中国海洋大学 数学物理方程-A卷-答案
中国海洋大学 数学物理方程-A卷
二、解答题(共 4 题，每题 5 分，共 20 分)
1. 如果有一长度为 l 的均匀的细棒，其周围以及两端 x 0, x l 处为绝热，初
始温度分布为 u(x,0) f (x), 问以后时刻的温度分布如何？（只提出定解问题就可）；
2. 一维齐次弦振动方程的柯西中分别指出它的依赖区间、决定区域及影响区域；
3. 求函数 ex2 ( 0) 的傅立叶变换；
4. 将方程 u xx 2 cos xu xy (3 sin 2 x)u yy yu y 0 化为标准形式。
中国海洋大学全日制本科课程期末考试试卷
----------------装---------------- -------------订--- ------------------------线------------------------
座号:
考场教室号:
授课教师：
__2012_年 秋季 学期 考试科目： 数学物理方程 学院： 中国海洋大学__
----------------装---------------- -------------订--- ------------------------线------------------------
座号:
考场教室号:
授课教师：
专业年级:
姓名:
学号:
＋---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第 3页 共 3页 ＋
(完整word版)中国海洋大学大学物理I3A
2005-2006学年第 1 学期试题名称：大学物理Ⅰ（3）共5 页第 1 页IIAA ′O+-2005-2006学年第 1 学期 试题名称 ：大学物理Ⅰ（3） 共 5 页 第 2 页 6.（本题3分）（3368） 一束光强为I 0的自然光垂直穿过两个偏振片，且此两偏振片的偏振化方向成45°角，则穿过两个偏振片后的光强I 为 (A) 4/0I 2 ． (B) I 0 / 4．(C) I 0 / 2． (D) 2I 0 / 2． ［ ］7.（本题3分）（4351） 宇宙飞船相对于地面以速度v 作匀速直线飞行，某一时刻飞船头部的宇航员向飞船尾部发出一个光讯号，经过∆t (飞船上的钟)时间后，被尾部的接收器收到，则由此可知飞船的固有长度为 (c 表示真空中光速) (A) c ·∆t (B) v ·∆t (C)2)/(1c t c v -⋅∆(D) 2)/(1c t c v -⋅⋅∆ ［ ］8.（本题3分）（4359） (1)对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2)在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？关于上述两个问题的正确答案是： (A) (1)同时，(2)不同时． (B) (1)不同时，(2)同时． (C) (1)同时，(2)同时．(D) (1)不同时，(2)不同时． ［ ］二、填空题（共21分） 9.（本题5分）（1206） 一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质，这时两极板上的电荷是原来的________倍；电场强度是原来的 _________倍；电场能量是原来的____________倍．10.（本题3分）（1391） 一个半径为R 的薄金属球壳，带有电荷q ，壳内充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质．设无穷远处为电势零点，则球壳的电势U = ________________________________．11.（本题3分）（2564） 如图，两根导线沿半径方向引到铁环的上A 、A ′两点，并在很远处与电源相连，则环中心的磁感强度为_________________．中国海洋大学命题专用纸2005-2006学年第 1 学期试题名称：大学物理Ⅰ（3）共 5 页第 3 页中国海洋大学命题专用纸2005-2006学年第 1 学期试题名称：大学物理Ⅰ（3）共 5 页第 4 页16 （本题10分）设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光（λ=589 nm）的光谱线．(1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次k m是多少？(2)当光线以30°的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入射到光栅上时，能看k'是多少？(1nm=10-9m)到的光谱线的最高级次mv0.99c (c为真空中光速)的速率运动．试求：17.（本题8分）（4500）一电子以=(1) 电子的总能量是多少？(2) 电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多少？(电子静止质量m e=9.11×10-31 kg)中国海洋大学命题专用纸。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
中国海洋大学《线性代数》2018-2019学年第二学期期末试卷A卷
