四川省成都七中2013-2014学年高二下学期开学考试数学(文)试题 解析及答案

成都七中高2015届高二下期入学考试数学试题(文)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{|2,}xM y y x R ==∈，集合，{|lg(1)}S x y x ==-则下列各式中正确的是( )A.M S M =B.M S S =C.M S =D.M S =∅2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )相关系数为1r相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4rA.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<3. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于( ) A.3- B.21- C.3 D.21 5. 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为( ) A.1200π B.1400π C.1600π D.1800π 6. 下列判断正确的是( )A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B.命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”C. “1sin 2α=”是” 6πα=”的充分不必要条件D. .命题“,20xx ∀∈>R ”的否定是“ 00,20xx ∃∈≤R ”7. 将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 8. 设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间( )A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）9. 已知x,y 满足2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩且目标函数z=3x+y 的最小值是5，则z 的最大值是( )A.10B.12C.14D.16 10. 直线032=--y x 与圆()()22239x y -++=交于E.F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为( ) A.23 B.43C.52D.556二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.11. 已知向量a →,b →不共线，若向量a →+λb →与b →+λa →的方向相反,则实数λ的值为 . 12. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且满足sin cos a B b A =,则2sin cos B C -的最大值是 .13. 如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x mm m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是______. 14. 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 . 15. 给出下列四个命题：① 已知,,a b m 都是正数，且a m ab m b+>+，则a b <； ② 若函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是}1|{<x x ，则1-<a ；③ 已知x ∈（0，π），则2sin sin y x x=+的最小值为22；④ 已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则yc x a +的值等于2;⑤ 已知函数2()1,()43xf x eg x x x =-=-+-,若有()()f a g b =,则b 的取值范围为(22,22)-+.其中正确命题的序号是________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中， （1）求成绩在区间[80,90)内的学生人数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90,100]内的概率.17. (本小题满分12分)设数列{a n }是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（1）求{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }是以函数f(x)=4sin 2πx 的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n ⋅b n }的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)(1)设函数f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为23π,将y=f(x)的图像向右平移2π个单位长度得到函数y=g(x)的图像,求y=g(x)的单调增区间． (2)设∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，b 2=ac ，求角B 的大小.19. (本小题满分12分)如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.20.(本小题满分13分)已知几何体A BCED -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A ED B --的正弦值.21. (本小题满分14分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0．问在圆C 上是否存在两点A 、B 关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．成都七中高2015届高二下期入学考试数学试题(文答案)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，集合，则下列各式中正确的是( )A. B. C.D.解析：A 由题意得，，所以根据选项可得，所以选A.2.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )相关系数为相关系数为相关系数为相关系数为A. B.C. D.【答案】A【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知.3.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lËα，lËβ，则( )A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l【答案】D [解析] 若α∥β，则m∥n与m，n为异面直线矛盾，故A错．若α⊥β且l⊥β，则由n⊥平面β知l ∥n 与l ⊥n矛盾，故B错．若α与β相交，设垂直于交线的平面为γ，则l ⊥γ，又l ⊥m，l ⊥n，m⊥平面α，n⊥平面β，故交线平行于l.故选D.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于( )A. B. C. D.解析：A 程序执行循环六次，依次执行的是，，故输出值等于.5. 球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为( ) A.B.C. D.解析：A ∵，，，∴，是以为斜边的直角三角形．∴的外接圆的半径为，即截面圆的半径，又球心到截面的距离为，∴，得．∴球的表面积为．6. 下列判断正确的是( )A. 若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C. “”是” ”的充分不必要条件D. .命题“”的否定是“”【答案】D【解析】A 项中，因为真假，所以为假命题.故A 项错误；B 项中，“若，则”的否命题为“若，则”， 故B 项错误；C 项中，是的必要不充分条件，故C 项错误；D 选项正确.7. 将函数y ＝cos x ＋sin x(x ∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.12πB.6πC.3πD.65π 【答案】B[解析] 结合选项，将函数y ＝cos x ＋sin x ＝2sin 3π的图像向左平移6π个单位得到y ＝2sin 2π＝2cos x ，它的图像关于y 轴对称，选B. 8. 设是方程的解，则属于区间（ ）A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4） 【答案】C 【解析】设,因为，，所以.所以.9. 已知x,y 满足且目标函数z=3x+y 的最小值是5，则z 的最大值是( ) A.B.C.D.解析：由，则，因为的最小值为，所以，作出不等式对应的可行域，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，所以直线的直线方程为，由，解得，代入直线得即直线方程为，平移直线，当直线经过点时，直线的截距最大，此时有最大值，由，得，即,代入直线得。

