关于求直线斜率和倾斜角的公式
高中数学-直线斜率与倾斜角
法是正确的（ D, F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
直线的倾斜角
▪ 倾斜角的取值范围是
0。 180。
y
l
x o
▪ 坐标平面上的任何一条直线都有唯一 的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定 一条直线的方向.
▪ 倾斜角直观地表示直线对x轴正方向的 倾斜程度.
日常生活中表示倾斜程度的量？
日 常 生 活 中 ， 我 们 经 常用 “ 升 高 量 与 前 进 量 的比 ” 表 示 倾 斜 面 的 “ 坡 度 ”（ 倾 斜 程 度 ） ， 即
举例
例3 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，直
线l2⊥l1，求l1，l2 的斜率.
y
解：
l1的斜率k1
tan
1
tan
30。
3 3
l2
1
l2的倾斜角2 90。 30。 120。 O
l1
2 x
l
的斜
2
率k
2
tan
120。
tan( 180。
60。)
tan 60。 3
举例
例4 求过A（-2，0），B（-5，3）两 点的直线的倾斜角和斜率.
1且0。
。
180
45。
当k
1时 ，tan
1且0。
。
180
135。
所 求 直 线 的 倾 斜 角 为45。或135。
再见
y y
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
数学高一专题 倾斜角与直线方程
数学高一专系列之 倾斜角与直线方程一、直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα二、直线的斜率公式:三、直线方程：1.点斜式：11()y y k x x -=-，当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =2.斜截式: y kx b =+，其中b 称为直线在y 轴上的截距3.两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 注意！①当l 的0α=时,l 的方程为1y y = ②当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =4.截距式：1x ya b+= 其中,a b 分别是直线在x 轴和y 轴上的横截距和纵截距,简称截距. 注意！①当l 的a 不存在,b 存在时,l 的方程为y b = ②当l 的b 不存在, a 存在时,l 的方程为x a =③当l 的a 、b 都存在, 且都为零时,l 的方程为y kx =其中k 为直线的斜率. 5.直线方程的一般式：0Ax By C ++=22(0)A B +≠ （1）任何一条直线的方程都是关于x 、y 的一次方程（2）任何关于x 、y 的一次方程0Ax By C ++=22(0)A B +≠表示直线四、求直线方程：题型一：基础题型1．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－9[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由A ·C <0及B ·C <0，可知A ≠0，B ≠0， 又直线Ax ＋By ＋C ＝0过(－C A ，0)，(0，－C B )，且－C A >0，－CB >0，∴直线不过第三象限．变式练习1.光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝－3x ＋3 C ．y ＝－3x －3 D ．y ＝3x ＋3[答案] B[解析] 点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 [答案] D[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.3．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.题型二：能力提升1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23[答案] B[解析] 设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－(－1)－5－1＝－13.2．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 [答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．3.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 [答案] ①③⑤[解析] 对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确； 对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍．即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z )就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确． 变式练习1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1. 令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1.由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]． 2.已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解析] (1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk (k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0. (3)由l 的方程得，A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2kk|·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法课后练习1．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0 [答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α， 则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.2．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 易知A (－1,0)． ∵|P A |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上． ∴B (5,0)．∵P A ，PB 关于直线x ＝2对称， ∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.3.已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0 [答案] A[解析] 由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0.4.经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] 设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( ) A ．0 B ．33C ． 3D ．－ 3[答案] C[解析] k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.6.点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎣⎡⎦⎤14，1 D ．⎝⎛⎭⎫14，1 [答案] D[解析] 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.7.若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 8.直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案] 135°[解析] ∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)， ∴a ＋m －2a ＝0. ∴m ＝A ．直线方程为ax ＋ay －2a ＝0， 又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0. ∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.[解析] (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.。
知识讲解_直线的倾斜角与斜率_提高
直线的倾斜角与斜率【学习目标】1. 了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；2. 理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是90时的直线没有斜率；3. 已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；4. 掌握经过两点P(x1, y1)和P,(x2, y2)的直线的斜率公式：k = y2一％ ( %式x2)；X2 — x〔5. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件【要点梳理】要点一、直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为：•，则〉叫做直线的倾斜角•规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0，所以，倾斜角的范围是0： _〉180 . 要点诠释：1. 要清楚定义中含有的三个条件①直线向上方向；②X轴正向；③小于180的角.2. 从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由X轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角3•倾斜角:的范围是0：_〉<180'.当】-0时，直线与x轴平行或与x轴重合.4. 直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应5. 已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置.要点二、直线的斜率1 .定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tan> . 要点诠释：(1) 当直线丨与x轴平行或重合时，=0°, k=tan0 ° =0；(2) 直线l与x轴垂直时，二=90°, k不存在.由此可知，一条直线l的倾斜角［一定存在，但是斜率k不一定存在.2 .直线的倾斜角与斜率k之间的关系由斜率的定义可知，当:-在(0,90)范围内时，直线的斜率大于零；当 :在(90,180)范围内时，直线的斜率小于零；当〉=0时，直线的斜率为零；当〉=90时，直线的斜率不存在.直线的斜率与直线的倾斜角(90‘除外)为一一对应关系，且在0,90°)和(90 ,180)范围内分别与倾斜角的变化方向一致，倾斜角越大则斜率越大，反之亦然.因此若需在0,90或(90,80)范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然.要点三、斜率公式已知点RX，%)、F2(x2,y2)，且RP?与x轴不垂直，过两点F1(x1,y1)、F2(x2,y2)的直线的斜率公式k _y2 _y i .X2 -X i要点诠释：1. 对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1) 当X1=X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角? =90°,直线与x轴垂直；(2) k与P i、P2的顺序无关，即y i, y2和x i，X2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4) 当y i=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角:-=0°，直线与x轴平行或重合；(5) 求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.2. 斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1) 由R、R＞点的坐标求k的值；(2) 已知k及x i, y i, x2, y2中的三个量可求第四个量；(3) 已知k及R、P,的横坐标(或纵坐标)可求| RP2 | ；(4) 证明三点共线.要点四、两直线平行的条件设两条不重合的直线l i,l2的斜率分别为k i,k2.若I i〃l2，则l i与12的倾斜角：i与〉2相等•由〉i=＞：可得tan：、二tan〉2，即k i二k2.因此，若l i〃12，则匕=k2.反之，若k^ k2，则l i//l2.要点诠释：1. 公式l i 〃丨2 k i = k2成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为k i, k2 •，②l i与丨2不重合；2. 当两条直线的斜率都不存在且不重合时，^与l2的倾斜角都是90，则l i //l2.要点五、两直线垂直的条件设两条直线l i」2的斜率分别为k i,k2.若l i — l2，则k i k^-i.要点诠释：i.公式l i - l2= k i k^-i成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.【典型例题】类型一：直线的倾斜角与斜率例1 •设直线丨过原点，其倾斜角为「，将直线丨绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l i的倾斜角为( )A •:- +45°B. ： -135°C. 135°- :■D. 当0°w : V 180° 时，为:-+45°，当135°w : V 180°时，为：-135°- 1【答案】D【解析】倾斜角的范围是[0 ° , 180°),因此，只有当:-+45 °€ [0 ° , 180°),即当0° V 135° 时，h的倾斜角才是:-+45 °,而当135 °W V 180 °时，I1的倾斜角为:--135 ° .故应选D .【总结升华】(1)倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；② x轴的正方向；③小于平角的正角.