一、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |=3, 则 |2A −1A T |= .2.设 3 阶方阵 A =(1−1020102a ) 的伴随矩阵为 A ∗=(−23−1−63−14−22), 则 a = .3.设 n 阶方阵 A 满足 A 2+3A +2I =O ，则 (A −I)−1= .4.设 A =(α1,α2,α3)为3阶方阵，若 α1,α2 线性无关，且 α3=−α1+2α2，则 齐次线性方程组 Ax =0 的一般解为 .5.设 3 阶方阵 A 的秩 r (A )=2，且 A (11203−1)=(12203−2)，则 A 的特征值为 . 6.已知矩阵 A =(23−50000a) 可对角化，则 a = . 二、选择题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分)1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题正确的是( ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (A +B)−1=A −1+B −1 D. |kAB |=k |A ||B |2.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ，再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵，记P 1=(100110001), P 2=(100001010)，则 A =( ). A.P 1P 2 B. P 1−1P 2 C. P 2P 1 D. P 2P 1−1中国海洋大学《线性代数》2018-2019学年第二学期期末试卷A卷3.已知向量组 α1,α2,α3 是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1+2α2,2α2+3α3,α1+4α2+3α3 D. α1+2α3,3α1+α2,2α2+3α34.设 A 为 m ×n 型矩阵，B 为 n ×p 型矩阵, 则下列条件中, 不能推出线性方 程组 (AB )x =0 有非零解的是( ).A ． m <p B. 线性方程组 Ay =0 有非零解 C. n <p D. 线性方程组 Bx =0 有非零解 5.设矩阵 A =(2−1−1−12−1−1−12) 与 B =(10010000)，则 A 与 B ( ). A ．合同且相似 B ．合同但不相似 C ．不合同，但相似 D ．既不合同，也不相似6.设 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵, O 是 3 阶零矩阵； 若 A 2+A −2E =O ，且 |A |=4，则二次型 x T Ax 的规范型是( ).A ．y 12+y 22+y 32；B ．y 12+y 22−y 32；C ．y 12−y 22−y 32；D ．−y 12−y 22−y 32三、计算题(共 5 题，每题 6 分，共 30 分) 1.计算 n 阶行列式||011⋯11101⋯11110⋯11⋮⋮⋮⋱⋮⋮111⋯01111⋯1|| 2.已知矩阵 A =(1234−21−113−22−30020)，A ij 表示元素 a ij 的代数余子式，求 A 11−A 12.3.设向量组 α1=(1,−1,1,2)T ，α2=(−1,2,0,0)T ，α3=(1,2,4,8)T ，α4=(−1,1,1,1)T ，α5=(2,−1,1,3)T ；求此向量组的秩及一个极大线性无关 组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示. 4.已知 R 2的两组基为 B 1={α1,α2}，B 2={β1,β2}，其中 α1=(1,−1)T ，α2=(1,0)T ；β1=(1,2)T ，β2=(3,5)T ； (1)求从基 B 1到基 B 2的过渡矩阵；(2)若向量 γ在基 B 1下的坐标为 (−1,1)T , 求 γ 在基 B 2下的坐标. 5.设 A =(201311405)，B 与 A 相似，求 |B |，|B −1+E |，其中 B −1是 B 的逆矩阵，E 是 3 阶单位矩阵. 四、证明题(共 1 题， 8 分)设 α1,α2,α3 是 n 阶方阵 A 的3个特征向量，且它们对应的特征值互不相等，若β=α1+α2+α3，证明：β,Aβ,A 2β线性无关. 五、解方程组（共1题，14分） 讨论 a,b 取何值时,线性方程组{x 2+2x 3−2x 4=−1x 1+x 2+2x 3−x 4=1x 2+(a +1)x 3+bx 4=b −2x 1+x 2+2x 3+(b −2)x 4=b +3无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时写出方程组的一般解. 六、二次型（共1题，12分）已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32−6x1x2−6x1x3−6x2x3，利用正交变换法, 将二次型 f(x1,x2,x3)化为标准型, 并写出相应的正交矩阵.一、填空题1.设 3 阶方阵 A 的行列式 |A |=3, 则 |2A −1A T |= . 解：|2A −1A T |=23|A −1|∙|A T |=8 |A |−1 |A |=8.2.设 3 阶方阵 A =(1−1020102a ) 的伴随矩阵为 A ∗=(−23−1−63−14−22), 则a = .解：矩阵 A 的第1行第2列的元素 −1的代数余子式为 A 12=−6；又 A 12=(−1)1+2M 12=−|210a |=−2a ，即 −2a =−6，则 a =3.3.设 n 阶方阵 A 满足 A 2+3A +2I =O ，则 (A −I)−1= . 解：A 2+3A +2I =O ⟹(A −I )(A +4I )=−6I ⟹(A −I)−1=− A +4I 6.4.设 A =(α1,α2,α3)为3阶方阵，若 α1,α2 线性无关，且 α3=−α1+2α2，则 齐次线性方程组 Ax =0 的一般解为 .