数学物理方程 答案 谷超豪
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程
其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x
x
t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ
令
0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于
其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得
22)(t u x ??ρ=))((x
u x E x ????
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为
(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x
u
x E t l T ??=)
(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为
x
u
??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为
x
u
??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的
偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有
x
u
E
??∣)](),([t v t l u k l x --==
其中k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
)(
u x u σ+??∣)(t f l x == 其中E
k =σ 特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件
)(
u x
u
σ+??∣0==l x 。 同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件
x u
E
??∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u x
u
σ-??∣).(0t f x -=
3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t
u h x x u h x x E ??-=??-??ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：
所以截面积2
)1()(h
x x s -=π。利用第1题，得 若E x E =)(为常量，则得
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为
且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角
又 .
sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程
x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x
u
x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2
2x u
x l x g t
u ??-??=??。 5. 验证 2
221),,(y x t t y x u --=
在锥2
22y x t -->0中都满足波动方程
222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y
x t t y x u --=在锥2
22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t
u
?---=??-
23
222)(
同理
()()
22225
2222
22y x t y x t y
u +---=??-
所以
()()
.22
22
2225222222
2t
u y x t y x t y
u x
u ??=++--=??+
??- 即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.
解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段()x x x ?+,上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为t
u
b
??-,故()x x x ?+,上所受摩阻力为 ()()t
u
x
x s x p b ?????-
运动方程为:
利用微分中值定理，消去x ?,再令0→?x 得 若=)(x s 常数，则得
若 ()()则得方程
令也是常量是常量,.,2
ρ
ρρE
a E x E x =
==
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
1. 证明方程 的通解可以写成
其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
解：令()v u x h =-则
又 ()2222t
v
t u x h ??=??-
代入原方程，得
即 2222
21t
v a x v ??=?? 由波动方程通解表达式得
所以 ()()()
x h at x G at x F u -++-=
为原方程的通解。 由初始条件得
所以 ()()()())2(1
c
d h a x G x F x
x +-=-?ααψα
由)2(),1(两式解出
所以 )]()()()[()
(21
),(at x at x h at x at x h x h t x u +--+-+--=
??
+
?+---at x at x h x h a ()()
(21
ψα.)ααd 即为初值问题的解散。
２．问初始条件)(x ?与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？
解：波动方程的通解为
u=F(x-at)+G(x+at)
其中F ，G 由初始条件)(x ?与)(x ψ决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何t x ,
有 G(x+at)≡常数.
即对任何x, G(x)≡C 0 又 G （x ）=?-
+x x a
C
d a x 02)(21)(21ααψ? 所以)(),(x x ψ?应满足
+)(x ??=x
x C d a 01)(1ααψ（常数）
或 '
?(x)+)(1x a
ψ=0
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2
(x ψ-G(0).
G （x ）=)2
(x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=(
?)2at x ++)2
(at
x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题 证明：
（1） 如果初始条件在x 轴的区间[x 1,x 2]上发生变化，那末对应的解在区间[1x ，
