数列综合测试题含标准答案
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题含答案
韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}2320B x x x =-+=∣，则()UA B =（ ） A.{}0,2B.{}1,0-C.{}1,2D.{}1,02．若11z i =+，21(2)z z i =+，1z 是1z 的共轭复数，则2z =（ ）B.2D103．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.5．已知(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若b c ⊥，则向量c 在向量a 上的投影向量为（ ） A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ） A ．6小时B ．7小时C ．8小时D ．9小时7．已知点O 为坐标原点，点F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.38．已知函数()2lne xf x x e ex-=-+，若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（ ）A.34C.54D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m =B ．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时 C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D ．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310．已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则 A ．1BD ∥平面1C DE B.1BC AC ⊥C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11．设A 是抛物线2:4C x y =上一点，F 是C 的焦点，A 在C 的准线l 上的射影为M ，M 关于点A 的对称点为N ，曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ，直线NF 交直线l 于点Q ，则A ．F 到l 距离等于4 B.FM FN ⊥C ．FPQ △是等腰三角形D ．||MQ 的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是 A.ln1.5ln 41⋅<B.ln1.10.1>C.19202019<D.22ln 24ln 4e >- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知(0,)απ∈，且1cos 22sin 2αα-=-，则cos()πα-=________.15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点，当P 与o （o 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________.16．已知三棱锥P ABC -中，PBC △为等边三角形，AC AB ⊥，PA BC ⊥，PA =BC =________；若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在ABC △中，D 为AC 的中点，且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.（1）证明：2BA BD =；（2）若22AC BC ==，求ABC △的面积． 18．（本小题12分） 已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 为等比数列； （2）若1231111140na a a a ++++>，求满足条件的最小正整数n . 19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 20．（本小题12分）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE △翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：BF AE ⊥；（2）若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题12分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不在x 轴上）为直线6x =上一点，直线AD 交曲线C 于另一点P . （1）证明：PB BC ⊥；（2）设直线BD 交曲线C 于另一点Q ，若圆O （O 是坐标原点）与直线PQ 相切，求该圆半径的最大值. 22．（本小题12分）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，m R ∈.（1）若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；（2）若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >．2023届高三综合测试（一） 数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题（每小题5分）1.【解析】由题意，23201,2B x x x =-+==，所以2,1,2AB =-，所以(){} 1,0UA B =-，故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-，所以，2z ==，故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意，322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <，所以选D.5.【解析】因为b c ⊥，所以3t =-，()0,4c =，所以向量c 在向量a 上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=，所以选B. 6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ，依题意，经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅，所以，10.92nm m ⋅≤，lg 2lg 27.51lg912lg3n ≥=≈--，故选C. 7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∵直线OP 的方程为b y x a =，(),0F c ，∴直线PF 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P a x c =，P ab y c =，∵12PQ PF =，∴Q 是PF 的中点，故222Q a c x c +=，2Q ab y c =，代入双曲线方程，得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理，得()2222222144aca a c c+-=，222c a =，e =故选A. 法2：∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∴PF b =，从而1122PQ PF b ==，设双曲线左焦点为1F ，连结1QF ，则由定义知11222QF a QF a b =+=+，在Rt FPO △中，cos PF bPFO OF c∠==， 在1FQF △中，由余弦定理得：2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠，即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a b =，所以e =8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e xf x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=-- 由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，23a =，43b =时等号成立； 当0a <时，1||112152()11222222ab a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b+的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.误；对于B ，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的352 6.54+⨯=，故B 正确； 对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时，故C 正确； 对于D ，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人，女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人，故D 错误.故选：BC. 10.【解析】对于A ，设1CD 交1C D 于F ，可得1EF BD ∥，从而得到1BD ∥平面1C DE ；所以A 正确；对于B ，可以求得1BC ，AC 所成角为3π，所以B 不正确. 对于C ，转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确； 对于D ，设正方体棱长为1，1116D ACD B ACD V V --==，D 正确.所以选AD. 11.【解析】对于A ，焦点到准线距离2p =，A 不正确.