111()(C A C A C A C A C A C A C A C A P E P =45352515342414C A C A C A C A C A C A C A所)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （III ）01μμ<9、（2016山东卷）解：记事件A ：“甲第一轮猜对”， 事件B ：“乙第二轮猜对”， 事件C ：“甲第二轮猜对”， 事件D ：“乙第二轮猜对”， 事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”，由事件的独立性与互斥性，有32)3243314332433241(232433243))()()(())()()(())()()(())()()(())()()(()()()()()()(=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=++++=++++=D C B A P D C B A P D C B A P D C B A P D C B A P D ABC P D C AB P CD B A P BCD A P ABCD P E P 所以，“星队至少猜对3个成语”的概率为32.(Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯= ,()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==⎪⎝⎭, ()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,()3231321260542=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ , ()32321643434P X ==⨯⨯⨯=. 可得随机变量X 的分布列为：所以数学期望01234614472144121246EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 10.（2016天津卷） 解：（Ⅰ）由已知，有31)(210231413=+=C C C C A P （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()222334210C C C 0C P X ++==415=， ()11113334210C C C C 71C 15P X+===， ()1134210C C 42C 15P X ===.所以，随机变量X 随机变量X 的数学期望()4740121151515E X =⨯+⨯+⨯=.。