2x ]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在x 轴区间[2,1x x ]上所给的初始条件唯一地确定区间[21,x x ]的决定区 域中解的数值。 证：（1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)=?+-+
++-at
x at x a
at x at x 21)]()([21??+ααψd )( +??-+--t
t a x t a x d d f a 0
)()(.),(21τττξτξ
当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐
次方程初值的解。
当),(x ?)(x ψ在[2,1x x ]上发生变化，若对任何t>0,有x+at
(2). 区间[21,x x ]的决定区域为 at x x at x t -≤≤+>21,0 在其中任给（x,t ）,则
故区间[x-at,x+at]完全落在区间[21,x x ]中。因此[21,x x ]上所给的初绐 条件)(),(x x βψ?代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。
5. 若电报方程
()为常数G R L C ,,,具体形如
的解（称为阻碍尼波），问此时G R L C ,,,之间应成立什么关系？
解
()()()at x f t t x u -=μ,
代入方程，得
由于f 是任意函数，故f f f ''',,的系数必需恒为零。即 于是得
21a
CL =
所以
()()t LG CR a e c t u +-
=2
02
代入以上方程组中最后一个方程，得 又 ()GRCL LG CR CL a =+=
2
24
1,1得 即
()02
=-LG CR
最后得到
R
G L C =
6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题 解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：
()()()()()?+-+-++=at
x at
x d a at x at x t x u ααψ??21
21,。
由题意知()()x x ψ?,仅在∞< 拓到0<<∞-x 上，为此利用边值条件，得 ()()()()?-++=at at d at at ααψ??21 0。 因此对任何t 必须有 即()()x x ψ?,必须接奇函数开拓到0<<∞-x 上，记开拓后的函数为()()x x ψΦ,； 所以 ()()()()()?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ααψ??21 21, ()()()()()()()()??? ??? ?>> +--+><+-++=??+-+-0,, 2121 0,,21 21x a x t d a x at at x x a x t d a at x at x at x x at at x at x ααψ??ααψ??。 7．求方程??? ? ????+??+??=??222222 222z u y u x u a t u 形如()t r f u ,=的解（称为球面波）其中222z y x r ++=。 解： ()t r f u ,= ` ???? ??-??+???=??322222221r x r r u r x r u x u 代入原方程，得 即 )2(2 2 222r u r r u a t u ??++??=?? 令 v ru =，则 代入方程，得?v 满足 故得通解 )()(),(at r G at r F t r v ++-= 所以 )()([1 at r G at r F r u ++-= 8．求解波动方程的初值问题 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 =?----+---+-t d t x t x t x t x 0 ))](cos())([cos(21 )]cos()[cos(21ττττ =? -+t d t x t x 0 )sin(sin sin sin τττ =t t t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。 9．求解波动方程的初值问题。 解： ???-+--+- +++=t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0) () (222)1(1121),(τττξξξτ αα =?-++--++t d t a x t a x 02 2]))((1)((1[ 21τττ ττ =??-++-+++---x at x x at x du u a u at x du u a u at x )1(21)1(212 222 =???+--++++++--at x at x x at x x at x u du a t u du za t du u u x a 2222 121121 =22 22) (1)(1ln 41))()((2at x at x a at x arctg at x arctg a x -+++++-- + )]()(2[2at x arctg at x arctg arctgx a t +--- =)()(21)()(2122at x arctg at x a at x arctg at x a ++--- +222) (1)(1ln 41at x at x a arctgx a t -++++ 所以 ? §3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1) 解：边界条件齐次的且是第一类的，令 得固有函数x l n x X n π sin )(=，且 t l an B t l an A t T n n n π πsin cos )(+=，)2,1(Λ=n 于是 ∑∞ =+= 1 sin )sin cos (),(n n n x l n t l an B t l an A t x u π ππ 今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n 因此所求解为 (2) ??? ? ? ????=??==??==??-??0)0,(,)0,(0),(0 ),0(022 222x t u x l h x u t l t u t u x u a t u 解：边界条件齐次的，令 得：? ??='==+''0)(,0)0(0l X X X X λ (1) 及 )2(0 2 =+''X a T λ。 求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 ο1 0<λ时，方程的通解为 由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=----- -l l e C e C λλλλ 解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。 ο2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+= 由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。 ο30>λ时，方程的通解为 由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得 为了使02≠c ，必须 0cos =l λ，于是 且相应地得到x l n x X n π21 2sin )(+= )2,1,0(Λ=n 将λ代入方程(2)，解得 于是 ∑∞ =++++=0 21 2sin )212sin 212cos (),(n n n x l n t a l n B t a l n A t x u πππ 再由始值得 容易验证? ?? ??? +x l n π212sin )2,1,0(Λ=n 构成区间],0[l 上的正交函数系： 利用? ?? ??? +x l n π212sin 正交性，得 所以 ∑∞ =+++-=02 221 2sin 212cos )12()1(8),(n n x l n t a l n n h t x u πππ 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 ??? ????=??===??=??0)0,()0,(sin ),(, 0),0(2 2 222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取t x l A t x U ωsin ),(=，则),(t x U 满足 0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(= 令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足 ),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x l n x X n π sin )(=，)2,1,0(Λ=n 故设 )2(sin )(),(1 ∑∞ == n n x l n t T t x v π 将方程中非齐次项t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按? ?? ? ??x l n π sin 展成级数，得 其中 ?=l n xdx l n t x l A l t f 02sin sin 2)(π ωω 其中 n l n n A xdx l n x l A l )1(2sin 202-=-=?πωπωψ 将(2)代入问题(1)，得)(t T n 满足??? ??? ?-='=-= ?? ? ??+''+n n n n n n n A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(12 2 π ω ωπωπ 解方程，得通解2212)(sin )1(2sin cos )(?π?π?ππ-?-++=+l an t n A t l an B t l an A t T n n n n 由始值，得0=n A 所以 ∑∞ =--=12 2sin ) ()(2)1({),(n n t l an l an al A t x v π ?π? 因此所求解为 3．用分离变量法求下面问题的解 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 设 ∑∞ == 1 sin )(),(n n x l n t T t x u π 将非次项bshx 按}{sin x l n π 展开级数，得 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n l n πππ2)1(sin 2)(2221 0+-==+? 将 ∑∞ == 1 sin )(),(n n x l n t T t x u π 代入原定解问题，得)(t T n 满足 方程的通解为 由0)0(=n T ，得：shl l n bn an l A n n 12222)1(2)(+-+-=ππ π 由0)0(='n T ，得0=n B 所以 )cos 1()1(2)1( )(12222t l an shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为 4．用分离变量法求下面问题的解： 解：方程和边界条件都是齐次的。令 代入方程及边界条件，得 由此得边值问题 因此得固有值2 ?? ? ??==l n n πλλ，相应的固有函数为 又)(t T 满足方程 将n λλ=代入，相应的)(t T 记作)(t T n ，得)(t T n 满足 一般言之，b 很小，即阻尼很小，故通常有 故得通解 )sin cos ()(t B t A e t T n n n n bt n ωω+=- 其中 2 2 b l an n -?? ? ??=πω 所以 再由始值，得 ??? ????+-==∑∑∞ =∞=x l n B bA x l n A x l h n n n n n n πωπsin )(0sin 11 所以 所求解为 §4 高维波动方程的柯西问题 1． 利用泊松公式求解波动方程 的柯西问题 ?????=+===0 0230t t t u z y x u 解：泊松公式 现 z y x 2 3 ,0+==φψ 且 ????=Φ=Φ ππ ?θθ?θ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M at 其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r +++Φ=Φ 计算 ??Φππ ?θθ?θ020 sin ),,(d d r r 所以 u(x,y,z)= ??Φ ???Sat M r a t π41 即为所求的解。 2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程的柯西问题 当u 不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题： 利用泊松公式求解 因只与z 有关，故 令α= atcos +z ,α d = d atsin - 得 ???+-=Sat M at z at z d ds r αα?π? )(2 所以 即为达郎贝尔公式。 3. 求解平面波动方程的柯西问题： 解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得： 又 ()()()θθθθ?sin cos cos sin ,cos 2 r r y x r x r y r x ++++=++ 因为 ???===π πππθθθθθθ20 2 20 20 cos ,0sin ,0cos d d d 所以 () ?? -++at rdrd r t a r y r x 0202 2 2sin ,cos θθθ?π 又 ? =--=-at at at r t a r t a rdr 0 02222 22| 于是 ()()()?? ? ??+++??=y x a y x ax t a t y x u 332221,,332 πππ 即为所求的解。 4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如()t r u u ,=的解， )22y x r +=. 解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式 由于u 是轴对称的(),,t r u u =故其始值?,ψ只是r 的函数，()r u t ?===0|，, ()()().,|222 2 0t a y x r u m at t t ≤-+-=∑=ηζψ为圆又记圆上任一点()ηζ,p 的矢径为ρ 22ηζρ+=圆心),(y x M 其矢径为22y x r +=记()()22y x s -+-= ηζ则由余弦 定理知，θρcos 22 22rs s r -+=，其中θ为oM 与Mp 的夹角。选极坐标),(θs 。 