解：由已知，得 r (A )=2，则 Ax =0 的基础解系含有 3−r (A )=1 个解向量；α3=−α1+2α2⟺α1−2α2+α3=0⟹(α1,α2,α3)(1−21)=0，即 ξ=(1,−2,1)T ≠0 是 Ax =0 的解，可以做基础解系； 则 Ax =0 的一般解为 x =kξ=k(1,−2,1)T ，k 任意.5.设 3 阶方阵 A 的秩 r (A )=2，且 A (11203−1)=(12203−2)，则 A 的特征值为 .解：记 α1=(1,2,3)T ，α2=(1,0,−1)T ，则有 A (α1,α2)=(α1,2α2)， 于是，{Aα1=α1⟹λ1=1Aα2=2α2⟹λ2=2；又 r (A )=2⟹|A |=0⟹λ3=0；答案则 A 的特征值为1，2，0. 6.已知矩阵 A =(23−50000a) 可对角化，则 a = . 解：矩阵 A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−2−350λ00−aλ|=λ2(λ−2), 则 A 的特征值为 λ1=λ2=0, λ3=2；A 可对角化，则对特征值 λ1=λ2=0，齐次线性方程组 (0I −A)x =0 , 即 Ax =0 的基础解系包含的向量个数为 2=3−r (A )⟹r (A )=1， 从而 a =0. 二、选择题1.已知 A,B 均为 n 阶可逆方阵，k 为常数，则下列命题正确的是( B ). A. |A +B |=|A |+|B | B. (A +B)T =A T +B T C. (A +B)−1=A −1+B −1 D. |kAB |=k |A ||B |2.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第2列加到第1列得矩阵 B ，再交换 B 的第2行与第3行得单位矩阵，记 P 1=(100110001), P 2=(10001010)，则 A =( D ). A.P 1P 2 B. P 1−1P 2 C. P 2P 1 D. P 2P 1−1解：P 1=E 12(1)，P 2=E 23，A c 1+c 2 ⇒ B r 2↔r 3⇒ I ，则有 I =E 23B =E 23AE 12(1)⟹A =E 23−1 IE 12−1(1)=E 23E 12−1(1)=P 2P 1−1.3.已知向量组 α1,α2,α3 是线性无关的, 则下列向量组中相关的是( C ). A. α1+α2,α2+α3,α3+α1 B. α1−α2,α2−α3,α3+α1 C. α1+2α2,2α2+3α3,α1+4α2+3α3 D. α1+2α3,3α1+α2,2α2+3α34.设 A 为 m ×n 矩阵，B 为 n ×p 矩阵, 则下列条件中, 不能推出线性方程组 (AB )x =0 有非零解的是( B ).A ． m <p B. 线性方程组 Ay =0 有非零解 C. n <p D. 线性方程组 Bx =0 有非零解解：(1)AB 为 m ×p 矩阵；r (AB )≤r (A )≤{mn；若 m <p 或 n <p ，都有 r (AB )<p ，则 (AB )x =0 有非零解； (2)线性方程组 Bx =0 有非零解，从而 ABx =A0=0 则 (AB )x =0 有非零解. 5.设矩阵 A =(2−1−1−12−1−1−12) 与 B =(10010000)，则 A 与 B ( B ). A ．合同且相似 B ．合同但不相似 C ．不合同，但相似 D ．既不合同，也不相似解：A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−2111λ−2111λ−2|=λ(λ−3)2,则 A 的特征值为 λ1=λ2=3, λ3=0；因此，A 与 B 有相同的正惯性指数2，相同的负惯性指数0； 则 A 与 B 合同，但是不相似，因为相似矩阵的特征值相同. 6.设 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵, O 是 3 阶零矩阵； 若 A 2+A −2E =O ，且 |A |=4，则二次型 x T Ax 的规范型是( C ).A ．y 12+y 22+y 32；B ．y 12+y 22−y 32；C ．y 12−y 22−y 32；D ．−y 12−y 22−y 32解：设 A 的特征值为 λ，则 A 2+A −2E 的特征值为 λ2+λ−2， 因为 A 2+A −2E =O ，而零矩阵 O 的特征值均为0，于是有 λ2+λ−2=0⟹(λ+2)(λ−1)=0⟹λ=1或−2； 即 A 的特征值只能为 1 或 −2；又因 |A |=4，则 A 的特征值为 1，−2，−2. 所以，A 的正惯性指数为1，负惯性指数为2； 则二次型的规范形中有1项正平方项，系数为1； 2项负平方项，系数为 −1. 三、计算题 1.计算 n 阶行列式||011⋯11101⋯11110⋯11⋮⋮⋮⋱⋮⋮111⋯01111⋯1||. 解：||011⋯11101⋯11110⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋱1111⋯10111⋯110|| 12n (n −1)||111⋯11101⋯11110⋱⋮⋮⋮⋮⋱⋱1111⋯10111⋯110||i 1(n −1)|111⋯10−10⋯000−1⋱⋮⋮⋮⋱⋱000⋯0−1|=(−1)n−1(n −1).2.已知矩阵 A =(1234−21−113−22−30020)，A ij 表示元素 a ij 的代数余子式，求 A 11−A 12.解：A 11−A 12=1∙A 11+(−1)∙A 12+0∙A 13+0∙A 14=|1−100−21−113−22−30020|=2∙(−1)4+3|1−10−2113−2−3|c 2+c 1−2|100−2−1131−3|=−2∙1∙(−1)1+1|−111−3|=−4.3.