对于B ，因为C ：24x y =的准线为l ：1y =-，焦点为()0,1F ，设()00,A x y ，则()0,1M x -，()00,21N x y +，所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+=，所以90MFN ∠=︒，（或由抛物线定义知AM AN AF ==，所以90MFN ∠=︒，）故选项B 正确；对于C ，因为A 处的切线斜率，02AP x k =，而20000012242NF x y x k x x ⋅===，所以AP NF k k =， 从而AP NF ∥，又A 是线段MN 中点，所以，P 是线段MQ 的中点，又90MFN ∠=︒， 所以，PQ PF =，所以C 正确. 对于D ，因为02NFx k =，所以直线FN 的方程为012x y x -=，令1y =-，得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=，当且仅当02x =时，最小值为4，故选项D 正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A ，因为，2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，所以，A 正确；对于B ，由切线不等式()ln 11x x x <-≠，得ln1.1 1.110.1<-=，B 不正确 对于C ，由19202019<得19ln 2020ln19<，1920ln19ln 20<，设()ln x f x x=，0x >且1x ≠，()()2ln 10ln x f x x -'==，得x e =，当01x <<和1x e <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x e >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以1920ln19ln 20<，C 正确. 对于D ，因为24ln 2ln 4=，22242222ln ln ln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()24f f =，且2242e e <<<， 所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即224ln 4ln 2e <-，D 正确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.13.【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，∴tan 2α=-， ∵()0,απ∈，sin 5α=，cos 5α=-，∴cos()cos 5παα-=-=. 15.【解析】因为点P 是直线l ：2150x y +-=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =-，所以12POk =，由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，6x =，3y = 所以，P ，Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ，AB ，AC 两两垂直且长度均为成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则11322R AG ===. 设三棱锥外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，内切球与平面PBC 的切点为K ，易知：1O ，2O ，K 三点均在AG 上，且AK ⊥平面PBC ，设内切球的半径为r ，由等体积法：()1133ACP ABP ABC BCP ABCS S S Sr S AP +++=⋅，得1r =，将几何体沿截面PAEG切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AK GK =，6AG =，∴4GK =，∴M ，N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+=.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）. 17.（本小题满分10分）（1）证明：在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即，sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=，所以，sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDC BAD ∠∠=所以，2BABD= 2BA BD = 4分设BD x =，则2BA x =，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB BC AC BC AC BCA ∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分 解得：3cos 4BCA ∠=，sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABCSBC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯=. 10分 18.（本小题满分12分）解：（1）11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==- 111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =，公比为34等比数列 5分 （2）由（1）可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分 而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++>，即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则140n ≥ ∴n 的最小值为140. 12分 19.（本小题满分12分）解：记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =，()24210C P AB C =所以，()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分 （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以()034631020101206C C P X C ⋅====，()124631060111202C C P X C ⋅====， ()2146310363212010C C P X C ⋅====，()304631041312030C C P X C ⋅====， 所以X 的分布列如下表：所以()23210305E X =+⨯+⨯= 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C ， 则()2332122033327P C C b ===+=， 由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*n N ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分 20.（本小题满分12分） （1）证明：依题意ABCD 矩形，4AB =，2BC =，E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE 求得AE BE ==，又4AB =，所以， 222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为，平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE = 所以，AE ⊥平面BEF ，又BF ⊂平面BEF ，所以AE BF ⊥ 5分（2）以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()2,0,0E ， 设N 是BE 的中点，FE FB =有FN BE ⊥， 又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF平面ABCD BE =FN ∴⊥平面ABCD ，()1,1,2F 8分假设存在满足题意的λ，则由(01)DP DB λλ=<<. 可得，(43,12PF DB DF λλλ=-+=--. 设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2030x xy -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y =0x =，1z =-，即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nn n=解得34λ=（1λ=舍去） .综上，存在34λ=，使得PF 与平面ADE12分21.（本小题满分12分） 解（1）设()00,P x y ∴002AP y k x =+，直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 令6x =，得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000822622BDy x y k x +==-+， 2分 又∵002BPy k x =-，且2200142x y += ∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， ∴PB BD ⊥， 4分（2）当直线PQ 不垂直x 轴时，设直线PQ 方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->，2242k m +>21212224241212km m x x x x k k --+=⋅=++ 6分由（1）可知，1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+= 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++，代入上式得：()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即：()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-（舍去），10分 所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭，当PQ 垂直x 轴时，同样成立。