于是以上公式可写成 由上式右端容易看出，积分结果和),(t r 有关，因此所得的解为轴对称解，即 + ])(cos 2(020 2 2 22θθ ψπ sdsd s at r s r at ?? --+ 解法二：作变换θcos r x =,θsin r y =.波动方程化为 用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得 解得： 令μλ=叠加得 5.求解下列柯西问题 [提示：在三维波动方程中，令),,(),,(t y x v e z y x u a cz =] 解：令 ),, (),,,(t y x v e t z y x u a cz = 则 yy a cz yy xx a cz xx tt a cz tt v e u v e u v e u = = = ,, 代入原问题，得 ?????==++===) ,(),,()(002y x e u y x e u u u u a u a cz t t a cz t zz yy xx tt ψ? 记+ M at S 为上半球，- M at S 为下半球， ∑ M at 为M at S 在ηξo 平面上的投影。 ηξηξd d y x t a at ds 2 222) ()(----= ,则 所以 +--??= ?? x r t a r a c t c ch e a t z y x u at a cz ()(21{),,(200 2 2 22 22?ππ 于是 +--?????=??x r t a r a c t c ch a t t y x v at ()(21),,(20022222 2?ππ 即为所求的解。 6．试用4?第七段中的方法导出平面齐次波动方程 在齐次初始条件 下的求解公式。 解：首先证明齐次化原理：若),,,(τt y x w 是定解问题 的解，则? =t d t y x w t y x u 0 ),,,(),,(ττ即为定解问题 的解。 显然，00 ==t u （ 0==τt w ）.所以 00 =??=t t u 又 ττd t w t w t u t t ???+??=??=0222 2 因为w 满足齐次方程，故u 满足 齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知 所以 即为所求的解。 所以 ???---++= t t a d rdrd r t a r y r x f a t y x u 0)(020222)() ,sin ,cos (21),,(τπτθττθθπ 7．用降维法来解决上面的问题 解：推迟势 其中积分是在以),,(z y x 为中心，at 为半径的球体中进行。它是柯西问题 的解。对于二维问题u ，f 皆与z 无关，故 其中M r s 为以)0,,(y x M 为中心r 为半径的球面，即 其中-+ M r M r s s ,分别表示M r s 的上半球面与下半球面，∑M r 表示M r s 在ηξo 平面上的投影。 所以 ??? ∑-----= at rM d d y x r a r t f a t y x u 02222 ) ()() ,,(21 ),,(ηξηξηξπ 在最外一层积分中，作变量置换，令τ=- a r t ，即),(τ-=t a r τad dr -=，当0=r 时t =τ，当at r =时，0=τ，得 即为所求，与6题结果一致。 8． 非齐次方程的柯西问题 解：由解的公式得 计算 ????? ++++=M t S r z r y r x ds r ππ θ?θ?θψ 020 2)]cos )(sin sin ()cos sin [( ??+++=?=?θ?θ? θθ00 2 222cos sin cos sin 2(sin r xr yz x d d r t r t r d d r r zr yr =+++? θθ?θθ?θθsin )sin cos sin sin sin cos 2??=ππ π?θθ020 ,4sin d d ??=ππ ?θ?θ020 2 0cos sin d d 所以 ?? ++=M t S t yz x t ds r 323 4 )(4ππψ 计算 ??? ???≤≤+-+=-t r t r d drd r r r t r y dV r r t f ?θθ?θζηξsin )sin sin (2),,,(2 ???+-+=t d drd r r t r y 0020 sin )sin sin (2ππ ?θθ?θ 所以 3232 3 1 31)(),,,(t yt t yz x t t z y x u -++ += 即为所求的解。 §5 能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性 1． 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程 证明其能量是减少的，并由此证明方程 的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。 证：ο 1 首先证明能量是减少。 能量 ? +=l x t dx u a u t E 0 2 22)()( 因弦的两端固定， ,0|,0|0====l x x u u 所以 于是 dx u a u u dt t dE xx tt l t )(2) (20 -=? 020 2 <-=? dx u c l t ()0>c Θ 因此，随着t 的增加，)(t E 是减少的。 . 2 证明混合问题解的唯一性 混合问题: 设21,u u 是以上问题的解。令,21u u u -=则u 满足 能量 dx u a u t E x t )()(2 20 2+=? 当,0=t 利用初始条件有,0|0==t t u 由,0|0==t u 得 所以 0)0(=E 又)(t E 是减少的，故当,0)0()(,0=≤>E t E t 又由)(t E 的表达式知,0)(≥t E 所以 由此得,0≡t u 及,0≡x u 于是得到 ≡u 常量 再由初始条件,0|0==t u 得,0≡u 因此,21u u ≡即混合问题解的唯一的。 3. 证明解关于初始条件的稳定性，即对任何,0.>ε可以找到,0>η只要初始条件之差 2121,ψψ??--满足 则始值),(11ψ?所对应的解1u 及)(22ψ?-所对应的解2u 之差21u u -满足 或 ε<-??T l dxdt u u 00 2 21)( 令 ? =l dx t x u t E 0 2 0),()( 即 )()((0t E e t E e dt d t t --≤ 积分得 ?-+≤t t t d E e e E e t E 0 00)()0()(τττ 又)0()(E E ≤τ,所以 ? -+≤t t t d e E e E e t E 0 000)0()0()(ττ 即 )0()1()()(00E e t E e t E t t -+≤ 记2121~,~ψψψ???-=-=，则2 1~u u u -=满足 则相对应地有 ? = l dx E 0 20~)0(? 故若 η?? ? ??=?2 1 02 ~~2 dx l L η? ? ? ??=?2 1 022 ~~dx l x L x 则 ()()( ) 222010,0ηηa E E +<< 于是 ()()()[]22 2 2 112εη <+-+>=a e e t E u t t L (对任何t) 即 ε<2L u 或 ()()[] / 2 1 022 1 00211εη ? ??+-+ T l dt a e e dxdt u ο4 解关于自由的稳定性 设()t x u ,1满足??? ??