设向量组 α1=(1,−1,1,2)T ，α2=(−1,2,0,0)T ，α3=(1,2,4,8)T ，α4=(−1,1,1,1)T ，α5=(2,−1,1,3)T ；求此向量组的秩及一个极大线性无关 组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.解：记矩阵 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=(1−11−12−1221−11041120813)初等行变换⇒ (10402013010001−1000)， ①秩{α1,α2,α3,α4,α5}=3；②α1,α2,α4 是 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大线性无关组； ③ α3=4α1+3α2，α5=2α1+α2−α4.4.已知 R 2的两组基为 B 1={α1,α2}，B 2={β1,β2}，其中 α1=(1,−1)T ，α2=(1,0)T ；β1=(1,2)T ，β2=(3,5)T ；(1)求从基 B 1到基 B 2的过渡矩阵；(2)若向量 γ 在基 B 1下的坐标为 (−1,1)T , 求 γ 在基 B 2下的坐标. 解：(1)记矩阵 B 1=(α1,α2)=(1−1 10)，B 2=(β1,β2)=(12 35)，因为 (β1,β2)=(α1,α2)A ，即 B 1A =B 2，解此矩阵方程(B 1,B 2)=(1−1 10 12 35)初等行变换⇒ (10 01 −23 −58)=(I,A)则从基 α1,α2到基 β1, β2的过渡矩阵 A =(−23 −58)(2)两种方法：已知 γ 在基 α1,α2下的坐标为 γB 1=(1,−1)T ， 设 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2， 方法1：因为 γ=B 1γB 1=(1−1 10)(1−1)=(0−1)；又有 γ=B 2γB 2，则求解该方程组(B 2,γ)=(12 35 |0−1)初等行变换⇒ (10 01 |−31),则 γ 在基 B 2下的坐标向量 γB 2=(−31)； 方法2：因为 A γB 2=γB 1，求解该非齐次线性方程组(A,γB 1)=(−23 −58 |1−1)初等行变换⇒ (10 01 |−31)=(I,γB 2)则 γ 在基 β1,β2下的坐标为 γB 2=(−31).5.设 A =(201311405)，B 与 A 相似，求 |B |，|B −1+E |，其中 B −1是 B 的逆矩阵，E 是 3 阶单位矩阵. 解：A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−20−1−3λ−1−1−40λ−5|=(λ−6)(λ−1)2,则 A 的特征值为 λ1=λ2=1, λ3=6； B 与 A 相似，则 B 的特征值也是 1,1,6；从而{B −1的特征值为 1,1, 16B −1+E 的特征值为 1+1,1+1, 1 6+1，即2, 2,76于是 {|B |=1∙1∙6=6|B −1+E |=2∙2∙ 7 6=14 3 四、证明题设 α1,α2,α3 是 n 阶方阵 A 的3个特征向量，且它们对应的特征值互不相等，若β=α1+α2+α3，证明：β,Aβ,A 2β线性无关. 证：β=α1+α2+α3，Aβ=A (α1+α2+α3)=λ1α1+λ2α2+λ3α3，A 2β=AAβ=A (λ1α1+λ2α2+λ3α3)=λ12α1+λ22α2+λ32α3；于是 (β, Aβ,A 2β)=(α1,α2,α3)(1λ1λ121λ2λ221λ3λ32)=(α1,α2,α3)C ，其中：矩阵 C=(1λ1λ121λ2λ221λ3λ32)，因为 λ1≠λ2≠λ3，则 |C |=|1λ1λ121λ2λ221λ3λ32|=(λ2−λ1)(λ3−λ1)(λ3−λ2)≠0⟹C 可逆，于是，秩{β, Aβ,A 2β}= 秩(β, Aβ,A 2β)= 秩((α1,α2,α3)C ) = 秩(α1,α2,α3)=秩{α1,α2,α3}=3⟹β, Aβ,A2β 线性无关.五、解方程组讨论 a,b 取何值时,线性方程组{x2+2x3−2x4=−1x1+x2+2x3−x4=1x2+(a+1)x3+bx4=b−2x1+x2+2x3+(b−2)x4=b+3无解、有无穷多解、有唯一解, 并且在有无穷多解时写出方程组的一般解. 解：方程组的增广矩阵(A,d)=(012−2112−101a+1b112b−2|−11b−2b+3)r1↔r2 ⇒(112−1012−201a+1b112b−2|1−1b−2b+3)r4−r1r1−r2⇒r3−r2(1001012−200a−1b+2000b−1|2−1b−1b+2)r3−r4 ⇒ (1001012−200a−13000b−1|2−1−3b+2)=(U1,d′)Ax=d 与 U1x=d′为同解方程组：(1)当|U1|=(a−1)(b−1)≠0，即 a≠1 且 b≠1 时，原方程组有唯一解；(2)当 b=1 时，增广矩阵(A,d)初等行变换⇒(1001012−200a−130000|2−1−33)则原方程组无解；(3)当 a=1 且 b≠1 时，增广矩阵(A,d)初等行变换⇒(1001012−200010000|2−1−12b+1)①当 2b +1≠0，即 b ≠− 12 时，则原方程组无解；②当 2b +1=0，即 b =− 12时，增广矩阵(A,d )初等行变换⇒ (100012000010000| 3−3−10)=(U 2,d ′′) 取 x 3 为自由未知量，1)令 x 3=0，代入 U 2x =d ′′，得原方程组的一个特解 x 0=(3,−3,0,−1)T ； 2)令 x 3=1，代入 U 2x =0，得 Ax =0 的一个基础解系 ξ=(0,−2,1,0)T ； 则原方程组的通解为 x =x 0+kξ=(3−30−1)+k (0−210)，k 任意；综上，{当 a ≠1 且 b ≠1 时，方程组有唯一解；当 b =1或 a =1且 b ≠− 12 时，方程组无解；当 a =1且 b =− 1 2时，方程组有无穷多解.