2022届云南省昆明市高三年级上册学期第三次综合测试数学(文)试题【含答案】
2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学（文）试题一、单选题1．设集合A ={ }，B ={ }，则A ∩B =（ ）2|230x x x --<()|ln 2x y x =-A ．{x |＜x ＜2}B ．{x |＜x ＜3}1-1-C ．{x |＜x ＜2}D ．{x |1＜x ＜2}3-【答案】A 【分析】分别求得，B ={}，求交集即可得解.{}|13A x x =-<<|2x x <【详解】由可得或，2230x x --==1x -3x =所以，{}|13A x x =-<<由，可得，20x ->2x <所以B ={}，|2x x <所以A ∩B =，{}|12x x -<<故选：A2．已知，则复数z +5的实部与虚部的和为（ ）2i 12i z=++A ．10B ．C ．0D ．10-5-【答案】A【分析】首先根据复数的运算可得，由即可得解.(12i)(2i)5i z =++=555i z +=+【详解】由可得，2i12i z=++(12i)(2i)5i z =++=，555i z +=+所以的实部与虚部的和为，5z +5510+=故选：A3．图二的程序框图所示的算法来自《九章算术》.若输入的值为16， 的值为24，则执行该程a b 序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【详解】由程序框图，得当输入，则，，输出的值16,24a b ==24168,16b a =-==1688a =-=a 为8；故选C.4．已知数据是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入12,,,n x x x *(3,)n n n N ≥∈，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）1n x +1n +A ．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变；B ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变.【答案】B【分析】根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn +1后，数据的变化特征，易得年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，方差会变大．【详解】因为数据x 1，x 2，x 3，…，xn 是普通职工n （n ≥3，n ∈N *）个人的年收入，而xn +1为世界首富的年收入则xn +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，xn ，故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到xn +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选：B ．5．设，，，则，，的大小关系是（ ）0.32=a 20.3b =()2log 0.3m c m =+(1)>m a b c A ．B ．C ．D ．a b c <<b a c <<c b a<<b<c<a【答案】B【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，进行大小比较，从而得出相应答案．【详解】根据指数函数的单调性可得：，即， ，即，00.31222<<12a <<2000.30.31<<=由于，根据对数函数的单调性可得：，即，1m >()22log 0.3log 2m m m m +>=2>c 所以，故答案选B ．【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小．a 6．将一根绳子对折，然后用剪刀在对折过的绳子上任意一处剪断，则得到的三条绳子的长度可以作为三角形的三边形的概率为A ．B ．C ．D ．16141312【答案】D【详解】试题分析：三边要能成为三角形，那么两边之和大于第三边，所以应在对折过的绳子的中点处和对折点之间的任意位置剪短，所以能构成三角形的概率,故选D.【解析】几何概型7．函数y ＝1＋x ＋的部分图象大致为（ ）2sin x xA ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.8．设等差数列满足，且为其前n 项和，则数列的最大项为( ){}n a 81535a a =10,n a S >{}n S A ．B ．C ．D ．23S 25S 24S 26S 【答案】B【分析】设等差数列的公差为，由，利用通项公式化为，由可{}n a d 81535a a =12490a d +=10a >得，，利用二次函数的单调性即可得出答案0d <()()21162525222n n n d S na d n d -=+=--【详解】设等差数列的公差为，，{}n a d 81535a a = ()()1137514a d a d ∴+=+即12490a d +=，则10a > 0d <等差数列单调递减∴{}n a ()()21162525222n n n d S na d n d -=+=--当时，数列取得最大值25n ={}n S 故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，二次函数的单调性，考查了推理n 能力与运算能力，属于中档题．9．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据题意和正三棱锥的性质，得到正三棱锥的底面面积和高，直接列棱锥的体积公式即可计算得到答案.【详解】由已知得，正三棱锥的底面是正三角形，且底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以，该底面的正三角形的外接圆的半径就是球的半径，且该正三棱锥的高也是球的半径，所以，，如1R =1h =图，，且，底面的面积为120AOB ∠=1OA OB R ===21sin1202OAB S R =⨯⨯=△13OAB V S h =⨯=△故选：D10．已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴sin cos y x a x =+3x π=sin cos y a x x =+是（ ）A ．B ．56x π=23x π=C ．D ．3x π=6x π=【答案】D【分析】先由函数的图像关于对称，求出化sin cos y x a x =+π3x =a =sin cos y a x x =+简即可求出.【详解】函数变为，（令）.sin cos y x a x =+()y x θ=+tan a θ=因为函数的图像关于对称，所以,sin cos y x a x =+π3x =Zπ,ππ32k k θ+=+∈解得：.Zπ6π,k k θ=+∈所以.πtan tan π6a k θ⎛⎫==+=⎪⎝⎭所以函数，其中()sin cos cos y a x x x x x ϕ=+=+=+tan ϕ=其对称轴方程,所以.ππ,Z 2x k k ϕ+=+∈ππ,Z2x k k ϕ=+-∈因为，所以.tan ϕ=11ππ,Z3k k ϕ=+∈()1ππππ26x k k k ϕ=+-=-+当时， 符合题意.1k k =π6x =对照四个选项，D 正确.故选：D.11．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆F 28y x =A B 28y x =的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是224120x y x +--=AB x FAB ∆（ ）A ．B ．C ．D ．(6,10)(8,12)[6,8][8,12]【答案】B【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置AF关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.B FAB ∆【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，28y x =()2,0F 2x =-根据抛物线定义可得，2A AF x =+圆，圆心为，半径为，()22216x y -+=()2,04点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.A B 28y x =224120x y x +--=点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心A B AB x x 和半径可知，()2,6B x ∈则的周长为，FAB ∆246A B A BAF AB BF x x x x ++=++-+=+所以，()68,12B x +∈故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.12．函数与函数的图像至少有两个公共点，关于的不等式有解，2y kx =+1||y x =k ()20k a k -->则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．1(,3-∞1(1,)3-(,1)-∞-[1,)+∞【答案】A【分析】根据导数的几何意义得出的取值范围，再求出的最大值，进而得出实数的k ()2kg k k =-a 取值范围.【详解】令，1(),0f x x x =>设直线的方程为，且与切于，，1l 12y k x =+1(),0f x x x =>001,A x x ⎛⎫⎪⎝⎭21()f x x '=-则，显然，则，1201k x =-10k<0x =因为，解得，10012k xx =+22k ==11k =-由对称性可知，与相切的直线的斜率，1(),0f x x x =-<2l 21k =因为函数与函数的图像至少有两个公共点，所以，2y kx =+1||y x =11k -≤≤不等式等价为，()20k a k -->2k a k <-令，即函数在上单调递减，即，即()20(),()222k g k g k k k-'=--<=()g k []1,1-max 1()(1)3g k g =-=.13a <故选：A二、填空题13．