1.4_事件的独立性
1.4 事件的独立性及贝努力概型
例2 某人进行射击,设每次射击的命中率为p,独立射击n次， 试求至少击中两次的概率
解: 以X记击中次数
P(X2) =1-P(X<2) =1-P(X=0)-P(X=1) =1-(1-p)n-Cn1p(1-p)n-1
例3 做一系列独立试验,每次试验中成功的概率为p,求 在成功n次之前已经失败了m次的概率 解： 令A={第n+m次试验成功} B={前n+m-1次试验中失败m次(成功了n-1次)} C 则所求的概率为： P(AB)=P(A)P(B)= p · mn+m-1 (1-p) mpn-1
(2) 假设需要n门高射炮, 则由题意:P(A1∪…∪An )>0.99
一.贝努里概型
1.试验的独立性概念 定义4:设事件A,B分别是试验E1,E2的任意两个事件, 若 P(AB)=P(A)P(B), 则称试验E1,E2是相互独立的 “试验是相互独立的”指的是试验的结果是相互独立的
设一个试验E只有两个可能的结果A,A,且P(A)=p,P(A)=1-p=q (p<1) 将E独立地重复n次,构成一个试验,叫做(n重)贝努里试验, 记作En (概型)
“一次抛掷n枚硬币”的试验可以看成“一枚硬币重复抛n次”， 所以也可以看成一个(n重)贝努里试验 掷一颗骰子,有六种结果.但如果我们只关心“出现六点”与 “不出现六点”这两种情况,则“掷一颗骰子”也可以看作是 (一重)贝努里试验．
?
2.二项概率
二项概率公式
b(k;n,p)= P({En中事件A恰好出现k次})=Cnk pkqn-k
则称事件A,B,C相互独立
注
A,B,C相互独立 A,B,C两两相互独立； ？
2)多个事件的独立性 定义3: (略)
事件的独立性名词解释
事件的独立性名词解释事件的独立性是指一个事件在其发生的过程中并不受到其他事件的影响，具有自身的特定性和独立性质。
它是一个广泛应用于各领域的概念，包括科学、社会学、法律以及人类行为研究等。
在科学领域，事件的独立性是指一个实验或观察所研究的事件与其他变量或因素之间的关系是相互独立的。
在设计实验时，科学家通常会采取措施来保证实验的独立性，例如随机分组、避免再次测试等。
通过保持事件的独立性，科学家可以更准确地分析事件之间的关系，推断出因果或相关性的结论。
在社会学中，独立性是一个重要的概念，用于研究个体、群体或社会的现象，如社会心理、文化传播和社会动态等。
社会学家通过分析事件的独立性来了解不同因素对个体或群体行为产生的影响。
例如，他们可能通过研究某一社交媒体平台上用户的行为来分析用户间的互动模式和社交网络结构。
通过研究事件的独立性，社会学家可以更好地理解社会现象的本质，形成相关的理论。
在法律领域，事件的独立性是一个基本原则，涉及到证据的可信性和判断的公正性。
法官和陪审团必须评估每一个事件的独立性，以确定是否有足够的证据来支持诉讼的结果。
在庭审中，法律专业人士会根据相关法律和证据，评估事件的独立性，并作出公正的判断。
同时，法律也保护事件的独立性，确保每个事件都能得到适当的审理，而不受其他事件的干扰和影响。
在人类行为研究方面，事件的独立性被广泛应用于心理学和行为经济学等领域。
人类行为通常会受到各种因素的影响，例如情绪状态、社会环境和个人观念等。
通过研究事件的独立性，研究人员可以更好地理解人类行为的内在机制，探讨人们在不同情境下做出的决策和选择。
总之，事件的独立性是一个重要的概念，它在科学、社会学、法律和人类行为研究等领域都有着广泛的应用。
研究事件的独立性有助于我们深入了解各个领域中的现象和关系，为我们的决策和判断提供理论基础和依据。
通过保持事件的独立性，我们能够更加准确地理解和解释世界的运作方式，推动人类社会的进步和发展。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在概率与统计的广袤世界中，“事件的独立性”是一个至关重要的概念。
它不仅在理论研究中具有深刻的意义，而且在实际生活中的诸多领域都有着广泛的应用。
要理解事件的独立性，首先得清楚什么是事件。
简单来说，事件就是在一定条件下可能出现也可能不出现的情况。
比如说掷骰子掷出一个“6”，明天会下雨，这些都是事件。
那么，什么又是事件的独立性呢？我们说两个事件 A 和 B 是相互独立的，如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，同时事件B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率。
举个例子，假设有一个盒子，里面装有 5 个红球和 5 个白球。
从盒子中先后取出两个球，第一次取出红球记为事件 A，第二次取出红球记为事件 B。
如果我们在取出第一个球后，将其放回盒子中再取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的。
因为第一次取出红球后放回，盒子里球的情况没有改变，第二次取出红球的概率依然是5/10。
但如果我们在取出第一个球后，不再放回盒子中就取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就不是相互独立的。
因为第一次取出红球后，盒子里球的组成发生了变化，第二次取出红球的概率会受到影响。
独立性的概念在很多实际问题中都有体现。
比如说，一个学生在数学考试中取得好成绩和在语文考试中取得好成绩，在一定程度上可以看作是两个独立事件。
因为学生在数学上的表现不一定能决定其在语文上的表现。
再比如，一个人早上选择吃面包还是吃油条和晚上选择看电影还是看书，这也可以近似地认为是两个独立事件。
因为早上的饮食选择通常不会影响晚上的娱乐活动选择。
那么，如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到数学公式了。
如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么它们的概率满足 P(AB) ＝P(A)P(B) 。
其中，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
我们通过一个具体的例子来看看如何运用这个公式判断事件的独立性。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到对事件发生可能性的探讨。
而其中一个重要的概念就是事件的独立性。
理解事件的独立性对于我们准确地分析和预测各种情况都具有关键意义。
首先，我们来明确一下什么是事件的独立性。
简单来说，如果事件A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，同时事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，点数为 6 记为事件 B。
这两个事件就是相互独立的。
因为抛硬币的结果不会影响抛骰子出现 6 点的概率，反之亦然。
那么如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到概率的计算。
如果 P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 就是独立的。
再深入一些，对于多个事件的独立性，情况会稍微复杂一些。
如果对于三个事件 A、B、C，如果它们两两独立，并且 P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)，那么这三个事件相互独立。
事件的独立性在实际应用中有很多例子。
比如在抽奖活动中，每次抽奖的结果通常是相互独立的。
不管前面的人是否中奖，后面的人中奖的概率都不会受到影响。
在统计学和概率论的研究中，事件的独立性也是一个基础且重要的概念。
通过判断事件的独立性，我们可以简化概率的计算，更准确地分析数据和预测结果。
另外，在一些复杂的系统中，例如通信系统、金融市场等，事件的独立性假设可以帮助我们建立模型和进行分析。
但需要注意的是，在实际情况中，完全独立的事件并不总是普遍存在的。
很多时候，事件之间可能存在着某种隐藏的关联或者相互影响。
例如，在股市中，一只股票的价格变动可能会受到宏观经济形势、行业发展、公司内部管理等多种因素的影响。
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第7页
例3 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命 中率分别为 0.6 和 0.7，现已知目标被击中，求它是甲 击中的概率.。
解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以 P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/[P(A)+P(B)P(A)P(B)] = 0.6/0.88 = 15/22
P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
第一章
§1.4 事件的独立性与伯努利概型
第6页
例2 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率 分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率. 解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所 以 解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98. 解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) 1 P( AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.
Hale Waihona Puke 8页 第一章 §1.4 事件的独立性与伯努利概型 例4 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，从两批种子 中各随机地抽取一粒，求：
（1）两粒都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子能发芽的概率； （3）恰好有一粒种子能发芽的概率 。 解 设以A、B分别表示取自甲、乙两批种子中的某粒种子发芽 这一事件，则所求的概率为
P( B)[1 P( A)] P( A)P(B).
所以 A 和B相互独立．
第一章
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们日常生活和数学、统计学的学习研究中，“事件的独立性”是一个非常重要的概念。
理解事件的独立性，对于我们准确分析和预测各种情况有着关键的作用。
那什么是事件的独立性呢？简单来说，如果事件 A 的发生与否对事件 B 的发生概率没有影响，并且事件 B 的发生与否对事件 A 的发生概率也没有影响，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
举个简单的例子，假设我们抛一枚均匀的硬币两次。
第一次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 A。
第二次抛硬币得到正面或者反面，这是事件 B。
由于每次抛硬币的结果都是相互独立的，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果。
所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
我们再来看一个稍微复杂一点的例子。
从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件 A 是抽到红桃牌，事件 B 是抽到 A 牌。
这两个事件就不是独立的。
因为如果抽到了红桃 A，那么事件 A 和事件 B 就同时发生了。
所以事件 A 的发生会影响事件 B 的发生概率。
那如何判断两个事件是否独立呢？我们有一个重要的公式：如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B)。
其中，P(A ∩ B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
比如说，一个盒子里有 5 个红球和 5 个蓝球，从中随机取出一个球，事件 A 是取出红球，事件 B 是取出偶数号球。
事件 A 的概率 P(A) ＝5/10 ＝ 1/2，事件 B 的概率 P(B) ＝ 5/10 ＝ 1/2。
而事件 A 和事件 B 同时发生，也就是取出既是红球又是偶数号球的概率P(A ∩ B) ＝ 2/10 ＝1/5。
因为 1/5 ＝ 1/2 × 1/2，所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
理解了事件的独立性，对于解决很多实际问题都有帮助。
g1.4事件的相互独立性
若A, B独立，则 P ( AB ) = P ( A) P ( B ); 独立，
互不相容用于加法： 互不相容用于加法：
互不相容， 若A，B互不相容，则 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ).
它们的关系是什么呢? 它们的关系是什么呢?
9
独立性的应用 乙各打一枪， 例:甲、乙各打一枪，甲中 的概率是 0.7，
出现的条件下， 事件 B出现的条件下，事件 A出现的概率
记为P ( A B ).
P( AB) P( A | B) = , P(B)
P(B)>0
P( AB) = P(B)P( A B).
4
3.全概率公式 全概率公式
如果随机试验的基本空间 Ω = { A , A ,L, A }, 1 2 n
B 且Ω = A + A2 + L+ An , 事件 ⊂ Ω, 1 B = BΩ = B( A + A2 + L+ An ) 1 = BA + BA2 + L+ BAn , 1 ∴ P(B) = P(BA ) + P(BA2 ) + L+ P(BAn ) 1
0 1
24
有关小概率事件
•一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小 但 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小,但 一个事件尽管在一次试验中发生的概率很小 只试验次数多,这个事件的发生几乎是肯定的 这个事件的发生几乎是肯定的. 只试验次数多 这个事件的发生几乎是肯定的 (就象上例中命中率 就象上例中命中率0.02, 就象上例中命中率 但至少击中两次的概率为0.997一样 一样.) 但至少击中两次的概率为 一样
事件的独立性探究事件的独立性及其对概率的影响
事件的独立性探究事件的独立性及其对概率的影响在概率论中，事件的独立性是一个重要且基础的概念。
研究事件的独立性不仅能帮助我们更好地理解概率，还能在实际生活中应用到许多领域。
本文将探究事件的独立性以及其对概率的影响。
一、事件的独立性事件的独立性指的是两个或多个事件之间的相互关系。
如果两个事件相互独立，那么一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
简而言之，一个事件的发生与其他事件的发生没有任何因果关系。
对于两个事件A和B，如果满足以下条件，则可以认为它们是相互独立的：1. 事件A的发生与事件B的发生无关；2. 事件A的发生与事件B的不发生无关；3. 事件B的发生与事件A的不发生无关。
通过以上条件，我们可以判断事件之间是否独立，并在概率计算中应用这一概念。
二、事件独立性对概率的影响事件的独立性对概率的计算有着重要的影响，下面将从两个方面具体探讨。
1. 乘法法则乘法法则是计算两个独立事件同时发生的概率的基本原理。
根据乘法法则，如果事件A和事件B相互独立，那么它们同时发生的概率可以通过将它们各自发生的概率相乘得到。
即：P(A∩B) = P(A) × P(B)这个公式在实际问题中非常有用，可以帮助我们计算同时发生多个独立事件的概率。
2. 置换法则置换法则是指当事件A和事件B是相互独立的时候，它们的补事件也是相互独立的。
具体来说，如果事件A和事件B相互独立，则有：P(A') = 1 - P(A)P(B') = 1 - P(B)这个法则在概率计算中非常实用，并且可以帮助我们计算一个事件不发生的概率。
三、事件独立性的应用事件的独立性不仅仅是概率论中的一个概念，还可以应用到多个领域中，例如：1. 投资与风险管理在投资领域，事件的独立性对于风险管理非常重要。
如果我们可以将投资组合中的不同事件看作相互独立，那么我们可以更好地评估投资组合的风险，并采取相应的措施来降低风险。
2. 运输与物流管理在运输与物流管理中，事件的独立性对于预测和优化物流活动非常重要。
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关于独立性，作如下几点说明：
(3)多个事件相互独立一定是两两独立的，但两两独立 未必是相互独立． (4)两个事件独立与两个事件对立也是不同的概念．一 般地，两个事件对立则这两个事件一定不独立，两个事 件独立则这两个事件不一定对立．
定理 1 若四对事件 A与B, A与B, A与B, A与B 中有一对 是相互独立的，则另外三对也是相互独立的．
2000 i 1
2000 2000 2000 P Ai 1 P Ai 1 P Ai i 1 i 1 i 1 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A2000 )
1 (1 0.001)2000 1 0.9992000 0.8648.
