第四讲 数列综合检测题

第四讲 数列综合检测题一.选择题1．已知数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 11＝50，a 4＝13，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．4 C ．5 D ．6解析：由a 3＋a 11＝2a 7＝50可得a 7＝25；又由a 4＝13可得，公差d ＝a 7－a 47－4＝25－133＝4.答案：B2．(2010年高考重庆卷)在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8解析：∵a 2 010＝8a 2 007，∴q 3＝a 2 010a 2 007＝8.∴q ＝2.答案：A3．(2010年高考全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2解析：∵a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，且{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 2＝35，a 8＝310.∴a 8a 2＝32，即q 6＝32.∴q 3＝62.∴a 4a 5a 6＝a 35＝(a 2q 3)3＝(35·62)3＝5 2. 答案：A4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8等于( ) A ．18 B ．36 C ．54 D ．72解析：因为a 4＝18－a 5，所以a 4＋a 5＝18.故S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝4×(a 4＋a 5)＝4×18＝72，选D. 答案：D5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝35，点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，则S n 的最大值为( ) A ．16 B ．35 C ．36 D ．32解析：根据题意有a 5－a 35－3＝－2，故公差d ＝－2，由S 5＝35得5a 1－20＝35，即a 1＝11，所以a n ＝11＋(n －1)×(－2)＝13－2n ，由于a 6>0，a 7<0，故S n 的最大值为S 6＝6×11＋6×52×(－2)＝36. 答案：C6．(2010年高考北京卷)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12解析：在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.又∵a m ＝qm －1，∴m －1＝10，∴m ＝11. 答案：C 7．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，若前n 项的和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴a 1＝2－1，a 2＝3－2，…，a n ＝n ＋1－n .∴S n ＝n ＋1－1＝10. ∴n ＝120，故选C. 答案：C8．在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2010＝( )A ．－2B ．－13C ．－12D ．3解析：由条件可得：a 1＝－2，a 2＝－13，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝－2，…，即{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2010＝a 2＝－13.故选B.答案：B9．已知m ∈(0，＋∞)，数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1m＋log 2x n ，设x 1＋x 2＋…＋x m ＝a 1＝1，…，x 1＋(n －1)m x 2＋(n －1)m ＋…＋x nm ＝a n ，则a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2n ＋1 D ．22n解析：由log 2x n ＋1＝1m ＋log 2x n 知，x n ＋1x n＝m 12，设m 12＝q ⇒q m ＝2，且x 1＋x 2＋…＋x m ＝a 1＝1，则x 1＋(n －1)m ＋x 2＋(n －1)m ＋…＋x nm ＝a n ＝x 1q (n－1)m ＋x 2q (n －1)m ＋…＋x m q (n －1)m ＝a 1q (n －1)m＝q (n －1)m ＝2n －1. 答案：B10．等比数列{a n }的首项为3，公比为2，其前n 项和记为S n ；等比数列{b n }的首项为2，公比为3，其前n 项和记为T n ，则li m n →∞a n ＋b nS n ＋T n等于( ) A.12 B ．1 C.23D ．2 解析：由已知，得a n ＝3·2n －1，S n ＝3·(1－2n )1－2＝3·2n －3；b n ＝2·3n －1，T n ＝2·(1－3n )1－3＝3n －1.∴a n ＋b n S n ＋T n ＝3·2n －1＋2·3n －13·2n ＋3n－4＝3·(23)n －1＋26·(23)n －1＋3－4(13)n －1， ∴li m n →∞ a n ＋b n S n ＋T n ＝23. 答案：C11．(2010年广州模拟)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( )A.11 260B.1840C.1504D.1360解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可得：第10行第一个数为110，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可得：第10行第二个数等于19－110＝190，同理，可得第9行第二个数为172，从而第10行第三个数等于172－190＝1360；第9行第三个数为1252，从而第10行第四个数等于1252－1360＝1840.答案：B12．(2010年高考湖北卷)如图中，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设S n 为前n 个圆的面积之和，则li m n→∞S n ＝( )A ．2πr 2 B.83πr 2C ．4πr 2D ．6πr 2 解析：由题意，知后一个圆的半径是前一个圆的半径的32.