已知向量，则它们的夹角是______ ；(a b ==【答案】π3【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.【详解】，1cos ,2a b =则为锐角，所以.,a bπ,3a b =故答案为：π314．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的C C C A B ABC实轴长的2倍，则的离心率为_____________．C 【详解】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，22221(0,0)x y a b a b -=>>224b a a =222b a =，所以双曲线的离心率为223c a =e =点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂22b a 直的弦长为.2p 15．已知数列中，，为数列的前项和，，且当时，有{}n a 1=1a n S {}n a n 0n S ≠2n ≥成立，则________.221n n n na a S S =-2017S =【答案】11009【分析】根据时满足，结合所给条件可证明为等差数列.再由等差数列定义2n ≥1n n n a S S --=2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭即可求得数列前项和的通项公式，即可代入求解.{}n a n n S 【详解】当时，，代入，2n ≥1n n n a S S --=221nn n na a S S =-化简可得，()()11212n n n n n n n n S S S S S S S S ----=--=-所以，又，1221n n S S -=-122S =所以是以2为首项，1为公差的等差数列，2n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，故，21n n S =+21n S n =+则.201711009S =故答案为：.11009【点睛】本题考查了等差数列中的简单应用，等差数列通项公式的求法，属于基础题.1n n n a S S --=16．如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，过直线ABCD A B C D -''''1E F AA 'CC '的平面分别与棱、交于、，设，，给出以下四个命题：EF BB 'DD 'M NBM x =[]0,1x ∈①平面平面；MENF ⊥BDD B ''②当且仅当时，四边形的面积最小；12x =MENF ③四边形周长，是单调函数；MENF ()L f x =[]0,1x ∈④四棱锥的体积为常函数；C MENF '-()V h x =以上命题中真命题的序号为___________.【答案】①②④【分析】对于①根据平面以及，即可由线面垂直证明面面垂直；对于②，AC ⊥BDD B ''//EF AC 四边形是菱形即可作出判断；对于③，根据勾股定理可算菱形的边长，进而根据函数特征MENF 即可判断；对于④，根据四棱锥分割成两个三棱锥，而三棱锥的底面积和高都是定值即可判断.【详解】①连接、，在正方体中，因为且，BD AC ABCD A B C D -''''//AA CC ''AA CC ''=、分别是棱、的中点，则且，E F AA 'CC '//AE CF AE CF =所以四边形是平行四边形，故，EFCA //EF AC 因为四边形为正方形，则，则，ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥因为平面，平面，所以，故，BB '⊥ABCD AC ⊂ABCD '⊥AC BB EF BB '⊥因为，、平面，则平面，BD BB B '⋂=BD BB '⊂BDD B ''EF ⊥BDD B ''又因为平面，所以平面平面，所以①正确；EF ⊂MENF MENF ⊥BDD B ''②连接，因为平面平面，平面平面，MN //AA B B ''CDD C ''MENF ⋂AA B B ME ''=平面平面，所以，，同理可得，MENF ⋂CC D D NF ''=//ME NF //NE MF 所以，四边形是平行四边形，MENF 由平面，平面，所以，EF ⊥BDD B ''MN ⊂BDD B ''EF MN ⊥故四边形为菱形，且对角线是定值，MENF EF 要使四边形面积最小，只需的长最小即可，在棱取，MENF MN DD 'DP BM x ==所以，MN =故当时，最小，因此当为棱的中点时，12x =MN M 即当且仅当时，四边形的面积最小，所以②正确；12x =MENF ③因为，所以四边形是菱形，EF MN ⊥MENF在正方形中，BCC B ''MF =当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦BF 1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦BF 所以周长，不是单调函数，所以③错误；()4L f x MF==[]0,1x ∈④连接、、，把四棱锥分割成两个小三棱锥，C E 'C M 'C N 'C MENF '-它们以为底，、为顶点，C EF ' M N ，平面，平面，则平面，//BB C F '' BB '⊄C EF 'C F '⊂C EF '//BB 'C EF '因为，则到平面的距离为定值，同理，到平面的距离也为定值，M BB '∈M C EF 'N C EF '所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确.C MENF '-()V h x =命题中真命题的序号为①②④．故答案为：①②④．三、解答题17．如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD =1，E 为AC 的中点，AE =，cos B =32∠ADB =．23π(1)求AD 的长；(2)求△ADE 的面积．【答案】(1)2【分析】（1）首先利用同角三角函数可得sin B ==，在中利用正弦定理即可得解；sin sin()BAD B ADB ∠=+∠=ABD △（2）在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD •CDcos ∠ADC ，解得1DC =， 代入即可得解.11sin 24ADE ADC S S AD DC ADC ==⋅∠【详解】（1）在△ABD 中，∵，cos B =(0,)B π∈∴sin B ===∴1sin sin()()2BAD B ADB ∠=+∠=-=由正弦定理，知．sin sin AD BDB BAD =∠·sin 2sin BD BAD BAD===∠（2）由（1）知AD =2，依题意得AC =2AE =3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD •CDcos ∠ADC ，即，29422cos3DC CD π=+-⨯⨯∴DC2-2DC -5=0，解得． 1DC =∴11sin 2(122ADC S ADDC ADC =⋅∠=⨯⨯= 从而12ADE ADC S S == 18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x （°C ）1011131286就诊人数y （个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；（附：，）()()()1122211n ni i i i i i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx∧====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-【答案】(1)13(2)183077y x =-【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型， 从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，抽26C 到相邻两个月的数据的情况有5种，代入公式即可得解；（2）先由数据求得，再由求，再由由求得，即可.11,24x y ==41422144i ii ii x y x yb xx ∧==-=-∑∑b ∧ˆˆa y bx =-ˆa【详解】（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，26C 每种情况都是等可能出现的，其中满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P （A ）=，51153=（2）由数据求得，11131282529261611,2444x y ++++++====由公式求得，4142222222141125132912268164112418111312841174i ii ii x y x yb xx ∧==-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===+++-⨯-∑∑所以，182ˆˆ4117ay bx =-=-⨯=307-∴y 关于x 的线性回归方程为.183077y x =-19．如图，四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB =2CD =AC BD =F ，且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 中点，G 为△PAD 的重心.(1)求证：GF ∥平面PDC ；(2)求三棱锥G -PCD 的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）设PD 的中点为，连接AH ，CH ．证明GF ∥CH ，然后证明GF ∥平面PDC ．H （2）通过VG ﹣PCD ＝VF ﹣PCD ＝VP ﹣CDF ，转化求解即可．【详解】（1）设PD 的中点为H ，连接AH ，CH ．∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝，AC BD F = ∴，2AF ABFC CD ==又∵G 为△PAD 的重心G ，∴，∴GF ∥CH ，2H AGG =又∵GF ⊄面PDC ，CH ⊂面PDC ，∴GF ∥平面PDC ，（2）由（1）知GF ∥平面PDC ，则VG ﹣PCD ＝VF ﹣PCD ＝VP ﹣CDF ，AB =2CD =CD △PAD 与△ABD 均为正三角形，且AB =AD =AB =PE =3，△ABD 的高为3，∵，∴12DF FB =112CDF S ==△∴.133P CDF V -==20．