一方面，若 A, B 独立，则由乘法公式有
P( AB) P( A) P( B | A) P( A) P( B)
同时，若 P( AB) P( A) P( B) 成立，由条件概率有
P( AB) P( A) P( B) P( B | A) P( B) P( A) P( A)
这表明 P( B) P( B | A) 与 P( AB) P( A) P( B) 的表达是等 价的。
2015年8月23日星期日 11
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【例 21】设某地区的人群中，每人血液中含有某种病毒 的概率为 0.001，将 2000 人的血液进行混合，求混合后 的血液中含有该病毒的概率． 解 设 Ai (1 i 2000) 为第 i 人的血液中含有病毒的事
件，混合后的血液中含有病毒的事件为 Ai ，概率为
《概率论与数理统计》
*****大学理学院数学系
伯努利（Bernoulli） 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)
2015年8月23日星期日 1
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§1.4 事件的独立性
2015年8月23日星期日
2
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定义 8 若两个事件 A ， B 满足 P( B) P( B | A) ，则称事 件 A ， B 相互独立(mutual independence)，简称 A, B 独 立．
所以结论成立．
2015年8月23日星期日
9
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由定义，还可以得到以下两个推论：
(1) 若 事 件 A1 , A2 ,, An , n 2 相 互 独 立 ， 则 其 中 任 意 k (2 k n) 个事件也相互独立．
(2) 若 事 件 A1 , A2 ,, An , n 2 相 互 独 立 ， 则 将
2015年8月23日星期日
5
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定义 12
设 A1 , A2 ,, An 是 n(n 2) 个事件，如果满足：
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ), i j , P( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ), i j k , P( A A A ) P( A ) P( A ) P( A ). 1 2 n 1 2 n
2015年8月23日星期日
8
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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证明 以下只证明若 A, B 相互独立，则 A 与 B 也相互独 立，其它类似证明．
因为
P( AB) P( A B) P( A) P( AB) P( A) P( A) P( B) P( A)[1 P( B)]
P( A) P( B ).
定义 11
设 A, B, C 是三个事件，如果满足：
P( AB) P( A) P( B), P( BC ) P( B) P(C ), P( AC ) P( A) P(C ), P( ABC ) P( A) P( B) P(C ).
则称这三个事件 A, B, C 是相互独立的．
定义 10 设 A, B, C 是三个事件，如果满足：
P( AB) P( A) P( B), P( BC ) P( B) P(C ), P( AC ) P( A) P(C ).
则称这三个事件 A, B, C 是两两独立的．
2015年8月23日星期日 4
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2015年8月23日星期日 3
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定义 8 若两个事件 A ， B 满足 P( B) P( B | A) ，则称事 件 A ， B 相互独立(mutual independence)，简称 A, B 独 立．
定义 9 若两事件 A ， B 满足 P( AB) P( A) P( B) ，则称事 件 A ， B 相互独立，简称 A, B 独立．
A1 , A2 ,, An 中任意多个事件换成它们各自的对立事件， 所得的 n 个事件仍相互独立．
2015年8月23日星期日
10
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【例 20】两门高射炮彼此独立地射击一架敌机，设甲炮 击中敌机的概率为 0.9， 乙炮击中敌机的概率为 0.8， 求 敌机被击中的概率？ 解 设 A ={甲炮击中敌机}， B ={乙炮击中敌机}，那么 {敌机被击中 }= A B ．因为 A 与 B 相互独立，所以，有 P( A B ) P (A) P (B ) P (AB )
则称这 n 个事件 A1 , A2 ,, An 是相互独立的．
2015年8月23日星期日
6
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关于独立性，作如下几点说明：
(1)依据这些定义，容易验证必然事件 与不可能事件 与任何事件是相互独立的．这一事实读者不会感到意 外，因为必然事件 与不可能事件 的发生与否，不受 任何事件的影响，也不影响其它任何事件是否发生．
2015年8月23日星期日 12
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内容小结
2015年8月23日星期日
13
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习题A
2015年8月23日星期日
14
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P( A) P(B) P( A)P(B) 0.9 0.8 0.9 0.8 0.98. 另一种解法． 由定理 1 知， A 与 B 相互独立，故
P( A B ) 1 P( A B ) 1 P( AB ) 1 P( A) P( B) 1 (1 0.9)(1 0.8) 0.98.
(2)事件的独立性与互斥是两码事，互斥表示两个事件 不能同时发生，而独立性则表示它们彼此互不影响对方 发生的概率．当 P( A) 0 ， P( B) 0 时，若 A, B 相互独 立 ， 则 P( AB) P( A) P( B) 0 ． 若 A, B 互 斥 ， 则 P( AB) P() 0 ，此时 A, B 相互独立和 A, B 互斥不会 同时成立．