六、化二次型为标准型已知二次型 f (x 1,x 2,x 3)=x 12+x 22+x 32−6x 1x 2−6x 1x 3−6x 2x 3，利用正交变换法, 将二次型 f (x 1,x 2,x 3)化为标准型, 并写出相应的正交矩阵. 解：二次型对应的矩阵 A =(1−3−3−31−3−3−31) A 的特征多项式 |λI −A |=|λ−1333λ−1333λ−1|=(λ−4)2(λ+5)则 A 的特征值为 λ1=λ2=4，λ3=−5； ①对于 λ1=λ2=4，由(λ1I −A)x =0，即 (333333333)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系 {ξ1=(−1,1,0)Tξ2=(−1,0,1)T ， 1)正交化：取 β1=ξ1=(−1,1,0)T ，令 β2=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1) β1=(− 1 2,− 12,1)T ，2)单位化：令 η1=1‖β1‖β1=(−1√2,1√2,0)T ；η2=1‖β2‖β2=(−1√6,−1√62√6)T；②对于特征值 λ3=−5，由(λ3I −A)x =0，即 (−6333−6333−6)(x 1x 2x 3)=0，得基础解系为 ξ3=(1,1,1)T ，单位化得：η3=1‖ξ3‖ξ3=(1√31√3,1√3)T；③记矩阵 Q =(η1,η2,η3)=(√2√6√3√2√6√30√6√3)，则 Q 为正交阵，且使得 Q TAQ =Q −1AQ =Λ=(44−5)④令 x =(x 1,x 2,x 3)T ，y =(y 1,y 2,y 3)T ，做正交变换 x =Qy ，原二次型就化成标准形 x T Ax =y T (Q T AQ )y =4y 12+4y 22−5y 32.。
中国海洋大学 数学物理方程答案{其中一套试题}
本人能力有限，仅供参考，不保证全对一、1、线性偏微分方程2、线性偏微分方程3、非线性偏微分方程4、非线性偏微分方程二、1、201∆=-⨯=-0y yy<双曲型0y=抛物型y>椭圆型02、222∆=-=抛物型()0xy x y3、22∆=-++⨯=>双曲型(cos)(3sin)140x x4、2222200∆=-=-<椭圆型x y x y三、见第二章第二节“三、相关概念”四、五、定解问题222,0,0(,0)(),0(,)(0,)0,0,0u ua x l t t x u x x x l u l t u t t x ϕ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪∂⎪==>∂⎪⎩下面用分离变量法求解 令(,)()()u x t X x T t =，则`2``XT a X T = （1）(0,)(0)()0u t X T t == （2）`(,)()()0u l t X l T t x∂==∂ （3） ```2T X a T Xλ==- （4） ``0X X λ+= （5）当20λβ=-<时 x x X Ae Be ββ-=+ 代入（2）（3）得0A B ==无意义 当0λ=时 X A x B =+代入（2）（3）得0A B ==无意义 当20λβ=> sin cos X A x B x ββ=+代入（2）（3）得0B = cos 0A x β= （6）0A ≠则cos 0l β=得21,0,1,2,2n n n lβπ+== （7） 221,0,1,2,2n n n l λπ+⎛⎫== ⎪⎝⎭（8）21sin,0,1,2,2n n n X A x n lπ+== （9） `20T a T λ+= （10）将（8）代入（10）得2`22102nn n T a T l π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭（11）22212n a t l n n T B eπ+⎛⎫- ⎪⎝⎭= （12）故22222121222121sinsin22n n a t a t l l n n n n n n n n u X T A B ex C e x llππππ++⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=== （13） 222120021sin2n a t l n n n n n u u C ex lππ+⎛⎫∞∞- ⎪⎝⎭==+==∑∑ （14） 021(,0)sin()2n n n u x C x x lπϕ∞=+==∑ （15） 故方程的解为22212021sin2n a t l n n n n n u u C ex lππ+⎛⎫∞∞- ⎪⎝⎭==+==∑∑，其中nC 满足方程21sin()2n n n C x x lπϕ∞=+=∑。
中国海洋大学 大学物理3 期末考试试题和答案aa
３分
cos
cos
c
ac di
a
vB d l cos
xc
xB
dx
0 cos
sin
1 2
Bxc2
tg
2分
方向为 a→c．
2分
四．简答题（共３０分）
1. 答：(1) E d l 在数值上表示单位正电荷在电场中沿着 L 路径移动时，电场力对 L
它做的功．
３分
(2) 对静电场情形，它的数值与 L 的具体路径无关，而只与 L 的始末位置有
关，它等于始、末两点间的电势差．
2分
这表示静电场是保守力场，即有势场．
1分
2. 答：公式 B 0 I /(2R) 只对忽略导线粗细的理想线电流适用，当 a→0， 导线的
尺寸不能忽略. 此电流就不能称为线电流，此公式不适用.
６分
3. 答：对 c 不能使用安培环路定理。
３分
安培环路定理只适用于稳恒电流，这就要求载流导线或闭合，或伸
2. / 0 4. 30 I
4l 0 I 2r 2 /(82 R4 )
垂直 OP 连线向下
（ 4 分）
（ 4 分） (2 分) (2 分)
E0 0; (r R);
(1分）
E1
q
4 0 r1r 2
;(R
r
R
d )；
E2
q
40r 2
; (r
R d )；
(1分） (1分）
V0
q 4 0 r1
1 R
R
1
d
4 0
q
R
d
, (r
R)
（1分）
V1
q 4 0 r1
1 r
大学海洋科学专业《大学物理（下册）》月考试卷A卷 含答案
大学海洋科学专业《大学物理（下册）》月考试卷A卷含答案姓名：______ 班级：______ 学号：______考试须知：1、考试时间：120分钟，本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）1、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为：（）。
①②③④试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的．将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。
(1) 变化的磁场一定伴随有电场；__________________(2) 磁感线是无头无尾的；________________________(3) 电荷总伴随有电场．__________________________2、一质点作半径为0.1m的圆周运动，其运动方程为：（SI），则其切向加速度为＝_____________。
3、一弹簧振子系统具有1.OJ的振动能量，0.10m的振幅和1.0m／s的最大速率，则弹簧的倔强系数为_______，振子的振动频率为_______。
4、如图所示，一静止的均匀细棒，长为、质量为，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴在水平面内转动，转动惯量为。
一质量为、速率为的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度应为______。
5、若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度为_______________，若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的电场强度分布为 _______________。
6、已知质点的运动方程为，式中r的单位为m，t的单位为s。
则质点的运动轨迹方程，由t=0到t=2s内质点的位移矢量______m。
7、一个力F作用在质量为 1.0 kg的质点上，使之沿x轴运动．已知在此力作用下质点的运动学方程为 (SI)．在0到4 s的时间间隔内， (1) 力F的冲量大小I =__________________． (2) 力F对质点所作的功W =________________。
中国海洋大学最全历年物理3(下)真题
N D P C +q M -q O a b c d a b c d a bc d v v v ⅠⅢⅡ I2005-2006学年第 1 学期 试题名称 ：大学物理III （下） 共6页 第1页专业年级： 学号 姓名 授课教师名 分数（请将计算题的答案写在答题纸上，其余直接作在试卷上） 一、选择题（共27分，每题3分）1、在边长为a 的正方体中心处放置一点电荷Q ，设无穷远处为电势零点，则在正方体顶角处的电势为：(A)aQ 034επ ．(B) a Q032επ．(C) a Q 06επ． (D) aQ012επ ． ［ ］2、如图所示，直线MN 长为2l ，弧OCD 是以N 点为中心，l 为半径的半圆弧，N 点有正电荷＋q ，M 点有负电荷-q ．今将一试验电荷＋q 0从O 点出发沿路径OCDP 移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功(A) A ＜0 , 且为有限常量． (B) A ＞0 ,且为有限常量．(C) A ＝∞． (D) A ＝0． ［ ］ 3、一块铜板垂直于磁场方向放在磁感强度正在增大的磁场中时，铜板中出现的涡流(感应电流)将(A) 加速铜板中磁场的增加． (B) 减缓铜板中磁场的增加．(C) 对磁场不起作用． (D) 使铜板中磁场反向． ［ ］4、在无限长的载流直导线附近放置一矩形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈中两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作如图所示的三种不同方向的平动时，线圈中的感应电流(A) 以情况Ⅰ中为最大． (B) 以情况Ⅱ中为最大． (C) 以情况Ⅲ中为最大．(D) 在情况Ⅰ和Ⅱ中相同． ［ ］a a ′b b ′ a a ′ b b ′ 图(1) 图(2)B O2005-2006学年第 1 学期 试题名称 ：大学物理III （下） 共 6 页 第2页5、一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为(A) λ / 4 ． (B) λ / (4n )．(C) λ / 2 ． (D) λ / (2n )． ［ ］6、在双缝干涉实验中，用单色自然光，在屏上形成干涉条纹．若在两缝后放一个偏振片，则 (A) 干涉条纹的间距不变，但明纹的亮度加强． (B) 干涉条纹的间距不变，但明纹的亮度减弱． (C) 干涉条纹的间距变窄，且明纹的亮度减弱．(D) 无干涉条纹． ［ ］7、磁介质有三种，用相对磁导率μr 表征它们各自的特性时， (A) 顺磁质μr >0，抗磁质μr <0，铁磁质μr >>1． (B) 顺磁质μr >1，抗磁质μr =1，铁磁质μr >>1． (C) 顺磁质μr >1，抗磁质μr <1，铁磁质μr >>1．(D) 顺磁质μr <0，抗磁质μr <1，铁磁质μr >0． ［ ］8、圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B的方向垂直盘面向上．当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，(A) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向流动．(B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动．(C) 铜盘上产生涡流．