====+-=====ψ ?00 012|,|0|,0|t t t l x x t xx tt u u u u f cu u a u ()t x u ,2满足??? ??====+-=====ψ ?00 022|,0|,0|t t t l x x t xx tt u u u u f cu u a u 则21u u u -=满足()??? ??====-+-=====0 |,0|0|,0|00 0212t t t l x x t xx tt u u u u f f cu u a u 今建立有外力作用时的量不等式()21f f f -=记 =( ) d x u a u u l xx tt t ? -0 2 2 =( )() ?+-=+-l t xx tt t t f cu u a u dx f u cu 022 2Θ 其中()?= l dx f t F 0 2 ,故 又()00=E () 由始值, 所以 由ο 3中证明, 知 而()( )由始值000=E 故 因此, 当 ?? <= T l dxdt f K 00 2η,则 亦即当 η<-??T l dxdt f f 0 02 21) (， 则ε<-??T l dxdt u u 0 02 21) (。 即解关于自由项是稳定的。 2．证明如果函数),(t x f 在G ：l x ≤≤0，T t ≤≤0作微小改变时，方程 ),()(2 2t x f qu x u x k x t u +-?? ? ??????= ?? （0)(>x k ，0>q 和).(t x f 都是一些充分光滑的函数）满足固定端点边界条件的混合问题的解在G 内的改变也是很微小的。 证：只须证明，当f 很小时，则问题??? ??====+-=====0 |,0|0|,0|))((00 0t t t l x x x x tt u u u u f qu u x k u 的解u 也很小（按绝对 值）。 考虑能量 ? ++=l x t dx qu u x k u t E 0 2 22))(()( 由边界条件 0|0==x u ，0|==l x t u ，故0|0==x t u ，0|==l x l u 。 所 以 ????+≤?=+-=l l l t t l x x tt t dx f dx u dx t x f u dx qu u x k u u dt t dE 000 220),(2)))(((2) ( 又由于0)(>x k ，0>q ，故? ≤l t t E dx u 0 2 )(，即 或 ?--≤l t dx f e e t E dt d 21))(( 记 ?= l dx f t F 0 2 )( 得 ? -+≤l t t d F e e E t E 0 )()0()(τττ 由初始条件 0|0==t u ，0|0==t t u ， 又因 0|0==t u ，得0|0==t x u ，故0)0(=E ，即? -≤l t d F e t E 0 )()(τττ 若f 很小，即η 2 η ，故 ?=≤l l d t F 0 22)(ητη 即在].0[T 中任一时刻t ，当f 很小时，2 )(ε ? x dx u x k 02 2)(ε（对],0[T 中任一时刻t ）今对l x <<0，T t <<0， 估计),(t x u 。 因为 ?????≤??≤??=-l x x dx x u dx x u dx x u t u t x u 0 00),0(),(，应用布尼亚科夫斯基不等式， 可以得到 εK dx u x k dx x k dx x u x k x k dx x u l l l l x ???-0 02 1 0021 )()()()(1 其中 ?-=l dx x k K 12 )(（因0)(>x k 且充分光滑） 即 ε?≤-K t u t x u ),0(),( 又由边界条件 0).0(=t u ，得ε?≤K t x u ),( 即当 l x <<0，T t <<0，有),(t x u 很小，得证。 3．证明波动方程 的自由项f 中在)(2 K L 意义下作微小改变时，对应的柯西问题的解u 在)(2 K L 意义之下改变也是微小的。 证：研究过), ,(00a R y x 的特征锥K 令t t =截K ，得截面t Ω，在t Ω上研究能量： 其中t Γ为t Ω的边界曲线。再利用奥氏公式，得 因为第二项是非正的，故 所以 ??Ω +Ω≤Ωt dxdy f E d t dE t t 2)() ( 令 ?? Ω= t dxdy f t F 2)( 上式可写成 )())((t F e E e dt d t t t --≤Ω 即 ? -+Ω≤Ωt t t t d F e e E E 0 0)()()(τττ 即 ()()??? +Ω≤ΩK t t t dxdydt f e e E E 20 研究 ()()??Ω= Ωt dxdy t y x u E t ,,20 所以 ()()()? Ω+Ω≤Ω-t t t t d E e e E E 0 0000ττ 为证明柯西问题的解的关于自由项的稳定性，只须证明柯西问题 当()2 1 22?? ? ? ??=???K K L dxdydt f f “很小”时，则解u 的模()K L u 2也“很小” 此时，由始值00=-t t u ，而由于00==t u 得 所以 ()()0, 0000=Ω=ΩE E ，即 故任给0>ε，当()M f K L ε <2 2，则()ε 4．固定端点有界弦的自由振动可以分解成各种不同固有频率的驻波(谐 波)的迭加。试计算各个驻波的动能和位能，并证明弦振动的总能量等于各个驻波能量的迭加。这个物理性质对应的数学事实是什么？ 解：固定端点有界弦的自由振动，其解为 每一个n u 是一个驻波，将n u 的总能量记作n E ，位能记作n V ，动能记作n K ，则 xdx l n l n t l an B t l an A a dx u a V l n n l nx n ππππ22 2 02 22cos sin cos ?? ? ????? ? ? +==?? 总能量 ()()22 22n n n n n B A l an K V E += +=π 由此知n E 与t 无关，即能量守恒，()()0n n E t E =。 现在计算弦振动的总能量，由于自由振动能量守恒，故总能量()t E 亦满足守恒定律，即 最新数学物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 数学物理方程期末试卷sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题.(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进 入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2x l x -，试 写出其定解问题.(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 222200, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+= 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2 3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u 孝感学院 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’) 解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’) 数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :),(:),(:22222222==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:),(:2222==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。 （3）Laplace 方程： . 0(:0 :).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数 的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般 选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输 运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）, 而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的. 数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得： 21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x 竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程 不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 武汉大学2009 —2010 学年度第 一 学期 《数学物理方法》试卷（A ） 学院 专业 班 学号 姓名 分数 一．求解下列各题（10分×4=40分） 1．一条弦绳被张紧于点（0，0）与（1，0）两端之间，固定其两端，把它拉成x A πsin 的形状之后，由静止状态被释放而作自由振动。写出此物理问题的定解问题，并写出本征值和本征函数。 2．写出一维无界波动问题的达朗贝尔公式，利用达朗贝尔公式求解一维无界波动问题 ???????==>+∞<<-∞=-==x u x u t x u u t t t xx tt sin cos )0,(0200 并画出t =2时的波形。 3．定解问题???????==+==><<=-====2 ,sin 1,)0,0(000202t t t l x x xx tt u x u t u t u t l x u a u ，若要使边界条件齐次化，求其辅助函数，并写出边界条件齐次化后相应的定解问题。 4．计算积分?-=1 12)(dx x P x I l 二．（本题15分）用分离变量法求定解问题 ???? ?????===><<=-===x l u u u t l x Du u t l x x x x xx t π2cos 0 )0,0(000 三．（本题15分）有一内半径为a ，外半径为2a 的均匀球壳，其内、外表面的温度分 布分别保持为零和θcos ，试求此均匀球壳的稳定温度分布。 四．（本题15分）计算和证明下列各题： (1) （10分） dx x J x I ?=)(03 （将计算结果中的贝塞尔函数化为零阶和一阶的，因为工程上有零阶、一阶贝塞尔函数表可查。） (2) （5分）利用递推关系证明： )(1)()('0''02x J x x J x J -= 五.（本题15分）设有一长为l 的圆柱，其半径为R 。若圆柱的侧面及下底面（0=z ）接地，而上底面（l z =）保持电势分布为f (ρ)。1）写出该圆柱的电势分布的定解问题；2）本征值和本征值函数；3）定解问题的通解。 参考公式 . 书本个人总结： 由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。 而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。 而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法 第二章： 本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。 A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为： 第一步：分离变量 目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u = 结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 第二步：求解本征值问题 利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数： 第三步：求特解，并叠加出一般解 ? ??????====<<>??=??) ()0,(),()0,(,0),(),0(0 ,0 ,22222x x u x x u t L u t u L x t x u a t u t ψ?0 )(2 )(''=+t T a t T λ ,3,2,1 2)(==n l n n πλx l n πsin (x)X n =x l n at l n D at l n C t x u n n n πππsin )cos sin (),(1∑∞ =+= 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+= 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :) ,(:) ,(:22 2222 22==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:) ,(:2 2 2 2 ==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。 （3）Laplace 方程： . 0(:0 :) .程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。 例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0, ,022112 1222112 12 22112 12抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的. 成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===>< 2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）: 数学物理方程有感绝对牛 人写的 The document was prepared on January 2, 2021 书本个人总结： 由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。 而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。 而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法 第二章： 本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。 