(2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.(3)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.(4)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可.举一反三：【变式1】下列说法中，正确的是( )A .直线的倾斜角为二，则此直线的斜率为tan_：iB. 直线的斜率为tan'，则此直线的倾斜角为 vC. 若直线的倾斜角为.：:，则sin二＞0D .任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率【答案】D【解析】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系.对于A ,当〉=90°时，直线的斜率不存在，••• A错；对于B ,虽然直线的斜率为tanr，但只有当二€ [0° , 180°)时，二才是此直线的倾斜角，• B错；对于C,当直线平行于x轴时，〉=0°，而sin0° =0, • C错.•••应选D.【高清课堂：直线的倾斜角与斜率381490例2】例2 .如图所示，直线l1的倾斜角=30，直线l1与l2垂直，求l1, l2的斜率.【解析】由图形可知，〉2*90，则k1, k2可求.直线l1的斜率k, = tan〉1= tan 30 二T直线l2的倾斜角>2=90 ° +30° =120 ° ,•直线l2的斜率k2=ta n120 ° =ta n(180 ° —60° )= —tan60°所以直线的斜率为cos -：s又因为3 cos 二、■■■■/3，即--k AB =k BC,2 -1 _ 2a -1a-5 一4 一5A , B, C三点共线=A , B, C中任意两点-、、3.【总结升华】(1)本例中，利用图形的形象直观挖掘出直线11与|2的倾斜角之间的关系是解题的关键.(2)公式tan(180° —:• )= —tan〉是一个重要公式，它是求倾斜角为钝角时的直线斜率的关键，即把钝角的正切转化为锐角的正切.熟记30°, 45°, 60°角的正切值可快速求解.举一反三：【变式1】直线xcos—/3y • 2 =0的倾斜角的范围是A .-, 三B. 0, 匚二IL6 2 2 6. IL 6 _ 65 二二5 二C. 0,D. ,1 6」：6 6」【答案】B【解析】由直线xcoS'f ' 3y • 2 = 0 ,设直线的倾斜角为所以叫。
专题--直线的倾斜角和斜率习题与知识点
直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x13.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即基础卷一．选择题：1．下列命题中，正确的命题是（A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α（C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为（A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－333．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是（A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[43π,π)4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为（A ）4π （B ）54π （C ）4π或54π （D ）－4π5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－54，则直线l 的斜率为 （A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－346．已知直线l 1: y =x sin α和直线l 2: y =2x +c ，则直线l 1与l 2 （A ）通过平移可以重合 （B ）不可能垂直（C ）可能与x 轴围成等腰直角三角形 （D ）通过绕l 1上某一点旋转可以重合 二．填空题：7．经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ，倾斜角α= .8．要使点A (2, cos 2θ), B (sin 2θ, －32), (－4, －4)共线，则θ的值为 .9．已知点P (3 2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为 . 10．若经过点A (1－t , 1+t )和点B (3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .提高卷一．选择题：2．过点P (2, 3)与Q (1, 5)的直线PQ 的倾斜角为（A ）arctan2 （B ）arctan(－2) （C ）2π－arctan2 （D ）π－arctan23．直线l 1: ax +2y －1=0与直线l 2: x +(a －1)y +a 2=0平行，则a 的值是 （A ）－1 （B ）2 （C ）－1或2 （D ）0或14．过点A (－2, m ), B (m , 4)的直线的倾斜角为2π+arccot2，则实数m 的值为（A ）2 （B ）10 （C ）－8 （D ）0 二．填空题：6．若直线k 的斜率满足－3<k <33，则该直线的倾斜角α的范围是 .8．已知直线l 1和l 2关于直线y =x 对称，若直线l 1的斜率为3，则直线l 2的斜率为 ；倾斜角为 .9．已知M (2, －3), N (－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .综合练习卷一．选择题：1．下列命题正确的是（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应 （B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应（C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k （D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tan α2．过点M (－2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为－21，则a 等于（A ）－8 （B ）10 （C ）2 （D ）43．过点A (2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（A ）－1 （B ）1 （C ）－5 （D ）54．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则 （A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2 （C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 26．若直线l 的斜率为k =－ab(ab >0)，则直线l 的倾斜角为（A ）arctan a b （B ）arctan(－ab)（C ）π－arctan a b （D ）π+arctan ab二．填空题：7．已知三点A (2, －3), B (4, 3), C (5, 2m)在同一直线上，则m 的值为 .8．已知y 轴上的点B 与点A (－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .9．若α为直线的倾斜角，则sin(4－α)的取值范围是 .10．已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 . 三．解答题：11．求经过两点A (2, －1)和B (a , －2)的直线l 的倾斜角。