(D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高．(E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高． ［ ］9、在一中空圆柱面上绕有两个完全相同的线圈aa ′和bb ′，当线圈aa ′和bb ′如图(1)绕制及联结时，ab 间自感系数为L 1；如图(2)彼此重叠绕制及联结时，ab 间自感系数为L 2．则(A) L 1 = L 2 =0． (B) L 1 = L 2 ≠ 0．(C) L 1 = 0，L 2 ≠ 0．(D) L 1 ≠ 0，L 2 = 0． ［ ］中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸（附页）2005-2006学年第 1 学期 试题名称 ：大学物理III （下） 共6页 第3页二、填空题（共33分，每题3分）1、在国际单位制中，磁场强度的单位是__________．磁感强度的单位是______，用H B ⋅21表示的单位体积内储存的磁能的单位是__________．2、如右图，单色平行光垂直入射到双缝上．观察屏上P 点到两缝的距离分别为r 1和r 2．设双缝和屏之间充满折射率为n 的媒质，则P 点处二相干光线的光程差为________________．3、在单缝的夫琅禾费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应于单缝处波面可划分为_________________ 个半波带，若将缝宽缩小一半，原来第三级暗纹处将是____________纹．4、一无铁芯的长直螺线管，在保持其半径和总匝数不变的情况下，把螺线管拉长一些，则它的自感系数将____________________．5、图示一充电后的平行板电容器，A 板带正电，B 板带负电．当将开关K 合上放电时，AB 板之间的电场方向为________________，位移电流的方向为____________________(按图上所标x 轴正方向来回答) .6、如图，有一N 匝载流为I 的平面线圈(密绕)，其面积为S ，则在图示均匀磁场B的作用下，线圈所受到的磁力矩为______________．线圈法向矢量n将转向________________．7、一金属球壳的内、外半径分别为R 1和R 2，带电荷为Q ．在球心处有一电荷为q 的点电荷，则球壳内表面上的电荷面密度σ =______________．pd r 1r 2S 2S 1nRK x A BI O zy xBnS 1 S 2 S 3+q -q2005-2006学年第 1 学期 试题名称 ：大学物理III （下） 共6页 第4页8、如图所示，一半径为r 的很小的金属圆环，在初始时刻与一半径为a (a >>r )的大金属圆环共面且同心．在大圆环中通以恒定的电流I ，方向如图．如果小圆环以匀角速度ω绕其任一方向的直径转动，并设小圆环的电阻为R ，则任一时刻t 通过小圆环的磁通量Φ ＝______________________．小圆环中的感应电流i ＝______________________________．9、三个平行的“无限大”均匀带电平面，其电荷面密度都是＋σ，如图所示，则A 、B 、C 、D 三个区域的电场强度分别为： E A ＝_________________，E B ＝_____________，E C ＝_______________，E D =_________________(设方向向右为正)．10、在点电荷＋q 和－q 的静电场中，作出如图所示的三个闭合面S 1、S 2、S 3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别是： Φ1＝________，Φ2＝___________，Φ3＝__________．11、一个密绕的细长螺线管，每厘米长度上绕有10匝细导线，螺线管的横截面积为10 cm 2．当在螺线管中通入10 A 的电流时，它的横截面上的磁通量为_________________________．(真空磁导率μ0 =4π³10-7 T ²m/A)ωa rI +σ +σ +σ A B C DOS 1 S 2 n 2 n 1r 1 r 2 d2005-2006学年第 1 学期 试题名称 ：大学物理III （下） 共6页 第5页三、计算题（共30分）（请将计算题的答案写在答题纸上）1、在一半径R =1.0 cm 的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有横截面上均匀分布的电流I = 5.0 A 通过．试求圆柱轴线任一点的磁感强度．(μ0 =4π³10-7 N/A 2) （本题6分）2、用波长为589.3 nm (1 nm = 10-9 m)的钠黄光垂直入射在每毫米有500 条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角. （本题6分）3、在图示的双缝干涉实验中，若用薄玻璃片(折射率n 1＝1.4)覆盖缝S 1，用同样厚度的玻璃片(但折射率n 2＝1.7)覆盖缝S 2，将使原来未放玻璃时屏上的中央明条纹处O 变为第五级明纹．设单色光波长λ＝480 nm(1nm=109m )，求玻璃片的厚度d (可认为光线垂直穿过玻璃片)．（本题7分）4、磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R 的圆柱形空间，一金属杆放在图中位置，杆长为2R ，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当tBd d ＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向．（本题6分）5、当电子的德布罗意波长与可见光波长( λ =5500 Å)相同时，求它的动能是多少电子伏特？(电子质量m e =9.11³10-31 kg ，普朗克常量h =6.63³10-34 J ²s, 1 eV =1.60³10-19 J) （本题5分）2005-2006学年第 1 学期试题名称：大学物理III（下）共6页第6 页四、简答题（共10分，每题5分）1、已知铂的逸出电势为8 V，今用波长为300 nm (1 nm = 10-9 m)的紫外光照射，问能否产生光电效应？为什么？2、某单色光从空气射入水中，其频率、波速、波长是否变化?怎样变化?学年第 2学期 试题名称 ： 大学物理III2-A 共 2 页 第1页专业年级： 学号 姓名 授课教师名 分数题1：如图，半径为R 的圆柱形空间内分布有沿圆柱轴线方向的均匀磁场，磁场方向垂直纸面向里，其变化率为dtdB 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
an l
t
Bn