A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为： 第一步：分离变量 目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u = 结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方 程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 第二步：求解本征值问题 利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数： 第三步：求特解，并叠加出一般解 这样的特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 第四步：利用本征函数正交性定叠加系数 总结：通过以上例子我们可以得出分离变量的一般方法，总的来说可以分成四步： 一． 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。 二． 确定特征值和特征函数。由于特征值是要经过叠加的，所以用来确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界条件是齐次时，求特征函数就是求一个常分方程满足零边界条件的非零解。 三． 定出特征值和特征函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与特征函数乘起来成为Un(x,t). 四． 最后为了使解满足其余的定解条件，需要把U 叠加起来成为级数形式，叠加出一般解，再利用本征函数的正交性定叠加系数。 0)(2)(''=+t T a t T λ ,3,2,1 2)(==n l n n πλ 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 、长度为 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。 分 、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为 度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是 ()2 x l x -，试写出其定解问题。 分 、试用分离变量法求定解问题 分 ： ?????????===>< 222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 分 ： ???????==??=??=+=-). ()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（ 分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 、用积分变换法求解定解问题（ 分）： ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 、用积分变换法求解定解问题 分 ： 理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：2211 (,,,,,,)0n u u u F x u x x x ???=???L L 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线 性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 22111112221211 122222221112 22()2()()()2()A a a a x x y y A a a a x x x y x y y y A a a a x x y y ξξξξξηξηηξξη ηηηη ?????=++???????????????=+++?????????? ?????=++?????? 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 (,)z x y φ= (,)z x y ψ= 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=?? =? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关主部 数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -= 其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-?? 数学物理方程学习总结 四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。 数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。 本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。 作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。 无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)() () tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ?ψ==?=+∈>? =?? =? 解()()().() .0()1 11(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττ??ψξξατατ++----??=++-+ +??????? ???? 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 22222220001,,,,0(,,) (,,)t t u u u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞>? ????????? =????=??? 在球坐标变换 sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=?? =≤<+∞≤≤≤≤??=? L 21()1 () (,)44M M at r S S M M u M t dS dS a t r a r ?ψππ??''?=+??????????? 乙 (r=at) 221()1() (,)44M M at at S S M M u M t dS dS a t t a t ?ψππ??''?=+??????? ???? 乙无界三维空间自由振动的泊松公式 ()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θ?θ??πθπθ'=+?? '=+≤≤≤≤??'=+? L 2()sin dS at d d θθ?= 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 2222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ?ψ==??????=+-∞<<+∞>? ???????? ?? ==??? 22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ?????= +????????? ???? 傅立叶变换最新数学物理方程期末试卷
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