已知椭圆的焦距为22221(0)x y a b a b +=>>（1）求椭圆方程；（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，，(0,)B b k D x E ||BD ||BE 成等比数列，求的值．||DE 2k 【答案】（1）；（2）2214x y +=2k=【分析】（1）由焦距为，列出关于的方程组，求出222a b c =+,,a b c 从而求出椭圆方程；,a b （2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出点D 、E 的坐标，然后利用|BD|，|BE|，|DE |成等比数列，即可求解．【详解】（1）由已知，2c=c a=2a =c =所以2221b ac =-=椭圆的方程为2214x y +=（2）由（1）得过点的直线为，B 1y kx =+由，得，22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()224180k x kx ++=所以，所以，2814D kx k =-+221414D k y k -=+依题意，．0k ≠12k ≠±因为，，成等比数列，所以，||BD ||BE ||DE 2||||||BE BD DE =所以，即，()21D Db y y =-()11D Dy y -=当时，，无解，0D y >210D D y y -+=当，0D y <210DD y y --=D y =所以221414k k-=+2k =所以，当，，成等比数列时，||BD ||BE ||DE 2k =【点睛】方法点睛（1）求椭圆方程的常用方法：①待定系数法；②定义法；③相关点法．（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于（或）的x y 一元二次方程，设出交点坐标），利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式()()1122,,,A x y B x y大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题及，联立即可求解．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运221414D k y k -=+()11D D y y -=算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．属于中档题.21．已知关于的函数x ()(0)e xax af x a -=≠(1)当时，求函数的极值；1a =-()f x (2)若函数没有零点，求实数取值范围.()()1F x f x =+a 【答案】(1)极小值为，无极大值；2e --(2)2()e ,0-【分析】（1）由，求导可得，再根据导数的应用即可得解；1a =-2()e x x f x -'=（2）根据零点存在性定理分和两种情况讨论即可得解.a<00a >【详解】（1），.2e (2)(2)()(e )e x x xa x a x f x ----=='x ∈R 当时，，的情况如下表：1a =-()f x ()f x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '-0+()f x ↘极小值↗所以，当时，函数的极小值为，无极大值；1a =-()f x ()22e f -=-（2）.(2)()()e x a x F x f x --=='' ①当时，的情况如下表：a<0(),()F x F x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '-0+()f x ↘极小值↗因为， 若使函数没有零点，需且仅需，(1)10F =>()F x 2(2)10e aF =+>解得，所以此时；2e a >-2e 0a -<<②当时，的情况如下表：0a >(),()F x F x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '+0-()f x ↗极大值↘因为，且，(2)(1)0F F >>10110101110e10e 10(1)0eea aaF a------=<<所以此时函数总存在零点.()F x 综上所述，所求实数的取值范围是.a 2()e ,0-22．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标O x C 方程为，直线的参数方程为：(为参数)，点的极坐标为2410cos ρρθ-+=l x 31y t2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t A ，设直线与曲线相交于两点．π6l C ,P Q (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；C l (2)求的值．AP AQ OP OQ⋅⋅⋅【答案】（1），（2）122(2)3x y -+=0x =【分析】（Ⅰ） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C 的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l 的普通方程；（Ⅱ） 点A 的直角坐标为（3），设点P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，点P ，Q的极坐标分别为（），（）．将（t 为参数）与（x﹣2）2+y 2=3联立，得：16πρ，26，πρ312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 1t 2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【详解】Ⅰ曲线C 的直角坐标方程为：，即()22410x y x +-+=，直线l 的普通方程为22(2)3x y -+=0x =Ⅱ点A 的直角坐标为，设点P ，Q 对应的参数分别为，，点P ，Q 的极坐标分别为()(1t 2t ，将为参数与联立得：，1,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,.6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭3(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩)22(2)3x y -+=210t ++=由韦达定理得：，121t t =1AP AQ =将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：()6R πθρ=∈24cos 10ρρθ-+=，由韦达定理得：，即210ρ-+=121ρρ=1OP OQ =所以，12121AP AQ OP OQ t t ρρ==【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．23．（1）已知函数，解不等式；()|1|f x x =-2()10f x x +->（2）已知函数，解不等式．()|2||1|f x x x =+--()5f x x ≥【答案】（1）{x |x ＞1或x ＜0}；（2）（-∞，]13【分析】（1）分和两种情况讨论即可；1x ≥1x <（2）分三种情况讨论即可得解.2,21,1x x x >--≤<≥【详解】（1）∵已知函数f （x ）=|x -1|，故不等式f （x ）+x 2-1＞0， 若，|x -1|＞1-x 2，∴x -1＞1-x 2①，1x ≥若，x -1＜-（1-x 2）②． 1x <解①求得x ＞1，解②求得 x ＜0，综上可得，原不等式的解集为 {x |x ＞1或 x ＜0}． （2）已知函数f （x ）=|x +2|-|x -1|，由不等式f （x ）≥5x 可得①，②，③．235x x <-⎧⎨-≥⎩21215x x x -≤<⎧⎨+≥⎩135x x ≥⎧⎨≥⎩解①求得x ＜-2，解②求得-2≤x ≤，解③求得x ∈∅． 13综上可得，不等式的解集为（-∞，].13。
高中数学《数列》练习题(含答案解析)
高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。
某重点中学高考数学(文科)模拟试卷(1)(含标准答案)
某重点中学高考数学（文科）模拟试卷(1)（含标准答案）满分：150 时间：120分钟一、选择题：（每题5分，共40分） 1、若集合{}{}M y y N x y x x====--||21，，则M N =（ ）A. ()0，+∞B. [)0，+∞ C. [)1，+∞D. ()1，+∞2、如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ） A ．36B ．4C ．2D ．13、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．94、设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 6、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,7、 函数f x x()=+21的反函数为f x -1()，则不等式f x -<10()的解集为（ ）A. （0，2）B. （1，2）C. （-∞，2）D. （2，+∞）8、已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 （ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 二、填空题（每题5分，共30分） 9、7)12(xx +的二项展开式中x 的系数是____ （用数学作答）． 10、设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __________．11、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ． 12、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ． 若二面角1C AB C --的大小为60，则点C 到 平面1ABC 的距离为______________．13、设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a =____________．14、M 是椭圆x y 22941+=上的任意一点，F F 12、是椭圆的左、右焦点，则MF MF 12·的最大值是_____________。