∴S n 是以πr 2为首项，34为公比的等比数列的前n 项和． ∴li m n →∞S n ＝πr 21－34＝4πr 2. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2010年高考福建卷)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________. 解析：∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4， 不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2 ＝a 1(1＋4＋16)＝21a 1＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1＝4n －1.答案：4n －114．(2010年宝鸡模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n ＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 最大．答案：4或515．数列{a n }的通项a n ＝n 2(cos 2n π3－sin 2n π3)，其前n 项和为S n ，则S 30为________．解析：a n ＝n 2(cos 2n π3－sin 2n π3)＝n 2·cos 2n π3，令b n ＝a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝(3n －2)2×(－12)＋(3n －1)2×(－12)＋(3n )2＝9n －52，故S 30＝a 1＋a 2＋…＋a 30＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝(9－52＋9×10－52)×102＝470.答案：47016．已知li m x →2x 2＋ax ＋2x －2＝b ，则函数y ＝x 2＋ax ＋b 的单调递减区间是________． 解析：由已知，得，x ＝2是x 2＋ax ＋2＝0的解．∴a ＝－3.∴y ＝x 2＋ax ＋b 可化为y ＝x 2－3x ＋b ，其减区间为(－∞，32]．答案：(－∞，32]三、解答题(本题有6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(满分12分)(2010年高考陕西卷)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解析：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列的前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.18．(满分12分)(2010年高考课标全国卷)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1. 而当n ＝1时，a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1，①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．19．(满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝3a n －1－2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)若数列{b n }满足b n ＝a n －21－a n，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式以及最大值，并说明理由．解析：(1)∵a n ＝3a n －1－2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝a n －21－a n ＝3a n －1－2a n －1－21－3a n －1－2a n －1＝3a n －1－2－2a n －1a n －1－(3a n －1－2)＝a n －1－22(1－a n －1)＝12b n －1.∴b n b n －1＝12，又∵b 1＝－12，故数列{b n }是首项为b 1＝－12，公比为12的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－(12)n .从而可得a n －21－a n＝－(12)n ，解得a n ＝1＋11－(12)n ＝2n ＋1－12n －1(n ∈N *)．∴数列{a n }为单调递减数列．∴当n ＝1时，a n 有最大值3，即数列{a n }的最大值是a 1＝3.20．(满分12分)(2010年高考湖北卷)已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．解析：(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n .又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·()23n －1， 故1－a 2n ＝34·()23n －1⇒a 2n ＝1－34·()23n －1. 又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0， 故a n ＝(－1)n－11－34·()23n －1.b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝⎣⎡⎦⎤1－34·()23n－⎣⎡⎦⎤1－34·()23n －1＝14·()23n －1.(2)证明：(反证法) 假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14·()23s －1＝14·()23r －1＋14·()23t －1，两边同乘3t －121－r , 化简得3t －r＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．21．(满分12分)(2010年山东师大附中二次模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12，n ＝2k －1(k ∈N *)，2n 2，n ＝2k (k ∈N *).设b n ＝a 2n －1a 2n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .证明：当n ≥6且n ∈N *时，|S n －2|<1n.证明：由已知得a 2n －1＝2n －1＋12＝n ，a 2n ＝22n2＝2n ，故b n ＝a 2n －1a 2n ＝n2n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1×12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n (12)n ，12S n ＝1×(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)·(12)n ＋n ·(12)n ＋1，两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋(12)3＋(12)4＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1 ＝1－(12)n －n (12)n ＋1.化简得S n ＝2－(n ＋2)(12)n .故|S n －2|＝(n ＋2)(12)n ，所以|S n －2|<1n ⇔(n ＋2)(12)n <1n⇔n (n ＋2)<2n .问题转化为证明：当n ≥6时，n (n ＋2)<2n. 采用数学归纳法：(1)当n ＝6时，n (n ＋2)＝6×8＝48,2n ＝26＝64,48<64，此时不等式成立； (2)假设n ＝k (k ≥6且k ∈N *)时，不等式成立，即k (k ＋2)<2k ，那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k >2k (k ＋2)＝2k 2＋4k ＝k 2＋4k ＋k 2>k 2＋4k ＋3＝(k ＋1)(k ＋3)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋2]， 这说明，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上可知，当n ≥6时，n (n ＋2)<2n 成立，原命题得证．22．(满分14分)(2010年高考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n <a n ＋1<3成立的c 的取值范围．解析：(1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4()b n ＋23.又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以{}b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，即b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2>a 1，得c >2. 用数学归纳法证明：当c >2时，a n <a n ＋1.①当n ＝1时，a 2＝c －1a 1>a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k <a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1>c －1a k ＝a k ＋1.故由①②，知当c >2时，a n <a n ＋1.当c >2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n >a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1<0有解．所以c －c 2－42<a n <c ＋c 2－42. 所以令a ＝c ＋c 2－42，当2<c ≤103时，a 在(]2，103上单调递增，所以a n <a ≤3；当c >103时，a >3，且1≤a n <a ，a ＝c ＋c 2－42，1a ＝2c ＋c 2－4＝c －c 2－42，所以c ＝a ＋1a .又c ＝a n ＋1＋1a n ，所以a ＋1a ＝a n ＋1＋1a n，所以a －a n ＋1＝1a n －1a ＝1a n a(a －a n )．又a n ·a >3，所以a －a n ＋1＝1a n a (a －a n )<13(a －a n )<132(a －a n －1)<133(a －a n －2)<…<13n 1(a －a 2)<13n (a －1)，所以当n >log 3a －1a －3时，a －a n ＋1<a －3，所以a n ＋1>3，与已知矛盾．所以c >103不符合要求．故c 的取值范围是(]2，103.22．数列{a n }中a 1＝t ，a 2＝t 2(t >0且t ≠1)．函数f(x)=3a n －1x 2－3[(t ＋1)a n －a n ＋1](n ≥2)且f （t ）=0．(1)证明数列{a n －1－a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2(1－1a n)，当t ＝2时，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使S n >2010的n 的最小值．解析：(1)证明：f ′(x )＝．由题意知f ′(t )＝0，即3a n －1(t )2－3[(t ＋1)a n －a n ＋1]＝0(n ≥2)， ∴a n ＋1－a n ＝t (a n －a n －1)(n ≥2)． ∵t >0且t ≠1，a 2－a 1＝t (t －1)≠0，∴数列{a n ＋1－a n }是以t 2－t 为首项，t 为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝(t 2－t )t n －1＝(t －1)t n ，∴a 2－a 1＝(t －1)t ，a 3－a 2＝(t －1)t 2，…，a n －a n －1＝(t －1)t n －1， 以上各式两边分别相加得a n －a 1＝(t －1)(t ＋t 2＋…＋t n －1)， ∴a n ＝t n (n ≥2)，当n ＝1时，上式也成立， ∴a n ＝t n .(2)当t ＝2时，b n ＝2－12n －1，∴S n ＝2n －(1＋12＋122＋…＋12n －1)＝2n －1－12n1－12＝2n －2(1－12n )＝2n －2＋22n .又S n ＋1－S n ＝2－12n >0，所以数列{S n }是单调递增数列．由S n >2 010，得2n －2＋2(12)n >2 010，n ＋(12)n >1 006，当n ≤1 005时，n ＋(12)n <1 006，当n ≥1 006时，n ＋(12)n >1 006，因此当S n >2 010时，n 的最小值为1 006.。