sin
an l
t
2 A n
2
(1) n1
sint
( an l
)2
2
由始值，得 An 0
Bn
1 an
{(1) n
2 A n
(1) n1 n ((an
2 A 3l 2 )2 2l
2
} )
(1)n 2Aal (an )2 2l 2
ex2 eipx dx
( x2 ip x)
e
dx
=
e
( x
ip 2
)2
p2 4
dx
e
p2 4
e u2 du
=
1
p2
e 4
ev2 dv
p2
e
4
（柯西定理）
（4）将方程 u xx 2 cos xu xy (3 sin 2 x)u yy yu y 0 化为标准形式。
limv(x, y, z) = 0
r
可得在 R 上有 v R v(M ) 。因此调和函数 v 在 R 的边界 及 R 上都取不到最大值， 这与极值原理矛盾，因此 v 只能恒等于零。 （2）波动方程 utt = a 2 (u xx u yy ) f 取初始条件
u(x, y,0) =(x, y) , ut (x, y,0) = (x, y) ，
v n
v
u n
dS
，取 u
是调和函数，而
取 v =ln 1 就可。 rM 0M
所以
v( x, t )
n1
{(a(n1))n22A(all)
2
sin
an l
t
(1)n1 2 A 2l 2 (an )2 (l)2
1 n
sint}sin
n l
x
2 Al
n1
(1) 2 (an )2 (l)2
{a sin
an l
t
2u 2
代入化简得
2u
32
( u
u )
0
三、计算题（20 分） （1）设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为
2u u(t02,
t)
a
2 2u x 2
0,
u ( x,0)
u t
( x,0)
x1 at x x2 at (t 0)
(2.21)
所限定，而在此范围外则不受影响，仍处于原先的状态。在 (x, t) 平面上，(2.21)式所
表示的区域(图 1.7)称为区间[x1, x2 ] 的影响区域
（3）求函数 ex2 ( 0) 的傅立叶变换；
解： F[ex2 ]
sin sin
x x
2x 2x
c1 c2
因此引变换
2x sin x y 2x sin x y
有
u x
u
(2
cos
x)
u
(2
cos
x)
2u x 2
(2 cos x)2
2u 2
2(4 cos2
x) 2u
(2 cos x)2
2u 2
sin
x
u
sin
x
u
u y
u
u
2u y 2
2u 2
2 2u
2u 2
2u xy
(2
cos
x)
2u 2
(2 cos
x)
2u
(2
cos
x)
五、综合题（24 分）
1. 假设初始函数(x) 满足(x) C1 ，(0) = 0 ， (l) h(l) = 0 。则当 t 趋于无穷
时， 初边值问题：
u t a 2uxx = 0 (t 0,0 x l) ，
（1）
u(x,0) =(x) ，
（2）
u(0,t) = 0 ，
（3）
(ux hu)(l,t) = 0 ， h 0的常数
（4）
的唯一的经典解指数衰减地趋于零，确切地说，当 t 时，对一切 x [0, l]
u(x, t) Ce a21t 0 ,
其中 C 为一个与解无关的正常数。
证 由前面的讨论，唯一的经典解由(5.1)式给出。由(5.2)、(5.3)可知，对一切 k ，
x sint sin
n l
xdx
2 A 2 l2
sin t
l n
x cos
n l
x
l2 n 2 2
sin
n l
x
l
0
2 A 2 n
(1)n1 sin t
A l
x
n sin
n1
n l
x
其中
n
2 l
l 0
A 2 l
x sin
解：因 cos2 x (3 sin 2 x) 4 0 为双曲型.特征方程为
(
dy dx
)2
2 cos
x
dy dx
(3
sin 2
x)
0
解之得
dy dx
cos x
2
y y
sin sin
x x
2x 2x
c1 c2
y y
l n
sint}sin
n l
x
因此所求解为
u( x, t )
A l
x sint
2Al
n1
(1) 2 (an )2 (l)2
{a sin
an l
t
l nt
sint}sin
n l
x
（2）用延拓法求解半有界直线上热传导方程
2u t
a2
2u x2
,假设
Ak C1 ,
(5.6)
其中 C1 为仅与 的最大模有关的常数。由 k 所满足的估计式可知，当 k 时，
k = O(k 2 ) ，故有 k2 k
1 1
。另一方面，由指数函数的性质可知， 当 t
1时
，
对一切 k 2 成立
(k
)e a2 (k 1 )t 1
，则调和函数 v 满足 v
=
0
及
limv(x, y, z) = 0 .
r
如果 v 不恒等于零，则一定存在一点 M ，使 v(M ) 0 ，不妨假设 v(M ) 0 。以 R 表
示半径为 R 的球面，当 R 取得足够大，可使 M 点落在由 及 R 所围成的A n
(1) n
将(2)代入问题(1)，得 Tn
(t)
满足
Tn(t
)
an l
Tn (0) 0,
2
Tn
(t
)
2 A n
2
(1) n1
Tn(0)
2 A n
(1) n
sin t
解方程，得通解 Tn
(t)
An
cos
2v v(t02,
t)
a2
2v x 2
0,
A l
v(l , t )
2
x sint 0
(1)
v(x,0) 0
v t
( x,0)
A l
x
v(x, t) 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为
X n (x)
sin
n l
x ，(n
0,1,2)
故设
k 2
)e a2 (k 1 )t 1
k
1
)e a21t
1
C1 (1 C2
k 2
k
1
)e a21t
1
Ce a21t
(5.8)
证毕。 2. 导出二维调和函数的积分表达式
证：利用格林第二公式
(uv vu)d =
u
区域中的数值就完全由区间[x1, x2 ] 上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关。
这个区域就成为区间[x1, x2 ] 的决定区域；
如果在初始时刻 t 0 ，初始资料(x) 与 (x) 的值在区间[x1, x2 ] 上有变动（称为初始
扰动）。那么，经过时间 t 后，该扰动所传到的范围（受初始扰动影响到得范围）就由 不等式
立即可以得出，如果 t=0 时，
u(
x,
y,0)
=
u t
(
x,
y,0)
=
0
就有 E1(0 ) = 0 ，从而 E1( t ) 也只能等于零，因此 u t = u x = u y 0 ，即 u 常数。再
根据初始条件 u 在锥体内的连续性得出 u 0 。这样就证明了柯西问题解的唯一性。
u(x, 0) (x) (0 x )