直线倾斜角、斜率、斜率公式,直线方程的各种表示方法

承接上次课：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 斜率：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.时，斜率不存在。

当时，当的增大而减小；随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2;0 0,0)2(,0 )2,0 (πααααππαααπα===<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D )A. k 1< k 2 <k 3B. k 3< k 1 <k 2C. k 3< k 2 <k 1D. k 1< k 3 <k 2例题2：若经过P （－2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m=（ A ）A 、1B 、4C 、1或3D 、1或4例题3：若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ B ）A 、1B 、－1C 、0D 、7例题4：直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ B ）A 、45°B 、135°C 、45°或135°D 、－45°例题5：若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围. 解：(-2,1)学习小结：1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的题型一：已知两点坐标求直线斜率例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3)题型二：求直线的倾斜角例题2：设直线L 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转︒45，得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( D )A.︒+45αB.︒-135αC.α-︒135D.[︒-⎢⎣⎡∈︒+∈1354345430αππααπα，为），；当）时，为，当 例题3：变式：已知直线L 1的倾斜角为α，则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β=题型三：斜率与倾斜角关系例题4：当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围：1)1(-≥k 1)2(≤k 33)3(≤<-k题型四：利用斜率判定三点共线例题5：已知三点A （a,2），B （5,1），C （-4,2a ）在同一条直线上，求a 的值。

利用斜率相等即可即AB 的斜率=BC 的斜率 用两点式计算斜率(1-2)/(5-a)=(2a-1)/(-4-5) (5-a)(2a-1)=9 -2a ²+11a-5=9 2a ²-11a+14=0 (2a-7)(a-2)=0 ∴a=7/2 或a=2不存在)3(35)2(23)1(-==k k 000==-=∈βααπβπα，当，），，（当3(1)[0,)[,)24(2)[0,](,)422(3)[0,](,)33ππαπππαπππαπ∈⋃∈⋃∈⋃272==a a 或题型五：平行于垂直的判定例题6：已知A （1，-1），B （2,2），C （3,0）三点，求点D 的坐标，使直线,AB CD ⊥且CB//AD.题型六：综合应用例题7：变式：若三点A （3,1）,B(-2,k)，C （8,1）能够成三角形，求实数k 的取值范围。

解：能够成三角形则不能共线 AC 垂直y 轴 是y=1 则k ≠1例题8：已知两点A （-3,4），B （3,2），过点P （2，-1）的直线L 与线段AB 有公共点，求直线L 的斜率k 的取值范围)1,0(1233,2,111,3,3),D D y x y x k k k x y k k k x yk k y x BCAD BC AD CD AB CD AB ⎩⎨⎧=+=+=-=-+=-=⋅-==得点坐标为（解：设例题1.下列命题正确的个数是 ( C )1) 若a 是直线L 的倾斜角，则︒<≤︒1800a 2）若k 是直线的斜率，则R k ∈3）任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率 4）任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角 A ．1 B.2 C.3 D.4 例题2.直线L 过(,)a b , (,)b a 两点，其中0,≠≠ab b a 则 （ D ）A.L 与x 轴垂直B. L 与y 轴垂直C.L 过原点和一，三象限D.L 的倾斜角为︒135 例题3.已知点)1,1(),321,1(-+B A ,直线L 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，则L 的斜率为 （ B ）A.1 33.B 3.C D.不存在例题4.直线L 经过二、三、四象限，L 的倾斜角为a ，斜率为k ，则 （ B ） 0sin .>a k A 0cos ..>a k B 0sin .≤a k C 0cos .≤a k D 例题5.若),0(),2,(),5,1(a C a a B a A ---三点共线，则a= 2例题6.已知四边形ABCD 的顶点为)5,2(),3,3(),1,6(),,(D C B n m A ,求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形。

86251829(,),(,)131355A A 解：有两种情况1、AB//CD 角A=90=角D （5-3）/（2-3）=(n-1)/(m-6) 2m+n=13(n-5)/(m-2)=1/2 m=18/5 n=29/52、AD//BC 角A=90=角B (n-5)/(m-2)=(3-1)/(3-6)=-2/3 2m+3n=19(n-1)/(m-6)=3/2 3m-2n=16 m=86/13 n=25/13两直线平行与垂直的判定 ：平行：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k垂直：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =- 学习小结：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合.2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.直线的斜截式方程：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程.例题1、过点(5，2)且在两坐标轴截距相等的直线方程是__2x-5y=0或y-2=-(x-5)__． 例题2、经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。

直线的两点式方程：直线的两点式方程：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程直线的截距式方程.：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程.例题1、已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程.例题2、已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。