数学直线的倾斜角与斜率公式
数学直线的倾斜角与斜率公式数学直线是数学中一个重要的概念，在数学的各个领域都有着广泛的应用。
其中直线的斜率与倾斜角也是数学中最基础的概念之一。
下面我们将介绍直线的斜率与倾斜角的基本概念及公式。
一、直线的斜率公式直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中的倾斜程度，用于表示其在平面直角坐标系中的方向。
直线的斜率公式如下：斜率 k = （y2 - y1）/ （x2 - x1）其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别为直线上的两个点。
在计算斜率时，需要注意的是需要判断两点横坐标是否相等，因为此时斜率是不存在的。
二、直线的倾斜角公式直线的倾斜角是指直线与平面直角坐标系的 x 轴正方向所成的角度。
直线的倾斜角公式如下：倾斜角θ = atan k其中 atan 表示反正切函数，k 为直线的斜率。
需要注意的是，计算倾斜角时需要注意角度的参考系，一般以平面直角坐标系的 x 轴正方向为参考系。
三、斜率与倾斜角的关系斜率与倾斜角是相互关联的。
当我们知道一条直线的斜率时，可以通过求取反正切函数得到该直线的倾斜角。
相反地，当已知一条直线的倾斜角时，可以通过求取正切函数得到对应的斜率。
斜率k = tan θ倾斜角θ = atan k四、直线的性质在数学中，直线有许多重要的性质，这些性质不仅在理论研究中得到应用，也在实践中得到广泛应用。
其中一些性质如下：1. 相互垂直的两条直线的斜率乘积为 -1。
2. 直线的截距是指该直线与 y 轴的交点坐标，可以用斜率和另一个已知点来求解。
3. 两条直线互相平行的斜率相等。
4. 两条直线的夹角公式可以用两条直线的斜率求解。
5. 直线的点斜式表示法可以用已知点和斜率求解。
综上所述，数学直线的斜率与倾斜角是数学中重要的概念，通过斜率和倾斜角可以描述直线的方向和倾斜程度，同时也可以用于求解直线的其他性质。
通过了解这些概念和公式，可以更好地理解和应用数学的基础知识。
关于求直线斜率和倾斜角的公式
关于求直线斜率和倾斜角的公式直线斜率和倾斜角是数学中的基本概念，它们的解析式可以通过几何图形、三角函数等方法推导而来。
在本文中，我们将详细介绍求解直线斜率和倾斜角的公式，并配合实例进行阐述。
1. 直线斜率的公式及求解方法直线的斜率是指直线在坐标系中的倾斜程度，它表示直线沿水平方向上的运动量与沿竖直方向上的运动量之比。
斜率的计算方法有多种，我们将分别介绍以下两种方法。
方法一：点斜式公式点斜式公式是求解直线斜率最常用的方法之一。
如果已知直线上某一点和它的斜率，则可以通过点斜式公式计算直线方程。
设直线过点（x₁，y₁），斜率为k，则有：y-y₁=k(x-x₁)将其改写为一般式，即y=kx+b其中，b=y₁-kx₁为直线的截距。
例如，已知直线过点（2，3），斜率为2，那么根据点斜式公式，可以写出直线方程为：y-3=2(x-2)化简得：y=2x-1因此，直线的斜率为2，截距为-1。
方法二：斜率公式斜率公式是另一种常用的求解直线斜率的方法。
它的基本原理是计算直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
设直线上两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则有：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)其中，k为直线的斜率。
例如，已知直线上两点（3，1）和（5，3），则根据斜率公式，直线的斜率为：k=(3-1)/(5-3)=1因此，直线的斜率为1。
需要注意的是，斜率存在的前提是直线存在。
在一些情况下，直线可能不存在斜率，例如水平直线和竖直直线。
此时，我们需要特殊考虑。
2. 直线倾斜角的公式及求解方法直线倾斜角是指直线相对于水平方向或竖直方向的倾斜程度，也称为直线的倾角或坡度。
直线倾斜角的求解方法多样，以下是两种常见的方法。
方法一：利用斜率求解倾斜角的定义是直线与水平线的夹角。
因此，我们可以先利用斜率求出直线与水平线之间的夹角，进而计算直线的倾斜角。
设直线的斜率为k，则有：θ=arctan(k)其中，arctan为反正切函数。
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[变式探究 2] 若将本例(2)的条件改为“经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连 接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围．
解析：如图所示，
kPA＝－21－－0－1＝－1，kPB＝1－2－－01＝1， 由图可得，直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是0，π4∪34π，π.
答案：2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0 解析：点 A、B 的中点为(3,2)，当直线过原点时，方程为 y＝23x， 即 2x－3y＝0. 当直线不过原点时，设直线的方程为 x＋y＝k，把中点(3,2)代入得 k＝5， 故直线方程为 x＋y－5＝0. 综上，所求直线的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截 距为 2－a>0，直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋145，当 a＝12时， 四边形的面积最小．
5．已知两点
A(－1,2)，B(m,3)，且
m∈－
33－1，
3－1，则直
线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是( )
A.π6，π2 B.π2，23π C.π6，π2∪π2，23π D.π6，23π
答案：D 解析：
①当 m＝－1 时，α＝π2； ②当 m≠－1 时，
∵k＝m＋1 1∈(－∞，－
3)∪
y2－y1
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝ x2－x1 .
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
两点式
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关于求直线斜率和倾斜角的公式
斜率和倾斜角是数学中比较基础的概念，它们在直线的研究中非常重要。
下面介绍一些求直线斜率和倾斜角的公式。
直线的斜率可以用下面的公式来求解：
斜率 k = (y - y) / (x - x)
其中，(x，y)和(x，y)是直线上的两个点。
如果已知直线的倾斜角度φ，则可以用下面的公式求解斜率 k：斜率 k = tanφ
倾斜角度φ则可以用下面的公式来求解：
倾斜角度φ = arctan k
其中，arctan 表示反正切函数，可用计算器等工具求解。
需要注意的是，当直线垂直于 x 轴时，斜率不存在；当直线平行于 x 轴时，斜率值为 0。
以上就是关于求直线斜率和倾斜角的公式的介绍，希望对大家有所帮助。
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