广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题含解析
广东省茂名市2021届高三数学第二次综合测试试题（含解析）一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，3）C．（2，3）D．（﹣1，+∞）2．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展．如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 1 2 3 4 5 销售量y（万0.5 0.6 1 1.4 1.5辆）由上表可知其线性回归方程为＝0.28x+a，则a的值为（）A．0.16 B．1.6 C．0.06 D．0.83．“m≤0”是“函数f（x）＝lnx﹣mx在（0，1]上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级（M）是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为：M＝lg（其中A0（常数）是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；Amax是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅），地震的级数就是当地震发生时，以地震波的形式放出的能量的指示参数E＝104.8×101.5M焦耳，其中M为地震级数，它直接同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关，震源放出的能量越大，震级就越大．已知汶川地震最大振幅是玉树地震最大振幅的100.9倍，若玉树地震波产生的能量为E，则汶川地震波产生的能量为（）A．101.35E B．1.35E C．100.9E D．90E5．已知三角形ABC的边长分别为AB＝3，AC＝4，BC＝5，＝3，则•＝（）A．1 B ．C．3 D ．6．设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，若|PF|＝6，则△POF的面积为（）A．2 B．4C．4D．47．已知数列{a n}满足3a n﹣2a n﹣1＝a n+1，且a1＝0，a6＝2021，则a2＝（）A．B．C．D．8．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝2，∠ABC＝∠ACD＝60°，E、F分别为BC、AD的中点，且EF⊥BC，EF⊥AD，BC⊥AD，则异面直线BF与DE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9．第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18．则这两组数据的（）A．平均数相等B．中位数相等C．极差相等D．方差相等10．已知函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x，则下列正确的是（）A．f（x）的图象可由g（x）的图象向右平移个单位得到B．x∈（，π）时，|g（x）|＞|f（x）|C．h（x）＝f（x）+g（x）的对称轴方程为：x＝+kπ（k∈Z）D．若动直线x＝a与函数f（x）＝sin x和g（x）＝cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f（x）＝（x3）8，则（）A．f（x）的展开式中的常数项是56B．f（x）的展开式中的各项系数之和为0C．f（x）的展开式中的二项式系数最大值是70D．f（i）＝﹣16，其中i为虚数单位12．已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为y＝x，且F1到l的距离为3，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为（2，0），PQ为∠F1PF2的平分线，则下列正确的是（）A．双曲线的方程为﹣＝1B．＝2C．||＝3D．点P到x轴的距离为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，可以得到“最美的数学公式”：e iπ+1＝．14．写出一个对称中心为（，0）的函数f（x）＝．15．在矩形ABCD内有E、F两点，其中AB＝120cm，AE＝100cm，EF＝80cm，FC＝60cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该矩形ABCD的面积为cm2．（答案如有根号可保留）16．已知x＞0，f（x）＝x2+e x，g（x）＝（m2+1）x+lnx，若f（x）≥g（x）恒成立，则实数m的取值范围是．四、解答题：共70分。
2021年辽宁省葫芦岛市普通高校高职单招数学测试题(含答案)
2021年辽宁省葫芦岛市普通高校高职单招数学测试题(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(20题)1.A.11B.99C.120D.1212.在等差数列{a n}中，若a3+a17=10，则S19等于( )A.65B.75C.85D.953.若函数f（x-）=x2+，则f（x+1）等于（）A.（x+1）2+B.（x-）2+C.（x+1）2+2D.（x+1）2+14.若f(x)=ax2+bx(ab≠0)，且f(2) = f(3)，则f(5)等于( )A.1B.-1C.0D.25.A.B.{-1}C.{0}D.{1}6.某高职院校为提高办学质量，建设同时具备理论教学和实践教学能力的“双师型”教师队伍，现决定从3名男教师和3名女教师中任选2人一同到某企业实训，则选中的2人都是男教师的概率为（）A.B.C.D.7.6人站成一排，甲乙两人之间必须有2人，不同的站法有（）A.144种B.72种C.96种D.84种8.己知向量a=(3,-2)，b=(-1,1)，则3a+2b等于( )A.(-7,4)B.(7,4)C.(-7,-4)D.(7,-4)9.设f(g(π))的值为（）A.1B.0C.-1D.π10.A.B.C.11.A.6B.7C.8D.912.要得到函数y=sin2x的图像，只需将函数：y=cos(2x-π/4)的图像A.向左平移π/8个单位B.向右平移π/8个单位C.向左平移π/4个单位D.向右平移π/4个单位13.tan150°的值为（）A.B.C.D.14.A.ac＜bcB.ac2＜bc2C.a-c＜b-cD.a2＜b215.函数f（x）=x2+2x-5，则f（x-1）等于（）A.x2-2x-6B.x2-2x-5C.x2-6D.x2-516.A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,2017.下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y(吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程y^=0.7x+a，则a=()A.0.25B.0.35C.0.45D.0.5518.己知，则这样的集合P有（）个数A.3B.2C.4D.519.A.B.C.D.20.己知tanα，tanβ是方程2x2+x-6 = 0的两个根，则tan(α+β)的值为( )A.-1/2B.-3C.-1D.-1/8二、填空题(20题)21.到x轴的距离等于3的点的轨迹方程是_____.22.不等式|x-3|<1的解集是。
2021年军考数学复习综合测试卷及答案
2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷1．已知函数()|2|||f x x x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x 的解集；（2）若不等式()21f x a -对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．2．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知2sin sin a C B =．（1）若b =120C =︒，求ABC ∆的面积S（2）若:2:3b c =，求3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14||(*)n n a a n N +=-∈．（Ⅰ）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 和4S ；（Ⅱ）若数列{}n a 为等差数列，求1a 和n S ．4．从2018年起，某市中考考试科目将改为“3科必考3+科选考+体育”．其中3科必考科目为语文、数学和外语，3科选考科目应在物理和生化两科中选择1或2科，在历史、地理和思想品德三科中选择1或2科．已知甲、乙两名考生在选考科目中选择每一科的可能性都相同．()I 求甲考生在选考科目中选考历史的概率；()II 如果甲、乙两名考生都选考了物理，求他们选考科目完全相同的概率．5．有7名“厦门金砖会议”志愿者，其中志愿者1A ，2A ，3A 通晓英语，1B ，2B 通晓俄语，1C ，2C 通晓葡萄牙语，从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组（1）求1A 被选中的概率（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．6．已知函数221()2f x x a lnx =-，a R ∈．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为6270x y +-=，求a 的值；（Ⅱ）若0a >，函数()y f x =与x 轴有两个交点，求a 的取值范围．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若点B 在椭圆上，且△12BF F 为等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若点2F 在以MN 为直径的圆外，求直线l 斜率k 的取值范围．