例题3、 已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

解：直线BC ：(y ＋3)/(y －2)＝(x －3)/(x －0) 即5x ＋3y －6＝0直线BC 的中点坐标： x ＝(3＋0)/2＝3/2y ＝(－3＋2)/2＝－1/2 即点(3/2,－1/2)直线BC 边中线所在的直线方程： (y －0)/(y ＋1/2)＝(x ＋5)/(x －3/2) 即x ＋13y ＋5＝0)1(232-=-x y )(112121x x x x y y y y ---=-0513,0635=++=-+y x y x 191396.2()13y x -=--学习小结：1．直线方程的各种形式总结为如下表格：2.中点坐标公式:已知1122(,),(,)A x y B x y ,则AB 的中点(,)M x y ,则2121,22x x y y x y ++==.例题1、过点P (2，1）作直线l 交,x y 正半轴于AB 两点，当||||PA PB ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.直线的一般式方程：直线的一般式方程：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式 例题1、在方程0=++C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 重合。

直线名称 已知条件 直线方程使用范围点斜式 111(,),P x y k11()y y k x x -=- k 存在 斜截式 b k ，y kx b =+ k 存在两点式 ),(11y x （),22y x 112121y y x x y y x x --=-- 12x x ≠ 12y y ≠ 截距式b a , 1x ya b+= 0a ≠ 0b ≠解：（1）A=0且B ≠0且C ≠0（2）B=0且A ≠0且C ≠0（3）A=0且B ≠0且C=0 （4）B=0且A ≠0且C=0例题2、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -；⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-；⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --. 解：（1）042;221=-++-=y x x y （2）02;2=-=y y（3）032;13132=--=-y x y x （4）012322=-+-=-+y x x y ；两条直线的交点坐标：已知方程组 A 1x ＋B 1y ＋C 1=0 （1） A 2x ＋B 2y ＋C 2= 0 （2）当A 1，A 2，B 1，B 2全不为零时，方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的位置关系 解：在直线上另（1）×B 2－（2）×B 1得（A 1B 2－A 2B 1）x=B 1C 2－B 2C 11、当A 1B 2－A 2B 1≠0时，方程组有唯一解，相交:且当2121B B A A =时，两直线垂直2、当A 1B 2－A 2B 1=0，B 1C 2－B 2C 1≠0 时，方程组无解，平行3、当A 1B 2－A 2B 1=0，B 1C 2－B 2C 1=0时，方程组有无穷多解，重合例题1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： （1）l 1：x －y ＝0， l 2：3x ＋3y －10＝0（2）l 1：3x －y ＋4＝0， l 2：6x －2y ＝0（3）l 1：3x ＋4y －5＝0， l 2：6x ＋8y －10＝0解：（1）相交交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛35,35；（2）平行，无交点（3）同一条直线，无穷多解例题2、求经过两条直线x+2y －1=0和2x －y －7=0的交点，且垂直于直线x+3y －5=0的直线方程解：解法一：解方程组⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=--13012072y x y x y x 得∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+2y －5=0的斜率是－1/3 ∴所求直线的斜率是3，所求直线方程为y+1=3（x －3）即 3x －y －10=0 解法二：所求直线在直线系2x －y －7+λ（x+2y －1）=0中 经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y －λ－7=03122=-+-∴λλ解得 λ= 1/7因此，所求直线方程为3x －y －10=0两点间的距离：两点之间距离公式：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y，则12PP .特殊地：(,)P x y与原点的距离为OP 点到直线的距离:已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l的距离为：d =.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离； ⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式平行线间的距离：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为d =注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.例题1、已知点P(x 0，y 0)，直线l ：A x +C=0，求点P 到直线的距离．)(0A Cx --例题2、已知点P(x 0，y 0)，直线l ：B y +C=0，求点P 到直线的距离．)(0BC y --例题3、已知点P(x 0，y 0)，直线l ：Ax+By+C=0，求点P 到直线的距离． 例题4、点P(3,-2)到直线 的距离为例题5、两条平行线与 间的距离是例题6、求平行线2x －7y ＋8=0和2x －7y －6=0的距离．解：在直线2x －7y －6=0上任取点P(x 0，y 0)，则2 x 0－7 y 0－6=0，点P(x 0，y 0)到直线2x－7y ＋8=0的距离是546-=-y x x y 23=02543:=-+y x l 2200B A C By Ax d +++=52426135例题7、直线经过原点，且点M(5,0)到直线l 的距离等于3，求l 的方程解： 3x±4y=0例题8、直线l 过点（1，2）且两点（2，-3）,（4，-5）到l 的距离相等，求l 的方程解：x+y-3=0或3x+y-5=0例题9、△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B, ∠C的内角平分线所在的直线方程分别为x=0和y=x,求顶点B、C坐标·。