10. 直线与圆交于E.F 两点，则EOF （O 是原点）的面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为圆心到直线的距离为，则，又原点到直线的距离为，所以.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.11. 已知向量→a ,→b 不共线，若向量→a +l →b 与→b +l →a的方向相反,则实数l 的值为 .解析：由与的方向相反得，，，则,，即，，此时与的方向相反.12. 在中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且满足,则的最大值是 .【答案】1【解析】由，得，又由正弦定理，得，所以.又，所以.又，所以.故.则.所以.故当时，取得最大值1.13. 如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是______.【答案】【解析】根据指数函数的性质，可知函数恒过定点.将点代入，可得. 由于点始终落在所给圆的内部或圆上，所以. 由解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是.14.如果不等式的解集为，且，那么实数a的取值范围是.【答案】【解析】函数y=的图象是一个半圆，如图，可知需满足，解得a>2.15.给出下列四个命题：①已知都是正数，且，则；②若函数的定义域是，则；③已知x∈（0，π），则的最小值为；④已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于2;⑤已知函数,若有,则的取值范围为.其中正确命题的序号是________.【答案】①④⑤【解析】对于①，由，得，又都是正数，所以，即.故①正确；对于②，令，此时函数的定义域是，不是，故②错误；对于③，设，则，因为在区间上单调递减，所以的最小值是，即的最小值为3，故③错误；对于④，由题意，，所以.故④正确;对于⑤，由题意，,若有,则，解得.故⑤正确.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中，（1）求成绩在区间内的学生人数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间内的概率.解析：（1）因为各组的频率之和为，所以成绩在区间的频率为，（3分）所以，名学生中成绩在区间的学生人数为（人）.（5分）（2）设表示事件“在成绩大于等于分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间内”，由已知和（1）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这四个人分别为，成绩在区间内的学生有人，（7分）记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为：，基本事件数为15，（9分）事件“至少一人成绩在区间之间”的可能结果为：，基本事件数为9，（11分）所以. （12分）17.(本小题满分12分)设数列{a n}是公差大于零的等差数列，已知，. （1）求{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是以函数f(x)=4sin2px的最小正周期为首项，以为公比的等比数列，求数列{a n×b n}的前n项和.解析：（1）设的公差为，则，解得或（舍）.（5分）所以.（6分）（2）因为，其最小正周期为，故首项为.（7分）因为公比为，从而，所以，（8分）故.（12分）18.(本小题满分12分)(1)设函数f(x)=(sinwx+coswx)2+2cos2wx(w>0)的最小正周期为,将y=f(x)的图像向右平移个单位长度得到函数y=g(x)的图像,求y=g(x)的单调增区间．(2)设DABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，，b2=ac，求角B的大小.解析：（1）依题意得，故w=,由，解得故的单调增区间为: .(2)由及得，，所以.又由，利用正弦定理进行边角互化，得，故.所以或（舍去）.于是或，又由知或，所以.19.(本小题满分12分)如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.【解】（1）令y ＝0，得kx －201(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x ＝1＋k220k ＝k 1≤220＝10，当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10 km.（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka －201(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a≤6.所以当a 不超过6 km 时，可击中目标. 20. (本小题满分13分)已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的正弦值.解析：解法一 （1）取的中点是，连接，则，∴或其补角即为异面直线与所成的角．（2分）在中，，．∴．（4分）∴异面直线与所成的角的余弦值为．（6分） （2）因为平面，过作交于，连接．可得平面，从而，∴为二面角的平面角． （8分）在中，，，，∴．∴．∴二面角的的正弦值为．（13分）解法二（1）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系．则，（2分），，∴，（5分）∴异面直线与所成的角的余弦值为．（6分） （2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，所以，，（8分）则， ∴，从而，，（10分）令，则，，∴二面角的的正弦值为． （13分）21. (本小题满分14分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0．问在圆C 上是否存在两点A 、B关于直线y ＝kx －1对称，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存在，说明理由．解析:圆C 的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C 上存在两点A 、B 满足条件，则圆心C(1，－2)在直线y ＝kx －1上，即k ＝－1． [3分]于是可知，k AB =1．设l AB ：y=x+b ，代入圆C 的方程，整理得2x 2+2(b+1)x+b 2+4b-4=0， 则Δ=4(b+1)2-8(b 2+4b-4)>0，即b 2+6b-9<0．解得-3-3<b<-3+3． [8分] 设点A 、B 的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝21b 2＋2b －2．由题意知OA ⊥OB ，则有x 1x 2＋y 1y 2＝0， 也就是x 1x 2＋(x 1＋b)(x 2＋b)＝0．∴2x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝0． [12分] ∴b 2＋4b －4－b 2－b ＋b 2＝0，化简得b 2＋3b －4＝0． 解得b ＝－4或b ＝1，均满足Δ>0，即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0．[14分]。