8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，AB =，求1A 到平面11BCC B 的距离．参考答案与详解1.【详解】（1）把1a =代入()|2|||f x x x a =++-，可得21,2()|2||1|3,2121,1x x f x x x x x x ---⎧⎪=++-=-<<⎨⎪+⎩．当2x -时，()5f x 等价于215x --，解得3x -，则32x --；当21x -<<时，()5f x 等价于35，此式恒成立，则21x -<<；当1x 时，()5f x 等价于215x +，解得2x ，则12x ．综上，不等式()5f x 的解集为[3-，2]；（2）()|2||||2||||2||2|f x x x a x a x x a x a =++-=++-++-=+，∴不等式()21f x a -对任意x R ∈恒成立转化为|2|21a a +-恒成立，若210a -<，即12a <，则不等式|2|21a a +-成立；若210a -，即12a ，则2244441a a a a ++-+，即23830a a --，解得133a -，则132a ．综上，实数a 的取值范围是(-∞，3]．2.【详解】（1）由正弦定理知，sin sin c B b C =；由2sin sin a C B =，得2sin sin a C C =，故2a =，b =6a ∴=；又120C =︒，ABC ∆的面积11sin 61822S ab C ==⨯⨯，故ABC ∆的面积S 为18．（2）由2a =，:2:3b c =，∴3232a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3sin 23sin sin 2A B C B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin 2sin cos sin 222cos 3sin sin 3sin 2B A B A B A A B AC C B ---===-；2222223())522cos 32622b b b c a A bc b b +-+-===；22cos 13A ∴-=．故3sin 2sin 1sin AB C-=．3.【详解】（Ⅰ）10a >，2114||4a a a ∴=-=-，1132111,044||4|4|8,4a a a a a a a <⎧=-=--=⎨->⎩．1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2132a a a =，①104a <时，有2211(4)a a =-，得12a =；②14a >时，有2111(8)(4)a a a -=-，得14a =-)或14a =+．综①②可知，12a =或14a =+．当12a =时，22a =，32a =，42a =，得48S =；当14a =+时，2140a a =-<，3180a a =->，4314||4a a a =-=-，得48S =．故48S =；（Ⅱ）214||a a =-，3214||4|4|||a a a =-=--，∴由等差数列的定义得：2132a a a =+，即1112(4||)4|4|||a a a -=+--，当14a >时，可得10a =，矛盾；当104a <时，可得12a =，符合条件；当10a 时，公差2140d a a =-=>，∴必存在2m ，使得14(1)4m a a m =+->，这与14||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾．综上可知，只有12a =时符合条件且此时公差210d a a =-=．2n a ∴=，则12a =，2n S n =．4.【详解】()I 甲若在历史、地理和思想品德三科中只选择1科历史，则他应在物理和生化两科中选择2科，概率为11133⨯=；甲若在历史、地理和思想品德三科中选择2科，其中一科为历史，则他应在物理和生化两科中选择1科，概率为111132212=，甲考生在选考科目中选考历史的概率为11531212+=．()II 如果甲、乙两名考生都选只选考了物理，则他们只需在生化、历史、地理和思想品德四科中同时选择相同的2科，概率为224411136C C =．5.【详解】（1）从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组，基本事件有12个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，1(A ，1B ，2)C ，1(A ，2B ，1)C ，1(A ，2B ，2)C ，2(A ，1B ，1)C ，2(A ，1B ，2)C ，2(A ，2B ，1)C ，2(A ，2B ，2)C ，3(A ，1B ，1)C ，3(A ，1B ，2)C ，3(A ，2B ，1)C ，3(A ，2B ，2)C ，用事件M 表示“1A 被选中”，则事件M 包含的基本事件有4个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，1(A ，1B ，2)C ，1(A ，2B ，1)C ，1(A ，2B ，2)C ，1A ∴被选中的概率41123p ==．（2）用N 表示事件“1B 和1C 不全被选中”，则N 表示事件“1B 和1C 全被选中”，则N 包含听基本事件有3个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，2(A ，1B ，1)C ，3(A ，1B ，1)C ，∴由对立事件概率计算公式得1B 和1C 不全被选中的概率：33()1()1124P N P N =-=-=．6.【详解】由题意知函数的定义域为(0,)+∞，2()a f x x x'=-．（Ⅰ）因为函数在1x =处切线斜率为3-，所以当1x =时，f '（1）213a =-=-，解得2a =±．（Ⅱ）222()()()(0)a x a x a x a f x x x x x x-+-'=-==>，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>，所以函数()y f x =在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，当x a =时，函数()f x 有最小值22211()()()22min f x f a a a lna a lna ==-=-，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞，所以要使函数()f x 与x 轴有两个交点，只需()0min f x <，即21()02a lna -<，解得a >7.【详解】（1）由已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若点B在椭圆上，可得b =由△12BF F 为等边三角形可知2a =，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由已知可得直线l 的斜率存在为k ，直线l 的方程为(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(34)84120k x k x k +++-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且△0>恒成立，由点2F 在以MN 为直径的圆外，则290MF N ∠<︒且22,F M F N 不同向220F M F N ⇒>，则1(1x -，12)(1y x -，2)0y >1212(1)(1)0x x y y ⇒--+>1212(1)(1)(1)(1)0x x k x k x ⇒--+++>，整理可得2221212(1)(1)()10k x x k x x k ++-+++>，则22222224128(1)(1)103434k k k k k k k -+--++>++，整理可得229377977k k k >=>⇒>或377k <-．8.【详解】（1）证明：连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ，又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ．（2）解：2AC =，AB =，60ACB ∠=︒，2222cos 3AB AC BC AC BC ACB ∴=+-∠=，即23422cos60BC BC =+-⨯⨯⨯︒，1BC ∴=，222AC AB BC =+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B ⋂平面ABC AB =，BC ∴⊥平面11AA B B ，160A AB ∠=︒，1AB BB ==111BC B C ==，∴11111111sin 24A B B S A B BB A B B =∠=．∴11111133C A B B A B B V S BC -==⨯．设1A 到平面11BCC B 的距离为h ，1111122CBB SBC BB =⨯⨯=⨯⨯，11111333326A CBB CBB V S h -=⨯⨯=⨯=，1111A BCBC A B B V V --=，∴64h =，解得32h =，1A ∴到平面11BCC B 的距离为32．。
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
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A. 24B. 25数列综合测试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符号题目要求的。
）S 3 O P1. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,且满足---=1，则数列｛a n ｝的公差是（）B. 1C. 2D. 32. 设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S,若8a 2 + a s = 0,则下列式子中数值不能确定的是 （ ）3.（理）已知数列｛a n ｝满足 log3a n +1 = log 3a n + 1（n € N ）且a ?+ ◎+ a 6=9,则+ a 9）的值是（ ）1A. — 5B. — ~5C. 5A 7n + 45a n4.已知两个等差数列｛ a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为 A 和B,且B= n + 3，则使得为 正偶数时，n 的值可以是（ ）A. 1B. 2C. 5D. 3 或 115.已知a >0, b >0, A 为a , b 的等差中项，正数 G 为a , b 的等比中项，贝U ab 与AG 的 大小关系是（ ）A. ab = AGB. ab > AGC. ab w AGD.不能确定1a 3 + a 46.各项都是正数的等比数列 ｛a n ｝的公比q z 1,且a p , &, a 成等差数列，则的2a 4 + a 5值为（）1log 3（ a s +/5 -127.数列｛a n｝的通项公式为a n= 2n—49，当该数列的前n项和S达到最小时，n等于（）A. 24B. 25C. 26D. 27& 数列｛a n｝是等差数列，公差d M 0,且a2046 + a1978 —a2012= 0, { b n}是等比数列，且b2012 =a2012, 贝U b2010 • b2014 =( )A. 0B. 1C. 4D. 89. 已知各项均为正数的等比数列｛a n｝的首项a1= 3，前二项的和为则a3 + a4+ a5 =21,( )A. 33B. 72C. 84D. 18910 .已知等差数列｛a n｝的前n项和为S,若a1 =1, S3= a5, a m= 2011 , 则m=( )A. 1004B. 1005C. 1006D. 100711 .设｛a n｝是由正数组成的等差数列，｛b n｝是由正数组成的等比数列，a1 = b, a2003 且=b2003 , 则（）A. a1002> b1002B. a1002 = bl002C. a1002》b1002D. a1002 bl00212.已知数列｛a n｝的通项公式为a n= 6n—4,数列｛t n｝的通项公式为b n= 2n,则在数列｛a n｝的前100项中与数列｛b n｝中相同的项有（）A. 50 项B. 34 项C. 6项D. 5项第n卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）113.已知数列｛a n｝满足：a n+1= 1 ——，a1= 2,记数列｛a n｝的前n项之积为P n,贝U F2ou =a n14.秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列｛a n｝，已知a1= 1, a2= 2，且a n+ 2—a n= 1 + （—1）" （n€ N），则该医院30天入院治疗流感的人数共有 ______ 人.15.__________________________________________________________________ 已知等比数列｛a n｝中,各项都是正数，且a1,妇3,2a2成等差数列，则牛空= ___________________ .2 a1 + a816.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a+ b+ c的值为__________ .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n =2n1 2 3, ｛5｝为等比数列，且 a i =b i , b 2(a 2 — a i ) = b i 。
(i )求数列｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式；1218.设正数数列｛ a n ｝的前n 项和S n 满足S n(a . 1)2. 4(I) 求数列｛ a n ｝的通项公式；51(II)设b n ，求数列｛ b n ｝的前n 项和T na n a n 1119.已知数列｛b n ｝前n 项和为S ，且b 1= 1, b n +1 =3(1) 求 b 2, b s , b 4 的值； (2) 求｛b n ｝的通项公式； (3) 求 b 2 + b 4 + b 6 +-+ b 2n 的值.(2)设 C n =51 ,求数列｛C n ｝的前n 项和T n .1(1)求证：数列｛ ｝是等差数列;a n(2) 求数列｛b n ｝的通项公式； ⑶求数列｛ b n ｝的前n 项和S.21.数列｛a n ｝的前n 项和为S,且S= n ( n +1)( n € N).(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；b 1 b 2 b 3 b n(2) 若数列｛b n ｝满足：a n =頁〒+ 3^ +齐1 +…+旳〒，求数列｛b n ｝的通项公式;a b(3) 令C n = 宁(n € N)，求数列｛ C n ｝的前n 项和T n .422•已知数列｛ a n ｝满足 a 1 1，且 a n 2a . 1 2n(n 2,且n N *)a(1)求证：数列｛ ― ｝是等差数列；(2)求数列｛ a n ｝的通项公式;2S(3)设数列｛ a n ｝的前n 项之和S n ，求证：k 2n 3。
7x 520.已知函数f(x)=,数列a nx 1b f a中,2 a n+i — 2a n +a n+i a n =o , a i =l,且 a n 丰 0, 数列｛b n ｝中,数列综合测试题答案选择题1-6CDADCC 7-12 ACCCCD:填空题13__2_. 14 ______ 255 ___ . 15 ___ 3 2 罷 ______ . 16___22 ____三•解答题17.解：(1)v 当 n=1 时，a 1=S=2；22当 n 时，a n =S n — S n -1 =2n — 2( n — 1) =4n — 2. 故数列｛a n ｝的通项公式a n =4n —2,公差d=4.1n —.设｛b n ｝的公比为 q ,贝U bqd= b 1,T d=4,「.q= . /• b n =bq =2X423••• 4T n =1 • 4+3 -4 +5 ・4 +—1两式相减得 3T n =— 1 — 2 ( 41+42+43+ .......... +4n —1) +(2n — 1)4 n= [(6n 5)4n5]31••T n =1[(6 n 5)4n5]918.解： (I)当n 1 时，a 1S 141)2 , • a 11VS n [(a n 4 1)2,①Sn 1 1 (an41 1)2(n 2).②①—②， 得a nSn Sn 11 (a n 4 1)21 2(a n 1 1), 4整理得，(a n an 1)(a n a n1 2) 0••• a n 0anan 10.即数列｛ b ｝的通项公式b n =2o4n1(2)： C na n 4n 2bT HT(2n 1)4n 11 2 • T n =1+3 ・4 +5 ・n — 1+(2n — 1)4 +(2n — 1)4 n• a n a n 1 20，即a n a n 1 2(n 2).故数列｛ a n ｝是首项为1，公差为2的等差数列•- an2n 1.111 11 、(fl)b n(),a n an 1(2n 1)(2n 1) 2 2n 12n 1•- T nb 1 b 2b n!) 1(1 !) A 1--1-)2 3 2 3 52 2n 1 2n 11 “ 1n -(1-)22n 1 2n 11 111 1 4 1 1 16 19.[解析](1) b2=3S =3b1=3，b 3= §S z = 3(b + b 2)= 9, b 4= §S s = 3( b + b 2 + b 3)=27.①b n + 1 = -Si 31b n = 3S1—11--b 2 + b 4 + b 6 + …+ b 2n = 4 54 4 2n=7[(3) —1].①一②解1 b n + 1 — b n = g b n ,. 4 b n + 1 = b n ,3 1 b2= 3,1 4 • bn =3, 3n —2 (n > 2)b n = 13 4n — 23n 》2(3) b 2, b 4,b 6…b 2n 是首项为公比2的等比数列,20. 解：(1) 2a n+1 — 2a n +a n+1a n =0 Tan M0, 两边同除a n+i a n42n_-3 ]1 —341 1 •••数列｛丄｝是首项为1,公差为丄的等差数列a n2•/ b n =f (a n — 1)=f ( 1__ )= — n+6 (n €N)n 1n(l b 1| 6 n) n(11 n)22• Si= Y21.［解析］(1)当 n = 1 时，a 1= S= 2,当 n 》2 时，a n = S — S — 1 = n (n + 1) — (n — 1)n = 2n ,知 a 1 = 2 满足该式 •数列｛a n ｝的通项公式为 a n = 2n .b 1b 2 b 3b n—(2) an=3T7+不 + 沖+…+ 沖(n> 1)①b 1b 2b 3 b n b n +1• a n + 1=+ ~7 + 3 7 +…+ ~n + H+T ② 3+ 1 3 + 1 3 +1 3 + 1 3 + 1b n + 1n+ 1②—①得，3n + 1 + 1 = a n +1 — a n = 2, b n + 1 = 2(3 + 1),3 十I 故 b n = 2(3n+ 1)( n € N).a nb n n n⑶ 6=〒=n (3 + 1) = n ・3 + n ,则 3H = 1X3 + 2X3 + 3X3 +•••+ n X3 ②S6n 211n 602(n>6, n € N)①一②得,・・ 2 32H = 3+ 3 + 3 +…+ n n +1 3 — n X3n + 1—n X3• Hi =n + 12n — 1 X3 + 3(2)(n 1)dan a 1• a n —1 = J(nn 1N)—n+6 (n < 6, n € N)(n w 6, n € N)—6 (n>6, n€N•••数列｛C n｝的前n项和1(n 2,且 n N*)数列｛a n｝是等差数列，公差为d 1,首项也丄,2n 2(2)由(1)得黑1(n 1)d2 1 2a n (n 0)2n1 1 32 5⑶S n 2 22—232 2 21 2 3 3 5 4 2S n 2 — 2 -22 2 2 (n 1) 1 n 丄,21n(n ) 2 (1)21n 1(n -) 2 (2)22(1 2n) 1 21(n ) 2n 1 1 (3 2n) 2n3.S n (2n 3) 2n 3 (2n3) 2 , S 2n 3(1)⑵得S n 1 2223(n 丄)2n 1 2 22 232 2n(n -) 2n 1 12Tn = 2n— 1 X3 + + 3 n4n+ 1222 解. (1) a n 2a n 1 2n(n 2,且n N )2n2 3 n • T n = c + C2 + C3 +…+ C n= (1 x 3+ 2X3 + 3X3 +•••+ n X3 ) + (1 + 2+・・・+ n)令H= 1 X 3 + 2 X 32 + 3 X 3 3 * *+…+ n X3n,①2 3 4 n +1。