2018学年高中数学选修1-2练习 第二章 推理与证明 2.2-

第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
第1课 时综合法
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x
中最大的一个是( ) A ．a
B ．b
C ．c
D ．不能确定
解析：∵0<x <1，∴b ＝1＋x >2x >2x ＝a .
又11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，知11－x
>1＋x ∴c >b >a ，最大的数为c .
答案：C
2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x
，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．b
B ．－b C.1b D ．－1b
解析：f (x )定义域为(－1， 1)，
f (－a )＝l
g 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b . 答案：B
3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2
－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )
A ．不成立
B ．成立
C ．不能断定
D ．与n 取值有关 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5
又a 1＝S 1＝2×12
－3×1＝－1适合上式．
∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)
故数列{a n }是等差数列．
答案：B
4．(2014·四川卷)若a >b >0， c <d <0，则一定有( )
A.a d >b c
B.a d <b c
C.a c >b d
D.a c <b d
解析：法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，
则a c ＝－1，b d
＝－1，排除选项C ，D ； 又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b c
，所以选项A 错误，选项B 正确． 法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以
1－d >1－c >0. 又a >b >0，所以
a
－d >b －c ，所以a d <b c . 答案：B
5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形 解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，
所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2
.所以该三角形是等腰或直角三角形． 答案：D
二、填空题
6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．
解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．
答案：综合法
7．角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．
解析：在△ABC 中，A >B ⇔a >b
由正弦定理a sin A ＝b sin B
，从而sin A >sin B . 因此A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，为充要条件．
答案：充要
8．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b
的最小值为________． 解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3
a ＋
b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14
， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114
＝4. 答案：4
三、解答题
9．已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2
)≥4abc .
证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0
所以(b 2＋c 2) a ≥2abc
又因为b >0，c 2＋a 2≥2ac
所以b (c 2＋a 2)≥2abc .
因此a (b 2＋c 2)＋bc (c 2＋a 2)≥4abc .
10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．
∴f (x ＋1)＝f (－x )
则y ＝f (x )的图象关于x ＝12
对称 ∴－b 2a ＝12
，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2
－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升
1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )
A ．恒为负值
B ．恒等于零
C ．恒为正值
D ．无法确定正负
解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.
答案：A
2．已知sin x ＝
55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________． 解析：∵sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x ＝－45
， ∴tan x ＝－12，∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－3. 答案：－3
3．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，点E 是PC 的中点．
(1)证明：CD ⊥AE .
(2)证明：PD ⊥平面ABE .
证明：(1)在四棱锥P ­ABCD 中，
因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .
因为AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .
又因为AE ⊂平面PAC ，所以CD ⊥AE .
(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，
可得AC ＝PA .
因为点E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .
由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ，
所以AE ⊥平面PCD .
又因为PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD .
因为PA ⊥底面ABCD ，
所以平面PAD ⊥平面ABCD .
又AB ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥PD .
又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .。